2023年高考數(shù)學(xué)模擬卷8(新高考專用)(解析版)

備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)模擬卷(新高考專用)

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一個選項是符合題目要求的.

1.已知集合人={(*,)0]孫=1},8={(x,y)|xeZ,yeZ},則AcB有()個真子集.

A.3B.16C.15D.4

【答案】A

【分析】計算AB={(1,1),(-1-1)}，得到真子集個數(shù).

【詳解】A={(x,y)|xy=l),8={(無，刈xeZ,yeZ},則AB=,

真子集個數(shù)為2?-1=3.

故選：A

2.若復(fù)數(shù)z滿足|z-2|=2,z-2=3,則z2的實部為()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi,(x,yeR),則1=x-yi,故根據(jù)Iz—源=2,zN=3可求得

無2=2,y2=],

結(jié)合復(fù)數(shù)的乘方運算，可求得答案.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi,(x,yeR),則三=x-yi,

則由|z-7|=2,z?彳=3可得|2何|=2且/+,2=3,

解得x2=2,y2=1,

故z?=(x+yi>=爐-丫2+2孫力其實部為/一/=2_i=i

故選：C.

3.在平行四邊形ABCD中，對角線AC與3。交于點O,E為CD中點，AE與BD交于點、F,

若AC=a,BD=b，則尸E=()

射

A.-a+-bB.3/c.UD.L+

1244441244

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)，用表示出即可求解作答.

【詳解】平行四邊形ABCD的對角線AC與8〃交于點0,如圖，

而點E為8的中點,

^DE=-DC=-(OC-OD)=-a--b,由DE〃AB得：lf21=l2Il=L

2244\BF\\AB\2

貝ij有

33

所以收=即+。2=幼+!”==1。+與.

344412

故選：C

4.公元656年，唐代李淳風(fēng)注《九章算術(shù)》時提到祖晅的開立圓術(shù).祖晅在求球體積時，

使用一個原理：“塞勢既同，則積不容異”.“事”是截面積，“勢”是立體的高.意思是兩個同

高的幾何體，如在等高處的截面面積相等，則體積相等.更詳細點說就是，界于兩個平行平

面之間的兩個立體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這

兩個幾何體的體積相等.上述原理在中國被稱為祖晅原理，國外則一般稱之為卡瓦列利原

22

理.已知將雙曲線c：土-匕=1與直線y=±2圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體E,

82

【答案】D

【分析】求出y=±2,y=±；x繞y軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體（兩個圓錐）的體積，用垂直于y

軸的平面去截旋轉(zhuǎn)體E,所得圓環(huán)的面積為品，結(jié)合祖眶原理可求得旋轉(zhuǎn)體的體積.

【詳解】y=〃（-2</?<2）與雙曲線的交點為P（，8+4/?,q、0//8+4/，4

則用垂直于>軸的平面截旋轉(zhuǎn)體E的截面為圓面，截面圓的半徑為底前，截面面積為

（8+4/j2）7i,

y=h（-2<h<2）與雙曲線的漸近線>=±：尤的交點為（拉〃㈤，

所以4層兀是用垂直于y軸的平面截兩條漸近線繞y軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的截面面積，

1164兀

y=±2,y=±]X繞y軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體（兩個圓錐）的體積為2、3義2、16兀=亍，

用垂直于丁軸的平面去截旋轉(zhuǎn)體E,所得圓環(huán)的面積為無（8+4/72）-兀（2切2=8無，

因為底面半徑為2金，高為4的圓柱的截面面積為8兀，體積為4x871=32兀，

所以根據(jù)祖唯原理得旋轉(zhuǎn)體E的體積為丫=4義8兀+—=等兀，

故選：D.

5.甲、乙兩袋中各有大小相同的10個球，甲袋有5個紅球，5個白球；乙袋有7個紅球，3

個白球，隨機選擇一袋，然后從中隨機摸出兩個球，尸（A）表示恰好摸到一個紅球與一個白

球的事件的概率，則尸（A）等于（）

【答案】c

【分析】事件目為“取到甲袋”，事件反為“取到乙袋”，根據(jù)條件概率及相互獨立事件的概

率公式計算可得；

【詳解】設(shè)事件&為“取到甲袋”，事件E?為“取到乙袋”，

則尸闖=尸（切=；,^）=^=1，尸（囿功=胃=：

1<1773

則尸（A）=尸（AEj+尸（網(wǎng)）=尸（與）尸（A出）+尸（用）尸（A區(qū)卜萬/^+乎百;左.

