2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：整式與因式分解（解析版）

整式與因式分解

命題趨勢

g.

中考數(shù)學(xué)中，整式這個(gè)考點(diǎn)一般會考學(xué)生對整式化簡計(jì)算的應(yīng)用，偶爾考察整式的基本概念，對整式的

復(fù)習(xí)，重點(diǎn)是要理解并掌握整式的加減法則、乘除法則及事的運(yùn)算，難度一般不大。因式分解作為整式乘

法的逆運(yùn)算，在數(shù)學(xué)中考中占比不大，但是依然屬于必考題，常以簡單選擇、填空題的形式出現(xiàn)，而且一

般只考察因式分解的前兩步，拓展延伸部分基本不考，所以學(xué)生在復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，除了要扎實(shí)掌握好

基礎(chǔ)，更需要甄別好主次，合理安排復(fù)習(xí)方向。

心知識導(dǎo)圖

■.

多項(xiàng)式

多項(xiàng)式+單項(xiàng)式

t

3重點(diǎn)考向

一.

考向一、整式的加減；

考向二、哥的運(yùn)算

考向三、整式的乘除

考向四、因式分解

考向一：整式的加減

1.整式的概念及注意事項(xiàng):

名稱識別次數(shù)系數(shù)與項(xiàng)

單項(xiàng)式①數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的所有字母的系數(shù)：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)

整代數(shù)式；②單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母指數(shù)的和

式多項(xiàng)式幾個(gè)單項(xiàng)式的和次數(shù)最高項(xiàng)項(xiàng)：多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式

的次數(shù)

【易錯(cuò)警示】

＞由定義可知，單項(xiàng)式中只含有乘法運(yùn)算；分?jǐn)?shù)是一個(gè)完整的數(shù)，不拆開來算；

＞單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母也叫單項(xiàng)式；單獨(dú)的字母的系數(shù)為1,次數(shù)也是1

＞由定義可知，多項(xiàng)式中可以含有乘法——加法——減法運(yùn)算；

＞多項(xiàng)式有統(tǒng)一的次數(shù)，但是沒有統(tǒng)一的系數(shù)，多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)有自己的系數(shù);

「真例引砥

1.（2022秋?泉州期中）單項(xiàng)式-2irr3的系數(shù)和次數(shù)分別是（）

A.-2,4B.-2,3C.-2TT,3D.2ir,3

【分析】根據(jù)單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的概念解答.

【解答】解：單項(xiàng)式-2^的系數(shù)是-2TT,次數(shù)是3,

故選：C.

2.（2022秋?包河區(qū)期中）已知單項(xiàng)式2X3嚴(yán)與單項(xiàng)式-9xny2是同類項(xiàng)，貝U機(jī)-"的值為（）

A.-1B.7C.ID.11

【分析】根據(jù)同類項(xiàng)的定義可得機(jī)=2,n=3,再代人所求式子計(jì)算即可.

【解答】解：,?,已知單項(xiàng)式2X3嚴(yán)與單項(xiàng)式-9xV是同類項(xiàng)，

.二m=2,〃=3,

.,.m-n=2-3=-1.

故選:A.

3.（2022秋?隴縣期中）下列說法中，錯(cuò)誤的是（）

A.數(shù)字1也是單項(xiàng)式

B.單項(xiàng)式-5X3J的系數(shù)是-5

C.多項(xiàng)式-X3+2X-1的常數(shù)項(xiàng)是1

D.3馬2二到+2y3是四次三項(xiàng)式

2

【分析】由多項(xiàng)式的次數(shù)，項(xiàng)的概念；單項(xiàng)式的次數(shù)，系數(shù)的概念即可判斷.

【解答】解：/、數(shù)字1也是單項(xiàng)式，正確，故/不符合題意；

B、單項(xiàng)式-5X3）；的系數(shù)是-5,正確，故3不符合題意；

C、多項(xiàng)式-X3+2X-1的常數(shù)項(xiàng)是-1,故3符合題意；

D、3。21共2/是四次三項(xiàng)式，正確，故N不符合題意.

-2-

故選：C

4.（2022秋?高郵市期中）已知代數(shù)式3a-廬的值為3,則8-6a+2b2的值為.

【分析】將代數(shù)式適當(dāng)變形后，利用整體代入的方法解答即可.

【解答】解：；代數(shù)式3a-b2的值為3,

3a-b2=3,

原式=8-2{3）a-b2）

=8-2x3

=8-6

=2.

故答案為：2.

5.（2022秋?鄂州期中）若多項(xiàng)式a（a-1）x?+（a-1）x+2是關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，則a的值為（）

A.0B.1C.0或1D.不能確定

［分析］根據(jù)多項(xiàng)式為一次多項(xiàng)式得到二次項(xiàng)系數(shù)為0列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的

值.

【解答】解：根據(jù)題意得：a（a-1）=0,且a-1*0,

解得：a=0.

故選：A.

