甘肅省天水市2023-2024學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)4月學(xué)段檢測(cè)數(shù)學(xué)模擬試題(含答案)

甘肅省天水市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月學(xué)段檢測(cè)數(shù)學(xué)

模擬試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.在空間直角坐標(biāo)系。一町z中，點(diǎn)(3，-4,5)關(guān)于平面xQy對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為()

A(-3,4,-5)口(3,—4,—5)(3,4,-5)n(-3,-4,-5)

A.D.C.U.

于(x+2Ax)-f(x-2Ax)

_/)_lim-----o-----------------o---------

2.若函數(shù)y=在x=處的導(dǎo)數(shù)等于0,則A1foAx的值為()

A.aB.2aC.3aD.4a

3.若08C在空間直角坐標(biāo)系中的位置及坐標(biāo)如圖所示，則3c邊上的中線的長(zhǎng)是()

5.函數(shù)/("=3一"的單調(diào)遞減區(qū)間為()

口

A(1,+0°)?(.0)n(-?,1)

￡>.C.JJ.

6.如圖1,現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為l°cm高為25cm的圓錐容器，以2cm3/s的速度向該容器內(nèi)注

入溶液，隨著時(shí)間單位：S）的增加，圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加，如圖2所示，

忽略容器的厚度，則當(dāng)‘=兀時(shí)，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為（）

圖I圖2

^300/V300,洞/近而/

-------cm/s-------cm/s-------cm/s-------cm/s

A.6兀B.5兀C.3兀D.27t

ln471ln3

a=----,b=_c-__

7.已知4e53貝ija也c大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

xlux-xInx

—1——2------2——1->2

Xe（0,m）且\<乜

8.若對(duì)任意的T2,都有“2一5成立，則加的最大值為（）

A.eB.1C.eD.e2

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9,已知向量”（1」廠2）力=（1,-3,-3）,則下列結(jié)論正確的是（）

,ci+b=（2,—2,—5）0a—b=（0,—2,1）

A.D.

C.a-b=4D.Ifll=6

10.定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/（X）的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A.-2是函數(shù)的極大值點(diǎn)，」是函數(shù)的極小值點(diǎn)

B.0是函數(shù)/（0的極小值點(diǎn)

c.函數(shù)/G）的單調(diào)遞增區(qū)間是（°產(chǎn)）

D.函數(shù)/（X）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-2,-1）

y（x）_11nxi，xe（0,6）,

11.已知函數(shù)卜6-1”[6M）,存在〃（心3）個(gè)不同的正數(shù)"$1,2,.-,"},使得

/G）/G）/G）

-----J—=2—=…=?—

5'X.，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.〃的最大值為5B.”的最大值為4

/（X,）/（尤,）J

C.%的最大值為eD.%的最大值為g

三、填空題：本題更小題，每小題5分，共15分.

12,已知向量0=（2,1-1））=（2,1,-4）,若￡_L6,則九=.

13.對(duì)R上可導(dǎo)的函數(shù)/（“若滿足/（0+/'*）>0,且/（T）=°,則eRx）>0的解集

是______

14.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)AM,對(duì)“。右口，若存在3>0,對(duì)任意的

/（x）-/（x）<r（x）

%e（x-5,^）U（x,x+8）,有x-x°恒成立，則稱(chēng)升為函數(shù)/（x）的“特異點(diǎn),,.函數(shù)

/G）J-xe，+1,x<0

-2x,x>0在其定義域上的，，特異點(diǎn)，，個(gè)數(shù)是個(gè).

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.如圖，已知平行六面體/8CO-中，底面.CD是邊長(zhǎng)為1的正方形,

120°

（1）求線段4c的長(zhǎng)度;

(2)求異面直線4。與4c所成角的余弦值.

16.已知函數(shù)/(x)=lnx+aR(aeR),且/(1)=4.

⑴求。的值；

⑵設(shè)g*)=/(X)-InX-X,求y=g(x)過(guò)點(diǎn)(1,0)的切線方程.

/(x)=ax--G+l)lnx(aeR)

17.已知函數(shù)x.

