8.6.3平面與平面垂直（6大題型）

8.6.3平面與平面垂直1、理解二面角、二面角的平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法；2、會求簡單的二面角的平面角；3、理解兩個平面互相垂直的概念，并能用定義和判定定理證明相關的簡單命題；4、理解平面與平面垂直的性質定理，并能夠證明；5、能用性質定理證明一些空間位置關系的簡單命題.一、二面角1、二面角（1）定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形．這條直線叫做二面角的棱，兩個半平面叫做二面角的面．（2）圖形語言：（3）符號語言：二面角或或或.2、二面角的平面角若有①；②，；③，，則二面角的平面角是．二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度。二、平面與平面垂直1、定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．2、圖形語言：3、符號語言：α⊥β.三、平面與平面垂直的判定定理1、文字語言：如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直2、圖形語言：3、符號語言：四、平面與平面垂直的性質定理1、文字語言：兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直2、圖形語言：3、符號語言：4、作用：①面面垂直?線面垂直；②作面的垂線5、平面與平面垂直的其他性質（1）如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi)，即（2）如果兩個平面互相垂直，那么與其中一個平面平行的平面垂直于另一個平面，即；（3）如果兩個平面互相垂直，那么其中一個平面的垂線平行于另一個平面或在另一個平面內(nèi)，即；（4）如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面，即；（5）三個涼涼垂直的平面的交線也兩兩垂直，即五、垂直問題轉化關系如下所示題型一面面垂直的判定與性質定理【例1】（2223高一上·江西·月考）設是兩個不同的平面，b是直線且，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由面面垂直的判定定理知，若，，則，反之，若，，不一定垂直，故”是“”的充分不必要條件，故選：A【變式11】（2223高一下·內(nèi)蒙古通遼·月考）已知直線、，平面、，給出下列命題：①若，，且，則②若，，則③若，，且，則④若，，且，則其中正確的命題是（）A．①③ B．①② C．①④ D．③④【答案】A【解析】對于①,若,則分別為一個法向量，由,所以①正確；對于②,若,則可能是異面直線，所以②錯誤；對于③，若,則,由于,所以,所以③正確；對于④，若，，且,此時無法判斷是否與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；故④錯誤；故選:A.【變式12】（2223高一下·河北邢臺·月考）（多選）設m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則【答案】ABD【解析】A.若，，，則顯然，A正確；B.若，，則，又，則平面內(nèi)存在直線,使得，所以，所以，B正確；C.若，，，則，可能相交，可能平行，C錯誤；D.若，，則，又，易得，D正確.故選：ABD【變式13】（2223高一下·河南商丘·月考）如圖所示，在三棱錐中，若，，，則在三棱錐的四個面中，互相垂直的面有（

）對.

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】∵，，,且平面,∴平面，∵平面,∴平面平面，又∵平面,∴平面平面，同理可證：平面平面，∴在三棱錐的四個面中，互相垂直的面有對，故選：.題型二面面垂直的證明【例2】（2223高一下·山東濟寧·月考）如圖，在空間四邊形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F(xiàn)，G分別是CD，DA，AC的中點，求證：平面BEF⊥平面BGD．【答案】證明見解析【解析】連接，，∵AB＝BC，G為AC中點，所以AC⊥BG，又由CD＝DA，同理可證AC⊥DG，又∵BG∩DG＝G，BG，DG平面BGD，∴AC⊥平面BGD．∵E，F(xiàn)分別為CD，DA的中點，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．又∵EF?平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．【變式21】（2223高三·全國·專題練習）如圖，在圓錐中，是底面的直徑，且，是的中點．