山東省聊城市莘縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

2024-2025學(xué)年度62級(jí)高三開學(xué)考試題數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：本試卷共4頁.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，，若，則（）A. B. C.1 D.22.已知集合，，則（）A. B. C. D.3.已知母線長為10的圓臺(tái)的側(cè)面積為，且其上底面的半徑與下底面的半徑滿足，則（）A.2 B.4 C.8 D.124.若，則（）A. B. C. D.5.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則（）A. B. C. D.16.已知，，則（）A. B. C. D.7.記A，B為隨機(jī)事件，已知，，，則（）A. B. C. D.8.函數(shù)，若對(duì)任意，，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.北京時(shí)間2024年7月27日，我國射擊健將黃雨婷、李豪戰(zhàn)勝韓國選手，摘奪了射擊混合團(tuán)體10米氣步槍金牌，通過賽后數(shù)據(jù)記錄得到其中一名選手的得分分別為7，12，13，17，18，20，32，則（）A.該組數(shù)據(jù)的極差為25B.該組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為19C.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為17D.若該組數(shù)據(jù)去掉一個(gè)數(shù)得到一組新數(shù)據(jù)，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能相等10.已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項(xiàng)積為，前項(xiàng)和為，則（）A. B.C. D.11.已知函數(shù)是偶函數(shù)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且，記的邊AC上的高為，則（）A.B.函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減C.點(diǎn)可能在以AC為直徑的圓上D.的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為_________.13.寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)的函數(shù)的解析式：_________.①不是常函數(shù)②的最小正周期為2③不存在對(duì)稱中心14.已知直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為，則直線的方程為_________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）已知橢圓過點(diǎn)和.（1）求的離心率；（2）若直線與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求的一般式方程.16.（15分）已知在中，，.（1）求；（2）設(shè)，求AB邊上的高.17.（15分）如圖，在直三棱柱中，，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）若，求二面角的余弦值.18.（17分）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求a，b的值；（2）設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；（3）求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).19.（17分）（新題型）若存在使得對(duì)任意恒成立，則稱為函數(shù)在上的最大值點(diǎn)，記函數(shù)在上的所有最大值點(diǎn)所構(gòu)成的集合為.（1）若，，求集合；（2）若，，求集合；（3）設(shè)為大于1的常數(shù)，若，，證明，若集合中有且僅有兩個(gè)元素，則所有滿足條件的從小到大排列構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列.2024—2025學(xué)年度62級(jí)高三開學(xué)考試題數(shù)學(xué)參考答案選擇題答案：1.D2.A3.C4.C5.D6.A7.D8.A9.ACD10.AD11.ABD1.D解：因?yàn)?，所以，所以即，?2.A解：因?yàn)椋?，且注意到，從?故選：A.3.C解：因?yàn)樵搱A臺(tái)的側(cè)面積為，母線長，所以，解得，.4.C解：因?yàn)椋?故選：C.5.D解：由正弦定理得，即，或.若，結(jié)合有，故舍去，，，，故答案選D.6.A解：因?yàn)?，所以，而，所以，故，即，從而，故，故選：A.7.D解：記，由全概率公式有，代入數(shù)據(jù)有，解得，.8.A解：因?yàn)閷?duì)任意，，都有成立，可得在R上是單調(diào)遞減的，則，解得.9.ACD解：對(duì)于A項(xiàng)，極差等于，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，，故分位數(shù)為20，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，平均數(shù)等于，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，去掉17后，這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故D正確，故答案選ACD.10.AD解：已知數(shù)列滿足，，則，，，所以數(shù)列是以3為一個(gè)周期的周期數(shù)列.對(duì)于A項(xiàng)，，A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，，B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，任意相鄰三項(xiàng)均在一個(gè)周期內(nèi)，則，C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，，，所以，D項(xiàng)正確.故選：AD.11.ABD解：對(duì)于A選項(xiàng)，由是偶函數(shù)有，則，得，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷有為減函數(shù).故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由B知，即.由對(duì)稱性，可設(shè)，則.若點(diǎn)在以AC為直徑的圓上，則有，代入即，即.若，則，不滿足題意；若，.而，，故不可能在以AC為直徑的圓上.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，過點(diǎn)作軸的垂線交AC于點(diǎn)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），而，記，則，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臅r(shí)候取等，即時(shí)取等，所以兩個(gè)不等號(hào)能同時(shí)取等，故的最大值為，故D正確.故答案選ABD.12.【答案】28解：方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為3，所以原正四棱錐的高為6，所以正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺(tái)的體積為.方法二：棱臺(tái)的體積為.13.【答案】（滿足題意即可）14.【答案】解：設(shè)點(diǎn)，，點(diǎn)為弦AB的中點(diǎn)，有，將A，B兩點(diǎn)代入橢圓方程，得，兩式作差得，整理得.得直線的斜率為，直線的方程為，即.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故答案為：.15.解：（1）由題意得，從而可得，的離心率.（2）聯(lián)立，得，由，得，直線的一般式方程為：.16.解：（1），，即，又，，，.即，所以，.（2）由（1）知，，.由，由正弦定理，，可得，，.17（1）證明：取AB的中點(diǎn)，因?yàn)闉槔釨C的中點(diǎn)，所以，，又，，為的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形是平行四邊形.所以，又平面，平面，所以平面.（2）證明：因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以平面，又平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，?）取AC的中點(diǎn)，連接EG，因?yàn)闉锳B的中點(diǎn)，所以，又，所以，又直三棱柱的幾何特征可得面，又面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以二面角的平面角為，因?yàn)?，所以，，在中，，所以，所以二面角的余弦值?18.解：（1）因?yàn)?，，所以，因?yàn)樵谔幍那芯€方程為，所以，，則，解得，所以，.（2）由（1）得，則，令，解得，不妨設(shè)，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，即，所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，故，所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；所以在上有一個(gè)極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，故，所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以，則單調(diào)遞增，所以在上無極值點(diǎn)；綜上：在和上各有一個(gè)極小值點(diǎn)，在上有一個(gè)極大值點(diǎn)，共有3個(gè)極值點(diǎn).19.解：（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，在R上取得最大值，故；（2）定義域?yàn)镽，，令，則，令得，-0+極小值其中，故，，可以看出，，故有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，分別為1和2，令得或1或2，12＋0－0＋0－極大值極小值極大值其中，故當(dāng)或2時(shí)，取得最大值，故；（3），，，，，，令得，，