湖南省長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)長(zhǎng)沙大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024年下學(xué)期長(zhǎng)大附中高二入學(xué)考試數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)考試范圍：必修部分；考試時(shí)間：120分鐘，滿(mǎn)分120分.注意事項(xiàng)：1．答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上一、單選題（共40分）1.命題：的否定是（）A.使得B.使得C.都有D.都有【答案】B【解析】【分析】利用全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題寫(xiě)出結(jié)果即可。【詳解】命題：的否定是使得.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查全稱(chēng)命題的否定，是基礎(chǔ)題。2.若：，：，則是的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】解出命題為真時(shí)對(duì)應(yīng)的范圍，結(jié)合充分、必要性定義分析即可得答案.【詳解】由，得，即，由，得，即，所以是的既不充分也不必要條件，故選：D3.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用偶次根式被開(kāi)方數(shù)非負(fù)，求得的定義域.【詳解】解：解得即函數(shù)的定義域?yàn)楣蔬x：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域的求法，注意偶次根式的含義和定義域含義，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4.已知函數(shù)，且函數(shù)的最小正周期為，則下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法，①；②點(diǎn)是的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心；③直線(xiàn)是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸；④函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.其中正確的（）A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④【答案】D【解析】【分析】由題得，所以，所以①正確；函數(shù)沒(méi)有對(duì)稱(chēng)中心，對(duì)稱(chēng)軸方程為，故②不正確，③正確；令，得單調(diào)遞增區(qū)間是，故④正確.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，所以①正確；函數(shù)沒(méi)有對(duì)稱(chēng)中心，且對(duì)稱(chēng)軸方程為，所以當(dāng)k=1時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸方程為，故②不正確，③正確；令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，故④正確.故選：D5.已知實(shí)數(shù)，，，則，，這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷大小.【詳解】由于，即，由，即，由，即，故.故選：C6.在直三棱柱中，底面是以B為直角的等腰三角形，且，.若點(diǎn)D為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M為面的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.6 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用直三棱柱、等腰直角三角形的性質(zhì)易證面，由面面垂直的判定有面面，進(jìn)而可確定關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E的位置，則有，應(yīng)用勾股定理即可求的最小值.【詳解】由題意知，，為直三棱柱，即面面，面面，面，∴面，又面，∴面面.∴易得關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E落在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，即，如下圖所示，的最小時(shí)，、、三點(diǎn)共線(xiàn).∴.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用面面垂直確定關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)點(diǎn)位置，根據(jù)知當(dāng)、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)的最小.7.已知中，設(shè)角、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，的面積為，若，則的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)正弦定理將等式中的角轉(zhuǎn)化成邊得：，通過(guò)余弦定理可將等式化簡(jiǎn)整理為，通過(guò)三角函數(shù)圖像可知，同時(shí)通過(guò)基本不等式可知，即得，通過(guò)取等條件可知，，將其代入問(wèn)題中即可求解答案.【詳解】已知由正弦定理可知：，，整理得：，兩邊同除得：，根據(jù)余弦定理得：，即，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.綜上所述：且，故得：，此時(shí)且，，.故選：B8.已知銳角三角形中，角所對(duì)的邊分別為的面積為，且，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)面積公式，余弦定理和題干條件得到，結(jié)合正弦定理得到，由為銳角三角形，求出，從而求出，求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，整理得：，因?yàn)椋?，由正弦定理得：，因?yàn)?，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以為銳角，所以，即，由，解得：，因?yàn)?，所以，解得：，故選：A【點(diǎn)睛】三角形相關(guān)的邊的取值范圍問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為角，利用三角函數(shù)恒等變換及三角函數(shù)的值域等求出邊的取值范圍，或利用基本不等式進(jìn)行求解.二、多選題（共18分）9.已知平面向量，，則下列說(shuō)法正確的是（）AB.在方向上的投影向量為C.與垂直的單位向量的坐標(biāo)為D.