山東省煙臺(tái)市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考試題含解析

PAGE18-山東省煙臺(tái)市其次中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考試題（含解析）留意事項(xiàng)：1.答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息；2.請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上；卷Ⅰ（選擇題）一、選擇題（本題共計(jì)16小題，每題5分，共計(jì)80分）1.設(shè)為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C.-1 D.1【答案】D【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，然后可得復(fù)數(shù)的虛部．【詳解】由題意得，所以復(fù)數(shù)的虛部為1．故選D．【點(diǎn)睛】解答本題簡(jiǎn)單出現(xiàn)的錯(cuò)誤是認(rèn)為復(fù)數(shù)的虛部為，解題的關(guān)鍵是得到復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和熟記相關(guān)的概念，屬于基礎(chǔ)題．2.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是，設(shè)向量，，若，則角的大小為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】D【解析】【分析】由，得到邊角關(guān)系，用正弦定理化角為邊，利用余弦定理即可求解.【詳解】，，，，由正弦定理可得，，.故選:D.【點(diǎn)睛】本題以向量坐標(biāo)關(guān)系為背景，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查計(jì)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.3.設(shè)是虛數(shù)單位，則等于()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)得到答案.【詳解】故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.4.已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)向量,且平面內(nèi)的任一向量都可以唯一表示成(為實(shí)數(shù)),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)已知是平面內(nèi)向量的一個(gè)基底,因此不共線，求出不共線滿意的條件，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知,平面內(nèi)的任一向量都可以唯一表示成,∴是平面內(nèi)表示全部向量的一個(gè)基底,.∴不共線,∴.故m的取值范圍是.故選B【點(diǎn)睛】本題考查向量基本定理，考查向量不共線的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5.設(shè)是兩個(gè)不共線的向量，若則（）A.三點(diǎn)共線 B.三點(diǎn)共線C.三點(diǎn)共線 D.三點(diǎn)共線【答案】A【解析】因?yàn)?==2，故三點(diǎn)共線.故答案為A.6.在中.已知是延長(zhǎng)線上一點(diǎn).點(diǎn)為線段的中點(diǎn).若.且.則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通過(guò)利用向量的三角形法則,以及向量共線,由,,,求解,結(jié)合條件,即可求得答案.【詳解】,,,可得:由故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的三角形法則,解題關(guān)鍵是駕馭向量的基礎(chǔ)學(xué)問(wèn),考查了分析實(shí)力和計(jì)算實(shí)力,屬于中檔題.7.是平面上肯定點(diǎn)，是平面上不共線三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿意：，則的軌跡肯定通過(guò)的()A.內(nèi)心 B.垂心 C.重心 D.外心【答案】A【解析】【分析】先依據(jù)、分別表示向量、方向上的單位向量，確定的方向與的角平分線一樣，可得到，可得答案．【詳解】、分別表示向量、方向上的單位向量的方向與的角平分線一樣又，向量的方向與的角平分線一樣肯定通過(guò)的內(nèi)心故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的線性運(yùn)算和幾何意義．屬中檔題．8.在△ABC中，分別為∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，且，若向量和平行，且sinB＝，當(dāng)△ABC的面積為時(shí)，則b＝（）A. B.2 C.4 D.2＋【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由得，即，由知為銳角，所以，所以，即，，由得，，代入得，．故選B．考點(diǎn)：向量平行的坐標(biāo)表示，余弦定理，三角形的面積．9.在中，，則的形態(tài)肯定是（）A.等邊三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形【答案】D【解析】【分析】先依據(jù)向量減法與向量數(shù)量積化簡(jiǎn)得邊之間關(guān)系，再推斷三角形形態(tài).【詳解】因?yàn)?，所以，即是直角三角形，選D.