2024年中考數(shù)學復習重難點(全國版)：圓的綜合問題（重點突圍）(解析版)

圓的綜合問題

【中考考向?qū)Ш健?/p>

目錄

【直擊中考】...................................................................................1

【考向一利用圓性質(zhì)求角的度數(shù)】...........................................................1

【考向二利用圓性質(zhì)求線段的長度】.........................................................4

【考向三利用圓性質(zhì)求圓的半徑】..........................................................11

【考向四利用圓性質(zhì)求線段的最值】........................................................17

【考向四利用圓性質(zhì)求陰影部分的面積】...................................................20

【考向五切線的證明綜合應用】............................................................21

【直擊中考】

【考向一利用圓性質(zhì)求角的度數(shù)】

例題：（2022秋?浙江杭州?九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，四邊形/BCD內(nèi)接于O。，AB=CD,/為防中

點，NBDC=60°,則/4DB等于（）

A.30°B,40°C,50°D,60°

【答案】B

【分析】根據(jù)ZB=CD,4為曲中點求出ZCBD=ZADB=ZABD,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到

N4BC+44OC=180。，即可求出答案.

【詳解】解：??工為曲中點，

■-AB=Ab，

：.AADB=NABD,AB=AD,

-：AB=CD,

ZCBD=NADB=ZABD,

?.?四邊形48co內(nèi)接于OO,

N4BC+N4DC=180°,

3Zv4￡>5+60°=180°,

AADB=40°,

故選B.

【點睛】此題考查圓周角定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握在同圓中等弧所對的圓周角相等、相等的弦所對的

圓周角相等，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：對角互補.

【變式訓練】

1.（2022?湖北省直轄縣級單位??？级＃┤鐖D，一塊直角三角板的30。角的頂點P落在。。上，兩邊分別

交。。于48兩點，連結(jié)ZO,BO,則N/08的度數(shù)是（）

A.30°B,60°C,80°D,90°

【答案】B

【分析】根據(jù)圓周角定理解決問題即可.

【詳解】解：,.2=30°,

又,：ZAOB=2ZP,

ZAOB=60°,

故選：B.

【點睛】本題考查了圓周角定理，解決問題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理，屬于中考?？碱}型.

2.（2022?黑龍江哈爾濱?校考二模）如圖，A、B、C、。四個點均在O。上，N4OD=70°,AO//DC,

則ZB的度數(shù)為___________.

【答案】55°##55度

【分析】首先連接4D,由A、B、C、。四個點均在。。上，乙18=70°,AO//DC,可求得乙4。。與

NODC的度數(shù)，然后由圓的內(nèi)接四邊新的性質(zhì)，求得答案.

【詳解】解：連接

'：OA=OD,AAOD=70°,

…幽”55。

'：AO//DC,

AODC=AAOD=70°,

NADC=ZADO+ZODC=125°,

N8=180°-/4DC=55°

【點睛】此題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì).此題比較適中，注意

掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用.

3.（2022?內(nèi)蒙古通遼?模擬預測）如圖所示，已知四邊形48C。是。。的一個內(nèi)接四邊形，且乙80A=110。,

則4DCE=

【答案】550##55度

【分析】先根據(jù)圓周角定理求出/N的度數(shù)，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：,「"00=110。，

ZA=-ZBOD=55°.

2

:四邊形4BCD是圓內(nèi)接四邊形，是四邊形/BCD的一個外角，

ZDCE=ZA=55°.

故答案為：55°.

【點睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理等內(nèi)容，熟知圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于

它的內(nèi)對角是解題的關(guān)鍵.

【考向二利用圓性質(zhì)求線段的長度】

例題：（2022?四川綿陽?東辰國際學校?？寄M預測）如圖，點4B,C,。在。。上，點/為前的中點,

04交弦8C于點E.若4DC=30。，AE=\,則8C的長是（）

【分析】連接OC,根據(jù)圓周角定理求得N/OC=60。，在RtZkCOE中可得OE=goC=g。/,可得OC的

長度，故CE長度可求得，即可求解.

【詳解】解：連接。C,

OE=-OC=-OA,

22

AE=-OC=-OA

22

AE=1.

