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第六章立體幾何初步
§6.2祖暅原理與柱體、錐體、球的體積北師大(2019版)?數(shù)學(xué)必修二情景導(dǎo)入祖暅原理:冪勢(shì)既同,則積不容異祖暅原理:冪勢(shì)既同,則積不容異水平截面面積高情景導(dǎo)入情景導(dǎo)入圖2圖1夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截,如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.新知探究:①柱體體積的計(jì)算公式hV長(zhǎng)方體=Sh由祖暅原理可知:等底面積S等高h(yuǎn)的任意兩個(gè)柱體的體積相等.圖3問(wèn)題1:設(shè)有底面積都等于S,高都等于h的柱體,使它們的下底面在同一平面內(nèi).你能得到什么結(jié)論?V柱體=Sh結(jié)論1:新知探究:②錐體體積的計(jì)算公式問(wèn)題2:設(shè)底面積都為S、高都等于h的兩個(gè)錐體,它們的底面在同一個(gè)平面內(nèi),它們的體積之間有怎樣的關(guān)系呢?為什么?圖4分析:當(dāng)錐體被平行于底面的平面所截時(shí),得到的截面與底面相似.由祖暅原理可知等底面積S、等高h(yuǎn)的兩個(gè)錐體,體積相等.ABCA1B1C1ABCA1B1C1CA1B1C1ABA1C圖5圖5(a)圖5(b)圖5(c)問(wèn)題3:三棱柱能否分割成三個(gè)體積相等的三棱錐?1.觀察圖5(a)與圖5(c):(1)(2)高為A1到平面ABC的距離2.觀察圖5(b)與圖5(c):(1)(2)高為點(diǎn)A1平面BCC1B1的距離新知探究:②錐體體積的計(jì)算公式等底面積S等高h(yuǎn)的任意兩個(gè)錐體的體積相等結(jié)論2:RRRR給出以下三種幾何模型,其高與底面半徑均為R:?jiǎn)栴}4:你能用它們來(lái)推導(dǎo)球的體積公式嗎?探究:先研究半徑為R的半球.為了應(yīng)用祖暅原理,需要找到一個(gè)能夠求體積的幾何體,使它和半球可夾在兩個(gè)平行平面之間,當(dāng)用平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面去截它們時(shí),截得的截面面積總相等.新知探究:③球體體積的計(jì)算公式步驟:1.拿出圓錐和圓柱2.將圓錐倒立放入圓柱新知探究:③球體體積的計(jì)算公式
注意:新知探究:③球體體積的計(jì)算公式幾何畫(huà)板演示
分析:
結(jié)論3:新知探究:③球體體積的計(jì)算公式典例分析[典例1]如圖,一個(gè)漏斗的上面部分是一個(gè)長(zhǎng)方體,下面部分是一個(gè)四棱錐,兩部分的高都是0.5m,公共面ABCD是邊長(zhǎng)為1m的正方形,那么這個(gè)漏斗的容積是多少立方米(精確到0.01m3)典例分析[典例1]如圖,一個(gè)漏斗的上面部分是一個(gè)長(zhǎng)方體,下面部分是一個(gè)四棱錐,兩部分的高都是0.5m,公共面ABCD是邊長(zhǎng)為1m的正方形,那么這個(gè)漏斗的容積是多少立方米(精確到0.01m3)典例分析[練習(xí)1]如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,過(guò)頂點(diǎn)B,D,A1截下一個(gè)三棱錐.(1)求剩余部分的體積;(2)求三棱錐A-A1BD的體積及高.典例分析[典例2]現(xiàn)有一個(gè)半徑為3cm的實(shí)心鐵球,將其高溫熔化后鑄成一個(gè)底面圓半徑為3cm的圓柱狀實(shí)心鐵器(不計(jì)損耗),則該圓柱鐵器的高為_(kāi)_______cm.典例分析[練習(xí)2]
(1)一圓柱形容器內(nèi)盛有高度為6cm的水,若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后,水恰好淹沒(méi)最上面的球(如圖所示),則球的半徑是______cm.(2)已知一圓錐的母線長(zhǎng)為10cm,底面圓半徑為6cm.①求圓錐的高;②若圓錐內(nèi)有一球,球與圓錐的底面及圓錐的所有母線都相切,求球的表面積.典例分析課堂小結(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié):思想總結(jié):(1)祖暅原理;(2)柱體與錐體的體積公式;(3)球的體積公式.化歸思想①借助“祖暅原理”,所有柱體的體積轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的體積;②柱體都可以分為
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