江蘇南通2024年高一年級下冊6月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024年南通市高一學(xué)年度質(zhì)量監(jiān)測

皿「、、九

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上指定

位置上，在其他位置作答一律無效.

3.本卷滿分為150分，考試時間為120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

L若復(fù)數(shù)z="+（"—"I是純虛數(shù)，則實數(shù)。的值為（）

A.0B.1C.-1D.±1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念列方程求解.

【詳解】根據(jù)題意，復(fù)數(shù)2=a+（/—l）i是純虛數(shù)，

所以。=0且/-IwO，解得a=0.

故選：A

2.下列特征數(shù)中，刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的是（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差

【答案】D

【解析】

【分析】利用數(shù)字特征的含義求解即可.

【詳解】平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的量，

方差是衡量一組數(shù)據(jù)偏離其平均數(shù)的大小的量，即刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度.

故選：D.

3.已知圓錐的底面半徑和高均為1,則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.兀B.近兀C.2nD.2夜兀

第1頁/共17頁

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)公式S側(cè)=?！山?

【詳解】根據(jù)題意圓錐的母線長/=，尸+力2=6,代入S側(cè)=兀〃即可求得

S側(cè)=7ixlxC=0兀.

故選：B.

4.4知向量a=（-2,4）,b={l,x）,若則㈤=（）

A.1B.V5C.26D.46

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)向量共線定理，就可以求出x的值，然后用模長公式求模長.

【詳解】因為￡〃石,所以:=4，即（-2,4）=4（l,x）n（-2,4）=（4,

-2=2A=-2一/、

所以=>5、，所以6=(1,-2)

所以|加=J12+（_2）2=舊,

故選：B.

5.一個水果盤子里有2個蘋果和3個桃子，從盤中任選2個，則選中的水果品種相同的概率為（）

112]

A.—B.-C.—D.-

10552

【答案】C

【解析】

【分析】運用古典概型可解.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)2個蘋果分別記為：1和2,3個桃子編號為A,B,C,

從盤中任選兩個，可得（L2）,（1,A）,（1,B）,（LC）,（2,A）,（2,B）,（2,C）,（A,B）,（A,C）,（B,C）

共10種情況.

選中的水果品種相同的選法有:（1,2）,（A,B）,（A,C）,（B,C）,有4種.

42

所以選中的水果品種相同概率為：—

105

故選：C.

第2頁/共17頁

271

6.若cos—,則sin2a-)

3I6

7117

A.——B.——C.一D.-

9999

【答案】B

【解析】

7T7T

【分析】利用換元法，令％二——y=2a--找到y(tǒng)與龍的關(guān)系，然后利用誘導(dǎo)公式和倍角公式進行

36f

求值即可.

兀22

【詳解】令%=——a，cos一,貝！|cosx=一,

333

7T7T

令y=2a——，則,=——2x

62

所以sin12a―已]=siny=sin]/—2x]=coslx=2cos2x-1=2x[g]—1=一g

故選：B.

7.某數(shù)學(xué)興趣小組測量學(xué)校旗桿的高度，在旗桿底部0的正東方向A處，測得旗桿頂端P的仰角為60。，

在A的南偏西30°方向上的8處，測得尸的仰角為45°（。，A,3在同一水平面內(nèi)），A,8兩點間的距離

為20m,則旗桿的高度0尸約為（血al.4，V3?1.7）（）

A.10mB.14mC.17mD.20m

【答案】C

【解析】

【分析】利用仰角、方位角的定義及銳角三角函數(shù)，結(jié)合余弦定理即可求解.

第3頁/共17頁

?hhh

如圖，設(shè)。尸=/?米，則。4=一二=〒米，OB=------=萬米.

tan60V3tan450

在口。43中，由題意可得，ZOAB=60°，

+202-/?2

由余弦定理可得cos/。43=----------=cos60°=-

x2”02

解得〃=10百“17米

故選：C.

