河北省2024屆高三大數(shù)據(jù)應用調(diào)研聯(lián)合測評（VⅢ）數(shù)學試題含答案

絕密★啟用前

河北省2024屆高三年級大數(shù)據(jù)應用調(diào)研聯(lián)合測評（皿）

數(shù)學

班級姓名

注意事項：

i.答卷前，考生務必將自己的姓名、班級和考號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題G%選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需

改動，用橡皮橙干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試

卷上無效；

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的）

4—；

1.已知復數(shù)Z==T（i為虛數(shù)單位八；則復數(shù)2在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為

O0J

A.第一象限“第工象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.拋物線1=2力＜.0九點B（2,2）,則其準線方程為

A.j=-B.J-=——C.y=^

3.已知集合A={z|，+l&0},B={?”og2(H+2,,C={彳|尸+2]一3<0},則(儲)D

(BAC)=

A.{xI—3<x^-1)B.{T\—2<Zx&-1)

C.(x|-l<a:<l}D.巨|一1<才V2)

4.在△ABC中，/|汽為|=6,\AC\=3,AM=2MB,C—=NM,則

AN?CB=

c17

A.-9B.5

BL

C.9D.18

5.設a＞0,a#l，若函數(shù)/（工）=（品三1+。）1。氏\＜）是偶函數(shù)）則。=

A4B-fD.3

6.在正三棱錐P-ABC中，AB=2,M，N分別是PB,BC的中點，AM1PN,則三棱錐

P-ABC的體積為

A76n75c瓜nV2

A-TB-TC-TD-T

高三數(shù)學第1頁（共4頁）

7.已知橢圓Ca+方=1（。>6>0）的左、右焦點分別為F）,入，過色向圓，+/」/引切

線交橢圓于點P,0為坐標原點，若IOP|=|OFJ，則橢圓的離心率為

A.｝B.與C，4D.|

8.已知函數(shù)/Cz）=ln々扣1—az有兩個零點為，且不〈孫，則下列命題正確的是

2]

A.a>lB.ii+rr2V—C.x\?了2<1D.z?—nJ〉---1

aa

二、選擇題（卷題哄3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目

要求，物選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

9.后知函數(shù)/（?）=sin信工一卷）的圖象向左平移;個單位后得到g（z）的圖象，則下列結(jié)論正

確的是

A/、/4,2TV\

A.g（x）=cosl—J：+—I

'OJ/

B.gGr）的圖象關于對稱

C.g（z）的圖象哭多上一堂,0）對稱

D.g（z）在（一，,9）上單調(diào)遞增

10.已知4（0,原'）,8（0，亨），動點尸（才,心滿愿Ml三原'IPBI,則下列結(jié)論正確的是

A.點P的軌跡圍成的圖形面積為"

B.IPBI的最小值為11

C.P,,P是詼的住每兩個位置點，則NPiAPzW?

2O

D.過點lx，R的直線與點P的軌跡交于點M,N,則MN的最小健身笈

11.已知數(shù)列｛a"是公差為d（d￥0）的等差數(shù)列，若它的前，物（1自”1）項的和S2nl=0,則下列結(jié)

論正確’的是

A.若d<0,使a“>0的最大〃的值為m

B.S“是S”的最小值

C.3二+。工+2=。"+3a：+i

D.4m—1+。小。小+|+^^+2

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.第14題第一空2分，第二空3分）

12.已知tana=72，則cos2a=.

13.已知正項等比數(shù)列｛a"的前n項和為S“，若加GN.且22ms3?,+S?,=（2級+1與2巾，則數(shù)列

｛a?｝的公比為.

