初中三年數(shù)學(xué)重難點知識

初中三年數(shù)學(xué)重難點知識匯總

全等三角形相似三角形

圖形

定義能夠完全重合的兩個三角形全等.對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似.

性質(zhì)對應(yīng)邊相等；對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等；

對應(yīng)角相等；對應(yīng)線段（對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線）

所有的對應(yīng)線段、對應(yīng)的量都相等的比都等于相似比；

面積比等于相似比的平方

SSS（邊邊邊）；SAS（邊角邊）；平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形

判定方法與原三角形相似；

ASA（角邊角）；AAS（角角邊）；三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似；

HL（斜邊直角邊）兩角分別相等的兩個三角形相似；

兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似.

形成過程兩個圖形全等，其中一個圖形可以

看作由另一個圖形平移、旋轉(zhuǎn)、軸兩個圖形相似，其中一個圖形可以看

對稱得到作由另一個圖形放大或縮小得到

從全等到相似——放大/縮小的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系

特殊全等圖形?全等三角形■—

聊性質(zhì)

一般相似圖形,相似多邊形^―

性質(zhì)

例：如圖，在銳角△/8C中，。是邊的中點，

（1）過點。作直線，是否能得到全等三角形？請你寫出作圖方法,

并說出判定兩三角形全等的依據(jù).

例：如圖，在銳角△/BC中，。是邊的中點，

（1）過點。作直線，是否能得到全等三角形？請你寫出作圖方法,

并說出判定兩三角形全等的依據(jù).

解：

①過點。作5c的平行線DE,

再過點。作為C的平行線DF.

例：如圖，在銳角△/8C中，。是邊的中點，

(1)過點。作直線，是否能得到全等三角形？請你寫出作圖方法,

并說出判定兩三角形全等的依據(jù).

解：

①過點。作8c的平行線

再過點。作/C的平行線。F.

AADEwADBF.(ASA)

例：如圖，在銳角△/BC中，。是邊的中點，

(1)過點。作直線，是否能得到全等三角形？請你寫出作圖方法,

并說出判定兩三角形全等的依據(jù).

解：

①過點。作5c的平行線DE,

再過點。作為C的平行線DF.

△ADEMADBF.(ASA)

②連接DC

例：如圖，在銳角△/8C中，。是邊的中點，

(1)過點。作直線，是否能得到全等三角形？請你寫出作圖方法,

并說出判定兩三角形全等的依據(jù).

解：

①過點。作8c的平行線

再過點。作/C的平行線。F.

△ADEw^DBF.(ASA)

②連接DC

△DEOACFD.(ASA)

例：如圖，在銳角△/BC中，。是邊的中點，

(2)過點。作一條直線，是否能得到相似三角形？請你寫出作圖方法,

并說出判定兩三角形相似的依據(jù).

解：①過點。作8。的平行線。E;過點。作/C的平行線。巳

AADEsXABC,△BDFSABAC.

例：如圖，在銳角△/8C中，。是邊的中點，

（2）過點。作一條直線，是否能得到相似三角形？請你寫出作圖方法,

并說出判定兩三角形相似的依據(jù).

，，正/，，型“斜4”型

2、判定兩個三角形全等和相似的常規(guī)思路:

判定兩個三角形全等的常規(guī)思路判定兩個三角形相似的常規(guī)思路

1、若有兩組角對應(yīng)相等①夾邊對應(yīng)相等(ASA)

時，則需設(shè)法再找：②其中任一組角的對邊1、若有平行截線時：則用預(yù)備定理

對應(yīng)相等(AAS)

2、若有兩組邊對應(yīng)相①夾角對應(yīng)相等(SAS)2、若有一組角對應(yīng)相①另一組角也對應(yīng)相等

等時，則需設(shè)法再找：②第三邊也對應(yīng)相等等時，則需設(shè)法再找：②夾等角兩邊對應(yīng)成比

(SSS)例

①夾等角的另一邊也對

3、若有一邊、一角對應(yīng)應(yīng)相等(SAS)3、若有兩組邊對應(yīng)成①夾角對應(yīng)相等

相等時，則需設(shè)法再找：②另一角也對應(yīng)相等比例時，則需設(shè)法再②第三邊也對應(yīng)成比例

(AAS或ASA)找：

①頂角對應(yīng)相等

4、在Rt△中，若有一組①斜邊對應(yīng)相等(HL)

4、若有等腰關(guān)系時，②其中一組底角對應(yīng)

直角邊對應(yīng)相等時，則②另一組直角邊也對應(yīng)

則需設(shè)法再找：相等

需設(shè)法再找：相等(SAS)

③底和腰對應(yīng)成比例

例：如圖，在銳角△/BC中，。是邊的中點，

思考：若△Z8C為等腰三角形(非等邊)，連接OC,是否有三角形相似?

若沒有，添加一個什么條件就存在三角形相似？

例：如圖，在銳角△NBC中，。是邊的中點，

(3)若△Z5C為等腰三角形(非等邊)，連接。C,是否有三角形相似?

若沒有，添加一個什么條件就存在三角形相似？

分析:

若△力8C為等腰三角形(非等邊)時,

(1)AB=AC■(2)AB=BC■(3)AC=BC

例：如圖，在銳角△/BC中，。是邊的中點，

(3)若△/8C為等腰三角形(非等邊)，連接。C,是否有三角形相似?

