人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題精講精練同步訓(xùn)練

人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題精講精練同步訓(xùn)練【考點梳理】考點一：空間向量中的距離問題1.點P到直線l的距離已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設(shè)向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，則點P到直線l的距離為eq\r(a2－a·u2)2.點P到平面α的距離設(shè)平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點，P是平面α外一點，則點P到平面α的距離為eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)．考點二：空間向量中的夾角問題角的分類向量求法范圍兩條異面直線所成的角設(shè)兩異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直線與平面所成的角設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))兩個平面的夾角設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))【題型歸納】題型一：點到平面的距離的向量求法1．如下圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，側(cè)棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中點，試問在A1B上是否存在一點E，使得點A1到平面AED的距離為？2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M為BB1的中點，N為BC的中點．（1）求點M到直線AC1的距離；（2）求點N到平面MA1C1的距離．題型二：平行平面的距離的向量求法3．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，點M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點，（1）證明：平面AMN∥平面EFBD；（2）求平面AMN與平面EFBD間的距離．4．在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC為正三角形，且側(cè)棱AA1⊥底面ABC，且底面邊長與側(cè)棱長都等于2，O，O1分別為AC，A1C1的中點，求平面AB1O1與平面BC1O間的距離.題型三：異面直線夾角的向量求法5．如圖，在直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面的棱柱）中，，，棱，為的中點.（1）求的長；（2）求與所成角的余弦值.6．如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1，BD的中點，點G在CD上，且CG＝CD.（1）求證：EF⊥B1C；（2）求EF與C1G所成角的余弦值.題型四：線面角的向量求法7．如圖，在多面體中，平面，點到平面的距離為，是正三角形，，．

（1）證明：．（2）求直線與平面所成角的正弦值.8．如圖，在四棱錐中，平面平面，底面四邊形為直角梯形，，，，，為線段的中點，過的平面與線段，分別交于點，.（1）求證：；（2）若為棱上靠近點的三等分點，求直線與平面所成角的正弦值.題型五：面面角的向量9．如圖1，在平面四邊形ABCD中，BC⊥AC，CD⊥AD，∠DAC=∠CAB=，AB=4，點E為AB的中點，M為線段AC上的一點，且ME⊥AB.沿著AC將△ACD折起來，使得平面ACD⊥平面ABC，如圖2.（1）求證∶BC⊥AD；（2）求二面角A-DM-E的余弦值.10．如圖，在四棱柱中，平面，，，，，若與交于點，點在上，且．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值．【雙基達標(biāo)】11．在正四棱柱中，AB=2，過、、B三點的平面截去正四棱柱的一個角后，得到如圖所示的幾何體，且這個幾何體的體積為，點P，Q分別是和AC的中點.（1）求異面直線與所成角的大??；（2）求直線C1D與平面所成角的大小.（用反三角函數(shù)表示）12．如圖，在矩形中，，E為邊上的點，，以為折痕把折起，使點C到達點P的位置，且使二面角為直二面角，三棱錐的體積為.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.13．直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)的上底面面積為，下底面面積為，側(cè)面積為，且二面角為，，分別在線段，上．（Ⅰ）若，分別為，中點，求與所成角的余弦值；（Ⅱ）若為上的動點、為的中點，求與平面所成最大角的正切值，并求此時二面角的余弦值．14．如圖，在三棱錐中，平面平面，是等邊三角形，已知，.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.15．已知四棱錐，底面為平行四邊形，，，，，．（Ⅰ）若平面平面，證明：；（Ⅱ）求二面角的余弦值．16．如圖，正方形的中心為，四邊形為矩形，平面平面，點為的中點，.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）求點到直線的距離；（4）設(shè)為線段上的點，且，求直線和平面所成角的正弦值.【高分突破】17．如圖，四邊形ABCD是矩形，，E是AD的中點，BE與AC交于點F，GF⊥平面ABCD；（1）求證：AF⊥平面BEG；（2）若，求直線EG與平面ABG所成的角的正弦值.18．如圖，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD和側(cè)面BCC1B1都是矩形，E是CD的中點，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．（1）求證：平面CC1D1D⊥底面ABCD；（2）若平面BCC1B1與平面BED1所成的銳二面角的大小為，求線段ED1的長度．19．如圖，在中，．O為的外心，平面，且．（1）求證：平面；（2）設(shè)平面平面；若點M在線段上運動，且，當(dāng)直線l與平面所成角取最大值時，求的值20．如圖，在三棱臺中，，、分別為、中點.（1）求證：平面；（2）若，且平面，令二面角的平面角為，求.21．在四棱錐中，底面為梯形，，，側(cè)棱底面，E為側(cè)棱上一點，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值．