OA=OC=2,

CE=G

,點/為病的中點，

BC=2CE=26

故選：D.

【點睛】本題考查圓周角定理和垂徑定理，解直角三角形，作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

【變式訓練】

1.(2022?江蘇鹽城?鹽城市第四中學(鹽城市藝術(shù)高級中學、鹽城市逸夫中學)?？寄M預測)如圖，以

為直徑的。O與/C相切于點A,點。、E在。O上，連接NE、ED、DA,連接并延長交4c于點C,

AE與BC交于點、F.

⑴求證：NDAC=NDEA；

⑵若點E是弧AD的中點，O。的半徑為3,BF=2,求/C的長.

【答案】⑴見解析

⑵8

【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)可得NCAD+NB4D=90。，再由48為。。的直徑，可得N8+NA4D=90。，

從而得到NC4D=N8,再由圓周角定理，即可求證；

(2)根據(jù)點E是弧5。的中點，可得=再由NC4D=ZB,可得NC4F=NCE4,從而得到

CA=CF,設C4=CF=x,貝l」3C=x+2,在Rt448C中，根據(jù)勾股定理，即可求解.

【詳解】⑴證明：,?,O。與/C相切,

ACLAB,即Z5/C=90。，

ACAD+ABAD=90°,

?：48為。。的直徑，

ZADB=90°.

ZB+ZBAD=90°,

NCAD=NB,

■：ZAED=ZB,

/DAC=/DEA；

(2)解：?.?點，是弧8是的中點,

4DAE=NBAE,

■：ACAD=ZB,ZCAF=ACAD+NDAF,ZCFA=NEAB+NDBA,

ZCAF=ZCFA,

CA=CF,

設C4=CF=x,貝i]3C=x+2,

???的半徑為3,

.1.AB=2,

在RMN3C中，AB2+AC2=BC2,

62+x2=（2+x）2,

解得：x=8,

即/C=8.

【點睛】本題考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用同角的余角相等求得

ACAD=ZB.

2.（2022.內(nèi)蒙古通遼模擬預測）如圖，O。與的8C邊相切于點3,與/C、邊分別交于點。、E,

DE//OC,￡3是。。的直徑.

⑴求證：ZC是O。的切線；

⑵若40=2,AE=1,求CD的長.

【答案】⑴見解析

（2）3

【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到bB=90°,根據(jù)平行線和等腰三角形的性質(zhì)可得NC。。=ZCOB,

再利用“邊角邊”證明△CQD”ACQS,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到4750=4780=90。，即可證明/C是

。。的切線；

（2）設O。的半徑為廠，則。。=OE=O8=r,根據(jù)勾股定理解求出r,進而求出NB的長度，再

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BC的長度，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）證明：如圖，連接OD.

。。與"3C的8c邊相切于點瓦E8是OO的直徑,

.-.08=90°.

DE//OC,

/DEO=/COB,ZODE=ZCOD.

「OD=OE,

，/DEO=4ODE,

/COD=/COB,

在ACOD與/\COB中，

'OD=OB

<ZCOD=ZCOB,

co=co

△COD^XCOB(SAS),

ACDO=ZCBO=90°,

是。。的切線；

(2)解：設。。的半徑為匕

OD=OE=OB=r.

AE=1,

AO=r+1.

ZADO=90°,

???AD2+OD2=AO2,

/.22+r2=(r+l)2,

3

解得："j

3

AB=AE+2r=l+2x-=4.

2

?.乙4DO=/B=90。,ZA=ZA,

???YADORABC,

.AD_OD

3

二?2=2,

「BC

BC=3,

由(1)矢口，ACOD^ACOB,

/.CD=BC=3.

【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理,

平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

3.(2022?湖北省直轄縣級單位??？家荒?如圖，。。是的外接圓，力。是。。的直徑，咒是/。延長

線上一點，連接8,CF,且NOCF=NC4。.

⑴求證：CF是O。的切線；

3

⑵若cos5=1，AD=5,求陽的長.