若沒有，添加一個什么條件就存在三角形相似？

分析:(1)當(dāng)時,圖中有△/DC、ABCD、八轉(zhuǎn)。共3個三角形

①△/0C與△Z8C：N/是公共角

只需再尋找一組等角

例：如圖，在銳角△/8C中，。是邊的中點，

(3)若△Z8C為等腰三角形(非等邊)，連接。C,是否有三角形相似?

若沒有，添加一個什么條件就存在三角形相似？

圖中有△/OC、/\BCD'ZUBC共3個三角形

①與△/8C：//是公共角

A只需再尋找一組等角

若NADC=ZB

例：如圖，在銳角△/BC中，。是邊的中點，

(3)若△/8C為等腰三角形(非等邊)，連接。C,是否有三角形相似?

若沒有，添加一個什么條件就存在三角形相似？

分析:圖中有△/DC、ABCD、八轉(zhuǎn)。共3個三角形

①△/0C與△Z8C：N/是公共角

A需再尋找一組等角

若NADC=ZB若NADC=NACB

與外角性質(zhì)矛盾!

例：如圖，在銳角△/8C中，。是邊的中點，

(3)若△Z8C為等腰三角形(非等邊)，連接。C,是否有三角形相似?

若沒有，添加一個什么條件就存在三角形相似？

分析:圖中有△/OC、/\BCD'ZUBC共3個三角形

①△NDC與△/8C：不相似！N/是公共角

需再尋找一組等角

若乙DC=ZB若NADC=ZACB

與外角性質(zhì)矛盾！且乙CB=NB

NADC=NB

與外角性質(zhì)矛盾!

例：如圖，在銳角△/BC中，。是邊的中點，

(3)若△/8C為等腰三角形(非等邊)，連接。C,是否有三角形相似?

若沒有，添加一個什么條件就存在三角形相似？

(1)當(dāng)N8=NC時,

②△ZDC與△8C￡＞：不相似！如果△4X?與相似:

例：如圖，在銳角△/8C中，。是邊的中點，

(3)若△Z8C為等腰三角形(非等邊)，連接。C,是否有三角形相似?

若沒有，添加一個什么條件就存在三角形相似？

分析:(1)當(dāng)時,

②A4DC與dBCD不相似！如果△NOC與△8C。相似:

例：如圖，在銳角△/BC中，。是邊的中點，

(3)若△/8C為等腰三角形(非等邊)，連接。C,是否有三角形相似?

若沒有，添加一個什么條件就存在三角形相似？

分析:(1)當(dāng)時,

③4BCD與4BAC相似！N8是公共角

從角的角度號角度添加：

NBDC=NACB；/BC=CD；

2BDC=』B；—=—；

NBCD=/4BC竽

BC=-AB；

2

BC^—AC.

2

例：如圖，在銳角△/8C中，。是邊的中點，

（3）若△Z8C為等腰三角形（非等邊），連接。C,是否有三角形相似?

若沒有，添加一個什么條件就存在三角形相似？

①△/OC不可能與△/5C相似；

②△仞C不可能與△88相似;

③可以相似：

(添力口N8OC=N/C8或NBCD=NA

，"一—BDBC一后一、

^BC-CD^—=—^BC=—AB^.)

例：如圖，在銳角△/BC中，。是邊的中點，

（3）若△/8C為等腰三角形（非等邊），連接。C,是否有三角形相似?

若沒有，添加一個什么條件就存在三角形相似？

分析:

分析：與（1）類似，

因為這兩種情況都是腰,

點。都是腰月8的中點！

例：如圖，在銳角△NBC中，。是邊的中點，

（3）若△Z5C為等腰三角形（非等邊），連接。C,是否有三角形相似?

若沒有，添加一個什么條件就存在三角形相似？

與（1）類似

①△8C。不可能與。相似；

②△/DC不可能與△BCD相似;

③AACDs/\ABC：

(添力口N/CD=NB或NADC=NACB

c或。c=/c^?=正等.）

例：如圖，在銳角△/BC中，。是邊的中點，

（3）若△/5C為等腰三角形（非等邊），連接。C,是否有三角形相似?

若沒有，添加一個什么條件就存在三角形相似？

若添加一個條件NHC8=90°:

NA=/B=45°

此時叢BCD(SSS)

所以AACDsABCD.

貝I」△4C0s△BCOsAABC.

回顧：A先挖掘題目已知的邊、角關(guān)系A(chǔ)再根據(jù)判定方法找尋條件

判定兩個三角形全等的常規(guī)思路判定兩個三角形相似的常規(guī)思路

1、若有兩組角對應(yīng)相等①夾邊對應(yīng)相等(ASA)

時，則需設(shè)法再找：②其中任一角的對邊對1、若有平行截線時：則用預(yù)備定理

應(yīng)相等(AAS)

①另一組角也對應(yīng)相等

①夾角對應(yīng)相等(SAS)

2、若有兩組邊對應(yīng)相2、若有一組角對應(yīng)相②夾等角兩邊對應(yīng)成比

②第三邊也對應(yīng)相等

等時，則需設(shè)法再找：