【點(diǎn)睛】推斷三角形形態(tài)的方法①化邊：通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而推斷三角形的形態(tài)．②化角：通過(guò)三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而推斷三角形的形態(tài)，此時(shí)要留意應(yīng)用這個(gè)結(jié)論．10.如圖，四邊形是正方形，延長(zhǎng)至，使得，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，則（）A3 B. C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】以向量為基底，將用基底表示，即可得到的方程，求解即可.【詳解】為的中點(diǎn)，，.故選;B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算、向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.11.在中，，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意有，由余弦定理得，由正弦定理得.點(diǎn)睛：本題主要考查三角形面積公式，考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用.由于已知三角形的面積和三角形一個(gè)角和一條邊，首先依據(jù)三角形面積公式求出另一條邊，再依據(jù)余弦定理求出第三條邊，最終利用正弦定理求得相應(yīng)的比值.在解三角形的題目中往往正弦定理和余弦定理都須要考慮.12.已知單位向量的夾角為，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別求出，應(yīng)用向量夾角公式，即可求解.【詳解】單位向量的夾角為，，，設(shè)與夾角為，.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查向量的模長(zhǎng)、向量的數(shù)量積、向量夾角，考查計(jì)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.13.若外接圓的半徑為1，圓心為，且,則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用向量的運(yùn)算法則將已知等式化簡(jiǎn)得到，得到為直徑，所以為直角三角形，求出三邊的長(zhǎng)求得的值，利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義即可求得的值．詳解：因?yàn)?，所以，所以，所以三點(diǎn)共線，且為直徑，如圖所示，所以，因?yàn)?，所以，則，故選D．點(diǎn)睛：本題主要考查了向量在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用、數(shù)量積的計(jì)算，以及向量垂直的充要條件等學(xué)問(wèn)的應(yīng)用，其中求出為直角三角形即三邊是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的實(shí)力，以及推理與運(yùn)算實(shí)力．14.（理）已知與均為單位向量，其夾角為，則命題是命題的()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分且必要條件 D.非充分且非必要條件【答案】B【解析】【分析】先利用向量數(shù)量積求向量夾角范圍，再依據(jù)包含關(guān)系確定選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以命題是命題的必要非充分條件故選：B【點(diǎn)睛】本題考查充要關(guān)系的判定以及向量夾角計(jì)算，考查綜合分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.15.某視察站在城的南偏西20°的方向，由動(dòng)身的一條馬路的走向是南偏東25°.現(xiàn)在處測(cè)得此馬路上距處的處有一人正沿此馬路騎車以的速度向城駛?cè)?，行駛了后到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得與之間的距離為，則此人到達(dá)城還須要（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)已知，可得，在中，求出，進(jìn)而求出，在中，求出，再求出，即可求解.【詳解】在城的南偏西20°的方向，由動(dòng)身的一條馬路的走向是南偏東25°，，一人正沿此馬路騎車以的速度向城駛?cè)?，從處行駛了后到達(dá)處，，在中，，，，在中，，，，此人到達(dá)城，還需分鐘.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角應(yīng)用問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為余弦定理、正弦定理解三角形，考查計(jì)算求解實(shí)力，屬于中檔題.16.已知點(diǎn)是的重心，，若，，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為均值不等式求最值的問(wèn)題，據(jù)此求解的最小值即可.【詳解】如圖所示，由向量加法的三角形法則及三角形重心的性質(zhì)可得,，依據(jù)向量的數(shù)量積的定義可得,設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，△ABC等腰三角形時(shí)等號(hào)成立.綜上可得的最小值是.本題選擇C選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量的加法運(yùn)算，向量的模的求解，均值不等式求解最值的方法等學(xué)問(wèn)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和計(jì)算求解實(shí)力.