2.整式的加減

同類項(xiàng)所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同

整式合并同類項(xiàng)把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為結(jié)果的系數(shù)，

的加減字母及字母的指數(shù)不變

添（去）括號法則括號外是“+”，添（去）括號不變號；括號外是“-”,

添（去）括號都變號

【易錯(cuò)警示】

A所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)；

>“同類項(xiàng)口訣”—兩同兩無關(guān)，識別同類項(xiàng)；一相加二不變，合并同類項(xiàng)

「典例引輟

a--4-1」

1.（2022秋?黃石期中）下列計(jì)算正確的是（）

A.6a-5a=1B.a+2a2=3Q

C.-（6Z-Z?）=-a+bD.2（a+b）=2a+b

【分析】根據(jù)去括號法則和合并同類項(xiàng)法則計(jì)算即可求解.

【解答】解：46a-5a=a,即4項(xiàng)不合題意，

B.〃和2片不是同類項(xiàng)不能合并，即8項(xiàng)不合題意，

C.-（a-b）=-a+b,即C項(xiàng)符合題意，

D.2（a+b）=2a+2b,即。項(xiàng)不合題意，

故選：C.

2.（2022秋?老河口市期中）一個(gè)長方形的周長為6a+8b,其中一邊長為2Q-b,則與其相鄰的一邊長為

（）

A.a+5bB.a+bC.4Q+9bD.a+3b

［分析］根據(jù)一個(gè)長方形的周長為6。+86,其中一邊長為2a-b,可以得到與其相鄰的一邊長為（6a+Sb）

?2-（2a-6）,然后計(jì)算即可.

【解答】解：???一個(gè)長方形的周長為6a+8b,其中一邊長為2。-b,

???與其相鄰的一邊長為：（6a+Sb）?2-（2a-b）

=3a+4b-2a+b

=a+5b,

故選：A.

3.（2022秋?江都區(qū)期中）如圖，長方形45C。是由四塊小長方形拼成（四塊小長方形放置時(shí)既不重疊，也

沒有空隙）.其中②③兩塊小長方形的長均為即寬均為b,若BC=2,則①④兩塊長方形的周長之和為

2a+2bC.2。+2b+4D.16

【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和圖形，可以表示出長方形①和④的長、寬，然后根據(jù)長方形的周長=（長+

寬）X2,代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

【解答】解：由圖可得,

長方形①的長為2-a,寬為b,長方形④的長為2-b,寬為許

二.①④兩塊長方形的周長之和為：2[（2-〃）+0+2[（2-6）+0

=2(2"+26+2(2-b)+2〃

=4-2a+26+4-2b+2a

=8,

故選：A.

4.（2022秋?沈北新區(qū)期中）化簡：6x2-[4x2-（x2+5）]=.

【分析】先去括號，再合并同類項(xiàng)即可求解.

【解答】解：6X2-[4X2-（^+5）]

=6,-4X2+X2+5

=3X2+5.

故答案為：3f+5.

5.（2022秋?北孺區(qū)校級期中）若關(guān)于x的多項(xiàng)式3ax+7x3-6x2+x不含二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，貝人+6等于（）

A.--LB.-1C.3D.-3

33

【分析】不含二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，則其相應(yīng)的系數(shù)為0,據(jù)此可求解.

【解答】解：；多項(xiàng)式3辦+7--bx2+x不含二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，

3a+l=0,-b=0,

解得：a=--,b=0,

3

「?a+b="-.

3

故選：A.

6.（2022秋?揚(yáng)州期中）化簡:

(1)x2-3x-4X2+5X-6；

(2)3(2x2-xy)-(x2+xy-6).

【分析】(1)直接合并同類項(xiàng)；

(2)先去括號，再合并同類項(xiàng).

［解答］解：(1)原式=(1-4)x2+(-3+5)x-6

=-3X2+2X-6；

(2)原式=6x2-3xy-x2-xy+6

=5x2-4盯+6.

7.(2022秋?黔東南州期中)閱讀材料：“如果代數(shù)式5a+3b的值為-4,那么代數(shù)式2(〃+。)+4(2a+b)

的值是多少？”我們可以這樣來解：原式=2。+26+8。+4b=10。+66.把式子5q+3b=-4兩邊同乘以2.得

1Qa+6b=-8.

仿照上面的解題方法，完成下面的問題：

(1)已知=0,求。2+。+2022的值；

(2)已知a-b=-3.求3(Q-6)-a+b+5的值；

(3)已知a^+lab=-2,ab-b1=-4,求2a2+5ab-b1的值.

【分析】(1)直接將/+〃的值代入6/W2018中計(jì)算即可；

(2)把3(〃?b)-a+b+5變形為3(〃?b)?(a-b)+5,然后利用整體代人的思想計(jì)算；

(3)把2a2+5ab-b1變形為2(a2+2ab)+ab-"再代人求值即可.

【解答】解:(1)因?yàn)榇?。=0,所以修+〃+2018=0+2018=2018.