故選：C.

6.已知函數(shù)/'（xjucoslox-]｝。>。）在::上單調(diào)遞增，且當(dāng)xe%：時，/（x）之0恒

成立，則。的取值范圍為（）

A-H][1'T]B-阿[臼C.[o,1][8,y]D.[o,|]（,8_

【答案】B

Ji

【分析】由已知，分別根據(jù)函數(shù)〃x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在無€時，〃到20恒

成立，列出不等關(guān)系，通過賦值，并結(jié)合。的本身范圍進行求解.

【詳解】由己知，函數(shù)/（尤）=cos（o龍一如（0>0）在上單調(diào)遞增,

k3；64

所以2勺九一兀Vox—工42勺兀（勺GZ）,解得：+—GZ）,

3co3Gco3G'

7i〉2%i兀2兀

兀兀

I丁兀兀2kJ22kl7i+6：3。，解得:

由于二丁U（匕eZ）,所以,

64G3GG3口?！?匕兀71

—<——+——

、4co3。

4

12人一4404幽+1(勺eZ)①

耳71卜。>0）在上八%）20恒成立,

又因為函數(shù)/'（x）=cosCDX-

3

所以如上s子2輛密0解得:等高5等+次團

712左2兀71

——>——

kn712k7l4CD6G

由于一ZE夕3H22他eZ）,所以.,解得:

6G'3712公兀5兀

—<+——

13co6。

2

8人2——<co<6k2keZ)②

+32

。>0

4解得。中尚

又因為切〉0,當(dāng)尢二女2=。時，由①②可知：，-4<,

3

2,，5

——<a)<—

132

?！?

當(dāng)尢=攵2=1時，由①②可知：<8W。,解得gw8,—

所以外的取值范圍為[(。4，§&717

故選：B.

【點睛】在處理正弦型、余弦型三角函數(shù)性質(zhì)綜合問題時，通常使用整體代換的方法，將整

體范圍滿足組對應(yīng)的單調(diào)性或者對應(yīng)的條件關(guān)系，羅列出等式或不等式關(guān)系，幫助我們進行

求解.

7.已知。=0.16,Z?=e04-Lc=0.8-21nl.4,則〃，b,c的大小關(guān)系為()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

【答案】C

【分析】。與6可看作OT與已必-1,從而可構(gòu)造函數(shù)/(x)=e-1-V比大小，

a與c可看作oT與2(0.4-ln(l+0.4)),從而可構(gòu)造函數(shù)g(x)=2x-21n(l+x)-x2比大小.

【詳解】構(gòu)造函數(shù)/(x)=e*-l-x2(x>0),則洋(x)=e*-2x,令/z(x)=e*-2x,則

/Z(x)=ex-2.令〃(x)=0,得x=ln2,所以〃(x)在(0,In2)上單調(diào)遞減，在(ln2,y)上單

調(diào)遞增，故〃(x)2/7(ln2)=2-21n2>0,因此〃尤)在(0,+巧上單調(diào)遞增，所以

/(x)>y(o)=o.令x=0.4,則“0.4)=e°J「0.42>0,所以e°4—l>0.16,BPa<b.

r\Q2

構(gòu)造函數(shù)g(x)=2x-21n(l+x)-x2(xN0),則g，(x)=2---------2x=——<0,因此g(x)在

1+x1+x

[0,+e)上單調(diào)遞減，所以ga)4g(O)=O,令尤=0.4,貝iJg(0.4)=0.8-21nl.4-0.16<0,所

以0.8-21nl.4<0.16,所以c<a.故6>a>c.

故選：C.

【點睛】本題使用構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小關(guān)系，在構(gòu)造函數(shù)時首先把

要比較的值變形為含有一個共同的數(shù)值，將這個數(shù)值換成變量尤就有了函數(shù)的形式，如在本

題中a=0.16,b=e0A-l,將a=0.16化為ON?的目的就是出現(xiàn)0.4,以便與6=e°4_l中的

0.4-ifc,從而只需比較丫=苫2與、=d-1這兩個函數(shù)大小關(guān)系即可.