【答案】⑴見解析

(2)T

【分析】(1)連接。C,4D是O。的直徑，則N/CZ)=90。，得到乙(OC+NC4D=90。，由OC=OZ)得到

ZADC=ZOCD,又由ZDCF=NCZD得到NDCF+NOCD=90°,即可得到結(jié)論；

(2)解直角三角形得到CD=3,/C=4,得到jCD=：3,再證明△尸CD-FZC,得到CjDF=C=F/D=3=,

AC4ACFAFC4

設FD=3x,FC=4x,AF=3x+5,進一步求得x=”，即可得到答案.

7

【詳解】⑴解：連接。。，

???40是。。的直徑,

ZACD=90°,

AADC+ZCAD=90°,

又「OC=OD,

:ZADC=ZOCD,

又?「ZDCF=ACAD.

/.ZDCF+ZOCD=90°,

即0cleF,

「?C廠是。。的切線；

3

(2)/B=/ADC,COSB=M，

3

/.CQSZ-ADC=—,

5

在RtZkNC。中，

3CD

'：cosZ-ADC=-=,AD=5,

5AD

3

CD=AD-cosZADC=5x-=3,

5

AC=y]AD2-CD2=4,

.CD_3

"AC=4,

/ZFCD=ZFAC,NF=NF,

AFCDSAFAC,

.CDFCFD3

"AC~FA~FC~4,

設陽=3x,FC=4x,AF=3x+5,

又「FC2=FD-FA,

即（4靖=3%（31+5）,

解得x=/（取正值），

45

FD=3x=——.

7

【點睛】此題考查了切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識，熟練掌

握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?四川綿陽?東辰國際學校?？寄M預測）如圖，N8為O。的直徑，AC為弦,過點。的切線與N8

的延長線交于點尸，E為。。上一點，且CE=/C,連接班并延長交CP于點

⑴求證：BHLCP.

Q）若AB=3&,tanZE=,求W的長.

【答案】⑴見解析

⑵拽

5

【分析】⑴連接。C,由切線的性質(zhì)可知NOCP=90°,再證明E"〃OC,則/瓦可得

BHLCP-,

（2）連接OC,3C,根據(jù)48為O。的直徑得N/C8=90。，根據(jù)乙4=NE得tanNE=tanNN=得

AC乙

AC=IBC,利用勾股定理解得BC=3或8c=一3（舍去），則ZC=2BC=6,證明

pnPQCB1

WCBSAPAC,貝=封=片=不，設P8=無，則尸C=2必=2x,PA=2PC=4x,可得4x-x=36,

iOiAA(_x乙

解》=石，則尸B=VLPC=25由⑴可得BH〃oc,*=*=：，從而可得P〃=2PC=K5

尸CU355

【詳解】（1）解：如圖①，連接0G0E,

圖①

AC=EC

在△/CO和△EC。中，loc=oc,

OA=OE

AACO^AECO(SSS)f

??.ZACO=ZECO,

「OA=OC,

/.乙4=/ACO,

ZA=ZECO,

丈:AA=ZCEB,

/ECO=NCEB,

'.EH//OC,4BHP=4OCP

7C尸與。O相切，

???OC1CP,

BHLCP.

(2)解：如圖②，連接OC,BC,

圖②

7為。。的直徑,

???ZACB=90°,

/A=/E,

丁,,BC1

?.tan/E—tanN4==—

AC2

，AC=2BC,

AC2+BC2=AB2,

{2BC）2+BC2=,解得8c=3或6C=-3（舍去），

AC=2BC=6,

;CP為切線，

NOCP=AOCB+ZPCB=NOBC+ZPCB=90°.

48為。。的直徑，

ZOBC+ZA=9Q°,

ZPCB=AA,

又「ZP=ZP,

APCBSAPAC,

,PBPCCB_2_j_

"PC~PA~AC~~6~2,

設PB=x,則尸C=2P8=2x,PA=2PC=4x,

PA-PB=AB=35

4x-x=3石,解x=不，

PB=45,PC=2也,由⑴可得BH〃OC,

PHPB4_2

■■-~PC~~PO~r-375~5.

,y5H------

2

.D口2“2/T4A/5

??PH=—PC=—x2、5=.