⑴求證：當(dāng)“=。時(shí)，曲線了=/0)與直線了=-1只有一個(gè)交點(diǎn)；

(2)若/G)既存在極大值，又存在極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

18.二十大報(bào)告中提出：全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，堅(jiān)持農(nóng)業(yè)農(nóng)村優(yōu)先發(fā)展.小王大學(xué)畢業(yè)后決定利

用所學(xué)專(zhuān)業(yè)回鄉(xiāng)自主創(chuàng)業(yè)，生產(chǎn)某農(nóng)副產(chǎn)品.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研，生產(chǎn)該產(chǎn)品需投入年固定成本4

萬(wàn)元，每生產(chǎn)》萬(wàn)件，需另投入流動(dòng)成本/加)萬(wàn)元.已知在年產(chǎn)量不足6萬(wàn)件時(shí)，

F(x)=Y34-4xF(x)=9x+64-29

3,在年產(chǎn)量不小于6萬(wàn)件時(shí)，x.每件產(chǎn)品售價(jià)8元.通過(guò)市

場(chǎng)分析，小王生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完.

p(x)

(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)''(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量X(萬(wàn)件)的函數(shù)解析式.(年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售收入-年

固定成本-流動(dòng)成本)

(2)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，小王在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？

19.若》=加時(shí)，函數(shù)取得極大值或極小值，則稱(chēng)機(jī)為函數(shù)的極值點(diǎn).已知函數(shù)

/(x)=lnx+2,g(x)=ax

x+a,其中。為正實(shí)數(shù).

⑴若函數(shù)/Q)有極值點(diǎn)，求。的取值范圍；

X+X

⑵當(dāng)乜>\>0,乜和5的幾何平均數(shù)為,算術(shù)平均數(shù)為22

X—X

21

①判斷與和5的幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的大小關(guān)系，并加以證明；

②當(dāng)時(shí)，證明./G)VgG)

1.B

【分析】結(jié)合空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性計(jì)算即可得.

【詳解】設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為Q'H",

根據(jù)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)互為相反數(shù)，

x-3

<y=-4

則有J—,故該點(diǎn)為(3,-4,-5),

故選：B.

2.D

【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)的定義直接計(jì)算作答.

f(x+2Ax)-f(x-2Ax)f(x+2Ar)-f(x-2Ax)

limoo=4limoo

【詳解】由已知得ZAJO4AX

=4f'kx)=4a

故選：D.

3.C

【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出3c中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式即可得出中線

長(zhǎng).

【詳解】由圖可知：8(2，°，°),C(0,2,0),

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得8C的中點(diǎn)坐標(biāo)為(LL°),

根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式得BC邊上的中線的長(zhǎng)為12+12+(-1)2=3.

故選：C

4.C

【分析】根據(jù)題意，求得為偶函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合選項(xiàng),

即可求解.

【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)镽,

且/(一x)=er-3*l=e-3x7=/(x),所以函數(shù)八。為偶函數(shù)，

當(dāng)xe(0,+co)時(shí)/(x)=e^-3x-l貝/'(x)=-3

當(dāng)xc（0,ln3）時(shí)/"（x）<0當(dāng)X￡（ln3,+oo）時(shí)/Kx）>0

所以/G）在（01n3）上單調(diào)遞減，在（山3,+雙）上單調(diào)遞增.

故選：C.

5.A

【分析】直接求導(dǎo)，再令,G'vo,解出不等式即可.

【詳解】/'G）=e-e二令?。?lt;0,解得x>l,

所以/Q）的單調(diào)遞減區(qū)間為&+°0）,

故選：A.

6.C

7150%

h=3

【分析】先根據(jù)圓錐的體積公式列出等式得出兀；再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算得出

"JJ50

3加2.最后令，=兀即可求解.

【詳解】設(shè)注入溶液的時(shí)間為f（單位：S）時(shí)，溶液的高為阮m,

1f1,V,,150/

J」J-h=2th=3

則315J，得兀.