高三數(shù)學第2頁（共4頁）

14、一個I.兩個2,三個3組成一個六位數(shù)，則相同數(shù)字不相鄰的個數(shù)為;相同數(shù)字

不相鄰的概率為

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

15.（本小期滿分13分）某公司招聘大學生的筆試測試題有一道五分的不定項選擇題,共有AJ3、

C三個選項，該不定項選擇題正確答案最少一個選項，最多三個選項，全?部選對得6分，部分

選對得部分分.即若有三個劃項正確，某同學選擇了兩個正確選項，可得4分,選擇一個正確

選項可得2分，有逅錯的相。分，若有兩個正確選項,選擇一個正確選項可得3分,有選錯的

得0分.某同學七個選項均不會做，只能夠運氣猜，每個選項選與不選的概率均占已知該

同學對該意選掙了若干個答案.不會不選.

?邙該同學對該題選擇兩個答案的概率；

力若該題正確答案是BC,求該同學得分X的分布列和數(shù)學期望.

16.（本小題滿分,在校長均相等的正三棱柱ABC-AiBC.幟4喔就：的中點，E是AC

的三等分點，且力E=2EC.

⑴在梭AC上找一點F,使BF〃平面EDC~

（2）在（1）的條件下，求平面DFC1與平面D￡C,夾序的余弦值.

17.（本小題滿分15分）如圖，在平面四邊形ABCD中，人用中》卜沙2乙CAB,

120°.設/DAC=O.

（1）若AD=2,求BD的長；

（2）若NADB=15°.求tan9.

高三數(shù)學第3頁（共4次）

18.(本小題滿分17分)已知圓尸：(工-2)2+/=12](—2,0),過E的直線與圓F交于A,B

兩點，過E作AF的平行線交直線BF于H點.

(1)求點H的軌跡C的方程；

(2)過F作兩條互相垂直的直線/】交曲線C于B,Q),Z2交曲線C于P”Qz，連接弦

PiQ)的中點和P9的中點交曲線C于M,N,若或?兩=瞿,求。的斜率.

1O

19.(本小題滿分17分)過點PCa力)可以作曲段牛I的兩條切線，切點為A，8.

(1)證明：a(6—〃)>—"■；

e

(2)設線段AB中點坐標為匕1_,「人證明：〃+義>6+工0.

河北省2024屆高三年級大數(shù)據(jù)應用調(diào)研聯(lián)合測評(VID)

數(shù)學參考答案及解析

題號1234567891011

答案ADCCDBCDBCDABDACD

(4—17-1-17111

1.A【解析】==-；.、*」_<=右*=5+右，???復數(shù)「在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為第一象

限，故選A.

2.D乂解析】將P點坐標代入拋物線方程得力=1,故拋物線的準線方程為,=一處.故選D.

3.C【解析】A=(-8,-11，B=(-2,2),C=(-3,l),則(CI(A)n(BnC)=(-l,l),故選C.

4.C［解析］如圖，俞/+:而?=*福麗7-CB=(yXc+jAB)(AB-AC)=

-^-AB2+—AB,AC—T-ACZ=12+-^-X6X3X5—1*=9,故選C.

3oZ6ZL

5.D【解析】設g（￡）=J-g+a,h（a，）Tog。G/M+l—z），，/2（—￡）=—〃（1）"（1）是奇函數(shù)，

a-I

a2—3/—a

.”（?r）也是奇函數(shù)，則g（—1）=-g（;r）r;--+a=----;~--a，解得a=3.故選>

a—1a

6.B【解析】取PC中點H,連接MH交PN于2,???尸/7_1_乂"/31_平面人乂?，???人。_1口/\/,￡）是

W，v=

PN的中點，二PA=AN=6■，設AABC的中心為O,二=-AO'=

:X4XZ'X半=咚，故選B.

J4Oo

7.C【解析】設切點為M,連接PF-由已知IOPI=|OFzl=|OB|,???PF」PF2，???OM，PF2，???OM〃

2z222

PF},IPF|I=b,IPF21=2a—b,*.bF（2a—6）=4c=4（a—6）,—=-^-,e=—=-^-.故選C.

a6ao

InJ'+1In.7'+1

8.D【解析】由/a)=°可得”;丁，令g(z)=丁，其中z>。,

則直線y=a：與函數(shù)g(工)的圖象有兩個交點,g'Cr)

由g'Cr)>0可得OVzVl,即函數(shù)g(z)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),

由/(工)<0可得了>1,即函數(shù)8包)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8).