(2)因?yàn)?3,所以3(a-6)-a+b+5=3x(-3)-(-3)+5=-1.

(3)因?yàn)閏^+lab--2,ab-b1=-4,

所以2辦5訕-b2=Ic^Uab+ab-b2=2x(-2)+(-4)=-8.

考向二：塞的運(yùn)算

建?/=建+"(加/都是正整數(shù))

幕

(。葉=*(九〃都是正整數(shù))

的

(㈤"=4少(〃為正整數(shù))

運(yùn)

alan=am-\aw0,m,〃都是正整數(shù),且掰＞〃)

算a°=l(awO)=!(。w0,且夕是正整數(shù))

CP

典例行微

1.（2022秋?朝陽區(qū)校級期中）下列運(yùn)算正確的是（）

A.a3+a6=a9B.a6?a2=a12

C.（a3）2=a5D.a^cr+（a3）2=2a6

【分析】4應(yīng)用合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；

B.應(yīng)用同底數(shù)幕乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；

C.應(yīng)用幕的乘方法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；

D.應(yīng)用幕的乘方與積的乘方，合并同類項(xiàng)及同底數(shù)募乘法進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.

【解答】解：4因?yàn)?3與不不是同類項(xiàng)，故/選項(xiàng)計(jì)算不正確，故/選項(xiàng)不符合題意;

B.因?yàn)椴?/=心+2=/，故5選項(xiàng)計(jì)算不正確，故5選項(xiàng)不符合題意；

C.因?yàn)椋?3）2=°3,2=°6,故C選項(xiàng)計(jì)算不正確，故C選項(xiàng)不符合題意；

D因?yàn)閍4-a2+（a3）2=a6+a6=2a6,故。選項(xiàng)計(jì)算正確，故D選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

2.（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）計(jì)算（-3）2021.（一2）2022的結(jié)果是（）

23

A.J.B,J.C.（總）2022D.（工產(chǎn)22

23、2，、3，

［分析］根據(jù)幕的乘方運(yùn)算以及積的乘方運(yùn)算即可求出答案.

【解答】解：原式=［（-2）X（-2）］2021x（-2）

233

=12021x（-2）

3

=----2，

3

故選：B.

3.（2022秋?閔行區(qū)校級期中）已知j=2,a2n=3,求產(chǎn)叨=.

［分析】直接利用同底數(shù)幕的乘法運(yùn)算法則，進(jìn)而計(jì)算得出答案.

【解答】解：a2n=3,

am+2n=a"、/=2x3=6.

故答案為：6.

4.(2022秋?永春縣期中)若產(chǎn)=2,a"=3,aP=5,貝［於+〃？=.

【分析】直接利用同底數(shù)幕的乘除運(yùn)算法則、塞的乘方運(yùn)算法則將原式變形，進(jìn)而計(jì)算得出答案.

【解答】解：.?"'=2,a"=3,成=5,

?^m+n'p

??ci

=amxan^aP

=2x3+5

=6+5

=6_

故答案為：旦

5

5.(2022秋?朝陽區(qū)校級期中)(1)計(jì)算：(a4)W-a4;

(2)計(jì)算：［(尤+y)m+n］2;

(3)已知2x+3y-2=0,求必?27》的值.

【分析】(1)應(yīng)用幕的乘方與積的乘方及同底數(shù)幕乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；

(2)應(yīng)用塞的乘方法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；

(3)應(yīng)用幕的乘法法則可得(32)%(33)匕即可得出嗎再由已知可得2x+3y=2,代入計(jì)算即可

得出答案.

【解答】解:⑴原式=/3+產(chǎn)4

=an+an

=2a12；

(2)原式=(x+y)2%+M；

(3)9%.27-v=(32)%(33)》=32T?33J'=32什3匕

由2x+3y-2=0,

可得2x+3y=2,

原式=32=9.

6.(2022秋?浦東新區(qū)期中)閱讀下列材料：一般地，〃個(gè)相同的因數(shù)。相乘aw…，記為a".如2x2x2

3

=2=8,此時(shí)，3叫做以2為底8的對數(shù)，記為log28(EPlog28=3).

一般地，若a"=6(a>0且。聲1,b>0),則〃叫做以。為底6的對數(shù)，記為logab(即log°6=w).如

34=81,則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為log381(即log381=4).

(1)計(jì)算以下各對數(shù)的值：log24=,log216=,log264=.

(2)寫出(1)log24、log216、log264之間滿足的關(guān)系式.

(3)由(2)的結(jié)果，請你能歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論：logMlogaN=(〃>0且"1,M>

0,N>0\

(4)設(shè)Q〃=N,am=M,請根據(jù)哥的運(yùn)算法則以及對數(shù)的定義說明上述結(jié)論的正確性.