2qin/Aqin

8.在銳角三角形ABC中，------=tanB+tanC,則------的取值范圍為（）

cosCcosA

A.B.-^-,+8C.（1,+00）D.（2,+oo）

【答案】A

【解析】

【分析】利用切化弦的思想以及兩角和的公式,等價變形已知條件,求得3=m，然后再一消元，得到

3COSA

SmC+3j，再一次化簡為只有一個三角符號，再求出角A的范圍，即可求解.

cosA

2sin/I

【詳解】因為------=tanB+tanC,所以

cosC

2sinAsinBsinCsinBcosC+cosBsinCsin（B+C）sinA

cosCcos3cosCcosBcosCcosBcosCcosBcosC

1兀

所以cos3=—,又三角形ABC為銳角三角形，所以8=工,

23

sin（A+3）_sin.+j]；sinA+gcosA

所以sinC1.V3

=-tanAH-----

cosAcosAcosAcosA22

0八<A4<—兀0<A<-

271.71

又因為三角形ABC為銳角三角形，所以《2nn—<A<一

八2兀，兀62

0<C<-0<A<—

232

第4頁/共17頁

所以tanA￡——,+co

[3J

▽,sinC1.V3

所以----=-tanA+-e

cosA22

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.記口ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.下列命題為真命題的是（）

A.若sin?A+sin?5=sin?C,則□ABC為直角三角形

B.若。sin4=8sinB,則DABC為等腰三角形

<3.若。<：054=匕（：053,則□ABC為等腰三角形

D.若吧=上學(xué)=上區(qū)，則048。為等腰直角三角形

abc

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用正弦定理逐項進行邊角互化即可判斷.

7T

【詳解】對于A,若sin2A+sin25=sin2c，由正弦定理得/+〃=2,所以。=所以口人臺。為

2

直角三角形，故A正確；

對于B,若asinA=OsinB,由正弦定理得/=/，所以a=6,所以口ABC為等腰三角形，故B正

確；

對于C,若acosA=Z?cos3,由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,即，sin2A=』sin23,

22

71

所以2A=25或2A+23=兀，即A=B或A+5=—,則DABC是等腰或直角三角形，故C錯誤；

2

C-PPsinAcos3cosC,sinAcos8cosC匚匚“

對于D,若-----=------=------,由正弦定理得一^=-^7=—^7，所以

abcsinAsinBsinC

7T7T

cos3=sin3,cosC=sinC,即3=—,。=—,所以口ABC為等腰直角三角形，故D正確；

44

故選：ABD.

10.已知a,6,c為三條直線，a,p,7為三個平面.下列命題為真命題的是（）

A.若aJ.c,Me,則a。。B.若a"a,au0,aCB=b,則aZ76

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C.若a_l_a,au/3,則a_L〃D.若e_L/,（3Ly,ac/3=a,則a_L/

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由空間中直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】對于A選項，令。ua,bua,若c_La,則一定有a_Lc,bA-c,而在同一平面的a,b兩

條直線可以平行，也可以相交，故A錯誤；

對于B選項，這是線面平行的性質(zhì)定理，故B正確；

對于C選項，這是面面垂直的判定定理，故C正確；

對于D項，設(shè)￡口7=加，pny=l,過平面/內(nèi)一點A,分別作ACVI,如圖所示，

因為a_L/,aC\y=m,ABu/,ABIm,所以AB_La,

又因為aua,所以AB_La,同理：ACLa,

又因為ABcAC=A,AB、ACuy,

所以a_L/,故D項正確.

故選：BCD.