且當0<7<,時，目包)=應？+1<0,當工>工時，gGr)=①?1>0,如下圖所示:

exex

由圖可知，當0<a<l時，直線_y=a與函數(shù)gCr)的圖象有兩個交點，故A錯誤;

高三數(shù)學參考答案第1頁(共6頁)

由圖可知，,VR1VIV尤2，

e

11—ftT*11

因為/'Cr）=一一a=——二，由/（工）＞0可得OVhV-,由/'（z）V0可得Z〉一,

xxaa

所以，函數(shù)/（z）的增區(qū)間為（0,?）,減區(qū)間為（：，+8）,則必有0＜叫＜5＜孫，

121

所以，0V]i＜一，則---1]＞一,

aaa

—n)—Inx+ax，其中OVzV一，

'a

1

j------

則/(J')=」T—!+2a、aV0,則函數(shù)A（z）在（0,；）上單調(diào)遞減.

X--------*9

所以，/,（叫）＞/＞（!）=0,即/（2一叫）一/（叫）＞0,即/（為）〈/（?一工），

又/（叫）=0,可得一工J，、

因為函數(shù)/Cr）的單調(diào)遞減區(qū)間為則一以，即為+4＞?，故B錯誤

axx=lnJ*.+1—...』一，.ln(X]X)+2

由，兩式相加整理可得以2

+1a

axz=lnx2+1

所以，m（以比2）＞0、可得了「科》1，故C錯誤；

由圖可知工'＜了|，則一工1〉—1,又因為孫＞^■，所以，叫一1.上一1.故D正確.故選D.

￥a

9.BCD【解析】g(i)=sin=sin(9+/上手外"+尹方)=-cos佶z+巧,

\JJ/

故A錯誤；由8倍）=1,得B正確；由g（—9）=0,在C正確；由2后44%+等47：+2后,得一怖+

'of0＜5/

/

竽入學工,當k=0時,一,工」〈亍?卷D1E確.故選BCD.

10.ABD【解析】由|PA|=?iPBi得:工+(^-V2)2=2x2+，即儲+1=1,面積為K.A

正確；點B在圓內(nèi),由圖知|PB|最小值為1一冬,B正確，過A向圓引切線,兩條切線夾角為三.C不正

確.過點I的直線與點P的軌跡交于點M.N,則MN的最小值為&,D正確，故逸ABD.

11.ACD【解析】由已知得*_]+amJrZ=am+%+1=0,若IV0?a0,明,、、0,A正確；當IV。時，S.

是Sn的最大值，B不正確;3J(aOT-i+am+2)=3J(am+am+i-).Alaaw-i)(??-1+%+2)=3(um-i

。切）（。切+。切+1），；?3a：+a：+2+3Q，],C正肺[同理a+am+l（6,+2+a,"），兩邊乘以

2d得(a-]+々”,i)(%+])=—(a1M+2+￡沙口—2一々《,)，整理得a.i+a：=a：+i+a：+2，故D

正確.故選ACD.

2_

12.【答案】

3

cos2a-sin，1-tan，1

【解析】cos2a=cosa—sinwa

si/a+cos，1+tan，3,

13.【答案】｝

高三數(shù)學參考答案第2頁（共6頁）

【解析】方法一：令7〃=1,?=4(。1+^2+。3)+。I=5(。I+々2)，々2=4々3，q=t".

方法二：22'“(S3,”~~s2m)=s21rt~s,?，:?(1='s'"'[s'"=(十)，?二q=7p

14.【答案】10(2分)《(3分)

【解析】先將122排好，有三種排法122,212,221,然后將三個3插入，對于122,先將兩個2中間插入一

個3,將剩下的兩個3插入三個空隙有C：=3種插法，同理，221也有3種插法，對于212,四個空隙,插入

三個3,有C；=4種插法,共有10種.而這6個數(shù)組成的六位數(shù)共有g(shù)r=60種，其概率為瞿=《.

