橢圓的幾何性質(zhì)

橢圓的幾何性質(zhì)TOC\o"13"\h\z\u題型1橢圓的幾何性質(zhì) 2題型2點與橢圓的位置關(guān)系 9題型3離心率取值問題 13題型4離心率取值范圍 19◆類型1根據(jù)a,b,c的不等關(guān)系求離心率取值范圍 19◆類型2臨界關(guān)系求離心率的取值范圍 21◆類型3根據(jù)幾何性質(zhì)求離心率的取值范圍 26◆類型4根據(jù)題目的條件求離心率的取值范圍 36題型5直線與橢圓的位置關(guān)系 44◆類型1過定點型 44◆類型2聯(lián)立方程型 46題型6弦長問題 48◆類型1不含參數(shù)型 48◆類型2含參數(shù)型 52題型7中點弦問題 57題型8解答題 60焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范圍－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a頂點A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)軸長長軸長＝eq\a\vs4\al(2a)，短軸長＝eq\a\vs4\al(2b)焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝eq\a\vs4\al(2c)對稱性對稱軸x軸和y軸，對稱中心(0,0)離心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)知識點二.橢圓的離心率1.定義：e＝eq\f(c,a).2.離心率的范圍為：(0,1).2.公式拓展：e＝eq\f(c,a)=1-b2a3.e越大，橢圓越扁平；e越小，橢圓越接近于圓.題型1橢圓的幾何性質(zhì)【例題1】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求下列各橢圓的長軸長、短軸長、焦距、頂點坐標(biāo)、焦點坐標(biāo)和離心率：(1)x2(2)x2(3)4x【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析【分析】（1）首先確定焦點位置在y軸上，即可計算出a,b,c的大小，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程可知其焦點在x軸上，確定a,b,c的大小算出結(jié)果即可；（3）將方程變形成標(biāo)準(zhǔn)方程形式，確定焦點位置在x軸上，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由橢圓方程x26+y29=1所以該橢圓長軸長為2a=6，短軸長為2b=26，焦距為2c=2上下頂點坐標(biāo)為0,3,0,-3，左右頂點坐標(biāo)為上下焦點坐標(biāo)為0,3,0,-（2）由橢圓方程x2169+可得a=13,b=12，則c=5，所以該橢圓長軸長為2a=26，短軸長為2b=24，焦距為2c=10；上下頂點坐標(biāo)為0,12,0,-12，左右頂點坐標(biāo)為左右焦點坐標(biāo)為-5,0,5,0，離心率（3）將橢圓方程4x2+9y2所以a=12,b=所以該橢圓長軸長為2a=1，短軸長為2b=23，焦距為上下頂點坐標(biāo)為0,13,左右焦點坐標(biāo)為-56,0【變式11】1.（多選）（2023秋·河南焦作·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓x216+A．13 B．13 C．19 D．19【答案】BD【分析】利用橢圓焦距的定義和性質(zhì)即可求解.【詳解】由題知，216-m=23解得m=13或m=19.故選：BD【變式11】2.（2023秋·高二課時練習(xí)）曲線x225+A．長軸長相等 B．焦距相等 C．離心率相等 D．短軸長相等【答案】B【分析】通過方程分別研究兩曲線的相關(guān)性質(zhì)，比較即可.【詳解】曲線x225+則a=5,b=3,c=4，長軸長為10，短軸長為6，焦距為8，離心率ca曲線x2由k<9得9-k>0,25-k>0，且25-k>9-k，故曲線x225-k+∴a=25-k長軸長、離心率、短軸長均與k有關(guān)，不一定與曲線x2而其焦距為8，與曲線x2故選：B.【變式11】3.（2024秋·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓E的方程為x2+(y-2)A．長軸長為16 B．短軸長為4C．焦距為2 D．焦點為-2,0【答案】B【分析】先根據(jù)方程化簡得到橢圓方程，結(jié)合選項進行判斷.【詳解】因為x2所以橢圓E是以0,2,設(shè)橢圓E：x2b2+y由b2=a由方程可得長軸長為8，焦距為4，短軸長為43故選：B.【變式11】4.（多選）（2022秋·浙江嘉興·高二校考期中）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:xA．PB．橢圓的焦距為2C．點P到左焦點F1距離的最大值為D．∠F1【答案】ABD【分析】由已知求出a,b,c的值，然后根據(jù)橢圓的定義即可得出A，B項；根據(jù)橢圓的性質(zhì)，可判斷C、D項.【詳解】對于A項，由已知可得a=2，b=1，根據(jù)橢圓的定義可得P對于B項，由已知可得c2=a2-對于C項，由已知可得，點P到左焦點F1距離的最大值為右頂點到左焦點的距離，即a+c=對于D項，如圖，當(dāng)點P為短軸頂點時，∠F1PF2則PF12+P故選：ABD.【變式11】5.（多選）（2022秋·河北邯鄲·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C：x2m+y2A．6+25 B．6+45【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，由點A在橢圓內(nèi)部，再結(jié)合橢圓的定義，列出不等式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點為F'，則F由點A在橢圓內(nèi)部得4m+4m-4<1根據(jù)橢圓的定義及PA+PF又當(dāng)P，F(xiàn)'，A三點共線時PA-PF'綜上，6+25故選:BCD．【變式11】6.（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，用一束與平面α成60°角的平行光線照射半徑為3的球O，在平面α上形成的投影為橢圓C及其內(nèi)部，則橢圓C的（

）A．長軸長為3 B．離心率為2C．焦距為2 D．面積為3【答案】C【分析】先根據(jù)投影的特點確定橢圓C的a，b的取值與球O半徑長之間的關(guān)系，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)計算離心率分別判斷各個選項即可．【詳解】