11.一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅色球（標號為1和2）,2個白色球（標號為3

和4）,從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設(shè)事件A="兩個球顏色不同"，5="兩個球標號的和為奇

數(shù)”，。="兩個球標號都不小于2”，則（）

A.A與8互斥B.A與C相互獨立

C.P（AB）+P（AC）=P（A）D.P（ABC）=P（A）P（5）P（C）

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由互斥事件的定義分析A,由相互獨立事件的定義分析B,由古典概型的計算公式分析

C、D,綜合可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球，則

第6頁/共17頁

Q=｛（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,4）｝,

A=｛（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）｝,3=｛（1,2）、（1,4）、（2,3）、（3,4）｝,

C=｛（2,3）、（2,4）、（3,4）｝,

A5=｛（1,4）、（2,3）｝,AC=｛（2,3）、（2,4）｝,5C=｛（2,3）、（3,4）｝,

ABC=｛（2,3）｝,

4?4?31

所以有尸（A）=z="P（5）=Z=TP（C）=7=5

o3oJo2

P（AB）=-=P（AC）=-=-,P（ABC）=~,

63636

對于A,A3=｛（1,4）、（2,3）｝,事件A、B可以同時發(fā)生，則A、3不互斥，A錯誤;

對于B,P（A）P（C）=P（AC）,A、C相互獨立，B正確;

對于C,P（AB）+P（AC）=P（A）,C正確；

對于D,P（ABC）^P（A）P（B）P（C）,D錯誤.

故選：BC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.樣本數(shù)據(jù)7,8,10,11,12,13,15,17的第40百分位數(shù)為.

【答案】11

【解析】

【分析】根據(jù)百分數(shù)的定義就可求得第40百分位數(shù).

【詳解】首先對數(shù)據(jù)從小到大進行排序：7,8,10,11,12,13,15,17,共有8個數(shù)據(jù)

8x40%=3.2,

所以這個樣本數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為第四位，即11,

故答案為：11.

13.已知向量”，B滿足詞=2,向量a在B上的投影向量為Q人，則.

【答案】2

【解析】

【分析】首先利用投影向量的定義求出同cos（Z3）=l,再利用數(shù)量積的定義求出即可.

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【詳解】由已知向量Z在很上的投影向量為則同cos(Z@(T，

又因為即W=2,所以卜際,6=1.

所以a-B=HMcos(a,B)=(Wcos(a,B??W=2

故答案為：2

14.以棱長為2的正方體的六個面為底面，分別向外作形狀相同的正四棱錐，得到一個多面體，已知正四

TI

棱錐的側(cè)面與底面所成的角為一.該多面體的體積為,其面數(shù)為.

4

【答案】①.16②.24

【解析】

TT

【分析】根據(jù)正四棱錐的側(cè)面與底面所成的角為一，求出正四棱錐的高，從而求體積.

4

【詳解】根據(jù)題意，如圖，以棱長為2的正方體的一個面為底面的正四棱錐P-A8CD,

取底面中心。，CD中點E,

因為P。1平面ABC。，CDu平面ABC。，所以COLP。，

又CD工PE,POnPE=P,PO,PEu平面POE,

一71

所以CD平面POE,則NPEO=—,

4

所以〃=PO=1,

從而該多面體的體積為V=2x2x2+6x—x2x2xl=16,

3

其面數(shù)為4x6=24.

故答案為：16；24.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.記DABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a2+c2=b2+42ac.

(1)求8；

第8頁/共17頁

（2）若°=2ypici,求tanC.

jr

【答案】（1）B=-

4

⑵」

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)余弦定理得到COS3=Y2,得到3=巴；

24

（2）設(shè)。=人0=2",代入/+02=〃+血a，求出方=其，再由余弦定理得到cosC,進而得到正弦

和正切.

【小問1詳解】

—廿—yp2.dC，

2

?//+c?-Z?A/26ZCV2

故cosB=-----------=------=——，

2ac2ac2

因為3€（0,兀），所以3=:;

【小問2詳解】

設(shè)a=f,c=2,代入a2+c2=b2+\[2ac中，

/+8/=廿+血八2萬，故尸=5產(chǎn)，解得方=后,

a2+b2-c2/+5?-8/V5

由余弦定理得cosC=

2ab2%,y[5t5

則sinC=Vl-cos2C=~~~

sinCJ

故tanC二

cosC2

16.如圖，在四棱錐尸—A5C。中，底面ABC。是菱形，平面A5C。，及尸分別是棱BC,A尸的

中點.

