專題1.1 集合的概念-解析版

專題1.1集合的概念【基本知識梳理】【知識點1集合的概念】1．元素與集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合是相等的．2．元素的特性(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．簡記為“確定性”．(2)互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡記為“互異性”．(3)無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡記為“無序性”． 【知識點2元素與集合的關(guān)系】1．元素與集合的關(guān)系(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A．(2)不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A．【注】符號“∈”和“?”只能用于元素與集合之間，并且這兩個符號的左邊是元素，右邊是集合，具有方向性，左右兩邊不能互換.2．常用的數(shù)集及其記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*(或N＋)ZQR【知識點3集合的表示法】1．列舉法把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．注意：(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．(2)集合中的元素必須是明確的．(3)集合中的元素不能重復(fù)．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定義：一般地，設(shè)A表示一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．有時也用冒號或分號代替豎線．(2)具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．3．圖示法圖示法，又稱韋恩圖法、韋氏圖法，是一種利用二維平面上的點集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圓形表示一個集合，是集合的一種直觀的圖形表示法.【題型1：對集合概念的理解】【例1】（23-24高一上·新疆·月考）下列對象中不能構(gòu)成一個集合的是（

）A．某校比較出名的教師 B．方程的根C．不小于3的自然數(shù) D．所有銳角三角形【答案】A【解析】A：比較出名的標(biāo)準(zhǔn)不清，故不能構(gòu)成集合；B：，方程根確定，可構(gòu)成集合；C：不小于3的自然數(shù)可表示為，可構(gòu)成集合；D：所有銳角三角形內(nèi)角和確定且各角范圍確定，可構(gòu)成集合.故選：A【變式1-1】（23-24高一上·江西景德鎮(zhèn)·期中）下列各組對象能構(gòu)成集合的是（）A.參加杭州亞運會的全體乒乓球選手 B.小于5的正整數(shù)C.2023年高考數(shù)學(xué)難題 D.所有無理數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)集合的意義，逐項判斷即可.【詳解】對于A，參加杭州亞運會的全體乒乓球選手明確可知，可以構(gòu)成集合；對于B，小于5正整數(shù)明確可知，可以構(gòu)成集合；對于C，2023年高考數(shù)學(xué)難題模棱兩可，給定一個2023年高考數(shù)學(xué)題不能判斷其是否是難題，不能構(gòu)成集合；對于D，無理數(shù)明確可知，可以構(gòu)成集合.故選：ABD【變式1-2】（23-24高一上·山西臨汾·階段練習(xí)）下列對象不能組成集合的是（

）A．不超過20的質(zhì)數(shù)B．π的近似值C．方程x=D．函數(shù)y=x,x∈R【解題思路】根據(jù)集合中元素的性質(zhì)逐項判斷即可.【解答過程】對于A，不超過20的質(zhì)數(shù)是明確可知的，滿足確定性，可以組成集合；對于B，π的近似值是不明確的，不滿足確定性，不可以組成集合；對于C，方程x=對于D，函數(shù)y=x,x∈R故選：B.【變式1-3】（23-24高一上·全國·專題練習(xí)）(多選)下列各組對象能組成集合的是（

）A．大于6的所有整數(shù) B．高中數(shù)學(xué)的所有難題C．被3除余2的所有整數(shù) D．函數(shù)圖象上所有的點【答案】ACD【解析】選項A、C、D中的元素符合集合中元素的確定性；而選項B中，“難題”沒有標(biāo)準(zhǔn)，不符合集合中元素的確定性，不能構(gòu)成集合．故選：ACD【題型3判斷是否為同一集合】【例2】（23-24高一上·河北石家莊·期中）下列集合中表示同一集合的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)集合的定義，依次分析選項即得.【詳解】對于A，兩個集合都為點集，與是不同點，故M、N為不同集合，故A錯誤；對于B，M是點集，N是數(shù)集，故M、N為不同集合，故B錯誤；對于C，M是數(shù)集，N是點集，故M、N為不同集合，故C錯誤；對于D，，，故M、N為同一集合，故D正確.故選：D.【變式2-1】（23-24高一上·江蘇常州·階段測試）（多選）下列各組中表示不同集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】ABD【分析】根據(jù)集合相等的概念依次分析各選項即可得答案.【詳解】選項A中，是數(shù)集，是點集，二者不是同一集合,故；選項B中，與表示不同的點，故；選項C中，，，故；選項D中，是二次函數(shù)的所有組成的集合，而集合是二次函數(shù)圖象上所有點組成的集合，故.故選：ABD.【變式2-2】（23-24高一上·河北承德·階段測試）已知集合，則下列與相等的集合個數(shù)為（