【分析】(1)根據(jù)對數(shù)的定義求解；

(2)認(rèn)真觀察，即可找到規(guī)律：4x16=64,Iog24+log216=log?64；

(3)由特殊到一般，得出結(jié)論：logMlogaN=log。(MN)；

(4)設(shè)logaAf=6i,logJV=/?2,根據(jù)毒的運(yùn)算法則：…心和給出的材料證明結(jié)論.

【解答】解:(l)log24=2,log216=4,log264=6,

故答案為：2,4,6；

(2)/4x16=64,log24=2,log216=4,log?64=6,

/.Iog24+log216=log264,

故答案為：Iog24+log216=log264；

(3)logaM+logaN=logfl〈MN),

故答案為：log。(MN);

(4)證明:設(shè)logflM=bl,logaN=》2,

則盧=監(jiān)a"=N,

aa

...bl+Z)2=loga(MN),

logJV/+logJV=log?(MN).

考向三：整式的乘除

單項(xiàng)式乘(除以)單項(xiàng)式，把它們的系數(shù)、同底數(shù)得分別相乘(除)；

單項(xiàng)式乘(除以)對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母(只在被除式里含有的字母)，

單項(xiàng)式則連同它的指數(shù)不變，作為積(商)的因式

單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式m(a+b+c)=ma+mb+mc

多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式(m+n)(a4-b)=ma+mb+na+nb

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式(am+b)^m=a+b/m

乘法公式平方差公式：(〃+b)(a-b)=a*1-b2

完全平方公式ia±b)2=a2±2ab+b2

方飲技巧

>乘法公式里的字母可以是一個(gè)單項(xiàng)式，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式;

>兩個(gè)乘法公式可以從左到右應(yīng)用，也可以從右到左應(yīng)用；

--.—-----J-i-

典的引頷

/一_?1」

1.(2022春?南海區(qū)校級月考)下列各式中，計(jì)算正確的是()

A.2a2?3a3*=5a6B.-3a2(-2。)=-6a3

C.2a3.5次=10/D.(-°)2.(-°)3=°5

【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的乘法法則、同底數(shù)幕的乘法法則解決此題.

【解答】解：4根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的乘法法則，2/.3°3=605,那么/錯(cuò)誤，故/不符合題意.

B.根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的乘法法則，-3/.(-2a)=6a\那么3錯(cuò)誤，故8不符合題意.

C根據(jù)整式的混合運(yùn)算，2a3.5/=10.5,那么。正確，故。符合題意.

D.根據(jù)同底數(shù)哥的乘法法則，(-a)2.(-。)3=(一。)5=一。5,那么。正確，故。不符合題意.

故選：C.

2.(2022秋.陽信縣期中)下列計(jì)算中，能用平方差公式計(jì)算的是()

A.(x-2)(2-x)B.(-1-3x)(l+3x)C.(后+bHa2-b)D.(3x+2)(2x-3)

【分析】利用平方差公式的特點(diǎn)，完全平方公式的特點(diǎn)對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得出答案.

【解答】解：6-2)(27)=-￡-2)2,故選項(xiàng)/不符合題意；

(-1-3x)(l+3x)=-(l+3x)2,選項(xiàng)B不符合題意；

(a2+b)(a2-)=(a2)2-A2,選項(xiàng)C符合題意；

(3x+2)(2x-3)可利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘法計(jì)算，選項(xiàng)D不符合題意；

故選：c.

3.(2022秋?鐵西區(qū)校級月考)若(x+3)(2x-m)=2x2+nx-15,則()

A.m=-5,n=1B.m=-5,n=-1C.m=5,n=1D.m=5,n=-1

【分析】利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行運(yùn)算，從而可求解.

［解答］解：,/(x+3)(2x-m)=2x2+nx-15,

.e.2X2+(6-m)x-3m=Ix1+nx-15,

.*.6-m=n,-3m=-15,

解得：m=5,n=\,

故選：C.

4.(2022秋?思明區(qū)校級期中)設(shè)〃=(x-l)(x-2),N=(2x-3)(x-2),則/與N的大小關(guān)系為

()

A.MNB.M^NC.M=ND.MSN

［分析］根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則化簡M-N,然后與0進(jìn)行大小比較.

【解答】解：M-N=(x-l)(x-2)-(2x-3)(x-2)

=x2-3x+2-(2x2-7x+6)

=x2-3x+2-2X2+7X-6

=-X2+4X-4

=-(x2-4x+4)

=-(x-2)2^0,

:.MSN

故選：D.

5.(2022?雁塔區(qū)校級開學(xué))如圖，一塊矩形土地的面積是7+5盯+6產(chǎn)(%>0,>>0),長為x+3y,則寬是()

C.x-2yD.x+2y

【分析】將f+5刈+6產(chǎn)進(jìn)行因式分解便可得出結(jié)果.

【解答】解：x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y),

又,.,一*塊矩形土地的面積是f+5中+6y2(x>0,y>o),長為x+3y,

「?寬為x+2y,

故選：D.

6.(2022秋?東城區(qū)校級期中)若(s?/)2=4,(s+f)2=16,則st=3.