AjAj606

15.【解】(1)設“該同學對該題不會空選”為事件A,“該同學選擇兩個選項”為事件B,且BUA.……1分

P(A)=l-(y)=9,............................................................................................................................2分

P(B)=CI(|)3=|,............................................................................................................................3分

P(AB)=P(B),....................................................................................................................................4分

由條件概率,P(BlA)=》P(A*R')=右3....................................................6分

(2)由已知，X=0,3,6,......................1...................................................................................................7分

\2/1

P(X=6)=P(A)=7..............................................................................................2......................8分

2(9)2八

P(X=3)--p^y=y,........................................................................................................................9分

4

P(X=0)=y..............................................................................，：..............................10分

其分布列為

X036

￡2

P777

E(X)=0Xa+3乂7+6義：=爭........................................................13分

16.【解】(1)方法一；連接FC,交CE于H,連接DH,......................................................................1分

TBFU平面BFC,BF〃平面DEC,,

平面BFCPI平面DEC|=DH,

:.BF//DH.......................................................................................3分

'."FCJ/EC,

：.FC、=EC,..........................................................4................................................................................5分

：.AiF=2FCt,

.?.F是A|G的靠近點C1的三等分點......................................................6分

方法二：取AE的中點G,連接BG,

：.BG//DE,...........................................................................................................................................1分

過G作GF〃EG交AG于F,連接BF,

高三數(shù)學參考答案第3頁(共6頁)

...BG〃平面DEC）,GF〃平面DEC,,

J.平面BGF〃平面DECi,...............................................................3分

??.BF〃平面DEC,,.....................................................................................................................................4分

GE』FG=%G，

??.F是AC的靠近點G的三等分點......................................................6分

（答出A,F=2FC,等也給分）

（2）設棱長為6.以DA、DB為z、y軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

C（0,-3,0）,Ct<0.-3,6）,E（V3,-2,0）,F（V3,-2,6）................7分

DC]—（0.-3.6）,DE=（乃，-2.6）?DF=（73?—2,6）,...........8分

設平面DFQ的法向量為，”=（心，"，zi）,

.Jm-DF=0,2ZL2W+6ZI=O,

IAW?DC）=0?l—3y]+6z[=0,

令￡i=1，工加=（1,一氐、一........................................10分

設平面DEG的法向量為〃=（孫，山，如），

.,?DE=0,悴孫一2yz=0，

In,DC?=0.I—3y2+6z2=0,

12分

14分

所以平面DFg與平面DEC1夾角的余弦值為15分

boy

17.【解】（1）在△AC。中,由正弦定理得：

AC_AD

sinZADC=sinZACD

即sin120°=sinNACD，..............'.............................................................................................................2分

解得NACD=30°,.........................................................................................................................................3分

在△ABD中.由余弦定理得BDZ=i2+4-2X2X2痣cos150°=28,................................................5分

BD=241...........................................................................................................................6分

（2）由已知NBAD=120°+0,；NADB=15",........................................................................................7分

.?.在中，上Z-分

aABDsin15sm（120+。）..................................................................................................8

NDBA=45°-<9,NCBD=0-15°,

ZBDC=105°,ZBCD=9O°-6>,.............................................................................................................11分

...在△BCD中，sEi05°=sin（90°一夕）'...................................................”分

_6cos02石sin（120°+。）

cos150sin150

高三數(shù)學參考答案第4頁（共6頁）

/.tan^=6-3V3.................................................................................................................................15分

18.【解】（D如圖，???EH〃AF"?NHEB=NFAB,.................................................................................1分

又???AF=BF,???HE=HB,................................................................................................................2分

A

即以,fHE=BF=26■，當A,B兩點互換時，HE—HF=26\.....................................................4分

