吉林省榆樹市第一高級中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末備考卷B文老教材

PAGE13-吉林省榆樹市第一高級中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末備考卷（B）文（老教材）留意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆干脆答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，故．2．若復(fù)數(shù)滿意(為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，所以．3．在等差數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題設(shè)知，，所以，所以．4．已知，都是實數(shù)，那么“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】；，與沒有包含關(guān)系，故為“既不充分也不必要條件”．5．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題為真命題的是（）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，則 D．若，，，則【答案】B【解析】A不正確，因為有可能；B正確；C不正確，因為有可能；D有可能．6．設(shè)，滿意約束條件，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由約束條件作出可行域如圖，易得，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過時，直線在軸上的截距最大，有最小值為．7．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就．書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”，若某“陽馬”的三視圖如圖所示（網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為），則該“陽馬”最長的棱長為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由三視圖知：幾何體是四棱錐，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，如圖：其中平面，∴，，，∴，，，該幾何體最長棱的棱長為．8．在中，為重心，記，，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵為的重心，∴，∴．9．已知函數(shù)在處取得微小值，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，則，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立．10．已知是定義域為的奇函數(shù)，滿意，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】是定義域為的奇函數(shù)，可得，，即有，即，進而得到，為周期為的函數(shù)，若，可得，，，則，可得．11．定義行列式運算，已知函數(shù)，滿意：，，且的最小值為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，，因為的最小值為，所以，則由，得．12．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對，都有成立，若，則滿意不等式的的范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，，∴在定義域上單調(diào)遞增，不等式，即，∵，∴．即，∴．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知點，，若，則_______．【答案】【解析】因為，所以，解得，故，．14．已知曲線，則曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積為_______．【答案】【解析】對求導(dǎo)，，，所以曲線在處的切線斜率為，切線方程為，切線與坐標(biāo)軸的交點為和，所以切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為．15．兩直線與平行，則它們之間的距離為_______．【答案】【解析】依據(jù)兩直線平行得到斜率相等，解得，則直線為，取上一點求出點到直線的距離即為兩平行線間的距離，所以．16．在四面體中，平面，，，點為的重心，若四面體的外接球的表面積為，則_______．【答案】【解析】設(shè)的中點為．∵點是的重心，∴．設(shè)的外心為，由題意得點在上，令，則有，即，解得．又平面，∴四面體的外接球的半徑，由題意得，解得，∴．三、解答題：本大題共6大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（12分）已知是數(shù)列的前項和，，．（1）證明：當(dāng)時，；（2）若等比數(shù)列的前兩項分別為，，求的前項和．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：當(dāng)時，∵，∴．（2）解：由（1）知，，∴的公比，且，∴．18．（12分）為了了解甲、乙兩個工廠生產(chǎn)的輪胎的寬度是否達標(biāo)，分別從兩廠隨機各選取了個輪胎，將每個輪胎的寬度（單位：）記錄下來并繪制出如下的折線圖：（1）分別計算甲、乙兩廠供應(yīng)的個輪胎寬度的平均值；（2）輪胎的寬度在內(nèi)，則稱這個輪胎是標(biāo)準(zhǔn)輪胎．（i）若從甲廠供應(yīng)的個輪胎中隨機選取個，求所選的輪胎是標(biāo)準(zhǔn)輪胎的概率；（ii）試比較甲、乙兩廠分別供應(yīng)的個輪胎中全部標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的方差的大小，依據(jù)兩廠的標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均水平及其波動狀況，推斷這兩個工廠哪個廠的輪胎相對更好？【答案】（1），；（2）（i）；（ii）乙廠的輪胎相對更好，詳見解析．【解析】（1）甲廠這批輪胎寬度的平均值為；乙廠這批輪胎寬度的平均值為．（2）甲廠這批輪胎寬度都在內(nèi)的數(shù)據(jù)為，，，，，，（i）．（ii）甲廠標(biāo)準(zhǔn)輪胎的平均數(shù)為，方差為．乙廠這批輪胎寬度都在內(nèi)的數(shù)據(jù)為，，，，，，平均數(shù)為，方差為．由于兩廠標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均數(shù)相等，但乙的方差更小，所以乙廠的輪胎相對更好．19．（12分）如圖，在底面為梯形的四棱錐中，已知，，，．（1）求證：；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）設(shè)為的中點，連接，，∵，∴，∵，∴，又，平面，且，平面，又平面，∴．（2）連接，在中，∵，，為的中點，∴為正三角形，且，，∵在中，，為的中點，∴，且，∵在中，，∴為直角三角形，且，∴，又，且，∴平面，∴．20．（12分）已知圓關(guān)于直線對稱的圓為．（1）求圓的方程；（2）過點作直線與圓交于，兩點，是坐標(biāo)原點，是否存在這樣的直線，使得？若存在，求出全部滿意條件的直線的方程；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，直線和．【解析】（1）圓化為標(biāo)準(zhǔn)為，設(shè)圓的圓心關(guān)于直線的對稱點為，則，且的中點在直線上，所以有，解得，所以圓的方程為．（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時，可得直線的方程為，與圓，交于兩點，．因為，所以，所以當(dāng)直線的斜率不存在時，直線滿意條件；②當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)直線的方程為，設(shè)，，由，得．由于點在圓內(nèi)部，所以恒成立，，，要使，必需使，即，也就是，整理得，解得，所以直線的方程為，存在直線和，使得．21．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）求在處的切線；（2）當(dāng)時，，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），，，∴在處的切線方程．（2），．∵且僅有，，∴在單調(diào)遞增，∴．（i）時，，在單調(diào)遞增，滿意題意；（ii）時，，，而連續(xù)且遞增，所以存在唯一使，，，在上單調(diào)遞減，取，則，不合題意；（iii）時，，，而連續(xù)且遞增，，，在上單調(diào)遞減，取，則，不合題意，綜上所述，．請考生在22、23兩題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，曲線的直角坐標(biāo)方程為．以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點，軸非負(fù)半軸為極軸建立直角坐標(biāo)系，射線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線，的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點，分別為射線與曲線，上除原點之外的交點，求的最大值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)），消去參數(shù)，得，即，∴曲線的極坐標(biāo)方程為．由曲線的直角坐標(biāo)方程，，∴曲線的極坐標(biāo)方程．（2）聯(lián)立，得，∴；聯(lián)立，得，∴，∴．∵，∴當(dāng)時，有最大值．23．