求證：平面平面；【答案】證明見解析【解析】因為是底面圓的直徑，所以，因為為的中點，為的中點，所以，所以，又因平面平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【變式22】（2223高一下·陜西榆林·月考）如圖所示，四棱錐中，點在線段上（不含端點位置），，．求證：平面平面.【答案】證明見解析【解析】設點為的中點，連接．，，則有，由題意得，，且，∴在中，由余弦定理得，則，∵，∴．，得，且，則四邊形為矩形，∴．在中，，∴，而，，平面，∴平面，而平面，故平面平面．【變式23】（2223高一下·河南洛陽·月考）在四棱錐中，底面是正方形，平面．（1）求證：平面⊥平面；（2）求證：平面⊥平面．【答案】（1）證明過程見解析；（2）證明過程見解析【解析】（1）因為平面，平面，所以，又因為底面是正方形，所以，又因為平面，所以平面，又平面，所以平面⊥平面.（2）因為平面，平面，所以，又因為底面是正方形，所以，又因為平面，所以平面，又平面，所以平面⊥平面.題型三由面面垂直證明線面垂直【例3】（2324高三·全國·專題練習）如圖，在四棱錐中，，，，平面平面.求證：面；【答案】證明見解析【解析】取的中點，連接，，因為，，所以四邊形為平行四邊形，則，又，所以，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，即，且，平面，所以平面.【變式31】（2324高一下·全國·專題練習）如圖，三棱錐中，，均為等邊三角形，，O為AB中點，點D在AC上，滿足，且面面ABC．證明：面POD．【答案】證明見解析【解析】證明：由條件、為等邊三角形，為的中點，則，，，由余弦定理得從而在中，，得為直角三角形，且，又面面，面面，且，面，則由面面垂直的性質定理可得面由面,所以因此由，，，平面，所以平面，即面POD.【變式32】（2324高三·全國·專題練習）如圖，在幾何體中，矩形所在平面與平面互相垂直，且，，．求證：平面；【答案】證明見解析【解析】在矩形中，，又平面平面，平面平面=，平面，所以平面，又平面，所以，在矩形中，，又，所以，所以，又，平面，所以平面.【變式33】（2223高一下·湖南永州·月考）《九章算術·商功》記載：斜解立方，得兩塹堵：斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑.如圖，在鱉臑中，，且平面平面．求證：（1）平面；（2）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，因為平面，所以，又(即)，，平面，所以平面.（2）由（1）知，平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以.題型四求平面與平面的夾角【例4】（2223高一下·江蘇南京·月考）在二面角中，，，，，且，，若，，，則二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意畫出圖形：在平面內(nèi)，過A作，過點作，交于點，連接.，，平面.又，是二面角的平面角.由矩形得，.在中，由勾股定理得.是等邊三角形，，.二面角的余弦值為故選：.【變式41】（2324高一下·山東菏澤·月考）三棱錐中，平面ABC，，，，，則二面角的大小為.【答案】30°【解析】由題可得，即，如圖：平面ABC，平面ABC，，又，，PC，平面PAC，平面PAC，而平面PAC，，即為二面角的平面角，在直角三角形PCA中，，可得【變式42】（2223高一下·陜西咸陽·月考）如圖，邊長為2的兩個等邊三角形，若點到平面的距離為，則二面角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設的中點為E，連接，過點A作，垂足為F，因為均為等邊三角形，故，故為二面角的平面角；又平面，故平面，而平面，故，又，平面，故平面，則點A到平面的距離為，又為等邊三角形，邊長為2，故，故在中，，則，即，故二面角的大小為，故選：A【變式43】（2223高一下·河南商丘·月考）如圖，四邊形是正方形，平面，且.求：（1）求二面角的大?。?）求二面角的大小.（3）求二面角的大小的正弦值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）∵平面，面,∴,,∴為二面角的平面角，又∵四邊形是正方形，∴，即二面角的大小為；（2）作的中點,的中點,連接,,,∵平面，面,∴,∵，∴為等腰直角三角形，∵為的中點，∴,又∵,,平面,且,∴平面,∴,∵分別為和的中點，∴,∴為二面角的平面角，∵,∴平面,∴,∴,即二面角的大小為；（3）連接,∵,,∴,∴,∴二面角的大小的平面角，又∵,,平面,且,∴平面,∴,∵,∴,∴,∴,即二面角的大小的正弦值.