由題意知：OB⊥AB,OB=3,∠BAO=60°∴橢圓C的長軸長2a=2OA=4，A錯誤；∵橢圓C短軸長為球O的直徑，即2b=23∴c=a2-b2∴橢圓C的離心率e=c由圖可知：橢圓C的面積大于球O大圓的面積，又球O大圓的面積S=3π∴橢圓C的面積大于3π故選：C．【變式11】7.（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點分別為F1,F2，過F2A．3 B．6 C．62 D．【答案】A【分析】由PM⊥F1Q且PF1=PQ=2，得到M為【詳解】如圖所示，因為PM⊥F1Q且PF1又因為O為F1F2的中點，OM⊥x所以△PF1Q為等邊三角形，所以∠PF1所以橢圓C的焦距為2c=3故選：A.【變式11】8.（多選）（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，“嫦娥五號”月球探測器飛行到月球附近時，首先在以月球球心F為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月球飛行，然后在P點處變軌進入以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月球飛行，最后在Q點處變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月球飛行，設(shè)圓形軌道Ⅰ的半徑為R，圓形軌道Ⅲ的半徑為r，則（

）A．軌道Ⅱ的長軸長為R+rB．軌道Ⅱ的焦距為R-rC．若R不變，r越小，軌道Ⅱ的短軸長越大D．若r不變，R越大，軌道Ⅱ的離心率越小【答案】AB【分析】根據(jù)橢圓中一個焦點與長軸兩頂點的距離分別為a+c,a-c，分別結(jié)合圓的半徑R和r分析選項即可求解.【詳解】設(shè)橢圓長軸2a，短軸2b，焦距2c，對于B，由橢圓的性質(zhì)知，a+c=R,a-c=r，解得2c=R-r，a=R+r對于C，由上知2b=2a若R不變，r越小，2b越小，軌道Ⅱ的短軸長越小，故C錯誤；對于D，因為e=c若r不變，R越大，則2Rr+1故選：AB題型2點與橢圓的位置關(guān)系【方法總結(jié)】點P(x0，y0)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系：點P在橢圓上?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；點P在橢圓內(nèi)部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)<1；點P在橢圓外部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)>1.【例題2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）若點3,2在橢圓x2A．點-3,-2不在橢圓上 B．點3,-2不在橢圓上C．點-3,2在橢圓上 D．無法判斷上述點與橢圓的關(guān)系【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的對稱性可判斷.【詳解】點-3,-2與點3,2關(guān)于原點對稱，點3,-2與3,2關(guān)于x軸對稱，點-3,2與3,2關(guān)于y軸對稱，若點3,2在橢圓x2a2+y2b故選：C【變式21】1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）點P(4cosα，23sinα)(α∈R)與橢圓C：x24＋A．點P在橢圓C上 B．點P與橢圓C的位置關(guān)系不能確定，與α的取值有關(guān)C．點P在橢圓C內(nèi) D．點P在橢圓C外【答案】D【解析】將P的坐標(biāo)代入到橢圓方程的左邊，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可判斷點和橢圓的位置關(guān)系.【詳解】把點P(2cosα，3sinα)(α∈R)代入橢圓方程的左邊為4cosα＝4（cos2α＋sin2α）＝4>1，因此點P在橢圓外．故選:D.【變式21】2.（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）點Aa,1在橢圓xA．-2,C．-2,2 D．-1,1【答案】B【分析】根據(jù)點在橢圓外部得不等式，解不等式得結(jié)果.【詳解】因為點Aa,1在橢圓x所以a24+故選：B.【變式21】3.（2022秋·遼寧葫蘆島·高三校聯(lián)考期中）函數(shù)y=a3-x（a>0，且a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在橢圓x2m+y2A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【分析】求出A的坐標(biāo)代入橢圓方程，再將m+n化為積為定值的形式，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】由3-x=0，即x=3，得y=1，所以A(3,1)，因為點A在橢圓x2m+y2n=1所以m+n=(m+n)(9當(dāng)且僅當(dāng)m=12,n=4時，等號成立.故選：C【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.【變式21】4.（多選）（2023·全國·模擬預(yù)測）已知曲線C:mxA．0<m<12 B．CC．m的值越小，C的焦距越大 D．C的短軸長的取值范圍是0,2【答案】AC【分析】由曲線C為焦點在x軸上的橢圓，得出a2和b2，根據(jù)a2>b2>0即可判斷A；根據(jù)橢圓離心率e=【詳解】對于A：根據(jù)題意知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2因為C的焦點在x軸上，所以1m>1對于B：由A可得a2=1所以橢圓C的離心率e=c對于C：橢圓C的焦距2c=2a因為函數(shù)y=1m，y=-1所以m的值越小，C的焦距越大，故C正確；對于D：橢圓C的短軸長2b=21因為當(dāng)0<m<12時，所以11-m所以2b∈(2,22故選：AC．【變式21】5.（2023·高二課時練習(xí)）設(shè)點Px,y是曲線x225+yA．PF1C．PF1【答案】C【分析】先將曲線方程化簡，可知其圖形在橢圓x225+【詳解】解：曲線x225+y2以F1(-4,0)，F(xiàn)2在直角坐標(biāo)系中，作出曲線x225+由圖形以及橢圓的定義可知：若P(x,y)在橢圓x225+y29=1上，又在曲線x若P(x,y)在橢圓x225+y2綜上，PF故選：C.題型3離心率取值問題【方法總結(jié)】1．橢圓的離心率的求法：(1)直接求a，c后求e，或利用e＝eq\r(1－\f(b2,a2))，求出eq\f(b,a)后求e.(2)將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式兩邊同除以a2或a4構(gòu)造關(guān)于eq\f(c,a)(e)的方程求e.2．