【分析】根據(jù)(si)2=4,(s+f)2=16,由完全平方公式得s2-2s什/2=4①，s2+2s什於=16②，所以②

-①得4s￡=12,所以st=3.

【解答】解：???(ST)2=4,(s+f)2=16,

**.52-2st+t2=4①,s1+2st+t^=16②,

.?.②-①得44=12,

-,.st=3.

故答案為：3.

7.(2022秋?陽信縣期中)(1)先化簡，再求值：x(x-4y)+(2x+y)(2x-y)-(2x-y)2,其中x=-2,

y=-1.

(2)利用乘法公式簡算：20212-2020x2022.

【分析】(1)根據(jù)平方差公式、完全平方公式、合并同類項(xiàng)法則化簡，把X、V的值代入計(jì)算即可；

(2)把2020x2022化為(2021-1)x(2021+1),再根據(jù)平方差公式計(jì)算，得到答案.

［解答］解：(1)原式=，-4xy+4x2-/-4x2+4xy-/

=x2-2y2,

當(dāng)工=-2,y=-1時(shí)，原式=4-2=2；

(2)20212-2020x2022

=202了-(2021-1)x(2021+1)

=202F.(20212-1)

=20212-20212+1

=1.

8.(2022秋?西湖區(qū)校級期中)如圖，有三張正方形紙片B,C,它們的邊長分別為a,b,c,將三張紙

片按圖1,圖2兩種不同方式放置于同一長方形中，記圖1中陰影部分周長為/1,圖2中陰影部分周長

為h.

(1)若a=7,b=5,c=3,則長方形的周長為48；

(2)若6=7,c=4,

①求/i-/2的值;

②記圖1中陰影部分面積為Si,圖2中陰影部分面積為S2,求S2-S1的值.

AB

C

圖1圖2

【分析】(1)根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，先求大長方形的長為a+b+c,寬為a+b-c,即可求出周長;

(2)根據(jù)圖形，表示出S2,Si,Zi,Z2,再計(jì)算/1-/2,S2?Si即可求解.

【解答】解：(1)由圖1知，大長方形的長為a+6+c,

由圖2知，大長方形的寬為a+b-c,

長方形的周長為2(a+b+c+a+b-c)=4a+46,

當(dāng)a=7,b=5時(shí)，

4a+4b=28+20=48,

故答案為：48.

(2)①,//i=2(a+b+c)+2(a+b-c-c)=4a+4b-2c,

,2=2(a+b+c-6)+2(a+b-c)=4a+2b,

.??當(dāng)6=7,c=4時(shí)，

h-11=(4。+4b-2c)-(4a+2b)=2/?-2c=14-8=6；

②:Si=d(a+b+c)-a2-b2-c2,

Si=d{a+b+c)-a2-b2+bc,

S2-Si=bc+c2=28-16=12.

考向四：因式分解

公因式多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同因式

基本

因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式

概念

因式分解

“一提”am+bm+cm=m(a+6+c)

【即：提取公因式】

般“二套”

平方差公式：(〃+6)(4-b)=a2-b2

步【即：套用乘法公式】

完全平方公式(a±b)2=a2±lab+b2

驟

“三分組”基本不考，如果考，多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)一般在四個(gè)及以上

【即：分組分解因式】

“二次三項(xiàng)想十字”

X2+(2+q)x+p?q=(x+p)(x+q)

【即：十字相乘法】

方依技巧

>由定義可知，因式分解與整式乘法互為逆運(yùn)算；

>公因式是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)與相同字母的最低次嘉的積；單獨(dú)的公因數(shù)也是公因

式；

>將多項(xiàng)式除以它的公因式從而得到多項(xiàng)式的另一個(gè)因式；

>乘法公式里的字母，可以是單獨(dú)的數(shù)字，也可以是一個(gè)單項(xiàng)式或者多項(xiàng)式；

>分解因式必須分解徹底，即分解到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止；

典例引頷

、_A，-一1____________

1.(2022春?三水區(qū)校級期中)若二次三項(xiàng)式-8可分解為(x-4)(x+2),則加的值為()

A.1B.-1C.-2D.2

(分析］根據(jù)題意得到x2+mx-8=(x-4)(x+2),再根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘法法則化簡，進(jìn)而求得m.

［解答］解:由題意得，/+加％-8=(%-4)(x+2).

^-x2+mx-8=x2-2x-8.

m=-2.

故選：C.

2.(2022秋?張店區(qū)期中)將幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，

可以得到一個(gè)等式，例如，由圖1可得等式：x2+(p+q)x+pq=(x+pHx+ql將圖2所示的卡片若干

張進(jìn)行拼圖，可以將二次三項(xiàng)式『+3仍+2接分解因式為()

C.(a+b)(a+2b)D.(a+b)(a+3b)

【分析】畫出圖形，根據(jù)圖形因式分解即可.

