陜西省西安市蓮湖區(qū)2023-2024學年高二下學期4月期中數(shù)學試題（解析版）

高二數(shù)學期中考試質量監(jiān)測注意事項：1．答題前、考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時、選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動、用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第二冊第五章，選擇性必修第三冊第六章．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.5名同學分別從4個景點中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)為（）A.9 B.20 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用分步乘法計數(shù)原理即可計算．【詳解】因為每名同學都有4種選擇，所以由分步乘法計數(shù)原理可知不同選法的種數(shù)為：．故選：D.2.曲線在點處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】用導數(shù)幾何意義去求切線方程即可.【詳解】由，得，所以該曲線在點處的切線斜率為，故所求切線方程為，即．故選：C.3.已知函數(shù)的導函數(shù)為，若，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的定義及極限的相關計算計算可得.【詳解】因為，即，所以.

故選：C4.被8除所得的余數(shù)為（）A.1 B.2 C.0 D.5【答案】A【解析】【分析】借助二項式的展開式計算即可得.【詳解】，因為能被8整除，所以被8除所得的余數(shù)為1．故選：A.5.在高臺跳水運動中，某運動員在（單位：秒）時的重心相對于水面的高度（單位：米）滿足關系式，當時，的平均變化率是米/秒，則當時的瞬時變化率是（）A.米/秒 B.15米/秒 C.米/秒 D.25米/秒【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)平均變化率得，求導函數(shù)，利用導數(shù)定義求解瞬時變化率.【詳解】由題意可得，解得，則，從而，故.故選：C6.從6人（包含甲）中選派出3人參加，，這三項不同的活動，且每項活動有且僅有1人參加，若甲不參加和活動，則不同的選派方案有（）A.60種 B.80種 C.90種 D.150種【答案】B【解析】【分析】分甲被選中和甲沒被選中兩種情況，結合排列數(shù)公式即可求解.【詳解】當甲被選中時，不同的選派方案有種；甲沒被選中時，不同的選派方案有種.故滿足條件的不同的選派方案有種.故選：B.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，f'x為的導函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接由導數(shù)的幾何意義結合函數(shù)圖象即可求解.【詳解】由導數(shù)的幾何意義可知，表示曲線在處的切線斜率，表示曲線在處的切線斜率，表示，兩點連線的斜率，由圖可知，當從0變化到1時，切線斜率越來越大，所以，對比選項可知，D正確.故選：D.8.在的展開式中，形如的所有項的系數(shù)之和是（）A256 B. C.1512 D.【答案】D【解析】【分析】由二項式定理求解即可.【詳解】形如的所有項，即展開式中所有項，令，得的所有項的系數(shù)之和是，故選：D.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列函數(shù)求導正確的有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的運算法則及簡單復合函數(shù)的導數(shù)計算規(guī)則計算可得.【詳解】對于A：，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：因為，，所以，故C正確；對于D：，故D錯誤.故選：BC10.已知，若，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】令求出，即可求出，從而判斷A；利用賦值法判斷B；寫出展開式的通項，即可判斷C；令，則，設，求導，再利用賦值法計算即可判斷D.【詳解】令，得，解得，故A正確；所以，令，得，令，得，所以，故B正確；展開式的第項（且），所以，故C錯誤；令，則，設，則，令，得，又，所以，故D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)，若對任意的成立，則的取值可能是（）A.1 B. C.3 D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)已知不等式進行常變量分離，得到，觀察分母，聯(lián)想不等式，結合指數(shù)的運算性質進行放縮進行求解即可..【詳解】由題意可得，則.設，則.由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即.因為，所以，當且僅當時，等號成立，則，故故選：AB【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是常變量分離后，利用不等式和指數(shù)的運算性質進行放縮.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．12.一個口袋內(nèi)裝有4個小球，另一個口袋內(nèi)裝有6個小球，所有小球的顏色互不相同．從兩個袋子中取一個球，則不同的取法種數(shù)為______．【答案】10【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分類加法計數(shù)原理列式計算即得.【詳解】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為．故答案為：1013.已知函數(shù)，則______.【答案】3【解析】【分析】求導，代入，可求導，進一步可得函數(shù)表達式，從而代入即可得解.【詳解】因為，所以，則，解得，則，故.故答案為：3.14.某校開設美術、籃球、足球和象棋興趣班，其中美術興趣班有4個，籃球興趣班有5個，足球興趣班有2個，象棋興趣班有3個.