求離心率范圍時，常需根據(jù)條件或橢圓的范圍建立不等式關(guān)系，通過解不等式求解，注意最后要與區(qū)間(0,1)取交集．【例題3】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),O為橢圓的對稱中心，A．32 B．5-12 C．【答案】B【分析】根據(jù)題意確定PF=OF，進而可得【詳解】如圖，不妨設(shè)F(c,0),P(c,y因為點P(c,y0)在橢圓上，所以c所以P(c,b又因為△POQ為等腰直角三角形，所以PF=即b2a=c，即a解得e=5-12故選:B.【變式31】1.（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1,F2，點P是橢圓C上位于第一象限的一點，且A．217 B．3311 C．7【答案】B【分析】由P點坐標(biāo)求得Q點坐標(biāo)，然后代入橢圓C的方程，化簡求得橢圓C的離心率.【詳解】由x2a2+y由于PF2與y軸平行，且P在第一象限，所以由于2P所以O(shè)Q=即Q-95c,-2b281c77c所以離心率e=c故選：B【變式31】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知右焦點為F的橢圓E：x2a2+y2b2=1a>b>0上的三點A，B，C滿足直線A．22 B．75 C．3【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的對稱性，結(jié)合平行四邊形的判定定理和性質(zhì)、橢圓的定義、勾股定理、橢圓的離心率公式進行求解即可.【詳解】設(shè)橢圓左焦點為F1-c,0，連接AF1，設(shè)CF=m，m>0，結(jié)合橢圓對稱性得A由橢圓定義得AF=2a-3m，CF1因為OF=OF則四邊形AF則AF1∥BF，而則AF12整理得m=a3，在Rt△FA即9m2+∴a2=2c故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用橢圓的對稱性和定義.【變式31】3.（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦點為F1A．14,12 B．1【答案】D【分析】由題意可得F1-c,0,F2c,0，設(shè)Px,y，可表示出P【詳解】由題意可知，F(xiàn)1-c,0,因為x2a2又PF1=所以PF因為-b≤y≤b，則0≤y當(dāng)y2=b2時，PF即3c≤a≤所以e=c即橢圓C的離心率為55故選：D.【變式31】4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的上頂點為【答案】12/【分析】求出線段BF2的中點坐標(biāo)，根據(jù)兩直線垂直斜率關(guān)系可得a2【詳解】

如圖，設(shè)BF2的垂直平分線與BF由題，F(xiàn)1-c,0，F(xiàn)2c,0，∴kF1∵k∴b3c×由a2=b∴e2=故答案為：12【變式31】5.（2022秋·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知F1、F2為橢圓x2a2+y2【答案】45/【分析】根據(jù)橢圓定義并利用余弦定理可得PF1PF2=4【詳解】根據(jù)題意畫出圖象如下圖所示：利用橢圓定義可知PF1+又∠F1=4化簡可得PF所以△PF1F設(shè)△PF1F2的外接圓半徑為由正弦定理可得F1F2易知△PF1F利用等面積法可知S△PF1又△PF1F所以Rr=8，即可得Rr離心率e=c故答案為：45【點睛】方法點睛：求解橢圓焦點三角形外接圓與內(nèi)切圓半徑問題，通常利用正弦定理計算外接圓半徑，由等面積法公式S=1題型4離心率取值范圍【方法總結(jié)】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式e=c②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2◆類型1根據(jù)a,b,c的不等關(guān)系求離心率取值范圍【例題41】（2023·全國·高二專題練習(xí)）橢圓x25a+A．（0，15） B．（15，C．0,55【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的焦點在x軸上，由5a>4a2+1【詳解】解：因為橢圓的焦點在x軸上，∴5a>4a2+1又e=5a-4∴它的離心率的取值范圍為0,5故選：C.【變式41】1.（2023春·海南·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知橢圓x2A．0,55 B．0,12【答案】C【分析】先根據(jù)焦距求出m的范圍，然后離心率的公式可得答案.【詳解】設(shè)橢圓的長軸長、短軸長、焦距分別為2a,2b,2ca,b,c>0因為m>4，所以a2=m，b2=4，則此時e2=c故選：C【變式41】2.（2023秋·高二單元測試）已知橢圓的焦距不小于短軸長，則橢圓的離心率的取值范圍為．【答案】2【分析】根據(jù)題設(shè)可得c≥b，結(jié)合橢圓參數(shù)關(guān)系及離心率性質(zhì)求離心率范圍.【詳解】依題意，2c≥2b，即c≥b，所以c2從而c2≥a2-c2所以橢圓離心率的取值范圍是22故答案為：2【變式41】3.（2023秋·河南洛陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為A．2-1,1 B．2-1,1 C．0,【答案】B【分析】由正弦定理及橢圓定義得ca=sin∠PF2F1sin【詳解】由asin∠PF1F又PF1∈∴a2-c又e∈0,1，∴e∈故選：B．◆類型2臨界關(guān)系求離心率的取值范圍【例題42】2023秋·高二單元測試）橢圓C:x2a2+y2b2A．0,12 B．12【答案】B【分析】先根據(jù)焦點三角形的頂角范圍，求出橢圓特征三角形頂角θ的范圍，繼而求出離心率的范圍.【詳解】設(shè)橢圓的上頂點為B,則令∠F則e=c∵0°≤∠F1P∴30°≤θ<90°,∴e=sin故選：B.【變式42】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）若橢圓x2a2+y2b【答案】2【分析】方法一：設(shè)點M的坐標(biāo)是x0,y0，則x0<a，由題意方法二：設(shè)點M的坐標(biāo)是x0,y0，由已知可得出關(guān)于x0、y0的方程組，求出x0方法三：設(shè)橢圓的一個短軸端點為P，由題意∠F1P【詳解】方法一：設(shè)點M的坐標(biāo)是x0,y∵F1-c,0，F(xiàn)2c,0，∴∵∠F1MF2又點M在橢圓上，即y0∴x02+∴c2≥b又0<e<1，∴22故橢圓的離心率e的取值范圍是22方法二：設(shè)點M的坐標(biāo)是x0由方法一可得x02a2+∵0≤x02由②得c2由①得c2≥b2，即c2又0<e<1，∴e∈2綜上所述，橢圓的離心率e的取值范圍是22方法三：設(shè)橢圓的一個短軸端點為P，∵橢圓上存在一點M，使∠F∴∠F1PF2∴c2≥b又0<e<1，∴22故橢圓的離心率e的取值范圍為22故答案為：22【變式42】2.