555

【點睛】此題考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股

定理、二次根式的化簡等知識與方法，解題的關(guān)鍵是正確地作出所需要的輔助線，構(gòu)造出直角三角形、全

等三角形、相似三角形、矩形，利用全等三角形、相似三角形、矩形的性質(zhì)以及勾股定理求得結(jié)果.

【考向三利用圓性質(zhì)求圓的半徑】

例題：（2022?福建福州??？家荒＃┤鐖D，四邊形/BCD內(nèi)接于。O,ZABC=135°,AC=4,則。。的半徑

為（）

D

A.4B.2V2C.2V3D.4V2

【答案】B

【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補得出N4DC=45。，由圓周角定理得出N/OC=90。，根據(jù)CM=OC可

得出答案.

【詳解】連接CM,0C,

.四邊形/BCD內(nèi)接于OO,N/8C=135。

ZADC=45°

ZAOC=90°

由勾股定理得：OA2+OC2=AC-

-：OA=OC,AC=4

.OA=2y[2

二OO的半徑為：2/

故選：B.

【點睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角與圓心角的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運用相關(guān)定理.

1.（2022?福建福州??？家荒＃┤鐖D，8C為。。的直徑，尸為C2延長線上的一點，過P作。。的切線尸/,

/為切點，PA=^PB=2,則O。的半徑等于.

【答案】3

【分析】連接。4,因為尸/是O。的切線，得NP/O=90。，結(jié)合已知在瓦AP/。中運用勾股定理即可求解.

【詳解】連接6M,

'.-尸/是。。的切線，

ZPAO=90°,

'：PA=4,PB=2,

在M△尸/。中，

PO2=PA2+AO2,

即（50+2）2=42+次，

（AO+2）2=42+AO2,

解得/。=3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)和勾股定理的運用；掌握切線的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?湖北省直轄縣級單位?校考一模）如圖，點/,B,C在O。上，ZAOC=90°,AB=242,BC=l,

則。O的半徑為.

【分析】過點工作4E1CB交C2的延長線于點E,連接ZC,先求出N48C=135。，貝Ij/4BE=45°,利用

等腰直角三角形的性質(zhì)得到==2,則EC=3,利用勾股定理求出/C的長即可得到答案.

【詳解】解：過點/作/E1C8交的延長線于點E,連接NC.

ZAOC=90°,

乙ABC=；（360?！?0。）=135°,

ZABE=45°,

.NE=90。，AB=2V2,

.?.AE=EB=2,

?/BC=1,

/.EC=3,

AC=YIAE2+CE2=VB,

V2V26

：OA=OC=-AC=-—.

22

故答案為：叵.

2

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對角互補，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定,

正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?云南文山?統(tǒng)考三模）如圖，在“3C中，乙4=90。，D、￡分別是48、3C上的點，過B、D、E

三點作0。，交延長線于點￡AC=3,BC=5,AD=1.

⑵當0。與CO相切于點。時，求。。的半徑;

（3）若=3SaBz）尸，求DF的值.

【答案】⑴見解析

⑵回

2

⑶F

【分析】(1)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到NC￡Z)=N5ED,即可證明;

13

(2)連接OD,過點。作(W15Z),垂足為求出8。=3,DM=-BD=~,再證明AWOS"力。,

從而求出求。O的半徑

(3)過點。作。H1BC,垂足為H,過點3作/，垂足為G,利用等積法求出?！?父友?=元麗,

設。尸=抗金，則C￡=15x,利用VC?￡sVCB尸，即可求出。咒的值.