第9頁/共17頁

B

(1)證明：PCLBD；

(2)證明：Eb〃平面PCD.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)連接AC,3。交于點。，由已知證明3。1平面PAC,又PCu平面PAC,即可證明

BDLPC；

(2)連接。E,OR,證明出平面跳?！ㄆ矫鍼C。，結(jié)合面面平行的性質(zhì)即可證明.

【小問1詳解】

連接AC,5。交于點。，由四邊形ABC。是菱形得AC

因為P4，平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以PAL5。，

因為PALBD,AC1BD,PAC\AC=A,PA,ACu平面PA。，

所以8。1平面PAC,又PCu平面PAC,

所以8。，PC.

【小問2詳解】

連接。E,OR,

因為四邊形ABC。是菱形，所以點。為AC,3。中點，

又E,尸分別是棱BC,AP的中點，

所以FOHPC,OEHCD,

因為PCu平面PC。，平面PCD,

所以FOH平面PCD,同理可得EOH平面PCD,

因為E0,R9u平面EEO,且E0nR0=。，

第10頁/共17頁

所以平面EFOH平面PCD,又所u平面EFO,

所以EF〃平面PCD.

P

17.某班學(xué)生日睡眠時間（單位：h）的頻率分布表如下:

分組[7,7.5)[7.5,8)[8,8.5)[8.5,9]

頻數(shù)4X20y

頻率ab0.40.12

（1）計算該班學(xué)生的平均日睡眠時間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；

（2）用比例分配的分層隨機抽樣方法，從該班日睡眠時間在［7,7.5）和［8.5,9］的學(xué)生中抽取5人.再從

抽取的5人中隨機抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠時間在［7,7.5）的概率.

【答案】（1）8.03h

⑵—

10

【解析】

【分析】（1）先求出凡工，丁的值，再求平均數(shù)；

（2）由比例分配的分層隨機抽樣方法，分別從［7,7.5）和［8.5,9］兩組的學(xué)生中抽取2人，3人，再由古典

概率求解.

【小問1詳解】

因為容量〃=20+0.4=50,

所以丁二50x0.12=6,x=50-(4+20+6)=20,

所以該班學(xué)生的平均日睡眠時間為Lx

(7.25x4+7.75x20+8.25x20+8.75x6)

50

1

=——x(29+155+165+52.5)=8.03(h)；

50

【小問2詳解】

第11頁/共17頁

由(1)知，該班日睡眠時間在［7,7.5)和［8.5,9］頻率比為2:3,

由比例分配的分層隨機抽樣方法，分別從［7,7.5)和［8.5,9］兩組的學(xué)生中抽取2人，3人,

記［7,7.5)中抽取的2人為a,b,［8.5,9］中抽取的3人為c,d,e,

設(shè)“2人中至少有1人的睡眠時間在［7,7.5)”為事件A,

則Q={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c)(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},

A=(a,c),(a,d),(a,e),(b,c)(b,d),(b,e)},

7

所以A發(fā)生的概率P(A)=詁

7

所以2人中至少有1人的日睡眠時間在［7,7.5)的概率為而.

18.已知口ABC的面積為9,點。在BC邊上，CD=2DB.

4

⑴若cos4AC=w，AD=DC,

①證明：sinZABD=2sinZBAD；

②求AC；

(2)若AB=BC,求A。的最小值.

【答案】(1)證明見解析

⑵4A/6

【解析】

【分析】(1)①在△46。中，由正弦定理可得———=———,從而得證;

sinZABDsin/BAD

2

②在△ABD中，利用三角函數(shù)恒等變換可得所以與ACD=§S.C=6,在口人。。中，由

2

SaACD=-xADxACxsma=—ACx—=6^可解問題;

21617

—?2—■1—---24,1,4

(2)由A￡>=—A5+—AC,兩邊平方的AD=-c^+-b^+-becosABAC,再借助余弦定理和三角形

33999

412cosZBAC

面積公式,將上式表示為而=-----------------1-----------，化簡利用基本不等式求最值.