若向量與向量共線(xiàn)，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求，，對(duì)于A：根據(jù)向量的夾角公式運(yùn)算求解；對(duì)于B：根據(jù)投影向量的定義分析運(yùn)算；對(duì)于C：根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解；對(duì)于D：根據(jù)向量共線(xiàn)的判定定理分析運(yùn)算.【詳解】由題意知，，對(duì)于選項(xiàng)A：，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：在方向上的投影向量為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)與垂直的單位向量的坐標(biāo)為，可得，解得或，所以與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)橄蛄颗c向量共線(xiàn)，所以若存在，使得，則，解得，故D正確．故選：AD.10.已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有1個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值可以為（）A.-2 B.3 C.5 D.8【答案】CD【解析】【分析】由解析式可作出圖象，將所求不等式變?yōu)?，分別在、和三種情況下得到不等式的解，通過(guò)圖象觀察可確定1個(gè)整數(shù)解的值，由此確定臨界狀態(tài)得到取值范圍.【詳解】由解析式可得圖象如下圖所示，由得：，當(dāng)時(shí)，，不等式無(wú)解；當(dāng)時(shí)，由得：，若不等式恰有1個(gè)整數(shù)解，則整數(shù)解為，又，，，所以；當(dāng)時(shí)，由得：，此時(shí)有多個(gè)解，故舍去；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：CD.11.對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù),若同時(shí)滿(mǎn)足下列條件:①在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;②存在區(qū)間,使在上的值域?yàn)?那么把稱(chēng)為閉函數(shù).下列結(jié)論正確的是A.函數(shù)是閉函數(shù)B.函數(shù)是閉函數(shù)C.函數(shù)是閉函數(shù)D.時(shí),函數(shù)是閉函數(shù)E.時(shí),函數(shù)是閉函數(shù)【答案】BD【解析】【分析】依次判斷每個(gè)選項(xiàng)：根據(jù)單調(diào)性排除；在上的值域?yàn)锽正確；根據(jù)閉函數(shù)定義得到，故D正確，E錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】因?yàn)樵诙x域上不是單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)不是閉函數(shù)，A錯(cuò)誤；在定義域上是減函數(shù)，由題意設(shè)，則，解得因此存在區(qū)間，使在上的值域?yàn)?，B正確；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在定義域上不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)，C錯(cuò)誤；若是閉函數(shù)，則存在區(qū)間，使函數(shù)的值域?yàn)?，即，所以a，b為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根.當(dāng)時(shí)，有，解得；當(dāng)時(shí)，有，此不等式組無(wú)解.綜上所述，，因此D正確，E錯(cuò)誤；故選：BD【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的新定義，單調(diào)性和值域，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用.三、填空題（共15分）12.若函數(shù)具有性質(zhì)：①為偶函數(shù)，②對(duì)任意，都有，則函數(shù)的解析式是_____________．（只需寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一個(gè)解析式即可）【答案】，，，（答案不唯一）【解析】【分析】若函數(shù)具有性質(zhì)：①為偶函數(shù)，說(shuō)明②對(duì)任意，都有，說(shuō)明，是周期函數(shù).【詳解】若函數(shù)具有性質(zhì)：①為偶函數(shù)，說(shuō)明②對(duì)任意，都有，說(shuō)明，是周期函數(shù).所以，或或，故答案為：，，，（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題主要考查了抽象函數(shù)的周期性、對(duì)稱(chēng)性、以及奇偶性，屬于開(kāi)放性題，屬于中檔題.13.若正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】9【解析】【分析】首先將化為，再利用基本不等式進(jìn)行求解.【詳解】由得，又因，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為9．故答案為：9.14.已知三棱錐外接球直徑為SC，球表面積為，且，則三棱錐的體積為_(kāi)_____.【答案】##【解析】【分析】求出外接球半徑，得到，，作出輔助線(xiàn)，求出⊥平面，由勾股定理求出各邊長(zhǎng)，由余弦定理得到，進(jìn)而得到，求出，利用錐體體積公式求出答案.【詳解】設(shè)外接球半徑為，則，解得，故，由于均在球面上，故，由勾股定理得，取的中點(diǎn)，連接，則⊥，⊥，，又，平面，故⊥平面，其中，由勾股定理得，在中，由余弦定理得，故，故，故三棱錐的體積為故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：取的中點(diǎn)，連接，證明出⊥平面，從而利用求出三棱錐的體積.四、解答題（共77分）15.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱(chēng)軸；（2）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿(mǎn)足，，且的面積為，求的值.【答案】（1）最小正周期為，對(duì)稱(chēng)軸為：；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)式可得即可求的最小正周期和對(duì)稱(chēng)軸；（2）利用三角形面積公式、余弦定理有，即可求的值.【詳解】（1）解：，∴函數(shù)的最小正周期為；而對(duì)稱(chēng)軸為，∴函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為：.（2）且，則，由，可知①，由余弦定理及，可知②；結(jié)合①②：.【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理的應(yīng)用，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求周期、對(duì)稱(chēng)軸，并應(yīng)用三角形面積公式、余弦定理解三角形，屬于中檔題.16.