【詳解】(1)二,四邊形座。尸是。。的內(nèi)接四邊形，

NBED+NBFD=180。,

/BED+/CED=180。,

/.ZCED=ZBFD,

■「4DCE=NBCF,

..YCDEHCBF；

(2)連接O。，過點。作(W18。，垂足為

DM=BM=-DB,Z.OMD=90°,

2

ZODM+ZMOD=90°,

?.?4=90。，BC=5,AC=3,

AB=力BC?-AC2=后-??=4,

AD=1,

BD=AB-AD=4-1=3,

13

:.DM=-BD=~,

22

在火，△力℃中，CD=YIAC2+AD2=A/32+12=Vio,

?/。。與co相切于點。

...ZODC=90°,

ZODM+ZADC=180?！猌ODC=90°,

:AMOD=ZADC,

?「ZOMD=ZA=90°,

GMOs衛(wèi)AD,

.PHDO

"~CA~~CD，

3

工型，

■,3Vio

"巫,

2

.?.0。的半徑為叵;

，BCDH=BDAC=BG,CD,

:.5DH=3X3=ABG,

99/—

:.DH=—,BG=—M,

510

:.-CEDH=3>x-DFBG,

22

CEDH=3DFBG,

:.-CE=3DF—410,

510

9

.DF5V10

./一27而一IT'

10

:.設DF=AX,貝IJC￡=15X,

由(1)得：YCDEHCBF,

,CDCE

"~CB~~CF'

.Vio15x

5一而+&5龍’

2

解得:x=-,

2

經(jīng)檢驗：x=/是原方程的根，

：.DF=4i0x=—410.

13

,的長為《麗.

【點睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是能夠

根據(jù)題目的條件，進行推理證明.

【考向四利用圓性質(zhì)求線段的最值】

例題：（2022?安徽合肥?校聯(lián)考三模）如圖，是O。的直徑，/2=8,點”在O。上，ZMAB=20。,N是

渤的中點，P是直徑上的一動點，若MN=2,則△尸兒CV周長的最小值為（）

A.4B.5C,6D,7

【答案】C

【分析】根據(jù)動點最值,將軍飲馬模型,如圖所示，作點N關(guān)于N3的對稱點V,連接交于尸，△尸AW

周長為PM+PN+MN=2+PM+PN,由對稱性知△尸周長為=2+PM+PN=2+PM+7W',根據(jù)兩點

之間線段最短可知△尸兒W周長的最小為2+MM,利用圓心角、弧、弦的關(guān)系以及軸對稱的性質(zhì)進行計算即

可得到答案.

【詳解】解：作點N關(guān)于的對稱點V,則點州在。。上，連接W交于尸，

由對稱性知尸N=PN',

???^PMN^^PM+PN+MN=2+PM+PN=2+PM+PN',

根據(jù)兩點之間線段最短可知APMN周長的最小為2+,

1?點N是面的中點，/MAB=20°,

-'-MN=NB=BN',

/BAN，=10。,

ZM4N'=20°+10°=30°,

AMON'=60°,

.1△MOM是正三角形，

OM=ON'=MN'=-AB=4

2

-：MN=2,

：.△尸MN周長的最小值為2+4=6,

故選：C.

【點睛】本題考查動點最值問題-將軍飲馬模型，涉及圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系以及軸對稱性質(zhì)，

掌握圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系以及軸對稱的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

【變式訓練】

1.（2022?廣東江門??？家荒＃┚匦蜰3CD中，=2,6C=6,點P為矩形內(nèi)一個動點且滿足NP2C=NPCD,

則線段PD的最小值為.

【答案】V13-2##-2+Vi3

【分析】通過矩形的性質(zhì)和等角的條件可得N2PC=90。，所以尸點應該在以3C為直徑的圓上，根據(jù)兩邊

之差小于第三邊及三點共線即可解決問題.

?.?四邊形43。為矩形，

AB=CD=2,ZBCD=90°,

APCD+ZPCB=9(P,

■:NPBC=NPCD,

\DPBC+DPCB=90°,

NBPC=90°,

.?.點尸在以8C為直徑的QO上，

在RtZkOCD中，OC=g8C=；x6=3,CD=2,

由勾股定理得，OD=yjoC2+CD2=物+2。=V13,

：PD>OD-OP,

.,.當P,D,。三點共線時，最小，

PD的最小值為OD-OP=4l3-2.

故答案為：V13-2.

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，線段最小值問題及圓的性質(zhì)，分析出尸點的運動軌跡是解題的

關(guān)鍵.

2.（2022?廣東江門??？家荒＃┲?，AB=AC=13,BC=24,點。，。為“8C的對稱軸上一動點，

過點。作。。與8C相切，AD與O。相交于點E,那么/E的最大值為.