sinABACcosABACsinZBAC

【小問1詳解】

①因為AD=DC,所以AZ)=2Z)3,

BD

在△46。中，由正弦定理可得

sinZABDsinZBAD

第12頁/共17頁

所以sinNABD=——xsin/BAD=2sinABAD；

BD

4

②設(shè)ZBAC=e,則COS8=M，

因為0＜6＜兀，所以O(shè)n，=Jl-cos2°=g,

設(shè)NC=cr,因為AD=DC,所以NC=NC4D=a,

在AARD中，/B=兀一。一a,/BAD—0—cc,

由①知sin/ABD=2sin/BAD,

所以sin(6+a)=2sin(0-a),

所以sinOcosa+cosesin。=2sin0cosa-2cos0sina,

整理得cosa=4sina,又因為sinZc+cos?。=1,0＜。＜兀，

所以sina二"74V17

cosa=

1717

2

因為8=205,所以8口48=耳風(fēng)即,=6，

在口4。。中，因為AD=DC,AC=a,

所以AC=2ADcosa,所以AC==叵AC，

2cos。8

ih7h7

則Sn."=—xADxACxsina=^—AC2x--=6，

aACD21617

所以AC=4指；

【小問2詳解】

記口ABC的內(nèi)角為ABC,所對邊為a,4c,

因為CO=2DB,

所以詬=恁+而=念+［。=急+^(荏—黛)=［而+；肅,

所以通2=-c2+-b2+-bccosZBAC,

999

在DABC中，因為AB=6C,

所以由余弦定理可得02=。2+〃—20ccosZBAC，

第13頁/共17頁

b

整理得2ccosABAC=b,c=

2cosABAC

11Q

因為用A5C=-bcsmZBAC=9,所以bc=------------

2sinZBAC

匚「、「236cosZBAC9b29

所以Z72二------------,C2

sinABAC4cos2ABAC—cosABACABAC

所以

412cosZBAC4+12cos2ABAC

桁--------------1---------=--------------

sinABACcosABACsinABACsinABACcosABAC

4sin2NA4C+16cos2/B4C.(sinABAC4cosABACy"

=4-------------+--------------->16,

sinABACcosABACVcosABACsinABAC)

當且僅當sinZBAC=—,cosZBAC=—時取等號,

55

所以AD的最小值為4.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：第（2）問中，由平面向量得AD=-AB+-AC,兩邊平方的

33

--24,1,4

AD=-c2+-b2+-becosABAC,再借助余弦定理和三角形面積公式，將上式表示為

999

412cosZft4c

--------------1-,-利--用-三--角-函-數(shù)恒等變換化簡，并利用基本不等式求最值.

sinABACcosZBACsinABAC

19.如圖，等腰梯形ABC。為圓臺的軸截面，E,尸分別為上下底面圓周上的點，且B,E,D,尸四

點共面.

(1)證明：BF/JDE-,

（2）已知A。=2,BC=4,四棱錐C-8EDP的體積為3.

①求三棱錐B-ADE的體積；

②當母線與下底面所成的角最小時，求二面角C3RD的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

第14頁/共17頁

（2）①J；②昱.

23

【解析】

【分析】（1）由面面平行的性質(zhì)定理即可證明；

（2）①將圓臺。。的母線延長交于一點尸，連接PE,延長PE交底面于點Q,連接3Q,CQ,可推得

S&BDF=2SXBD￡，從而得％-ADE=WK-BDF,求得結(jié)論；

②在等腰梯形A6C。中，過點。作邊的垂線OG,垂足為G,可證NDCG為母線與下底面所成角，

由tanZDCG=OG可知，要使ZDCG最小，只要OG最小即可，進而求得DG的最小值，即可求得結(jié)論.

【小問1詳解】

證明：在圓臺。。中，平面ADE//平面BFC,

因為平面BEDFA平面ADE=DE,平面BEDFA平面BFC=BF,

所以BF//DE；

【小問2詳解】

①將圓臺。。的母線延長交于一點尸，連接PE,延長PE交底面于點Q,連接BQ,CQ,

在圓臺。。中，平面ADE//平面

因為平面P