）①②③④A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】解方程組可化簡①，由偶次根式有意義可計算②，分別研究n為奇數(shù)、n為偶數(shù)可計算③，由定義可得④，依次判斷即可求得結(jié)果.【詳解】對于①，；對于②，中解得，故；對于③，當(dāng)n為奇數(shù)時，；當(dāng)n為偶數(shù)時，，所以；對于④，.所以與M相等的集合個數(shù)有2個.故選：C.【變式訓(xùn)練2-3】（23-24高一上·山東威?！て谥校┫旅骊P(guān)于集合的表示正確的個數(shù)是（）①；②；③；④．A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】∵集合中的元素具有無序性，∴①{2，3}={3，2}，①不成立；

{（x，y）x+y=1}是點集，而{yx+y=1}不是點集，②不成立；

由集合的性質(zhì)知③④正確．

故選C．【題型3集合中元素特性的求參問題】【例3】（23-24高一上山東煙臺·期中）若集合，且，則m的值為（）A.0 B.1 C.0或1 D.0或﹣1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的元素不重復(fù)可解得.【詳解】因為，所以或，解得，或或，當(dāng)時，，又集合中不能有相同的元素，所以故選：B【變式訓(xùn)練3-1】（23-24高一上·河北石家莊·期中）已知集合，且，則（）A． B．或 C．3 D．【答案】D【分析】利用元素與集合的關(guān)系建立方程，求解并驗證即得.【詳解】由集合，得，解得且，顯然，由，得，而，解得，當(dāng)時，，符合題意，所以.故選：D【變式訓(xùn)練3-2】（23-24高一上·陜西西安·階段測試）已知集合若，則______.【答案】【解析】【分析】先通過集合相等以及集合中元素互異性求出，然后計算即可.【詳解】，，，且，得..故答案為：.【變式訓(xùn)練3-3】（23-24高一上·四川成都·期中）集合中實數(shù)的取值范圍是()A．或B．且C．或 D．且【答案】D【分析】根據(jù)集合元素的互異性，即可求解.【詳解】由集合元素的互異性可知，，解得且，所以實數(shù)的取值范圍為且.故選：D.【題型4判斷元素與集合的關(guān)系】【例4】（23-24高一上·山東泰安·階段測試）（多選）下列四個命題：其中不正確的命題為（

）A．是空集 B．若，則；C．集合中只有一個元素 D．集合是有限集.【答案】ABD【分析】根據(jù)數(shù)集的概念、空集的概念、集合的分類以及元素與集合的關(guān)系進行判斷.【詳解】對于A，含有一個元素，所以不是空集，故A錯誤；對于B：當(dāng)時，，則，故B錯誤；對于C：只有一個元素，故C正確；對于D：表示有理數(shù)，包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，比如為正整數(shù)的倒數(shù)時，都有，所以集合是無限集，故D錯誤.故選：ABD.【變式4-1】（23-24高一上·山東菏澤·階段測試）（多選）設(shè)集合，集合，則下列是集合B中元素的是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】ABC【分析】寫出集合B中的所有元素，再對照選項逐一判斷即可.【詳解】解：因為集合，集合，所以，故選：ABC.【變式訓(xùn)練4-2】（23-24高一上·上海浦東·期中）已知集合，則集合A中的元素（