【答案】6+病##府+6

【分析】設的對稱軸交8C于尸，連接斯，根據(jù)圓周角定理及題意得出點E在以8尸為直徑的圓上,

由勾股定理得出AI=^AF2+FI2=VF767=V61,結(jié)合圖形即可得出最大值.

AB=AC,

:.AABC的對稱軸DFVBC,

OO切8c于尸，

-.-。尸是O。的直徑，

ZDEF=90°,

ZBEF=180°-ZDEF=90°,

.?.點E在以AF為直徑的圓上，

AFiBC,AS=AC=13,

BF=CF=12,BI=FI=6,

AF=^AB2-BF-=5.

AI=ylAF2+FI2=A/52+62=V61,

???^Emax=AI+E'I=6+461

故答案為：V61+6.

【點睛】題目主要考查圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理解三角形等，理解題意，作出相應輔助

線是解題關(guān)鍵.

【考向四利用圓性質(zhì)求陰影部分的面積】

例題：（2022?廣東江門?校考一模）如圖，正方形的邊長為2,則圖中陰影部分的面積為（）

【答案】D

【分析】如圖，根據(jù)名=5扇必郎-?@,求解即可.

【詳解】解：如圖，

.?四邊形/BCD是正方形,

ZEAF=45°,

EFLAB,

.△/跖是等腰直角三角形,

?AF=EF=日

45/7-x22

——Xy/2XA/2=--1.

22

故選：D.

【點睛】本題考查扇形的面積的計算，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的

關(guān)鍵是學會利用分割法解決問題，屬于中考?？碱}型.

【變式訓練】

1.（2022?湖北省直轄縣級單位?校考一模）如圖，在半徑為2,圓心角為90。的扇形內(nèi)，以3C為直徑作半圓,

交弦N5于點。，則圖中陰影部分的面積是（）

A.77-1B.n-2C.-n-\D.—zr+l

22

【答案】A

卜分析】已知為直徑，則NCDB=90。，在等腰直角三角形4BC中，CD垂直平分4B,CD=DB,D為

半圓的中點，陰影部分的面積可以看作是扇形/CB的面積與△3C的面積之差.

【詳解】解：在中，AB=^+22=2^/2,

V8C是半圓的直徑，

ZCDB=90°,

在等腰RtZX/CB中，CD垂直平分48,CD=BD=42,

二。為半圓的中點，

$陰影部分=S^ACB-S^ADC=%x22-；x（g）=N-1.

故選：4

【點睛】本題考查扇形面積的計算公式及不規(guī)則圖形面積的求法，掌握面積公式是解題的關(guān)鍵.

3

2.（2022春?九年級課時練習）如圖，矩形/BCD中，AB=2,BC=^,尸是48中點，以點A為圓心，AD

為半徑作弧交于點E,以點3為圓心，8尸為半徑作弧交3C于點G,則圖中陰影部分面積的差S「星為

【分析】根據(jù)圖形可以求得3斤的長，然后根據(jù)圖形即可求得S「邑的值.

3

【詳解】解：7在矩形43。。中，AB=2,BCf尸是45中點,

.\BF=BG=1,

..Si=S矩形/geoS扇形NOE-S扇形SGF+5*2,

90.743T2

G3（2）90-TTXI213〃.

：.s,-s2x----------------------------------=3--------

2236036016

故答案為：3-——

16

【點睛】本題考查了扇形面積的計算、矩形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件,

利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

3.（2022秋?四川瀘州?九年級統(tǒng)考期中）如圖，AB,ZC分別是。。的直徑和弦，半徑OE/ZC于點Z）.過

點A作。。的切線與OE的延長線交于點尸，PC,N8的延長線交于點尸.

⑴求證：PC是。。的切線；

⑵若尸C=24D,48=10,求圖中陰影部分的面積.