因?yàn)?M,

7,11503150

n=3=

所以當(dāng)，=兀時(shí)，3兀33兀，

3150/

cm/s

即圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為3兀

故選：C

7.D

\nx

,研究其在（3+°°）上的單調(diào)性即可得.

【分析】構(gòu)造函數(shù)x

…令…’則入）=1一1nx

X2

當(dāng)x>e時(shí)，，（x）<0,故/（X）在（e，+s）上單調(diào)遞減,

故/。</（3）</（4）,即6>c>a

故選：D.

8.A

Inx2Inx2

2+>1+gG”?。簩?wèn)題轉(zhuǎn)化為g（Q在

【分析】將已知不等式變形為3355令

（0,"）上單調(diào)遞增，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性,

由此可得加的最大值.

xInx-xInx1

【詳解】由可得51嗎一凡叫>2(3一\),

InxInx22liu2lux2

A2—i>—2+>i+

由丁40,叫且所以'XX-2,即尤2乜5X

(\lux2/、Inx2

gUJ=+g\x)=+

（0,加）上單調(diào)遞增,

令xX,則XX在工￡

g，G)—-1-lnx1

所以X2X2x2,令一1—lnx=0,貝ije

〃（x）〉0g（%）=+°，

當(dāng)Iej時(shí)，glx/>u,此時(shí)xx在l⑺上單調(diào)遞增;

lnx2

xe「,+oo]-（）<0g（x）=+P,+co^l

當(dāng)（eJ時(shí)，gW<U,此時(shí)xx在【eJ上單調(diào)遞減；

（0,m）c|0,1|1

所以Ie人故e.

故選：A.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是將恒成立的不等式變形為同一函數(shù)不同函數(shù)值之間大小關(guān)系的

比較問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)的問(wèn)題.

9.AC

【分析】根據(jù)題意，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椤?（1]，-2））=（1,-3，-3）,

則a+6=（2,-2,-5）,故人正確；

力=（0,4,1）,故B錯(cuò)誤；

a-Z）=lxl+lx（-3）+（-2）x（-3）=4、/二。

a-1+1+4=6.

,故D錯(cuò)誤；

故選：AC

10.BC

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可判斷原函數(shù)單調(diào)性和極值，得出正確選項(xiàng).

【詳解】由題意可得，當(dāng)》<0時(shí)，

當(dāng)x>0時(shí)，/<x)>0,

所以函數(shù)/Q)的單調(diào)遞減區(qū)間是單調(diào)遞增區(qū)間是(°產(chǎn)),

所以0是函數(shù)/G)的極小值點(diǎn)，所以B,C正確，A,D錯(cuò)誤.

故選：BC

11.BD

N)/G))

【分析】作出的圖象，利用x的幾何意義是過(guò)原點(diǎn)的直線y=丘與/w相交點(diǎn)的斜

率，結(jié)合圖象進(jìn)行求解即可.

【詳解】X的幾何意義為過(guò)點(diǎn)"J"”，°)的直線的斜率.如圖所示，

，/、［Inx，尤€(0,6),

r\

易知直線尸左與1*6-"56,2的圖象最多只有彳個(gè)交點(diǎn),

故〃的最大值為4,故A錯(cuò)誤，B正確.

/G)

1

當(dāng)直線>=丘與曲線V=lnx相切時(shí)，x取得最大值，

A(x1nx)k=嗎

設(shè)切點(diǎn)為'JJ,則該直線的斜率為升,

(inx)=1k=

又x,則氣，

Inx1

所以X。X。，解得x0=e，得/QD,

/(x)Inx1

i=o=

所以15LxX。e故C錯(cuò)誤，D正確.

故選：BD.

【分析】由空間向量數(shù)量積垂直的坐標(biāo)表示列出方程即可求解.

［詳解］已知向量”(2,九,-1),6=(2,1,-4),若H,則“,=4+九+4=0,解得九=一8

故答案為.一8

3(T+oo)

【分析】依據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再解不等式即可.