卷Ⅱ（非選擇題）二、填空題（本題共計(jì)4小題，每題5分，共計(jì)20分）17.已知點(diǎn)是的重心，內(nèi)角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、、，且，則角的大小是__________．【答案】【解析】由向量的平行四邊形法則可得，代入可得，故，則．由余弦定理可得，故，應(yīng)填答案．點(diǎn)睛：解答的關(guān)鍵是如何利用題設(shè)中所供應(yīng)的向量等式中的邊的關(guān)系探求處來(lái)，這是解答本題的難點(diǎn)，也是解答本題的突破口．求解時(shí)充分利用已知條件及向量的平行四邊形法則，將其轉(zhuǎn)化為，然后再借助向量相等的條件待定出三角形三邊之間的關(guān)系，最終運(yùn)用余弦定理求出，使得問(wèn)題獲解．18.在中，設(shè)角的對(duì)邊分別是，且，，則________.【答案】4【解析】由正弦定理知，所以，則.19.△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，，則△的面積為________．【答案】.【解析】【分析】首先利用正弦定理將題中的式子化為，化簡(jiǎn)求得，利用余弦定理，結(jié)合題中的條件，可以得到，可以斷定為銳角，從而求得，進(jìn)一步求得，利用三角形面積公式求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，結(jié)合正弦定理可得，可得，因?yàn)?，結(jié)合余弦定理，可得，所以為銳角，且，從而求得，所以的面積為，故答案是.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理及正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.對(duì)余弦定理肯定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要嫻熟駕馭運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，還須要記住、、等特別角的三角函數(shù)值，以便在解題中干脆應(yīng)用.20.如圖所示，已知點(diǎn)為的重心，，，則的值為___________.【答案】72【解析】【分析】由三角形的重心的性質(zhì)以及平面對(duì)量的線性運(yùn)算法則可得,由向量運(yùn)算的三角形法則可得，再由向量垂直的條件、平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算和勾股定理,計(jì)算即可得到所求值.【詳解】連接延長(zhǎng)交于，因?yàn)闉橹匦?，所以為中點(diǎn),且,因?yàn)?所以，則,故答案為72.【點(diǎn)睛】本題考查三角形重心的向量表示,考查向量垂直的條件,考查平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算法則，屬于中檔題.向量數(shù)量積的運(yùn)算主要駕馭兩點(diǎn)：一是數(shù)量積的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.三、解答題（本題共計(jì)4小題，共計(jì)50分）21.在中，分別為角所對(duì)的邊，已知.（1）求角的大??；（2）若外接圓的面積為，且，求邊上的高的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將代入已知等式，綻開整理，求出，即可求解；（2）依據(jù)已知求出外接圓半徑，進(jìn)而求出，由余弦定理，結(jié)合，求出，可得，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?，，?（2）設(shè)外接圓的半徑為，則，故，由正弦定理知，，解得，所以.又，故.點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換、正弦定理、余弦定理、面積公式解三角形，考查計(jì)算求解實(shí)力，屬于中檔題.22.若、是兩個(gè)不共線的非零向量，（1）若與起點(diǎn)相同，則實(shí)數(shù)t為何值時(shí)，三個(gè)向量的終點(diǎn)A，B，C在始終線上？（2）若，且與夾角為60°，則實(shí)數(shù)t為何值時(shí)，的值最??？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三點(diǎn)A，B，C共線，必存在一個(gè)常數(shù)t使得，由此等式建立起關(guān)于λ，t的方程求出t的值；（2）由題設(shè)條件，可以把的平方表示成關(guān)于實(shí)數(shù)t的函數(shù)，依據(jù)所得的函數(shù)推斷出它取出最小值時(shí)的x的值.【詳解】（1），，即，可得；故存在時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線；（2）設(shè)，時(shí)，的值最小.【點(diǎn)睛】本題考查了利用向量解決共線和最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.23.如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，且，已知，.（1）若是銳角三角形，，求角的大??；（2）若的面積為，求的長(zhǎng).【答案】（1）.（2）.【解析】【試題分析】(1)在中,利用正弦定理可求得,得到,利用等腰的性質(zhì)可知.(2)利用三角形的面積公式可求得,利用余弦定理可求得,由此求得的長(zhǎng).【試題解析】（1）在中，，，，由正弦定理得，解得，所以或.因?yàn)槭卿J角三角形，所以