【答案】⑴見解析

⑵25曲一空

26

【分析】（1）連接。C,可以證得三△COP,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)定理可以得到

ZOCP=90°,即OC_LPC,即可證得PC是。。的切線；

（2）根據(jù)垂徑定理得到AD=CD=^AC,根據(jù)切線的性質(zhì)得到PA=PC,求得NC4F=ZPAO-APAC=30°,

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/C4尸=4C。=30P,根據(jù)勾股定理得到CF=飛OF-OC。=而十=5百，根

據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得出結(jié)論.

【詳解】⑴證明：連接OC,

...尸才是。。的切線，43是。。的直徑，

/.ZPAO=90°,

?「OEIZC于點。，

-'-AE=CE,

ZAOE=ACOE,

在ZUOP和ACO尸中，

AO=CO

<ZAOP=/COP,

OP=OP

AAOP^ACOP(SAS),

ZPCO=ZPAO=90°,

OC1PC,

.「OC是。。的半徑，

尸。是。o的切線.

(2)解：.「OEIZC于點。，

/.AD=CD=-AC,

2

TPA,尸。是。。的切線，

/.PA=PC,

：PC=2AD,

/.PA=PC=AC,

NP4c=60。,

ZCAF=/PAO-APAC=30°,

：OA=OC,

ZCAF=ZACO=30°,

ZCOF=2ZCAF=60°,

/.ZF=90°-ZC(9F=30°,

:.OF=2OC=W,

在放△OC/中，CF=^OF2-OC2=V102-52=573,

5

「.S陰影=S^co尸一S扇形80c=1x573x5-=^/l_Z|l.

故答案為：

26

【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形和扇形的面積公式，全等三角形的判定和性質(zhì),

正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?江蘇揚州??？既＃┤鐖D，必△NBC中，05=90°,ZC=30°,。為/C上一點，04=2,以O

為圓心，以。/為半徑作圓與相交于點尸，點￡是。。與線段3c的公共點，連接。及OF、EF,并且

乙EOF=2乙BEF.

⑴求證：BC是。。的切線;

⑵求圖中陰影部分的面積.

【答案】⑴見解析

（2）1-V3-yW

【分析】（1）連接。尸、DE,由是直徑，彳導出NDFE+NBFE=90。,進而得出N8斯=ND尸E,由圓周

角定理得出/EOF=2ZEDF,進而得出乙BEF=乙EDF,然后得出NDFE=ZEDF,再證明^ODE=^OFE,

得出NEOD=ZEOF,再證明△€>”是等邊三角形，進而得出ZEOD=60°,證明OE//AB,即可得出OELBC,

即可得出結(jié)論.

（2）先求出等邊三角形△O/尸的面積為：；X2XG=6,由⑴可得出NCOF=120。，求出扇形OD尸的

面積為：I之宴3加,再由勾股定理得出36，求出力8C的面積為：1X3X3V3=^,然后可

360322

求得陰影部分的面積.

【詳解】（1）如圖，連接。尸、DE,

v4。是直徑，

DFLAB,

ZDFE+/BFE=90。,

,.65=90°,

/.ZBEF+Z.BFE=90°,

ZBEF=ZDFE,

?/AEOF=2ABEF,ZEOF=2ZEDF,

ABEF=AEDF,

NDFE=NEDF,

DE=EF,

OD=OFt

AODE=^OFE,

/.ZEOD=/EOF,

?/D5=90°,ZC=30°,

/.N/=60。，

,/OA=OF,

.??△04尸是等邊三角形，

ZAOF=60°,

400=60。，

OE//AB,

/.AOEC=90°

OEIBC,

???OE是半徑，

???8C是。。的切線.

(2)?.?△04尸是等邊三角形，

/.ZAOF=60°,

./04=2,

「.△CM尸的面積為：；X2X6=6,

ZCOF=120°,

扇形尸的面積為：上1整一x44，

3603

/ZO￡C=90°,ZC=30°,OA=OE=2,

OC=2OE=4,

AC=OC+OA=6,

AB=-AC=3,

2

二由勾股定理可得：BC=36

”BC的面積為：-x3x3>/3=—V3,

22

二陰影部分的面積為：|V3-V3-1/r=|V3-1/r.

【點睛】本題考查圓周角定理，切線的判定，扇形的面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正確作輔助線是解

題的關(guān)鍵.