（2022秋·河南商丘·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓C1:x2+y2=b2與橢圓C2:xaA．[32C．22,【答案】A【分析】設(shè)橢圓C2上任意點P(與上下頂點不重合)作圓的切線PB,PC，∠BPC=2θ且0<θ<π2，根據(jù)題意問題化為保證|OP|=a【詳解】由題設(shè)，圓與橢圓在上下頂點處相切，橢圓C2上任意點P(與上下頂點不重合)作圓的切線PB,PC若∠BPC=2θ且0<θ<90°，要P所作的圓C1的兩條切線的夾角最小，只需|OP|所以，當(dāng)P與左右頂點重合時|OP|max=a，此時∠BPC=2θ最??；P靠近上下頂點時2θ在橢圓C2上存在一點P，使得P所作的圓C1的兩條切線的夾角為所以，保證|OP|=a時∠BPC=2θ≤60°，即0<θ≤30°，由題意及圖知：sinθ=|OB||OP|=b所以橢圓C2的離心率的取值范圍是[故選：A【變式42】3.（2023·全國·高二專題練習(xí)）過原點作一條傾斜角為θθ∈π6,5【答案】2【分析】分別討論直線AB的斜率是否存在，利用坐標(biāo)運算即可求解橢圓的離心率e的取值范圍.【詳解】當(dāng)傾斜角θ=π2時，直線AB的斜率不存在，如圖則A若AF⊥BF，則AF?BF=所以a2=所以橢圓的離心率e=c當(dāng)傾斜角為θ∈π6,π2∪π設(shè)Ax0,y0若AF⊥BF，則AF?聯(lián)立①②，結(jié)合a2=b由k=y0x0，k∈-所以b4c4-b所以2a2-c綜上，橢圓的離心率e的取值范圍為22故答案為：22【變式42】4.(2023·廣西南寧·南寧市武鳴區(qū)武鳴高級中學(xué)?？级＃┰O(shè)F1、F2分別為橢圓x2a2+y【答案】2【分析】在△MF1F2，由正弦定理結(jié)合條件有:【詳解】由∠MF1F2=α，∠MF2F1離心率e=sinβsinα，則由于a-c<MF2a+ca-c由2a2<a+c2有2所以橢圓離心率取值范圍為2-1,1故答案為：2-1,1◆類型3根據(jù)幾何性質(zhì)求離心率的取值范圍【例題43】（2023春·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若橢圓E:x2+y21-m2=1A．0,12 B．12,1【答案】D【分析】先由橢圓方程表示a，b，c，再OP=m結(jié)合橢圓圖形得出c≥b【詳解】設(shè)橢圓E的長半軸長、短半軸長、半焦距分別為a，b，c，由題意知a=1，b=1-m2由橢圓E上存在點P滿足OP=m，等價于以O(shè)為原點，以c得c≥b，所以c2≥b所以e=ca≥所以E的離心率的取值范圍為22故選：D.【變式43】1.（2023秋·高二課時練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2bA．0，3C．35，【答案】A【分析】利用△PF1F2面積相等，得到|y【詳解】△MF1F2的面積為12|F1F2解得|yM|=a+c兩邊平方得：(a+c2整理得：5因為e=ca,不等式兩邊同時除以a解得：0<e≤故選：A【變式43】2.（2021·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1、F2，半焦距為【答案】0,【分析】因△PF1F2在以【詳解】

如圖，PF因為△PF1F所以S△P因為0<S所以22a+cc≤bc所以12a+c2因e=ca，得3e因0<e<1，故e∈0,故答案為：0,【變式43】3.（2021秋·陜西漢中·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓的右焦點為F，上頂點為B，直線l:x-y=0與橢圓C交于不同的兩點M，N，滿足|MF|+|NF|=4，且點B到直線l的距離不小于22，則橢圓C的離心率eA．0,32 B．32,1【答案】A【分析】先結(jié)合橢圓的定義及對稱性，求得a，然后由題目的條件可得b的取值范圍，由此即可確定離心率e的取值范圍.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點為E，連接EM,EN，結(jié)合橢圓的性質(zhì)以及直線l:x-y=0，可得四邊形EMFN為平行四邊形，所以MF+NF=NE+因為點B到直線l的距離不小于22，B(0,b)，直線l:x-y=0所以d=b2≥因為e=e所以e∈故選：A【變式43】4.（2023秋·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校校考階段練習(xí)）橢圓x2a2+y2b2=1A．0，4C．0，17【答案】B【分析】由圓的半徑大于橢圓的短半軸長且小于橢圓的長半軸長得不等關(guān)系，從而得a,b,c的不等關(guān)系，再結(jié)合a2【詳解】由題意b<bt+c2<a∴b<b+c2b+c2<a，由b<b+c2得又b+c2<a，即b2=∴45故選：B．【變式43】5.（2022秋·山東淄博·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若F1、F2為橢圓C：x2a2+y2b2=1的左、右焦點，焦距為4，點P為C【答案】2【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算律和橢圓的性質(zhì)求解.【詳解】由題可得，F(xiàn)1設(shè)O為坐標(biāo)原點，則OF所以P=PO2-4=λ因為λ∈1,4，所以PO若存在四個不同的點P滿足PO2∈5,8所以b2<5a2>8所以e2=4故答案為:23【變式43】6.（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足MFA．(0，12) B．(0【答案】B【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合點在橢圓內(nèi)部的特點、橢圓離心率公式進行求解即可.【詳解】根據(jù)橢圓的對稱性，不妨設(shè)焦點在橫軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2設(shè)F1-c,0,MF點Mx0,要想該不等式恒成立，只需2a而e>0?0<e<2故選：B【變式43】7.（2023秋·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知點Px0,y0是橢圓C:x2a2A．0,22 B．0,22【答案】D【分析】由題意可得以F1F2【詳解】解：由已知，以F1F2所以22故選：D.【變式43】8.（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)F1、F2分別是橢圓C:xA．0,12 B．0,13【答案】C【分析】根據(jù)題意可得以F2為圓心，以|PF2【詳解】由題意橢圓C上存在點P，使線段PF1的垂直平分線過點則|PF且需滿足以F2為圓心，以|P即2c≥a-c，即e=ca≥故橢圓離心率的取值范圍是13故選：C【變式43】9.