在構(gòu)造函數(shù)后比較大小還可以借助于函數(shù)不等式、切線不等式放縮等手段比大小.

8.已知三棱錐S—ABC的所有頂點都在球。的球面上，SA_L平面ABC,&1=2,若球。的

表面積為16%，則三棱錐S—ABC的體積的最大值為()

A.空B.3后C.9D.673

22

【答案】A

【分析】根據(jù)球的表面積公式求出球的半徑，從而求出三角形A2C的外接圓半徑，三棱錐

底面三角形ABC面積最大時，三棱錐S—ABC的體積取得最大值，求出三角形ABC為等邊

三角形時，三角形ABC面積最大，求出面積的最大值，進而求出體積的最大值.

【詳解】設(shè)球的半徑為七則4兀笈=16兀，解得：R=2,

設(shè)三角形ABC的外接圓半徑為r,貝(三)+產(chǎn)=上，

即1+/=4，解得：r=>/3,

當(dāng)三棱錐底面三角形ABC面積最大時，三棱錐S-ABC的體積取得最大值，

如圖所示：

要想ABC面積最大，當(dāng)A位于BC垂直平分線與圓的交點(BC與A點位于圓心兩側(cè))時，

此時三角形ABC為等腰三角形時，面積最大，

連接50并延長，交圓于點。，連接CQ,則5。=2百，BCLBC,

設(shè)/CBD=%a￡(0,5),則BC=2A/3COSa,OE=百sina,AE=AO+OE=百++sina,

貝(JS枷=—BC-AE=~xcosax^A/3+^3sin=3cos6Z(1+sinor)

令y=3cosa(l+sina),則

y'=-3sina(1+sina)+3cos2a=-6sin2a—3sina+3=—3(sincr+l)(2sincr-l),

當(dāng)sina￡[(),；)，即a￡[0詞)時,

/>0,當(dāng)sina￡14

即時，/<0,

即y=3cosa（l+sin（z）在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)a=￡時，y=3cosa（l+sin。）取得最大值,

則三棱錐S—ABC的體積的最大值為』X%8X2=^

342

故選：A

【點睛】立體幾何外接球問題，要能夠畫出圖形，解題的突破口，找到外接球球心在某個特

殊平面的投影，進而找到半徑，列出方程，或空間想象，數(shù)形結(jié)合求出最值等.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

9.已知函數(shù)/（力=/+依2+陵的導(dǎo)函數(shù)為尸（尤），則（）

A.若“力為奇函數(shù),則廣⑺為偶函數(shù)B.若/（0）=0,則/（力為奇函數(shù)

C.若尸（x）的最小值為0,則/=36D.若尸⑴為偶函數(shù)，則〃x）為奇函數(shù)

【答案】ACD

［分析］根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)奇偶性進行逐項判斷.

【詳解】解：由題意得：

對于選項A：若“X）為奇函數(shù)，=貝！I—尤3+62一灰=—爐一欠2一床，故a=0，又

/（x）=3x2+b,/'（-x）=/'（x）是偶函數(shù)，故A正確；

對于選項B:若/'(0)=0,又/'(工)=3%2+2依+/?,則/?=0,故/(%)=13+辦2,/(一%)=一%3+辦2,

當(dāng)〃=0時，/(-%)=-/(%),/(九)是奇函數(shù)，當(dāng)“WO時，”T)w—/(x),了(尤)不是奇函數(shù)，所以

了(%)不一定是奇函數(shù)，故B錯誤；

對于選項C：若/'(%)的最小值為0,f'(x)=3x2+2ov+Z?=3^x+^一三+b，

2

y.()=-—+&=0,貝！J/=36,故C正確；

uIIUI1'%/3

對于選項D：若尸(x)為偶函數(shù),f(x)=3x2+2ax+b,/(-x)=3x2-2tzx+Z?.f(-x)=f(x),

解得a=0，故/(3尸丁+法，/(-%)=-/(%),所以〃x)為奇函數(shù)，故D正確.