?.笈殖的軌跡是以E、F為焦點，實軸長為2居的雙曲線,a=6;c=2,b=l,即《一y2=l...........6分

⑵顯然I與"的斜率存在,且不為0.設乙：?=MH-2）,巳（Hi，w）,Q1（Z2，，z），

將4的方程代入C中整理得式1-3/）儲+12公工一。於，+3）=0,..............................................7分

J1-34W0,

則］

lzl=144^,+4（l-3^2）（12^2+3,）<，

.I12及2.44.r>AX“Id.,/6/2k\c八

??小=中點為..................8分

1.6—2k\

用一M代換A可得匕Q的中點,勵丁丁?丁丁，.......................................9分

k'3一々3—4'

2k-2k

“2_1Q—L22b

；?MoNo俏斜率也是MN的斜率=---------=——-----1?...............................10分

64“63（4^11

3-—1-3一-

...MN的方程為/_力號]=-&“?1、（工一:，?當y￥0時.H=3.

34—13（々一1）\我1

；?MN恒過點（3,0）,..........................................................................................................................11分

設MG?，八）/NG?,yi）,MN的方程為/Y工-3,

代入C中整理得：（〃一3））2+6x*信u,......................................................................................12分

,一3瓷0,

[△=36〃-24（12—3，”，

；■》3+y4=一.….、、*----,............................................?“???7”?.?…13分

—18—27—3/2

X+JT=/（v十v）+6=-------=-------------；--------,...............................…???e?.ei??+....................14分

34/-—3廠—3

―?―>619

???FM?FN=（x-2）（x12）+y3M=1+《一""；=

3t—3lo

解得〃=16"=±4,滿足②，.............................................................15分

二一二^=士4,解得/=士3或4=士;，滿顯功人

.?決=±3或&=士....................................................................17分

19.【解】（1）設切點A（，，e'+，），y'=l+e'，.............................................................................................1分

八=1+3=吐包」，即關于，的方程（（一。一1）3+。一。=0有兩個不相等的實數(shù)根.......2分

t-a

設/（￡）=（2-a—De'+6-a,???/'（/）=（，一a）e'=0,z=a,.............................................................3分

高三數(shù)學參考答案第5頁（共6頁）

故/（Z）在Z=a處取得極小值也是最小值/（a）=。一a—e0,.....................................................4分

當/f+8時,/Q）f+8,當/f—8時,/Q&，若滿足方程有兩個不相等的實數(shù)根,

?'?OV6—aVe",a>ln(6——a),a(Z?——a)>(5——a)ln(6——a),...............................................................6分

設g(?r)=zlnn,；?g'(x)=l+ln%=O,z=-^-,.....................................................................................7分

e

；?gCr)在力=工處取得最4值g(')=—,?.〃(〃—)>—........................................................8分

e\e/ee

(2)設A(』i4wJ.8(^2,32)，；?*=9(、1+,2)=9(e「+e，)+io.................................................9分

A—/7b—(1

由<1)知?人一(a+DT-T-二。』-(。+1H—7—=0,................................................................10分

ee2

(r—1)e,F

兩式相減整理得山一a='1「2'—?...........................................................11分

e1—e2

(彳】一i2)e”1,e!4ke-e

(6-a)—(y-XQ)=------7------7-------------(e'e)=7------7—2(^j—x)

Qe*-e2-2(e*-e2)L2e.

---------------|2(為一i2)-e?—,??............................................................................................13分

2(e-e)L

不妨設乃>12，〃[=不?1??，，?■?--------->0.則力(〃2)=2〃?一(e'”-e)...................14分

2(e—e)

/1‘(〃z)=2-LE-，"、2—2=0,.........................................................................................................15分

；?h(m)在mW<0,T~0°)上單調(diào)遞減，:?h("?X/z(0)=0,..................................................................16分

ACb——a)——(v——)V0,即a+)。>6+10........................................................................................17分

高三數(shù)學參考答案第6頁（共6頁）

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班級姓名

注意事項：

i.答卷前，考生務必將自己的姓名、班級和考號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題G%選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需