（2023·海南·?？寄M預(yù)測）已知F是橢圓x2a2+yA．[32,1) B．(0,3【答案】C【分析】利用題給條件和橢圓定義構(gòu)造不等式，進而求得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)橢圓左右焦點分別為F1，F(xiàn)，連接F由橢圓及直線的對稱性知：四邊形AFBF且∠AFB=120°，∠FAF在△AFFFF∴(AF+AF（當(dāng)且僅當(dāng)AF=可得14(AF+AF1)∴橢圓的離心率e∈[1故選：C【變式43】10.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓C:x2aA．0,1 B．0,22 C．2【答案】C【分析】設(shè)橢圓C的右焦點為F'，連接AF'．由橢圓的性質(zhì)分析出以FF'【詳解】設(shè)橢圓C的右焦點為F'，連接A由橢圓的性質(zhì)得，AF'∥BF，∠FAF設(shè)橢圓C的半焦距為cc>0，所以只需c≥b，所以c2≥a2故選：C【變式43】11.（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2bA．0,12C．0,22【答案】B【分析】由數(shù)形結(jié)合可知，點P不是直角頂點，則由b>c，確定離心率的取值范圍.【詳解】當(dāng)PF1和PF2垂直于F1由條件可知，點P不是直角頂點，則以F1則b>c，得b2>c所以橢圓離心率e的取值范圍是0,2故選：B【變式43】12.（2023春·湖南衡陽·高三衡陽市一中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2【答案】2【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓、圓的性質(zhì)分析可得b2【詳解】設(shè)橢圓C的半焦距為c>0，則圓O:x2+y2若圓O與橢圓C有公共點，則c≥b，可得c2≥b因為MF1+可得4a2-2又因為m=MF1且MF1+MF可得MF整理得b2因為fm=m+1m+2且f1可得fm=m+1可得e=1-綜上所述：橢圓C的離心率的取值范圍為22故答案為：22【點睛】方法點睛：求橢圓的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．◆類型4根據(jù)題目的條件求離心率的取值范圍【例題44】（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測）設(shè)M是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上頂點，A．22,1 B．0,22【答案】B【分析】設(shè)Px0,y0，由M0,b，求出PM2【詳解】設(shè)Px0,y0，M所以PM2=x由題意知當(dāng)y0=-b時，PM2取得最大值，所以-b3c2故選：B．【變式44】1.（2023·吉林·吉林省實驗?？寄M預(yù)測）橢圓的中心在坐標(biāo)原點，A1，A2，B1，B2分別為橢圓的左、右、上、下頂點，F(xiàn)2為其右焦點，直線B1FA．5-12,1 B．12【答案】A【分析】根據(jù)∠B1PA2為鈍角轉(zhuǎn)化為B2A2?F2【詳解】如圖，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2由題意，得A2a,0，B1則B2A2因為∠B1PA2為向量B所以B2A2又b2=a兩邊同時除以a2得1-e-e2<0，解得因為e∈0,1，所以-1+故選：A．【變式44】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個焦點為【答案】3【分析】不妨設(shè)F-c,0，設(shè)Px,y，表示出PF，OP，依題意可得PF?OP=0有解，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程a2【詳解】依題意不妨設(shè)F為橢圓的左焦點，則F-c,0設(shè)Px,y，則PF=-c-x.-y，OP=x,y若存在點P使得PF⊥OP，則存在點P使得PF?即-x2-cx-即a2-b令fx=a2-所以Δ=a4c2由a2-4a2-c2由a2<2c2，即1<2e又0<e<1，所以1>e≥32，即故答案為：32【變式44】3.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點F是橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點，點F關(guān)于直線【答案】2【分析】求出點F關(guān)于直線y=kx的對稱點Q的坐標(biāo)，代入橢圓C的方程中，整理可得1e2-1=【詳解】過點F且與直線y=kx垂直的直線l為y=-1兩直線的交點Mc1+k點Q在橢圓C上，則1-k2則1e由于k∈12,2，則2k故答案為：2【變式44】4.（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？级＃┮阎狾為坐標(biāo)原點，動直線l與橢圓M:x2a2+y2b2【答案】2【分析】由橢圓的切線方程及圓心到直線的距離列出方程，根據(jù)方程有解得出不等式，求出離心率范圍即可.【詳解】如圖，△OAB的面積最大值為a22?存在直線l使∠AOB=90°設(shè)Px0,y0∴O到l的距離為d=1平方整理得a2x0又x0兩式相減得a2y0又0<y02所以a2∴2故答案為：2【變式44】5.（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左右焦點，P是橢圓上一點，∠PF【答案】0,【分析】設(shè)∠PF2F1=θ，可得∠PF1F2=3θ，∠F1PF2【詳解】設(shè)∠PF2F∠F由正弦定理可得，PF所以PF1=根據(jù)橢圓的定義可知，PF所以有2csin所以有c=2sin2θ因為，θ=∠PF2F令t=cosθ，則t∈2則函數(shù)ft=2t-1又f22=2×所以，0<ft<3故答案為：0,3【點睛】思路點睛：設(shè)∠PF2F1=θ，根據(jù)已知條件，求出△PF1F2【變式44】6.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2【答案】2【分析】不妨設(shè)P3,t，(t>0)，F(xiàn)1-c,0，F(xiàn)2c,0，直線PF1傾斜角為α，直線PF2【詳解】不妨設(shè)P3,t，(t>0)，F(xiàn)1-c,0設(shè)直線PF1傾斜角為α，直線PF則tan∠=t若tan∠F1PF又t+9-c2t≥2則2c29-c2=2又橢圓C與直線x=3無公共點，則a<3，所以e=c所以橢圓離心率的取值范圍是22故答案為：22【變式44】7.