5.（2022秋?全國?九年級專題練習）如圖，已知NB,C。為O。的直徑，過點/作弦NE垂直于直徑于

尸，點8恰好為族的中點，連接BC,BE.

D

⑴求證：AE=BC-,

Q）若AE=2布,求。。的半徑；

⑶在（2）的條件下，求陰影部分的面積.

【答案】⑴證明見詳解；

⑵2;

（3）-|77--V3.

【分析】（1）連接8。,AB,CD為O。的直徑，得到兩個直角及兩條線段相等，再根據(jù)弧的中點得到弧

相等，從而等到角相等，證明兩個三角形全等即可得到答案；

（2）連接OE,根據(jù)弧的中點得到弧相等，從而等到圓周角圓心角的關(guān)系，結(jié)合平角求出/N的

度數(shù)，在比A4Ob中根據(jù)勾股定理即可得到答案；

(3)由(2)可得圓心角度數(shù)直接求扇形面積，再算出AOBE的面積即可得到陰影部分面積.

【詳解】⑴證明：連接8。，

AB,為O。的直徑，

AAEB=AABD=90°,AB=CD,

■:點、B是彘的中點，

?*,BE=BD，

:N4=NC,

在AAEB與ACBD中,

/ZA=ZC,ZAEB=ZABD=90°,AB=CD,

：WEB9XCBD,

/.AE=BC；

(2)解：連接

二點5是讀的中點，

…BE=BD，

ZDOB=ZEOB,NA=NC=LNBOE,

2

?：/E垂直于直徑CD于￡AO=EO,

:.NAOF=NCOF,AAFO=ACFO=90°,AF=EF=-AE=43,

2

?「ADOB=AAOF,

:AAOF=ZCOF=/BOE,

?/ZAOF+ACOF+ABOE=180°,

ZAOF=4cOF=/BOE=60°,

/.NZ=NC=30。，

/.OE--OA=-r,

22

在MZUO9中，

解得：r=2；

(3)由(2)可得，

60X7TX222

、...=---------------=一

在用AXES中，

N/=NC=30。，

BE=—AB=r=2OF=—OA=1

22

.-.SKOBE=S8ABE-S*OE=34ExBE一$4ExOF=$2忘2■92忘1=④，

'''S陰影=S扇形_SAOBE=.

【點睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、扇形的面積以及解直角三角形等，作出輔助線構(gòu)建直角三角

形和等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

【考向五切線的證明綜合應用】

例題：（2022?湖南株洲??？级＃┤鐖D，在菱形4BCD中，。是對角線8。上一點（2。＞。。），OE1AB,

垂足為E,以為半徑的。。分別交DC于點”，交的延長線于點尸，E尸與DC交于點G.

⑴求證：BC是。。的切線；

⑵若G是。尸的中點，0G=2,DG=1.

①求扇形的面積；

②求的長.

【答案】⑴見解析

Q1S

⑵①”②》

【分析】⑴過點。作（WLBC于點“，證明OM=OE即可；

（2）①先求出NG〃O=30。，再求出NEO"=60。，0H=4代入扇形面積公式即可;

②過A作/N13。，由ADOGsADAN,對應邊成比例求出AD的長.

【詳解】（1）解：證明：如圖，過點。作OM13C于點

QBD是菱形ABCD的對角線，

AABD=4CBD,

：OM1BC,OELAB,

OE=OM,

二?BC是。。的切線.

(2)①G是。尸的中點，OF=OH,

OG=-OH

2，

'：ABI/CD,OELAB,

OFVCD,

NOGH=90。,

sinZGHO=-

2，

:.ZGHO=30°,

"GOH=60°,即ZFOH=60°,

?：OG=2,

OH=4,

.??扇形OHF的面積=；

3603

②如圖，過A作NN1助于點N,

,：DG=1,0G=2,OE=OH=4,

：.OD=45,OB=OH=2A/5,BD=OB+OD=345,

,：AD=AB,AN1BD,

3=還，

2

,；NADB=乙ODH,ZAND=ADOH=90°,

△DOG-^DAN,

.OD_DG

"茄一麗’

V5_1

AD~35/5,

F

A