故選：ACD

10.正方體ABCr>-4B]GA的棱長為1,E,F,G分別為3C,CC”20的中點,則()

B.直線AG與平面AEF平行

9

C.平面AEF截正方體所得的截面面積為gD.點A與點。到平面AEF的距離相等

O

【答案】BCD

【分析】根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，建立以。為原點，以ZM、DC、所在的直線為x軸、

，軸、z軸的空間直角坐標系。-孫z,利用向量法即可判斷A,根據(jù)線線平行即可判斷B,

根據(jù)梯形面積即可判斷C,根據(jù)中點關(guān)系即可判斷D.

【詳解】在棱長為1的正方體4BCD-A旦GA中，建立以。為原點，以DA、DC、RD所

在的直線為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標系。-孫z,如圖所示：

E、F、G分別為BC、CG、B片的中點，則。(0,0,0),^(0,0,1),A(l,0,0),

對于A,=(0,0,1),A歹=(一1,1,￡|,

DDlAF=^0,故A錯誤；

對于B：連接AQ,。/,

期//匹，,A,A,E,尸四點共面,

由于42〃6工42=6%所以四邊形42砥？為平行四邊形，

故AfiUD'F,又平面AEF,RFu平面.廠，

〃平面AEF,故B正確，

對于C,連接&A，皿,

ADJ/EF，，四邊形AD[FE為平面3截正方體所得的截面,

222

ADt=Vl+1=>/2,EFq,D,F=AE=JU)+1,

???四邊形為等腰梯形，高為《1號J-［拳J=贊，

則四邊形AQFE的面積為葭（0+*1￥=，故C正確；

21Zj4o

對于D,連接4。交A2于點。，故。是\D的中點，且。是線段AtD與平面AD.FE的交點,

因此點A和點D到平面AEF的距離相等，故D正確.

故選：BCD.

11.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸

的方向射出.反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知

拋物線。：產(chǎn)=山。為坐標原點，一束平行于x軸的光線4從點尸1弓J射入，經(jīng)過c上的點

4（占,乂）反射后，再經(jīng)C上另一點以程％）反射后，沿直線4射出，經(jīng)過點Q，則（）

A.尸8平分NABQ

B.%%=-1

C.延長A0交直線于點O,則9氏Q三點共線

4

D.|AB|=—

1116

【答案】ACD

【分析】對于A,根據(jù)題意求得A（L1）,從而證得|R4|=|AB|，結(jié)合平面幾何

的知識易得PB平分/A8Q；

對于B,直接代入%,當(dāng)即可得到

對于C,結(jié)合題意求得。由2B,。的縱坐標相同得￡>,且。三點共線；

,25

對于D,由選項A可知|A@=*.

【詳解】根據(jù)題意，由C：V=x得嗚,0；又由以〃x軸，得A（&1）,代入C:/=x得再=1

（負值舍去），則A（L1）,

所以"尸=口=耳，故直線"為y=g|J4x-3y-l=0,

1

X——......

j4%_3yT=0解得J,即七,卡

依題意知AB經(jīng)過拋物線焦點廠，故聯(lián)立

[y2

，故|E4|=|AB|,所以

ZAPB=ZABP,

又因為PA//X軸，3Q//%軸，所以PA//5Q,故NAP5=NPBQ,

所以NABP=NP5。，貝ij依平分/A3。，故A正確；

11

對于B,因為弘=1,%=-1，故%>2=-［，故B錯誤；

A"(11、

對于C,易得A0的方程為,=九，聯(lián)立1,故。二，

%=——I44J

、4

又8Q//x軸，所以。,8。三點的縱坐標都相同，則。,反。三點共線，故C正確;

2s

對于D,由選項A知|A8|=正，故D正確.

故選：ACD.

12.已知函數(shù)〃x)=e"+x-2和g(x)=lnx+x-2,若“與”且伉卜。，貝1J()

A.玉+%=2B.0<X］<；

C.%,-x2>冊D.x1<—x2Inx2

【答案】ABD

【分析】A選項，根據(jù)反函數(shù)求解出y=-％+2與y=%交點坐標，從而得到玉+々=2；B

選項，由零點存在性定理得到。<\<g,1<X2<^;C選項，化簡整理得到

^x2=(2-X2)X2=x2lnx2,求出y=xlnx在(l,e)上的單調(diào)性，求出取值范圍；D選項，構(gòu)造

函數(shù)〃(元)=皿根據(jù)群2<［三產(chǎn)］=1得到。<%<;<1,根據(jù)〃⑺在(0,1)上單調(diào)遞增,

X

所以〃(王)</7—,即<—產(chǎn)，整理得<—X-,Inx2,D正確.