）A．除以3余數(shù)為； B．除以3余數(shù)為1；C．除以3余數(shù)為2； D．能被3整除.【答案】C【分析】根據(jù)集合的定義與整除的概念判斷.【詳解】，因此集合A中的元素除以3余數(shù)為2，故選：C.【變式訓(xùn)練4-3】（23-24高一上·江西吉安·期中）（多選）已知集合，，，且，，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由描述法得各集合中元素的共同特征，由，，，分別設(shè)出的特征表達式，通過運算及變形整理找到新元素的特征歸屬即可.【詳解】因為，可設(shè)，，，選項A，，則，故A正確；所以，則，故B正確；所以，其中，則，故C錯誤；所以，其中，則，故D正確.故選：ABD.【題型5根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)】【例5】（23-24高一上·河南鄭州·校級期中）設(shè)集合，若且，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系列不等式組求參數(shù)范圍.【詳解】由題意.故選：D【變式5-1】（24-25高一上·福建三明·階段測試）若集合，其中且，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A．34<m≤32 B．34≤m<32 C．【答案】A【分析】借助元素與集合的關(guān)系計算即可得.【詳解】由題意可得，解得.故選：A.【變式5-2】（23-24高一上·山東臨沂莒南·期中）已知集合P有三個元素?1,2a+1,a2?1.若0∈P，則實數(shù)aA．?12 B．1 C．?12【解題思路】根據(jù)0∈P，分類討論結(jié)合元素的互異性求解即可.【解答過程】因為0∈P，所以2a+1=0或a2當(dāng)2a+1=0即a=?12時，當(dāng)a2?1=0即若a=1，則P=?1,3,0，滿足題意；若a=?1，則P=綜上，實數(shù)a的值為?1故選：C.【變式5-3】（23-24高一上·湖北鄂北六?！て谥校┮阎?，若，則實數(shù)的值為____.【答案】/0.5【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系進行求解即可.【詳解】因為，，所以或，解得或.當(dāng)時，，不符合元素的互異性，舍；當(dāng)時，，符合題意.綜上，.故答案為：【題型6集合中的元素個數(shù)問題】【例6】（24-25高一上·福建三明·階段測試）（多選）集合只有一個元素，則實數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】分類討論：，然后求解出的取值即可.【詳解】當(dāng)時，，滿足條件；當(dāng)時，若中僅有一個元素，則，此時，若，則，滿足，若，則，滿足，故選：ABD.【變式訓(xùn)練6-1】（23-24高一上·浙江溫州·期中）（多選）已知集合為單元素集，則的可能取值為（）A.0B.2C.-1D.4【答案】ABC【變式訓(xùn)練6-2】（23-24高三上·山東泰安·期中）已知集合A=1,2,3，B=3,5，則A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】利用集合中元素的互異性，對a，b的取值進行分類討論即可.【解答過程】由題意，x=2a+b，當(dāng)a=1,b=5?x=7，當(dāng)a=1,b=3?x=5，當(dāng)a=2,b=5?x=9，當(dāng)a=2,b=3?x=7，當(dāng)a=3,b=5?x=11，當(dāng)a=3,b=3?x=9，由集合中元素滿足互異性，所以C=5,7,9,11故選：B.【變式訓(xùn)練6-3】（23-24高一上·河北石家莊·期中）已知集合.(1)若是空集，求的取值范圍；(2)若中只有一個元素，求的值，并求集合；(3)若中至多有一個元素，求的取值范圍【答案】(1)(2)的值為或，當(dāng)時，當(dāng)時(3)a=0或a≥【分析】（1）A是空集，則方程為二次方程，且方程無實根；（2）A中只有一個元素，則方程為一次方程，或方程為二次方程且方程有兩個相同的根；（3）A中至多有一個元素，則方程為一次方程，或方程為二次方程且至多一個實根.【詳解】（1）A是空集，且，，解得，的取值范圍為：（2）當(dāng)時，集合，當(dāng)時，，，解得，此時集合，綜上所求，的值為或，當(dāng)時，集合，當(dāng)時，集合；（3）由可知，當(dāng)中至多有一個元素時，或，的取值范圍為：或【題型7集合的表示方法】【例7】（23-24高一上·浙江寧波·期中）用列舉法表示集合的結(jié)果為.【答案】【分析】根據(jù)題意可知為的約數(shù)，求得的取值，用列舉法表示集合即可.【詳解】由可知為的約數(shù)，所以，因為，所以，此時，集合為.故答案為：.【變式訓(xùn)練7-1】（23-24高一上·全國·專題練習(xí)）已知集合，用列舉法表示為.【答案】【解析】.【變式訓(xùn)練7-2】（23-24高一上·北京西城·期中）集合可化簡為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，解得或，又因為，所以，所以集合可化簡為.故選：C【變式訓(xùn)練7-