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓x2a2+y2b2=1【答案】3【分析】當(dāng)P點位于橢圓的右頂點的位置的時候，PF2最小值，且最小值為PF2＝a－c，根據(jù)PT=PF22【詳解】依題意，如圖所示：當(dāng)P點位于橢圓的右頂點的位置的時候，PF2最小值，且最小值為∵PT=∴a-c2∴a-c2∴a-c≥2b-c∴a+c≥2b，∴a+c2化為5c2＋解得e≥3可得35∵b＞c，∴b2∴a2∴a2∴e2解得0<e<2由①②解得35故橢圓離心率的取值范圍為35故答案為：35【變式44】8.（2023春·上海靜安·高二上海市新中高級中學(xué)校考期中）設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為【答案】2【分析】根據(jù)已知條件及直角所對的圓周角等于90°，利用勾股定理、橢圓的定義及橢圓的離心率公式，再利用換元法和構(gòu)造函數(shù)即可求出離心率的取值范圍．【詳解】由以線段F1F2為直徑的圓x所以半徑OF1>b，即c>b所以e=ca=2c2a由于12≤PF1e=ca由于函數(shù)φt=t+1故gt=1-故22=g1<1-所以橢圓離心率的取值范圍為22故答案為：2【點睛】關(guān)鍵點睛：解決此題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件及直徑所對的圓周角等于90°，利用勾股定理、橢圓的定義及橢圓的離心率公式，再利用換元法和構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)即可.題型5直線與橢圓的位置關(guān)系【方法總結(jié)】直線y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系，判斷方法：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．當(dāng)Δ>0時，方程有兩解，直線與橢圓相交；當(dāng)Δ＝0時，方程有一解，直線與橢圓相切；當(dāng)Δ<0時，方程無解，直線與橢圓相離．◆類型1過定點型【例題51】（2023秋·全國·高二期中）橢圓x28+A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)定點判斷直線和橢圓的位置關(guān)系.【詳解】直線過定點M1,0故選:B.【變式51】1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓C:x225A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【分析】根據(jù)直線方程可得直線l過定點A3,2，判斷點A【詳解】對于直線l:m+2x-m+4令x-y-1=0x-2y+1=0，解得x=3故直線l過定點A3,2∵3225+所以直線l與橢圓C相交.故選：A.【變式51】2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線y=kx-k與橢圓x2A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【分析】求得直線y=kx-k恒過的定點，判斷定點與橢圓的位置關(guān)系，由此可得直線y=kx-k與橢圓的位置關(guān)系.【詳解】直線y=kx-k可化為y=k(x-1)，所以直線恒過點(1,0)，又129+∴直線y=kx-k與橢圓x2故選：A.【變式51】3.（2022秋·廣東深圳·高二深圳中學(xué)?？计谀┲本€y＝k（x﹣2）+1與橢圓x2A．相離 B．相交 C．相切 D．無法判斷【答案】B【分析】直線恒過2,1點，將點代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)點與橢圓的位置關(guān)系判斷即可【詳解】由題知，直線恒過定點2,1，將2,1點代入x216+y2故選：B【點睛】本題考查點與橢圓位置關(guān)系的判斷，可簡單記為：點Px1,y1，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a◆類型2聯(lián)立方程型【例題52】（2022秋·高二課時練習(xí)）已知點P(1,m)在橢圓x24+y2A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】B【分析】先根據(jù)點P(1,m)在橢圓x24+【詳解】因為點P(1,m)在橢圓x2所以14+m則圓x2+y2=1d=3所以直線y=2mx+3與圓x故選：B【點睛】本題考查了點與橢圓的位置關(guān)系及利用幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系，屬于一般題.【變式52】1.（2023秋·高二課時練習(xí)）直線x=1與橢圓x2A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的方程求得短軸的右頂點為(1,0)，進而得到直線與橢圓的位置關(guān)系.【詳解】由橢圓的方程x2+y22所以直線x=1與橢圓x2故選：B【變式52】2.（2023秋·高二課時練習(xí)）直線y=x+1與橢圓x2A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】C【分析】代數(shù)法聯(lián)立直線與橢圓，轉(zhuǎn)化為二次方程根的問題來判斷即可.【詳解】聯(lián)立y=x+1x則Δ所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以直線與橢圓相交故選：C.題型6弦長問題【方法總結(jié)】（1）定義：連接橢圓上兩個點的線段稱為橢圓的弦．（2）求弦長的方法①交點法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標(biāo)，然后運用兩點間的距離公式來求．②根與系數(shù)的關(guān)系法：如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2).◆類型1不含參數(shù)型【例題61】（2023秋·高二課時練習(xí)）通過橢圓x2A．23 B．3 C．3【答案】B【分析】根據(jù)橢圓方程寫出一條過焦點且垂直于x軸的直線，代入橢圓方程求交點縱坐標(biāo)，即可得弦長.【詳解】由題設(shè)，不妨設(shè)過焦點(1,0)且垂直于x軸的直線l:x=1，代入橢圓方程得14+y23故選：B【變式61】1.（2023·海南省直轄縣級單位·嘉積中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓C：x216+y27=1，F(xiàn)為橢圓C的左焦點，A為橢圓C的右頂點，B【答案】23【分析】由橢圓方程得a,b,c的值，得左焦點和右頂點A的坐標(biāo)，可得AF和BF的值，由BF=a，所以B為橢圓C短軸的一個端點，可求AB【詳解】橢圓C：x216+y27=1則F-3,0，A4,0，所以AF=7，由4由BF=a，所以B為橢圓C短軸的一個端點，所以AB故答案為：23.