【詳解】由于y=e，和y=lnx互為反函數(shù)，則y=e，和y=lnx的圖象關(guān)于直線y=x對稱,

將y=-x+2與y=x聯(lián)立求得交點為(1,1),則土產(chǎn)=1,即%+%=2,A正確.

易知〃無)為單調(diào)遞增函數(shù)，因為/(。)=-1<0,/出=五-|>0,由零點存在性定理可

知0<X］<；,B正確.

易知g(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，g(l)=-l<0,g(加［五-|>0,由零點存在性定理可知

1<%2<Ve.

因為百工2=(2-％)%2=%2皿％2，令y=xlnx,則y'=l+lnx>o在(l,e)上恒成立，所以

y=xlnx在(l,e)上單調(diào)遞增，所以王馬=無21nx?〈年，C錯誤.

21]

X1+x2I=1,所以0＜玉＜一＜1.令/7（x）=磐，則

因為外>0,x2>0,所以不%<

2I%2%

〃(無)=上空，當(dāng)Ovx<l時，〃(x)>0,/7(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以川西)</7

X

整理得嶼<-尤21nx2，D正確.

x\

故選：ABD

【點睛】結(jié)論點睛：對于雙變量問題，要結(jié)合兩個變量的關(guān)系，將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量

問題再進行求解，也可通過研究函數(shù)的單調(diào)性及兩個變量的不等關(guān)系進行求解

三填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在X-」的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和之比為64,則/的系數(shù)為.

【答案】3乃

【分析】分別求出各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和，相比，求出〃，得到二項式即其通項公式,

即可求出V的系數(shù).

【詳解】解：由題意

令尤=1,即可得到各項系數(shù)和為：［1-；］=(-4)"

團二項式系數(shù)和為2"，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和之比為64,

團㈢-=64

2"

解得：n=6.

回二項式為

,3

回展開式的通項公式為：C)q（-5）J

3

當(dāng)6-大廠=3時，解得：r=2

2

團d的系數(shù)為：C寅-5)2=^x25=375

故答案為：375.

14.已知曲線C:y-2=j4-（無一2『，直線/：X7+。=0,曲線C上恰有3個點到直線/的距

離為1,貝U。的取值范圍是____________.

【答案】[2-72,72）

【分析】根據(jù)曲線C的表達式畫出半圓圖象，再利用直線與曲線C的臨界位置討論。的取值

范圍，由于曲線C上恰有3個點到直線/的距離為1,根據(jù)兩平行線間的距離公式并結(jié)合圖

象即可確定實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】由>22,得曲線C是以（2,2）為圓心，半徑為2的圓的上半部分.

在曲線C中，令1=2,得x=0或4,將（0,2）代入直線/得。=2,

將（4,2）代入直線/得a=-2,

當(dāng)直線/與曲線C相切時，由圓心到直線的距離為2,得。=2&，

所以當(dāng)-2Va<2或。=2四時，直線/與曲線C有一個公共點；

當(dāng)2WaW2后時，直線/與曲線C有兩個公共點.如下圖所示：

記與曲線C相切的直線為4：x-y+2夜=0,

過（0,2）且斜率為1的直線記為"7+2=0.

—2-\/21一

當(dāng)直線/與4距離為1時，即J一q=l，回a=3/或a=0，

V2

取4=0，此時曲線C上有2個點到直線/:x-y+0=O距離為1；

a2

當(dāng)直線/與4距離為1時，即l-L10o=5/2+2或a=2—>/2，

取a=2-0，此時恰有3個點到直線/的距離為1.

@2-亞Wa<亞.