題型五平面圖折疊后的垂直及問題【例5】（2223高一下·河南周口·月考）如圖所示，在矩形中，，為的中點.將沿折起，使得平面平面.點是線段的中點.（1）求證：平面平面；（2）求證：【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）證明：在矩形中，，為的中點，∴，是的中點，∴，∵平面平面，平面平面，平面，平面，∴平面平面；（2）證明：在矩形中，，為的中點，∴，則，∴，由（1）知，平面，∵平面，∴，∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴.【變式51】（2223高一下·河北衡水·期末）如圖直角梯形中，為中點．以為折痕把折起，使點到達點的位置，且．（1）求證：平面；（2）二面角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）【解析】（1）因為在直角梯形中，為中點．所以，又．所以，即，又平面，所以平面；（2）連接，由（1）有：平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，則即為二面角的平面角，在中，，所以，所以二面角的大小為：.【變式52】（2223高一下·山東青島·月考）如圖1所示，在中，點E，F(xiàn)在線段上，點在線段上，，，，.將△ACE，△BDF分別沿CE，DF折起至點A，B重合為點，形成如圖2所示的幾何體，在幾何體中作答下面的問題.（1）證明：平面平面；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明過程見解析；（2）【解析】（1）由題意知：，，因為，且平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.（2）由題意可知：是邊長為的正三角形，取的中點，連接，則有，且，由（1）知平面平面，且平面平面，所以平面，由（1）知：平面，因為，所以平面，又因為，，所以，在中，過點作，則為的中點，所以，所以，又因為，設點到平面的距離為，則，也即，所以，所以，即點到平面的距離為.【變式53】（2223高一下·山東青島·月考）如圖，將邊長為的正方形沿對角線折起，使得點到點的位置，連接，為的中點.（1）若平面平面，求點到平面的距離；（2）不考慮點與點重合的位置，若二面角的余弦值為，求的長度.【答案】（1）；（2）【解析】（1）連接，，則，平面平面，平面平面＝AC，平面，平面，又平面，，又正方形的邊長為，,，設點到平面的距離為，則，，，即點到平面的距離；（2）取的中點，連接，，，，，為二面角的平面角，，由題可知，在中，，，，，，.題型六面面垂直中的動點探究【例6】（2324高二上·北京·月考）如圖示，正方形與正三角形所在平面互相垂直，是的中點.（1）求證：；（2）在線段上是否存在一點N，使面面？并證明你的結論.【答案】（1）證明見解析；（2）存在點，當為中點時面面，證明見解析【解析】（1），為的中點．，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，．（2）存在點，當為中點時，面面；證明如下：四邊形是正方形，為的中點，則，所以，又，所以，，由（1）知，平面，平面，，又，平面，平面，平面，平面平面．【變式61】（2223高三·全國·專題練習）如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點，，，.在棱上是否存在點N，使得平面平面？如果存在，求此時的值；如果不存在，請說明理由.【答案】存在，【解析】當點為的中點，即時，平面平面.證明如下：設的中點為，連接，，因為，分別為，的中點，所以且，又為的中點，所以且，所以四邊形為平行四邊形，故，因為，M為棱的中點，故,又因為平面ABC,平面ABC,故，由平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【變式62】（2324高二上·上海浦東新·期中）如圖，在四棱錐，底面正方形，為側棱的中點，.（1）求四棱錐體積；（2）在線段上是否存在一點，使得平面平面，若存在，請說明點的位置，若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在；點為線段中點.【解析】（1）設四棱錐的體積為，正方形的面積為，則：.故四棱錐的體積為：.（2）存在，點為線段中點，理由如下：取的中點，取中點，連接、，如下圖：因為、分別為、的中點，所以，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以：，因為底面，平面，所以，又因為底面為正方形，所以，且，平面，所以平面，因為平面，所以，又，點為中點，所以，又，平面，所以平面，又因為，所以平面，又因為平面，所以平面平面.故當點為的中點時，平面平面.【變式63】（2023高一·全國·專題練習）如圖，