[解答]解:a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b),

故選：C

3.(2022秋?南安市期中)已知a=2020x+2020,b=2020x+2021,c=2020x+2022,則a2+b2+c2-ab-ac-

be的值是()

A.0B.1C.2D.3

【分析】由a,b,c的值，求出a-b,a-c,b-c的值，原式利用完全平方公式變形后代人計(jì)算即可求

解.

【解答】解：-.-a=2020x+2020,b=2020x+2021,c=2020x+2022,

：?a?b=-1,a-c=-2,b-c=-1,

則原式=/(2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc)

=(a2-2ab+b2)+(a2-2ac+c2)+房-2bc+c-)]

=[(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2],

=yX(1+4+1)=3'

故選：D.

4.(2022春?順德區(qū)校級月考)三角形三邊長分別是〃，b,c,且滿足/-廬+〃。-慶=0,則這個(gè)三角形是

()

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.形狀不確定

【分析】先分解因式，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷，得出結(jié)論.

【解答】解：.?.三角形三邊長分別是。，b,c,

a+b+c>0,

a2-b2+ac-be=

(a+b)(a-b)+(〃-6)c

=(〃-b)(a+b+c)

=0,

a-Z)=0,

a-b,

??.這個(gè)三角形是等腰三角形，

故選：A,

22

5.(2022秋?長寧區(qū)校級期中)因式分解：lm-m+l=l(m-2).

44

【分析】先提取公因式工，再利用完全平方公式分解因式即可.

4

［解答］解：原式=—(m2-4m+4)

4

=—(m-2)2.

4

故答案為：1(m-2)2.

4

6.(2022秋?肇源縣期中)因式分解：

(1)15a3+10a2；

(2)-3ax2-6axy+3ay~.

【分析】(1)直接提公因式5a2即可；

(2)直接提公因式-3a,即可因式分解.

［解答］解：(1)15a3+10a2=5a2(3a+2)；

(2)-3ax2-Gaxy+3ay1

=-3a(x2+2xy-y2).

7.(2022秋?巴南區(qū)校級期中)對于一個(gè)三位數(shù)，若其各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為0且互不相等，并滿足十位

數(shù)字最大，個(gè)位數(shù)字最小，且以各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字為三邊可以構(gòu)成三角形，則稱這樣的三位數(shù)為“三角

數(shù)”.將“三角數(shù)”加任意兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字取出組成兩位數(shù)，則一共可以得到6個(gè)兩位數(shù)，其中十位數(shù)

字大于個(gè)位數(shù)字的兩位數(shù)叫“全數(shù)”，十位數(shù)字小于個(gè)位數(shù)字的兩位數(shù)叫“善數(shù)”，將所有“全數(shù)”的和

記為0(加),所有“善數(shù)”的和記為S(m),例如：0(562)=62+52+65=179,5(562)=26+25+56

=107；

(I)判斷：342是(填“是”或“不是”)“三角數(shù)”，572不是(填“是”或“不是”)"三角

數(shù)”，若是，請分別求出其“全數(shù)”和“善數(shù)”之和.

(2)若一個(gè)正整數(shù)a是另一個(gè)正整數(shù)b的平方，則稱正整數(shù)a是完全平方數(shù).若“三角數(shù)”〃滿足。(")

-S(")和Q(n)+S(n)都是完全平方數(shù),請求出所有滿足條件的

11

【分析】(1)根據(jù)定義進(jìn)行判斷即可；

(2)設(shè)三角形形數(shù)〃的百位上數(shù)字是x,十位上數(shù)字是y,個(gè)位上數(shù)字是z,根據(jù)定義求出0(“)-S

(n)=18(y-z),。(11)=2(x+j+z),再由題意可得y-z=2或y-z=8,x+y+z=8或x+y+z

=18,分類討論即可確定x、y、z的值.

【解答】解：(1)???342中各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字為三邊能構(gòu)成三角形，

??.342是“三角數(shù)”，

:.Q(m)=32+42+43=117,S(342)=34+23+24=81,

:以5,7,2為三邊不能構(gòu)成三角形，

??.572不是“三角數(shù)”，

故答案為：是，不是；

(2)設(shè)三角形形數(shù)〃的百位上數(shù)字是x,十位上數(shù)字是y,個(gè)位上數(shù)字是z,

?-Q(H)=10x+z+lQy+z+lQy+x=1lx+2Qy+2z,Q(S)=1Ox+y+1Oz+x+1Oz+y=1lx+20z+2y,

-S(〃)=18y-18z=18(y-z),Q⑹：⑴=?(x+y+z),

：Q(〃)-S(〃)是完全平方數(shù)，

■■y-z=2或y-z=8,

Q(n)+S(n).是完全平方數(shù),

11

*e.x+y+z=8或x+y+z=18,

x+2z=6或x+2z=10

當(dāng)z=l時(shí)，x=8,y=9,

n=891；

當(dāng)z=5時(shí)，x=6,y=l,

n=675；

綜上所述：〃的值為675或891.