故答案為：2-8Wa<VL

15.已知『（x）為奇函數(shù),當(dāng)xe（0,l],f（x）=lnx,且/（x）關(guān)于直線x=1對稱.設(shè)方程/（x）=x+1

的正數(shù)解為王，尤2,…，尤”，且任意的weN,總存在實數(shù)M,使得成立，則實

數(shù)M的最小值為.

【答案】2

【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)/（x）是以4為周期的周期函數(shù)，作出函數(shù)/（x）的圖像，結(jié)合圖

像可知:吧（斗+i一斗）的幾何意義為函數(shù)/'（X）兩條漸近線之間的距離，從而可得到<2,

進而求出M的最小值.

【詳解】因為/⑺為奇函數(shù)，所以〃力=一〃-"，且"0）=0,

又了（元）關(guān)于直線x=l對稱，所以"1+尤）=〃1一力，

所以/（2+x）引-x）=-,

則〃4+x)=-〃2+x)=〃x),

所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，

作出函數(shù)y=/(x)和y=x+i的圖像如圖所示:

則鷺(無川-無“)的幾何意義為函數(shù)/(x)兩條漸近線之間的距離為2,

所以:吧(％+「％)=2.

所以得任意的〃eN,|x"+「xj<2,

已知任意的〃eN,總存在實數(shù)/，使得|%+「二|<加成立，

可得M22,即M的最小值為2.

故答案為：2.

22

16.已知雙曲線。：1-/=1(4>0力>0)的左、右焦點分別為耳、居，點P在雙曲線

22

C:二-2=1上，點H在直線x=a上，且滿足2HP+3町+4胚=0.若存在實數(shù)彳使得

ab

PR,PF

OH=OP+A2,則雙曲線C的離心率為

、sinZPF2F[sin/尸耳F2,

【答案】2

IpFl4

【分析】根據(jù)雙曲線的定義及向量的運算，三角形的正弦定理，求出占H=再表示出閨B|,

r^2\3

根據(jù)雙曲線離心率的定義求解即可.

、

PF\?PF?

、sin/尸與F[sin/PF]F2,

、

PR?PH

有OH=OP+4?2R

2RsmZPF2Ft2Rsin/P月區(qū),

故=，所以直線尸“過的內(nèi)心,

設(shè)△產(chǎn)片鳥的內(nèi)切圓圓心為/,內(nèi)切圓圓/分別切尸月、PF］、久居于點M、N、T,

由切線長定理可得|用圖=|耳］，什N|=|苗1，1aM=|PN|,

所以，忸周一|尸閶=（|尸網(wǎng)+國M）一（|PN|+|BM）=|罵］一|取1=為，

結(jié)合圖形可得（馬+。）-（。-/）=2與=2。，所以，xT=a,

故△尸月心的內(nèi)心的橫坐標為a,

因為點“在直線x=a上，所以點77為△尸￡耳的內(nèi)心.

由2HP+3明+4HF2=0可得-2PH+3（尸百一尸”）+4（尸&一/W）=0,

934

所以，9PH=3PF］+4PFz，記^PH=亍PF［+亍PF2,

設(shè)尸6=,尸片+?尸瑞，則：（尸6_尸?）=^（尸片一PG）,所以，F(xiàn)2G=^GFl,

所以，點在直線片工上，又因為故點與點。重合，

GFXF2=Q,G

934

^-PH=-PFX+-PF2=PQ,

由角平分線的性質(zhì)可知點Q到直線PF1、PF2的距離相等，

SgFiQ_尸耳I_國/同一徨幽-囪.陛

故s△平2尸用優(yōu)。|3'同里可侍寓Q||皿’

令1叫~,則冏卜癡，且絲="=禺］尸一用」,

121111+

"HQ￡0\F2Q\|/<2|+F2Q\2

故國。|+|鳥口=國詞=2九

「IFFI

則雙曲線C的離心率e=一=2gL^_=2.

aIPR|—IPF2\4m一3m

故答案為：2.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于推導(dǎo)出點H為鳥的內(nèi)心，再結(jié)合角平分線定

理推導(dǎo)出之=懦I,以及需=^=焉,再利用雙曲線的定義來進行求解.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）

已知數(shù)列｛%｝滿足。1=1,Q〃+i=2a〃一九2+2〃+2,nGN*.