如圖，在五面體中，四邊形是正方形，，，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)是的中點(diǎn)，棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，.【解析】【分析】【詳解】（1）證明：在正方形中，可得，又，，，平面，所以平面，又平面,所以平面平面.（2）解：因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，分別取，上的點(diǎn)，使得，又因?yàn)?，故四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，取中點(diǎn)，則，又，故四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)?，是的中點(diǎn)，故是的中位線(xiàn)，所以，又由平面，平面，所以平面，，平面所以平面平面，又由平面，所以平面，此時(shí).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于這類(lèi)探索性問(wèn)題，通常是利用面面平行，證得線(xiàn)面平行，并確定點(diǎn)的位置.17.已知某科技公司的某型號(hào)芯片的各項(xiàng)指標(biāo)經(jīng)過(guò)全面檢測(cè)后，分為I級(jí)和Ⅱ級(jí)，兩種品級(jí)芯片的某項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示：若只利用該指標(biāo)制定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值K，將該指標(biāo)大于K的產(chǎn)品應(yīng)用于A型手機(jī)，小于或等于K的產(chǎn)品應(yīng)用于B型手機(jī)．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）若臨界值，請(qǐng)估計(jì)該公司生產(chǎn)的1000個(gè)該型號(hào)芯片I級(jí)品和1000個(gè)Ⅱ級(jí)品中應(yīng)用于A型手機(jī)的芯片個(gè)數(shù)；（2）設(shè)且，現(xiàn)有足夠多的芯片I級(jí)品?Ⅱ級(jí)品，分別應(yīng)用于A型手機(jī)?B型手機(jī)各1萬(wàn)部的生產(chǎn)：方案一：直接將該芯片I級(jí)品應(yīng)用于A型手機(jī)，其中該指標(biāo)小于等于臨界值K的芯片會(huì)導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失800元；直接將該芯片Ⅱ級(jí)品應(yīng)用于B型手機(jī)，其中該指標(biāo)大于臨界值K的芯片，會(huì)導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失400元；方案二：重新檢測(cè)芯片I級(jí)品，II級(jí)品的該項(xiàng)指標(biāo)，并按規(guī)定正確應(yīng)用于手機(jī)型號(hào)，會(huì)避免方案一的損失費(fèi)用，但檢測(cè)費(fèi)用共需要130萬(wàn)元；請(qǐng)求出按方案一，芯片生產(chǎn)商損失費(fèi)用的估計(jì)值（單位：萬(wàn)元）的表達(dá)式，并從芯片生產(chǎn)商的成本考慮，選擇合理的方案．【答案】（1）（2），應(yīng)選擇方案二【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，即可求解頻率，進(jìn)而可求解，（2）分別計(jì)算兩種方案的費(fèi)用，即可比較作答.【小問(wèn)1詳解】臨界值時(shí)，I級(jí)品中該指標(biāo)大于60的頻率為，II級(jí)品中該指標(biāo)大于60的頻率為0.1故該公司生產(chǎn)的1000個(gè)該型號(hào)芯片I級(jí)品和1000個(gè)II級(jí)品中應(yīng)用于型手機(jī)的芯片個(gè)數(shù)估計(jì)為：【小問(wèn)2詳解】當(dāng)臨界值時(shí)，若采用方案一：I級(jí)品中該指標(biāo)小于或等于臨界值的概率為，可以估計(jì)10000部型手機(jī)中有部手機(jī)芯片應(yīng)用錯(cuò)誤；II級(jí)品中該指標(biāo)大于臨界值的概率為，可以估計(jì)10000部型手機(jī)中有部手機(jī)芯片應(yīng)用錯(cuò)誤；故可以估計(jì)芯片生產(chǎn)商的損失費(fèi)用又采用方案二需要檢測(cè)費(fèi)用共130萬(wàn)元故從芯片生產(chǎn)商的成本考慮，應(yīng)選擇方案二18.設(shè)A是符合以下性質(zhì)的函數(shù)組成的集合，對(duì)任意的且在上是減函數(shù)。（Ⅰ）判斷函數(shù)及是否屬于集合A，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；（Ⅱ）把（Ⅰ）中你認(rèn)為是集合A中的一個(gè)函數(shù)記為，若不等式對(duì)任意的總成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。【答案】（Ⅰ）不在集合A中，在集合A中；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)集合的性質(zhì)檢驗(yàn)；（Ⅱ）求出的最大值，可得的范圍．【詳解】（Ⅰ）因?yàn)樵跁r(shí)是減函數(shù)，且，所以不在集合A中，又因?yàn)闀r(shí)，，所以且在上是減函數(shù)，在集合A中，（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，又由對(duì)任意的恒成立，所以，所以所求的實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查不等式恒成立問(wèn)題．不等式恒成立問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．如恒成立，恒成立．19.已知函數(shù).（1）若，，且在上的最大值為，最小值為，試求，的值；（2）若，，且對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.（用來(lái)表示）【答案】(1)；(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【解析】【分析】（1）求得二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間的位置關(guān)系，分類(lèi)討論，待定系數(shù)即可求得；（2）對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，即可容易求得參數(shù)范圍.【詳解】（1）由題可知是開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為的二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故可得顯然不符合題意，故舍去；當(dāng)，二次函數(shù)在單調(diào)遞增