22．如圖，正三棱柱的所有棱長都為2，為的中點．（1）求與所成角的余弦值．（2）求證：平面．（3）求平面與平面的夾角的正弦值．23．如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；24．如圖，在三棱錐中，平面平面，，，．（1）證明：．（2）若為的中點，為上一點，，求直線與平面所成角的正弦值．25．如圖，已知為圓錐底面的直徑，點在圓錐底面的圓周上，，，平分，是上一點，且平面平面.（1）求證：；（2）求二面角的平面角的余弦值.26．如圖，在三棱柱中，平面，，.（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的大小；（3）點在線段上，且，試問在線段上是否存在一點，滿足平面，若存在，求的值，若不存在，請說明理由？【答案詳解】1．解：如圖以點C為坐標(biāo)原點，CA，CB，CC1所在直線為x軸，y軸和z軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，1)，B(0，2，0)，設(shè)＝λ，λ∈[0，1)，則E(2λ，2(1－λ)，2λ)．又＝(－2，0，1)，＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)，設(shè)為平面AED的法向量，則?取x＝1，則y＝，z＝2，即，由于d＝＝，∴＝，又λ∈(0，1)，解得λ＝，所以，存在點E且當(dāng)點E為A1B的中點時，A1到平面AED的距離為.2．由題意，分別以為x、y、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，（1）直線AC1的一個單位方向向量為，，故點M到直線AC1的距離.（2）設(shè)平面MA1C1的法向量為，則,即不妨取x＝1，得z＝2，故為平面MA1C1的一個法向量，因為N(1，1，0)，所以,故N到平面MA1C1的距離.3．（1）證明：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(xiàn)(2，4，4)，N(4，2，4)．從而＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)，所以，，所以EF∥MN，AM∥BF．又平面EFBD，平面EFBD，所以MN∥平面EFBD，平面EFBD，平面EFBD，所以AM∥平面EFBD，因為MN∩AM＝M，所以平面AMN∥平面EFBD；（2）解：因為平面AMN∥平面EFBD，所以點B到平面AMN的距離即為平面AMN與平面EFBD間的距離．設(shè)是平面AMN的法向量，則有即，可取，由于＝(0，4，0)，所以點B到平面AMN的距離為，所以平面AMN與平面EFBD間的距離為．4．.如圖，連接OO1，則，且所以四邊形為平行四邊形，所以AO1OC1，平面BC1O，平面BC1O，所以平面BC1O，又OBO1B1，平面BC1O，平面BC1O，所以平面BC1O，又AO1O1B1＝O1，所以平面AB1O1平面BC1O.∴平面AB1O1與平面BC1O間的距離即為點O1到平面BC1O的距離.根據(jù)題意，OO1⊥底面ABC，，兩兩垂直.則以O(shè)為原點，分別以O(shè)B，OC，OO1所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.∵O(0,0,0)，，C1(0,1,2)，O1(0,0,2)，設(shè)為平面BC1O的法向量，則即取可得點O1到平面BC1O的距離記為d，則d＝＝＝.∴平面AB1O1與平面BC1O間的距離為.5．如圖，以為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.（1）依題意得、，因此，，因此，線段的長為；（2）依題意得、、、，，，所以，，故與所成角的余弦值為.6．以D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz.則E（），，（1）∵，，∵，（2）由（1）知，∴，，，設(shè)EF與C1G所成角為，則故EF與C1G所成角的余弦值為7．（1）證明：如圖，取的中點，連接，．

，，且，就是點到平面的距離，即平面平面，，又，四邊形是平行四邊形，是正三角形，，．（2）解：由（1）得平面，以為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，，，，則由得，令，得．設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值．8．（1）∵，，為的中點，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面，∵平面，平面平面，∴.（2）∵，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，分別以，，所在的直線為，，軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，∴，，，設(shè)平面的法向量為，則，，即，令，則，∴直線與平面所成角的正弦值.9．（1）∵平面ACD⊥平面ABC.平面ACD∩平面ABC=AC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACD，∵AD平面ACD，∴BC⊥AD.（2）根據(jù)題意，以C為原點，CA，CB所在直線分別為x，y軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，∵BC⊥AC，CD⊥AD，∠DAC=∠CAB=，AB=4，∴BC=2，AC=，CD=，CM=AC-AM=.∴，∴，，設(shè)平面MDE的法向量為，則，即，令，得y=3，z=-1，∴，由（1）知，平面MAD的一個法向量為=（0，2，0），∴.∴二面角A-DM-E的余弦值為.10（1）由可得，，又，即，，又平面，平面，平面.（2）如圖，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，由，可得，取，可得，設(shè)平面的法向量為，由，可得，取，可得，由圖可知兩平面所成的角為銳角，余弦值為.11．（1）設(shè)正四棱柱的高為，因為幾何體的體積為，所以，解得，即，所以正四棱柱為正方體.所以連接與，則交點為，連接與，則交點為，在正方體中，，所以為異面直線與所成的角或所成角的補角.因為,所以面,又因為面,所以，在中，，所以，因為，所以，即異面直線與所成角為.（2）以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，,設(shè)面的法向量為，則，即，取，所以，設(shè)直線C1D與平面所成角為，則，所以，即直線C1D與平面所成角為.12．