⑴證明：數(shù)列｛4-*+1｝為等比數(shù)為

(2)設(shè)么=(T)"。"，求數(shù)列也｝的前2”項和S2n.

【答案】⑴證明見解析

4"-1

(2)邑.=—^+2n2+n

【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的定義即可求證.

(2)首先求出口的表達式，然后利用分組求和即可.

【詳解】(1)(法一)由a“+i=2%—a?+2”+2,知q+i—(〃+1)2+1=2(a“—+1),

又％-仔+1=1,故｛4-1+”是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，得證.

(法二)%=1,可知：^-12+1=1,

又a“+i=2%-/+2〃+2,所以

222

〃〃+]—(n+1)?+12ati—7?+2〃+2一(鹿+1)+12c1rt—2n+2

222''

ctn—Tl+1c1rl—Tl+1ctn—n+1

回｛%—〃2+1｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，得證.

(2)由(1)知：〃2+1=2〃1,則〃〃=2〃?—1+"之，

%=(―1/K=(T)"2〃T—(―1)〃+(―1)方

T

b2n=aln=22〃—1+4〃2,b2n7=f=+1-(2〃-,

ba

2n-\+b2n=^2n~2n-l="一+4幾―1,

T

團§2〃=(d+Z?2)+(Z?3+")++(處-i+勿〃)=0+4+…+4〃)+[3+7+…+(4〃—1)]

1—4〃小|、4n-l.2

=--------Fn(2n+1)=--------F2〃+n

1-43

18.(12分)設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知a=bcosA-acoSjB.

⑴求證：B=2A；

(2)求*的取值范圍.

a

【答案】⑴證明過程見解析.

(2)(應(yīng)+1,指+2)

【分析】（1）利用正弦定理及積化和差得到sinA=sin（3-A）,結(jié)合角的范圍，得到3=24

（2）利用正弦定理得到^=4fcosA+-V--,根據(jù)三角形為銳角三角形，得到A,

a{4j4<64j

cosAe,從而求出取值范圍.

I22J

【詳解】（1）a=bcosA-acosB,

由正弦定理得：sinA=sinBcosA—sinAcosB,

由積化和差公式可得：

sinA=—sin(B+A)+—sin(B-A)--sin(A+B)--sin(A-B)=—sin(B-A)-—sin(A-B),

因為；$1]1（24_5）=_35111（5_24）,

所以sinA=sin（5-A）,

因為三角形ABC為銳角三角形，故

所以8-Ae

故A=6—A,即6=2A；

(2)由(1)知：B=2A,

由正弦定理得：

Z?+c_sinB+sinC_sin2A+sin(B+A)_sin2A+sin3A

asinAsinAsinA

其中sin3A=sin(2A+A)=sin2AcosA+cos2AsinA=2sinAcos2A+cos2AsinA,

因為sinAwO,

b+c2sinAcosA+2sinAcos2A+cos2AsinA_c

所crH以I---=------------------------------------=2cosA1+12cos?Aa+cos2A

asinA

=2cosA+2cos2A+2cos2A-l=4cos2A+2cosA-l=4|cosA+—

I4l-r

由B=2Ae得:何吟，

由。=兀一4一8=兀-34€0,',解得：AG

7171V2

結(jié)合可得：AeCOSAG

654

故b+c=4(cosA+41］一9在cosA

e上單調(diào)遞增,

2'2

a44\7

2

所以生=4cosA+2cosA-lG14xg+后一1,4乂2+6一1j,

a

即蜉耳(A/2+1,>/3+2).

19.（12分）如圖所示的幾何體是圓柱的一部分，它是由邊長為2的正方形ABCD（及其

內(nèi)部）以A5邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸順時針旋轉(zhuǎn)2告7r得到的，G是0方的中點.

⑴求此幾何體的體積；

⑵設(shè)P是山上的一點，且APLBE1,求/CBP的大小;

⑶當(dāng)鉆=3,AD=2時，求二面角￡-AG-C的大小.

【答案】

(2)ZCBP=30

⑶60.

【分析】⑴由題意可知該幾何體為圓柱的三分之一，根據(jù)計算圓柱體積即可得出此幾何體

的體積；

（2）利用線面垂直的判定定理可得比，平面然后結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征計算可得

NC3P的大小；

⑶建立空間直角坐標系，用空間向量法即可求出二面角E-AG-C的余弦值，從而可得二面

角的大小.