在跟跳訓(xùn)練

1.(2022?攀枝花)下列各式不是單項(xiàng)式的為()

［分析】根據(jù)單項(xiàng)式的概念判斷即可.

【解答】解：/、3是單項(xiàng)式，故本選項(xiàng)不符合題意;

B、。是單項(xiàng)式，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、且不是單項(xiàng)式，故本選項(xiàng)符合題意；

a

D、工2'是單項(xiàng)式，故本選項(xiàng)不符合題意；

2

故選：C.

2.（2022?巴中）下列運(yùn)算正確的是（）

A.J（-2）2=-2B.（A-）-1=-A

八乙）33

C.（Q2）3=Q6D./：〃4=〃2（〃工0）

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根及負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、幕的乘方、同底數(shù)塞的除法依次計(jì)算判斷即可.

【解答】解：/、7（-2）2=2'選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、（?1廠1=3,選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C、（/）3=小，選項(xiàng)正確，符合題意；

D、5°4=a4（“0）,選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C.

3.（2022?淄博）計(jì)算（-2a3b）2-3a6b2的結(jié)果是（）

A.-7a6b2B.-Sa^b2C.a6b2D.la6b2

【分析】先根據(jù)積的乘方法則計(jì)算，再合并同類項(xiàng).

【解答】解：原式=4°6廬_3a6廬=法62,

C.（a+ba-b"）=a2-b2D.（ab）2=/廬

【分析】左邊大正方形的邊長為（）,面積為（。+6）2,由邊長為。的正方形，2個(gè)長為。寬為6的

長方形，邊長為6的正方形組成，根據(jù)面積相等即可得出答案.

【解答】解：根據(jù)題意，大正方形的邊長為。+兒面積為（a+b）2,

由邊長為a的正方形，2個(gè)長為。寬為6的長方形，邊長為6的正方形組成，

所以(a+b)2=a2+2ab+b2.

故選：A.

5.(2022?濟(jì)寧)下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是()

A.x2-x-1=x(x-1)-1B.x2-1=(x-1)2

C.x~-x-6=(x-3)(x+2)D.x(x-l)=x2-x

［分析］根據(jù)因式分解的定義判斷即可.

【解答】解：N選項(xiàng)不是因式分解，故不符合題意；

8選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，故不符合題意；

C選項(xiàng)是因式分解，故符合題意；

。選項(xiàng)不是因式分解，故不符合題意；

故選：C.

6.(2022?河池)多項(xiàng)式x2-4x+4因式分解的結(jié)果是()

A.x(x-4)+4B.(x+2)(x-2)C.(x+2)2D.(x-2)2

［分析】原式利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：原式=(“2)2.

故選：D.

7.(2022?臺灣)多項(xiàng)式39X2+5X-14可因式分解成(3x+a)(bx+c)，其中a、6、c均為整數(shù)，求a+2c之值

為何？()

A.-12B.-3C.3D.12

［分析］根據(jù)十字相乘法可以將多項(xiàng)式39/+5x-14分解因式，然后再根據(jù)多項(xiàng)式39/+5x-14可因式

分解成(3x+a)(bx+c),即可得到a、b、c的值，然后計(jì)算出a+2c的值即可.

［解答］解：丫39X2+5X-14=(3x+2)(13x-7),多項(xiàng)式39x2+5x-14可因式分解成(3x+a)(bx+c),

b=13,c=-7,

a+2c

=2+2x(-7)

=2+(-14)

=-12,

故選：A.

8.(2022?廣州)分解因式：3〃2-21ab=3a(a-7b).

【分析】直接提取公因式3a,進(jìn)而分解因式得出答案.

［解答］解：3a2-2\ab=3a(a-7b).

故答案為：3a(a-7b).

9.(2022?宜賓)分解因式：x3-4x=x(x+2)(x-2).

【分析】應(yīng)先提取公因式》,再對余下的多項(xiàng)式利用平方差公式繼續(xù)分解.

【解答】解：x3-4x,

=x(x2-4),

=x(x+2)(x-2).

故答案為：x(x+2)(x-2).

10.(2022?巴中)因式分解：-。3+2。2-a=式?1)2.

［分析］先提公因式-明再用完全平方式分解因式即可.

［解答］解：原式=-a(a2-2a+1)

=-a(a-l)2.

故答案為：-6Z(6Z-1)2.

11.(2022?益陽)已知m,n同時(shí)滿足2加+〃=3與2加-〃=1,貝［J4m2-n2的值是3.

(分析】觀察已知和所求可知，4加2?層=(2m+n)(2加-〃)，將代數(shù)式的值代人即可得出結(jié)論.

［解答］解：2m+n=3,2m-n=1,

4m2-n2=(2m+n)(2加-〃)=3x1=3.

故答案為：3.

12.(2022?大慶)已知代數(shù)式/+(2/-1)ab+4b2是一個(gè)完全平方式，則實(shí)數(shù)t的值為5或-3..