（1）由，設(shè)的中點為O，連接，則，又二面角為直二面角，故平面，設(shè)，則，又，得三棱錐的體積，即，得，于是由，所以，所以，又平面平面，得平面，則，又，且，所以平面，又平面，故平面平面.（2）以的中點O為坐標(biāo)原點，以的方向為z軸正方向，過點O分別作和的平行線，分別為x軸和y軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)為平面的法向量，則有，即，可取，設(shè)為平面的法向量，則有，即，可取，所以，由圖形知二面角為鈍角，其余弦值為.13．（Ⅰ）設(shè)圓臺上、下底面半徑分別為，．∵，∴；∵，∴．∵，∴．過點作于點，則，，∴圓臺的高為．∵二面角是直二面角，∴建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，點，，，，，∴，∴與所成角的余弦值為．（Ⅱ）取的中點，連接，，，∴，則．∵平面，∴平面，∴為直線與平面所成角，，當(dāng)時，最小，最大．在中，，，，，，即與平面所成最大角的正切值為．又點，，，，設(shè)點，平面的法向量，，，即，∴，則，，，即，解得，．即令得．易知平面的一個法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則．由圖易得二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為．14．（1）在中，因為，，，所以，故.又平面平面，平面平面，面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.（2）以所在直線為軸，所在直線為y軸，過點垂直于底面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的法向量，由可得，令，則，，所以，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.15．（Ⅰ）證明：因為底面為平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面．又因為平面平面，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，，所以．（Ⅱ）由題意得，，，所以，，．又，所以平面．因為，所以平面．又，所以，，兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點，，，所在的直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點，，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則令，則，，則一個法向量．設(shè)平面的法向量為，則令，則，，則一個法向量，則．由圖易得二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為．16．（1）證明：取的中點，連接，，因為四邊形為矩形，則且，因為，分別是，的中點，則且，又是正方形的中心，則，所以且，則四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面；（2）解：以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨令，則，因為平面，則平面的一個法向量為，所以，則二面角的正弦值為；（3）解：因為，，，則，，所以，所以點到直線的距離為；（4）解：因為，則，設(shè)，則，解得，故，所以，故直線和平面所成角的正弦值為.17．（1）因為且，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，又因為平面，平面，所以，又，所以平面；（2）據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示：因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，設(shè)平面的一個法向量為，，由可得，取，所以，設(shè)直線與平面所成角大小為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.18．（1）證明：因為底面ABCD和側(cè)面BCC1B1都是矩形，所以AD⊥CD，AD⊥DD1，又CD∩DD1＝D，CD，DD1?平面CDD1C1，所以AD⊥平面CDD1C1，又D1E?平面CDD1C1，所以AD⊥D1E，又CD⊥D1E，且CD∩AD＝D，CD，AD?平面ABCD，故D1E⊥平面ABCD，又D1E?平面CC1D1D，則平面CC1D1D⊥平面ABCD；（2）解：取AB得中點F，連結(jié)EF，則四邊形EFBC為正方形，所以EF⊥CD，故以E為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)D1E＝a，則E（0，0，0），F(xiàn)（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，a），所以，設(shè)平面BCC1B1的法向量為，則有，即，令z＝1，則，因為FC⊥BE，又FC⊥D1E，BE∩D1E＝E，BE，D1E?平面BED1，所以FC⊥平面BED1，故為平面BD1E的一個法向量，所以，因為平面BCC1B1與平面BED1所成的銳二面角的大小為，，解得a＝1，所以D1E＝1．19．（1）如圖，連接，交于點D，O為的外心，，所以，所以故和都為等邊三角形，即四邊形為菱形，所以又平面，平面，所以平面．（2）由（1）同理可知因為平面，平面，平面平面，所以．如圖所示：以點D為原點，和垂直平面的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則．設(shè)所以設(shè)平面的法向量為．，得，令得．所以直線l與平面所成角的正弦值為：，即當(dāng)即點M是線段的中點時，直線l與平面所成角取最大值．20．（1）連接，設(shè)，連接，由三棱臺知，，，，，且.為的中點，故且，故四邊形為平行四邊形，因為，則為的中點，又因為為的中點，故，因為平面，平面，故平面；（2）因為平面，平面，故，因為，，平面，因為，故平面，，為的中點，故，以點為坐標(biāo)原點，以，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)是平面的一個法向量，則，令，則，，則，，，設(shè)是平面的一個法向量，則，令，則，，，所以，所以，.21．解：（Ⅰ）證明：連結(jié)相交于點O，連結(jié)．在梯形中，∵，可得，∴，又已知，則在中，，∴．又底面，∴底面，則平面平面；（Ⅱ）由題知，底面，，四邊形為等腰梯形，以點A為坐標(biāo)原點，為y軸，為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量為，由可得，取，則，又．∴，即直線與平面所成角的正弦值