【詳解】(1)此幾何體的體積V=!叱22-2=:；

(2)因為AB±BE,AB,APu平面ASP,ABIAP=A,

所以3E_L平面ABP,又BPu平面"尸，所以BELBP,

又NEBC=120,因止匕/C3P=30

(3)以2為坐標原點，分別以BE,階,54所在的直線為x,y,z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系.

由題意得A(0,0,3),￡(2,0,0),G(l,瓜3),C(-1,6,0),

故4E=(2,0,-3),AG=(1,73,0),CG=(2,0,3),

設(shè)初=(無i，M，Z])是平面.G的一個法向量.

m-AE=02再—3Z]=0

由《，得</-八，取4=2,則石=3,乂=-<3,

m,AG=0[工]+\/3%=0

得平面AEG的一個法向量機=(3,-指,2).

設(shè)力=(%,%，z?)是平面ACG的一個法向量.

：+:,取z2=-2,則芯=3,%=一6

2X2+3Z2=0

得平面ACG的一個法向量n=(3,-百,-2).

所以cos<m,n>=

|m|?|n|2

因此二面角E-AG-C的大小為60.

20.(12分)某公司在一種傳染病毒的檢測試劑品上加大了研發(fā)投入，其研發(fā)的檢驗試劑

品a分為兩類不同劑型必和%.現(xiàn)對其進行兩次檢測，第一次檢測時兩類試劑/和合格

的概率分別為3:和二3，第二次檢測時兩類試劑四和的合格的4概率2分別為工和：.已知兩次

檢測過程相互獨立，兩次檢測均合格，試劑品a才算合格.

(1)設(shè)經(jīng)過兩次檢測后兩類試劑％和合格的種類數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑵若地區(qū)排查期間，一戶4口之家被確認為“與確診患者的密切接觸者"，這種情況下醫(yī)護人

員要對其家庭成員逐一使用試劑品a進行檢測，如果有一人檢測呈陽性，則檢測結(jié)束，并確

定該家庭為"感染高危戶設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為P(0<P<1)且相互獨立,

該家庭至少檢測了3個人才確定為"感染高危戶”的概率為7(p),若當(dāng)p=p。時，"P)最大，

求區(qū)的值.

【答案】⑴分布列見解析，1

⑵Po=l-

~1

【分析】(1)先得到劑型內(nèi)與%合格的概率，求出X的所有可能取值及相應(yīng)的概率，得到

分布列，求出期望值；

(2)求出/(p)=(l_p)2p+(l_p)3p=(l_p)2p(2_p),令x=l-p,得至IJ

^(x)=x2(l-x2)(O<x<l),利用基本不等式求出最值，得到答案.

343

【詳解】(1)劑型％合格的概率為:—X—=—

455

劑型合格的概率為：|3xj2=12.

由題意知X的所有可能取值為0,1,2.

1-2x!_226

則P(X=O)=

5525

P(X=I)=II-|213

55525

尸(X=2)=|x|啥

則X的分布列為

X012

6136

P

252525

數(shù)學(xué)期望E(X)=0x郎+lx1|+2x5=1.

(2)檢測3人確定"感染高危戶”的概率為(I-4),

檢測4人確定"感染高危戶"的概率為(I-0)?p,

則"P)=(l-P)2P+(l-P)3P=(l-P)2P@_P).

令x=l-p,因為。<P<1,所以O(shè)vxvl,

原函數(shù)可化為g(%)=%2(l-f)(0<x<1).

2

因為41?)」2+(了2)］寸

當(dāng)且僅當(dāng)/=1一尤2,即尤=也時，等號成立.

2

此時p=l一,，所以為=1一字.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=Mn九一九+'.

x

⑴討論的單調(diào)性；

?/八111

(2)證明：+7T+-+…

【答案】⑴答案見解析

⑵證明見解析

【分析】(1)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，考慮aWO,0<a<2,。>2三種情況，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負得

到函數(shù)的單調(diào)性.

11H+11

（2）當(dāng)〃=2時得至!）21nx<jr--