［詳解］令g(x)=ejG),gG)=ex［/(x)+/(x)］,而/(x)+1f(x)>0,

易知ex>0,故gO=e，［/G)+rG)］>0,則gG)在R上單調(diào)遞增,

而g(-l)=e"(-l)=O若ex/(x)>0則g(x)>g(-D則xw(-l,+co)

故(-1,+co)

14.1

【分析】根據(jù)題意知"特異點(diǎn)''為'Q)的極大值點(diǎn)，所以通過(guò)分析,G)的極大值點(diǎn)個(gè)數(shù)即可

得解.

【詳解】由題意知"特異點(diǎn)''為rG)的極大值點(diǎn),

/G)=-xex+\,x<0

X2-2x,x>0

因?yàn)?所以

/r(x)=-ex+i+(-x)e》+i=-(x+1)e》

當(dāng)x<0時(shí),+i

當(dāng)x>0時(shí)，/'(x)=2x-2,

--xex+i

lim------------lim------=-e

又…x-0x->0-X

/G)-/(0)

rX2-2x

lim-----------=limlim(x-2)=-2

x->0+x-0x-0+Xx-0+

故,(°)不存在.

-(x+l)e?i,x<0

/O=<

2x-2,x>0

又因?yàn)?/p>

易知：當(dāng)x>°時(shí)，/'（X）單調(diào)遞增，故不可能有“特異點(diǎn),,,

當(dāng)x<0時(shí)設(shè)g(x)=7'(x)則gO-+[_(x+l)eT=_(x+2)ez

令g，(x)>0,則x<-2；g'Q)<0,則_2<x<0；

所以/‘（X）在"-2）上單調(diào)遞增，在（-2,0）上單調(diào)遞減,

故X=-2為G）的極大值點(diǎn)，即為/（X）的“特異點(diǎn)”.

綜上所述，/G）在其定義域內(nèi)僅有一個(gè)特異點(diǎn),,.

故1.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是理解^異點(diǎn)''的意義，發(fā)現(xiàn)其為,‘G）的極大值點(diǎn)，從而得

解.

15.(1)5；

715

(2)30

【分析】（1）利用向量對(duì)應(yīng)線段位置關(guān)系，應(yīng)用向量加減法幾何意義解="，">=6,

表示出40,再應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求模長(zhǎng)即可；

（2）應(yīng)用向量加減幾何意義和數(shù)量積的運(yùn)算律求4"、4°"F,再利用夾角公式求異面

直線4°與4。所成角的余弦值.

—?——?FAA――ci'c——b'c——

【詳解】⑴設(shè)上“，3=6,個(gè)=。，則a)=0,2,2,

_____---(—一一一ffff——

222

Ar-ncAC=%+b—c>=a+b+c+2a-b-2a-c-2b-c=5

又?！?。一,則?

。一c)=b2-2b-c+c2=3

(2)由4D=6-c,則,

AD-AC=+b-c)=a-b-a-c-2b-c+b2+c2=，

則?i2.

—.—.7

~~AD-AC2715

cos<AD,4C>=-t-—i~~"——

11ADAC3x530

11，

715

故異面直線4。與4c所成角的余弦值為30.

16.（1）1

（2）>=-2

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)即可.

（2）先設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)表示斜率，建立方程求出參數(shù)，再寫(xiě)切線方程即可.

、f'（x）-1+3O%2

【詳解】（1）定義域?yàn)閤e（°，+s）,尤，

而/"）=1+3%而已知外）=4,可得1+3“=4,

解得“=1,故。的值為1,

（2）g（x）=〃x）-lnx-x=x3-x,設(shè)切點(diǎn)為（5，常-x°）,設(shè)切線斜率為k,

而g，（x）=3x2-1,故切線方程為y-（7一七）=（3V-l）（x-x）；

將（1，°）代入方程中，可得°一（丁7。）=巴1）（-。），解得「=1（負(fù)根舍去），

故切線方程為了=2》-2,

17.⑴證明見(jiàn)解析；

⑵（。,1）D（l,+8）

【分析】（1）當(dāng)。=°時(shí)，對(duì)/G）求導(dǎo)，分析函數(shù)單調(diào)性，確定/G）圖象，可證明曲線

k/G）與直線產(chǎn)t只有一個(gè)交點(diǎn).