已知該校的學生小明報名參加其中的兩種興趣班，且至少參加了一種球類的興趣班，則小明參加興趣班的不同方案有______種.【答案】59【解析】【分析】小明至少參加了一種球類的興趣班，分為小明參加了兩種球類的興趣班和小明參加了一種球類的興趣班兩種情況，根據(jù)分類加法計數(shù)原理計算即可.【詳解】第一種情況：小明參加了足球興趣班和籃球興趣班，共有種方案.第二種情況：小明只參加了一種球類興趣班，則小明參加的另一種興趣班為美術或象棋中的一種，共有種方案.故小明參加興趣班的不同方案有種.故答案為：59.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某種產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過6道工序．（1）若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，問有多少種加工順序?（2）若其中某3道工序必須相鄰．問有多少種加工順序?（3）若其中某3道工序兩兩不能相鄰，問有多少種加工順序?【答案】（1）288；（2）144；（3）144.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用有限制條件的排列問題，結合分步乘法計數(shù)原理計算即得.（2）根據(jù)給定條件，利用相鄰問題，結合分步乘法計數(shù)原理計算即得.（3）根據(jù)給定條件，利用不相鄰問題，結合分步乘法計數(shù)原理計算即得.【小問1詳解】先從另外4道工序中任選2道工序放在最前面與最后面，有種不同排法，再將其余的4道工序全排列，有種不同的排法，由分步乘法計數(shù)原理可得，共有種加工順序．【小問2詳解】先排這3道工序，有種不同的排法，再將它們看作一個整體，與其余的3道工序全排列，有種不同的排法，由分步乘法計數(shù)原理可得，共有種加工順序.【小問3詳解】先排其余的3道工序，有種不同的排法，有4個空檔，再將這3道工序插入空檔，有種不同的排法，由分步乘法計數(shù)原理可得，共有種加工順序.16.已知函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，（1）求a的取值范圍；（2）若，求在上值域．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，由在上有零點求出的范圍.（2）利用導數(shù)求出函數(shù)上的最大值和最小值即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，求導得，由在內(nèi)不單調(diào)，得關于x的方程在內(nèi)有根，則，即a>0，所以a的取值范圍是.【小問2詳解】由及（1）知，得，由，得；由，得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，而，所以在上的值域為．17.已知．（1）求；（2）指出，，，?，中最大的項．【答案】（1）-513（2）【解析】【分析】（1）直接由賦值法即可求解；（2）將問題轉換為判斷展開式的系數(shù)誰最大，由不等式法即可求解.【小問1詳解】令，得，令，得，所以；【小問2詳解】判斷中誰最大即判斷展開式的系數(shù)誰最大．展開式的通項，由，得，因為，所以或6．故中最大的項為．18.已知函數(shù)在處取得極值．（1）求的值；（2）求經(jīng)過點與曲線相切的切線方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意由點在函數(shù)上和極值點處導函數(shù)為零即解出即可；（2）設切點為，由導數(shù)的意義可得切線的斜率為，然后由切點在曲線上和切線上以及切線經(jīng)過點建立方程組，解出切點坐標，最后有點斜式寫出切線方程.【小問1詳解】由題意可得，①，所以，②由①②解得，經(jīng)驗證，當時，在左右異號，成立.【小問2詳解】設切點為，則，①由導數(shù)意義可得切線的斜率為，由點斜式可得切線方程為，又點在切線上，所以，②聯(lián)立①②，化簡消去可得，解得或1，代入函數(shù)可得切點為，當時，，此時切線方程為，即；當時，，此時切線方程為，即，綜上，經(jīng)過點與曲線y=fx相切的切線方程為或.【點睛】方法點睛：本題第二問為求過點的切線，（區(qū)別與在點的切線），設出切點，利用導數(shù)的意義求出切線的斜率，再由切點在切線和曲線上以及切線過定點聯(lián)立解出切點坐標，求出斜率，寫出切線方程.19.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）證明：方程至多只有一個實數(shù)解．【答案】（1）答案見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求導，根據(jù)導函數(shù)的范圍確定原函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）中函數(shù)單調(diào)性，確定函數(shù)的最值，即可得結論；（3）設函數(shù)，求導確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可函數(shù)的取值請況.【小問1詳解】因為函數(shù)，，所以，當時，，單調(diào)遞減；當時，由，得，解得，單調(diào)遞增；由，得，解得，單調(diào)遞減；當時，由，得無解；由，得恒成立，單調(diào)遞減；；當時，，單調(diào)遞減；當時，由，得，解得；由，得，解得，綜上：當時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；當時，在R上是減函數(shù)；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問2詳解】當時，由于，故不滿足恒成立；當時，單調(diào)遞減，又，故不滿足恒成立；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要使得恒成立，則，即，所以，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍為；【小問3詳解】設，則，①當時，恒成立，令得，則時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