【變式61】2.（2022·高二課時練習(xí)）直線l：x+y-3=0，橢圓x2【答案】相離【分析】將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，計算得到Δ<0【詳解】解：直線l：x+y-3=0，橢圓x24+∴Δ故答案為：相離【變式61】3.（2023·全國·高二專題練習(xí)）過橢圓C：x26+y2【答案】465【分析】設(shè)此直線的與橢圓相交于點Ax1,y1，Bx2【詳解】解：由橢圓C：x26+設(shè)此直線與橢圓相交于點Ax1直線方程為：y=3聯(lián)立y=3可得5x∴x1+∴AB故答案為：46【變式61】4.（2022秋·新疆烏魯木齊·高二烏市八中?？计谥校┮阎獧E圓x2a2+y2b2=1被直線y=-2x-2截得的弦長為6，則直線①-2x-y+2=0【答案】①③⑤【分析】根據(jù)橢圓的對稱性結(jié)合直線的關(guān)系即得.【詳解】因為橢圓x2a2根據(jù)題意可畫出橢圓與直線的大致圖象，根據(jù)橢圓的對稱性結(jié)合圖象可得，-2x-y+2=0，2x-y+2=0，2x-y-2=0被橢圓截得的弦長也是6，-3x-y+2=0，3x-y-2=0被橢圓截得的弦長不是6，即①③⑤適合題意.故答案為：①③⑤.【變式61】5.（2022秋·廣東江門·高二江門市培英高級中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓的方程為x24+y23=1，左、右焦點分別為【答案】24【分析】由已知得出直線的方程，與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立，利用韋達定理根據(jù)弦長公式可得答案．【詳解】由橢圓的方程可知左焦點F1(-1,0)，若直線AB的傾斜角為π4故直線AB的方程為y=x+1，聯(lián)立方程組y=x+1x24+y23=1，消去x整理得7y由韋達定理可知y1+y|AB|=(弦長|AB|=24故答案為：24【變式61】6.（2022春·寧夏吳忠·高二?？奸_學(xué)考試）設(shè)橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C的方程；(2)求橢圓C被直線y=x+1截得的弦長.【答案】(1)x(2)24【分析】（1）根據(jù)離心率和橢圓過點A列方程組直接求解可得；（2）直線方程代入橢圓方程，整理后利用韋達定理和弦長公式計算可得.【詳解】（1）因為點A1,32在橢圓上，且離心率為12，所以1a（2）記直線y=x+1與橢圓交于P、Q兩點，其坐標(biāo)分別為(x將y=x+1代入x24+y23=1，得◆類型2含參數(shù)型【例題62】（2023秋·全國·高二期中）已知橢圓E：x2m+A．kx+y+1=0 B．kx+y-1=0 C．kx-y-1=0 D．kx+y-2=0【答案】D【分析】取k=1逐項代入，利用對稱性分析即可判斷ABC，對于D，聯(lián)立直線與橢圓，得到韋達定理，利用弦長公式即可判斷【詳解】依題意，取k=1時，l：y=x+1.對于A：當(dāng)k=1時，kx+y+1=0?y=-x-1，與y=x+1關(guān)于x軸對稱，截得的弦長相等；對于B：當(dāng)k=1時，kx+y-1=0?y=-x+1，與y=x+1關(guān)于y軸對稱，截得的弦長相等；對于C：當(dāng)k=1時，kx-y-1=0?y=x-1，與y=x+1關(guān)于原點對稱，截得的弦長相等；對于D：由于直線l：y=kx+1的定點為0,1，則0m則直線l：設(shè)直線l：y=kx+1與x2則由x2m+y2由韋達定理得：x1+x由弦長公式得：AB=所以AB=整理得：AB=由于直線kx+y-2=0的定點為0,2，則0m+4當(dāng)k=0時，直線kx+y-2=0與橢圓相切，不滿足題意；易得當(dāng)k≠0時，直線kx+y-2=0與橢圓恒有兩個交點，設(shè)直線kx+y-2=0與x2m+則由x2m+y2由韋達定理得：x3+x由弦長公式得：CD=所以CD=整理得：CD=因為m≠0，所以1+k即l：y=kx+1與直線：故選：D.【變式62】1.（多選）（2023秋·山東聊城·高三校聯(lián)考期末）已知過點0,1的直線與橢圓x2+y22=1交于A．1 B．2 C．3 D．3【答案】BC【分析】先設(shè)直線，再聯(lián)立方程組得韋達定理，求出弦長,最后確定范圍即可.【詳解】當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)過0,1斜率存在的直線方程為：y=kx+1，聯(lián)立方程組y=kx+1,x2+y22=1,設(shè)Ax1,y1，BAB=AB=當(dāng)斜率不存在時AB=22，故故選:BC．【變式62】2.（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）直線y=2x+b被橢圓4x2+y2【答案】-2或2.【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理和直線與圓錐曲線的弦長公式，列出方程，即可求解.【詳解】解：聯(lián)立方程組y=2x+b4x2設(shè)直線y=2x+b與橢圓4x2+可得Δ=16b2且x1由弦長公式可得AB=1+2因為直線截橢圓所得的弦長為35，所以52×32-即實數(shù)b的值為-2或2.【變式62】3.（2022秋·湖南郴州·高二?？茧A段練習(xí)）直線y=kx-2與橢圓x2+4y2=80相交于不同的兩點P,Q,若PQ【答案】6【分析】利用點差法可構(gòu)造關(guān)于斜率k的方程，求得斜率k；將直線方程代入橢圓方程可得韋達定理的結(jié)論，利用弦長公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)Px1,y1，Q∵E在直線y=kx-2上，∴y由x12+4∴k=y1-y2∴直線方程為y=1由y=12x-2x2+4y∴PQ【變式62】4.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線l:y=2x+m和橢圓C:x24+y2=1，m【答案】m=±2【分析】聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，消去y，寫出韋達定理，利用弦長公式列方程，解出m．【詳解】設(shè)直線l與橢圓C交于Ax聯(lián)立x24+Δ=1617-mx1+x弦長AB=1+k2·故m=±23時，直線l被橢圓C所截的弦長為20【變式62】5.（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓Cx24+y23=1上有一點P，若過點P的動直線l與C的另一個交點為Q，并且滿足:原點O到l【答案】y=±3【分析】利用韋達定理和弦長公式求出直線方程即可求解.【詳解】設(shè)Px當(dāng)直線l的斜率不存在時，由原點O到l的距離為32，由對稱性不妨設(shè)直線l:x=所以Px1,解得:P32,214當(dāng)直線l的斜率存在時，可設(shè)l:y=kx+m.