改動，用橡皮橙干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試

卷上無效；

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的）

4—；

1.已知復數(shù)Z==T（i為虛數(shù)單位八；則復數(shù)2在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為

O0J

A.第一象限“第工象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.拋物線1=2力＜.0九點B（2,2）,則其準線方程為

A.j=-B.J-=——C.y=^

3.已知集合A={z|，+l&0},B={?”og2(H+2,,C={彳|尸+2]一3<0},則(儲)D

(BAC)=

A.{xI—3<x^-1)B.{T\—2<Zx&-1)

C.(x|-l<a:<l}D.巨|一1<才V2)

4.在△ABC中，/|汽為|=6,\AC\=3,AM=2MB,C—=NM,則

AN?CB=

c17

A.-9B.5

BL

C.9D.18

5.設a＞0,a#l，若函數(shù)/（工）=（品三1+。）1。氏\＜）是偶函數(shù)）則。=

A4B-fD.3

6.在正三棱錐P-ABC中，AB=2,M，N分別是PB,BC的中點，AM1PN,則三棱錐

P-ABC的體積為

A76n75c瓜nV2

A-TB-TC-TD-T

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7.已知橢圓Ca+方=1（。>6>0）的左、右焦點分別為F）,入，過色向圓，+/」/引切

線交橢圓于點P,0為坐標原點，若IOP|=|OFJ，則橢圓的離心率為

A.｝B.與C，4D.|

8.已知函數(shù)/Cz）=ln々扣1—az有兩個零點為，且不〈孫，則下列命題正確的是

2]

A.a>lB.ii+rr2V—C.x\?了2<1D.z?—nJ〉---1

aa

二、選擇題（卷題哄3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目

要求，物選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

9.后知函數(shù)/（?）=sin信工一卷）的圖象向左平移;個單位后得到g（z）的圖象，則下列結(jié)論正

確的是

A/、/4,2TV\

A.g（x）=cosl—J：+—I

'OJ/

B.gGr）的圖象關于對稱

C.g（z）的圖象哭多上一堂,0）對稱

D.g（z）在（一，,9）上單調(diào)遞增

10.已知4（0,原'）,8（0，亨），動點尸（才,心滿愿Ml三原'IPBI,則下列結(jié)論正確的是

A.點P的軌跡圍成的圖形面積為"

B.IPBI的最小值為11

C.P,,P是詼的住每兩個位置點，則NPiAPzW?

2O

D.過點lx，R的直線與點P的軌跡交于點M,N,則MN的最小健身笈

11.已知數(shù)列｛a"是公差為d（d￥0）的等差數(shù)列，若它的前，物（1自”1）項的和S2nl=0,則下列結(jié)

論正確’的是

A.若d<0,使a“>0的最大〃的值為m

B.S“是S”的最小值

C.3二+。工+2=。"+3a：+i

D.4m—1+。小。小+|+^^+2

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.第14題第一空2分，第二空3分）

12.已知tana=72，則cos2a=.

13.已知正項等比數(shù)列｛a"的前n項和為S“，若加GN.且22ms3?,+S?,=（2級+1與2巾，則數(shù)列

｛a?｝的公比為.

高三數(shù)學第2頁（共4頁）

14、一個I.兩個2,三個3組成一個六位數(shù)，則相同數(shù)字不相鄰的個數(shù)為;相同數(shù)字

不相鄰的概率為

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

15.（本小期滿分13分）某公司招聘大學生的筆試測試題有一道五分的不定項選擇題,共有AJ3、

C三個選項，該不定項選擇題正確答案最少一個選項，最多三個選項，全?部選對得6分，部分

選對得部分分.即若有三個劃項正確，某同學選擇了兩個正確選項，可得4分,選擇一個正確

選項可得2分，有逅錯的相。分，若有兩個正確選項,選擇一個正確選項可得3分,有選錯的

得0分.某同學七個選項均不會做，只