（2）將/G）既存在極大值，又存在極小值，轉(zhuǎn)換為廠（°有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)問(wèn)題，討論零點(diǎn)

位置可得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

11_V

/（%）=--Inxf\x）=

【詳解】（1）當(dāng)。二°時(shí)，函數(shù)》,求導(dǎo)得：,

令/D>0,得令/'（x）<0,得x>l；

則函數(shù)〃x）在（°，1）上遞增,在（1，+°°）上遞減,

故=/（1）=-1

BA.max，

所以曲線與直線>=T只有一個(gè)交點(diǎn).

f{x}=ax--G+l）lnx

（2）函數(shù)X的定義域?yàn)椋ā悖?8）,

“、1〃+10X2-（tz+l）x+l

f（x）=a+-=v7

求導(dǎo)得X2%X2

設(shè)g（x）=?2-（。+1）%+1=（依一1）（工一1）

令gG）=O,解得V。，

因?yàn)?Q）既存在極大值，又存在極小值，即g（x）在（°，+°°）有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，

<a

1#1

則10,解得a>0且awl,

綜上所述:。的取值范圍為（°，l）u（l，+8）.

-1%3+4X-4,0<X<6

尸（X）=3

…64,

25—x-

18.（1）1x

（2）當(dāng)年產(chǎn)量為8萬(wàn)件時(shí)，所獲年利潤(rùn)最大，湖萬(wàn)元.

【分析】（1）分°<x<6和x26討論計(jì)算即可；

（2）當(dāng)°<x<6時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最值，xN6時(shí)，利用基本不等式求出其最值，比較大

小即可.

P（x）=8x-4-11￡+4x]=-1x3+4x-4

【詳解】（1）由題意，當(dāng)0<x<6時(shí)，U）3,

（64）64

P（x）=8x-4—9x+-29=25—x—

當(dāng)x26時(shí)，IxJx

-X3+4X-4,0<X<6

尸（X）=364

25-x-,x>6

所以〔X

（2）當(dāng)。<》<6時(shí)，P（X）=-X2+4,令P（X）=O,解得X=2.

當(dāng)xe（0,2）,p（x）>0,當(dāng)xe（2,6）,p（?<0.

則尸(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,在(2,6)上單調(diào)遞減,

4

P(x)=PQ)=.

所以當(dāng)0<X<6時(shí)，max3

(64、6464

0(x)=25—x+<25-2X.=9x=

當(dāng)xN6時(shí)，Ix)x當(dāng)且僅當(dāng)x,即x=8o時(shí)取等號(hào).

綜上，當(dāng)年產(chǎn)量為8萬(wàn)件時(shí)，所獲年利潤(rùn)最大，為9萬(wàn)元.

19.(1)<2>

(2)①答案見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析

【分析】(1)求導(dǎo)之后構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，利用對(duì)稱(chēng)軸，判別式，特殊值討論

即可;

X

2（x-x）22-1

1Xx

In2>2I=、

xX+xX1X

12I2+l2

X

(2)①證明右邊時(shí)先將不等式變形為I令5,構(gòu)造函數(shù),

xXXX

21n2<2I2

XX

求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性和極值即可證明；再將左邊變形為11,令

同樣構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性和極值即可證明.②恒成立問(wèn)題，作差之后利用一問(wèn)

的結(jié)論構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，分析單調(diào)性，再求最大值小于零即可.

2(X+Q)2-2X八

==°(八)

(x+辦小+辦在皿劭上有變號(hào)零點(diǎn),

即86)=尤2+(2”2'+.2=0在(0產(chǎn))上有變號(hào)零點(diǎn).

即.卻時(shí)，只需gS"""。矛盾,

①若l-aV0,

A=(2a-2)2-4(72=4-8a>0na<1

②若即°<“<l時(shí)，只需2故。的取值范圍為

4

X-XX+X

XX<2I<I2

⑵①i2Inx-Inx2

2I