因為原點O到l的距離為32，所以m1+k則Px1,y1,QxΔ=64因為4m2=9則x1所以PQ=1+k2因為4m所以PQ=化簡得:5k解得:k=0，所以m=±32，直線l的方程為:綜上所述:直線l的方程為:y=±3題型7中點弦問題【方法總結(jié)】解決橢圓中點弦問題的兩種方法：（1）根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標(biāo)公式解決；（2）點差法：利用交點在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐標(biāo)和【例題7】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知A、B為橢圓y24+x23=1上兩點，O為坐標(biāo)原點，MA．-23 B．-32【答案】A【分析】首先利用直線和橢圓的位置關(guān)系建立方程組，進一步利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式和中點坐標(biāo)公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】由于直線AB的斜率為2，故設(shè)直線的方程為y=2x+b，設(shè)A(x故y24+則Δ=144b2故x1故y1利用中點坐標(biāo)公式，M-3b8故kOM故選：A．【變式71】1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線y=x-1被橢圓2xA．13,C．12,【答案】A【分析】聯(lián)立方程組，求出弦的中點的橫坐標(biāo)，代入直線方程，即可求出縱坐標(biāo).【詳解】設(shè)弦為AB,A(x由y=x-12x2+yΔ=-22所以弦的中點的橫坐標(biāo)是x=x代入直線方程y=x-1中，得y=-2所以弦的中點坐標(biāo)是13故選：A.【變式71】2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）橢圓4x2+9A．3x+2y-12=0 B．2x+3y-12=0C．4x+9y-14=0 D．9x+4y-14=0【答案】B【分析】利用點差法得到直線斜率和中點之間的關(guān)系，即可得解.【詳解】設(shè)滿足題意的直線與橢圓交于Ax則4x12兩式相減得4x12又直線過P3,2，由此可得所求的直線方程為y-2=-所以弦所在直線的方程為2x+3y-12=0，故選：B.【變式71】3.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓x2a2+yA．12 B．22 C．3【答案】B【分析】根據(jù)中點弦點差法可得弦中點和直線斜率得b2a2【詳解】設(shè)直線2x-y+5=0與橢圓相交于Ax1,y1則x1+x2=-8，y由x12a得y1-y故橢圓的離心率e=c故選：B.【變式71】4.（2023·全國·高二專題練習(xí)）阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F6,0A．123π B．93π【答案】A【分析】根據(jù)橢圓右焦點坐標(biāo)可知a2-b2=6，由弦AB中點坐標(biāo)為6【詳解】設(shè)AB的中點為M，即M6易知c=a2-設(shè)Ax又AB中點坐標(biāo)為63,-1則kFM又A,B兩點在橢圓x2a2兩式相減可得x12-解得3a2=4b2即a=2所以橢圓的面積為πab=12故選：A題型8解答題【例題8】（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）已知橢圓K:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(1)求橢圓K的方程；(2)過點M作ME⊥x軸于點E，過點N作NQ⊥x軸于點Q，QM與NE交于點P，是否存在直線l使得△PMN的面積等于62？若存在，求出直線l【答案】(1)x(2)存在；x-2y-2=0【分析】（1）根據(jù)已知條件結(jié)合橢圓的定義求出2a，由焦點坐標(biāo)可知c的值，利用a，b，c的關(guān)系可求出b2（2）依題意可知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l方程為x=my+2(m≠0)，與橢圓的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理表示出P點的坐標(biāo)，將三角形的面積表示為關(guān)于m的函數(shù)，解方程求出m的值即可．【詳解】（1）

設(shè)MF2=2r，D依題意，得：OD=22-r所以，2a=MF1又c=2，所以b2所以橢圓C的方程為x2（2）

依題意，當(dāng)直線l斜率為0時，不符合題意；當(dāng)直線l斜率不為0時，設(shè)直線l方程為x=my+2(m≠0)，聯(lián)立x=my+2x28易知Δ=16設(shè)M(x1,則y1+y因為ME⊥x軸，NQ⊥x軸，所以E(x1,0)所以直線QM:y=y直線NE:y=y聯(lián)立①②解得xp因為ME∥NQ，ME與直線x=4平行，所以S△PMN因為my所以S△PMN由22m2故存在直線l的方程為x-2y-2=0或x+2y-2=0，使得【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為x1（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時計算Δ；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為x1+x2、x1（5）代入韋達定理求解.【變式81】1.（2023·遼寧撫順·校考模擬預(yù)測）已知動點M到定點F1,0的距離與動點M到定直線x=2的距離之比為2(1)求點M的軌跡C的方程；(2)對?k∈R，曲線C上是否始終存在兩點A，B關(guān)于直線y=kx+b對稱？若存在，求實數(shù)b【答案】(1)x(2)存在，0【分析】（1）設(shè)Mx,yx≠2，則x-1（2）當(dāng)k≠0時，設(shè)直線AB方程為y=-1kx+t，Ax1,y1，Bx2,y2，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，設(shè)AB【詳解】（1）設(shè)Mx,yx≠2，則x-1即2x-12+所以點M的軌跡C的方程為x2（2）假設(shè)曲線C上始終存在兩點A，B關(guān)于直線y=kx+b對稱，當(dāng)k≠0時，設(shè)直線AB方程為y=-1kx+t，A聯(lián)立y=-1kx+t則Δ=所以t2<1+2設(shè)AB的中點為x0則x0=x將x0,y0代入所以t=-k2+2k2即b2<k因為k2k2+2=1-易知當(dāng)k=0時，曲線C上存在兩點，關(guān)于直線y=0對稱．所以b的取值范圍為0．【變式81】2.（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C:x2a(1)求橢圓C的方程；(2)經(jīng)過橢圓右焦點F且斜率為kk≠0的動直線l與橢圓交于A、B兩點，試問x軸上是否存在異于點F的定點T，使AF【答案】(1)x(2)存在；點T【分析】（1）根據(jù)題意，得到c=1，再由橢圓C經(jīng)過點P1,32（2）設(shè)直線l的方程為x=my+1，聯(lián)立方程組，得到y(tǒng)1+y2=-6m3m2+4,y1y2【詳解】（1）解：由橢圓C的焦距為2，故c=1，則b2又由橢圓C經(jīng)過點P1,32，代入C得1所以橢圓C的方程為x2（2）解：根據(jù)題意，直線l的斜率顯然不為零，令1k由橢圓右焦點F1,0，故可設(shè)直線l的方程為x=my+1聯(lián)立方程組x=my+1x24則Δ=36設(shè)Ax1,y1設(shè)存在點T，設(shè)T點坐標(biāo)為t,0，由AFBT=BF又因為AFBF所以sin∠ATF=sin∠BTF所以直線TA和TB關(guān)于x軸對稱，其傾斜角互補，即有kAT則kAT+k所以y1(my即2m×-93m解得t=4，符合題意，即存在點T4,0【點睛】方法技巧：解答圓錐曲線的定點、定值問題的策略：1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點問題的思路：①引進動點的坐標(biāo)或動直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量k）；②利用條件找到k過定點的曲線F(x,y)=0之間的關(guān)系，