-2—2―

【分析】根據(jù)完全平方公式『±2°6+廿=(。±6)2,可得(2f-l)ab=±(2x2)ab,計(jì)算即可得出

答案.

【解答】解：根據(jù)題意可得，

(2/-1)。6=±(2x2)ab,

即2/-1=±4,

解得：t=t=

22

故答案為：立或-3.

22

13.(2022?鹽城)先化簡,再求值：(x+4)(x-4)+(x-3)2,其中x2-3x+l=0.

【分析】根據(jù)平方差公式、完全平方公式、合并同類項(xiàng)法則把原式化簡，整體代入即可.

［解答］解：原式=X2-16+/-6X+9

=2：-6x-7,

'.'x2-3x+l=0,

■'-x~-3x=-1,

2/-6x=-2,

.?.原式=-2-7=-9.

14.(2022?六盤水)如圖，學(xué)校勞動實(shí)踐基地有兩塊邊長分別為a,b的正方形秧田4B,其中不能使用的

面積為M.

(1)用含a,M的代數(shù)式表示/中能使用的面積a?-M；

(2)若.+6=10,”6=5,求/比8多出的使用面積.

【分析】(1)根據(jù)面積之間的關(guān)系，從邊長為a的正方形面積中，減去不能使用的面積M即可;

(2)用代數(shù)式表示/比8多出的使用面積，再利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：(1)4中能使用的面積=大正方形的面積-不能使用的面積，

即cr-M,

故答案為：a2-M；

(2)/比8多出的使用面積為：(/-“).(b2-M)

=a2-b2

=(a+b)(a-b)

=10x5

=50,

答：A比3多出的使用面積為50.

15.(2022?常州)第十四屆國際數(shù)學(xué)教育大會(/CME-14)會徽的主題圖案有著豐富的數(shù)學(xué)元素，展現(xiàn)了

我國古代數(shù)學(xué)的文化魅力，其右下方的“卦”是用我國古代的計(jì)數(shù)符號寫出的八進(jìn)制數(shù)3745.八進(jìn)制是

以8作為進(jìn)位基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)，有0~7共8個(gè)基本數(shù)字.八進(jìn)制數(shù)3745換算成十進(jìn)制數(shù)是3x83+7x

82+4x81+5x8°=2021,表示ICME-14的舉辦年份.

(1)八進(jìn)制數(shù)3746換算成十進(jìn)制數(shù)是2022；

（2）小華設(shè)計(jì)了一個(gè)〃進(jìn)制數(shù)143,換算成十進(jìn)制數(shù)是120,求〃的值.

【分析】（1）根據(jù)已知，從個(gè)位數(shù)字起，將八進(jìn)制的每一位數(shù)分別乘以8°,81,82,83,再把所得結(jié)果

相加即可得解；

（2）根據(jù)〃進(jìn)制數(shù)和十進(jìn)制數(shù)的計(jì)算方法得到關(guān)于n的方程，解方程即可求解.

［解答］解：（1）3746=3x83+7x82+4x”+6x8°

=1536+448+32+6

=2022.

故八進(jìn)制數(shù)字3746換算成十進(jìn)制是2022.

故答案為:2022；

1

（2）依題意有：/+4xn+3xn°=120,

解得〃1=9,“2=-13（舍去）.

故n的值是9.

t

0真題過關(guān)

1.（2022?徐州）下列計(jì)算正確的是（）

A.Q2.Q6=/B.Q*9=〃2

C.2Q2+3〃2=6Q4D.(-3q)2=-9Q2

【分析】利用同底數(shù)幕的乘法，同底數(shù)塞的除法，合并同類項(xiàng)法則和幕的乘方與積的乘方的法則對每個(gè)

選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論.

［解答］解：:a2*a6=a2+6=以8,

???4選項(xiàng)的結(jié)論符合題意；

?'a匕〃4=/4~4,

???呂選項(xiàng)的結(jié)論不符合題意;

*.*2〃2+3。2=5tz2,

??.C選項(xiàng)的結(jié)論不符合題意;

(-3a)2=9a2,

-D選項(xiàng)的結(jié)論不符合題意，

故選：A.

2.(2022?黔西南州)計(jì)算(-3x)2"x正確的是()

A.6x3B.12x3C.18x3D.-12x3

【分析】先算積的乘方，再算單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式即可.

【解答】解：(-3x)2-2X

=9/?2x

=18x3.

故選：C.

3.(2022?荊門)對于任意實(shí)數(shù)a,b,a3+b3=(a+bUa2-ab+b2)恒成立，則下列關(guān)系式正確的是()

A..3_〃=(.-』)(cr+ab+b1)

B.a3-b3=(a+bUa2+ab+b2)

C.cP3=(°_/))(f-ab+b2)

D.a3-b3=(a+b)(cr+ab-b2)

[分析】把所給公式中的6換成-6,進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答]解："+廬=(a+b)(a2-ab+b2),

：.a3-b3

=a