山東省聊城市莘縣第一中學2024-2025學年高三上學期開學考試數(shù)學試題

2024-2025學年度62級高三開學考試題數(shù)學注意事項：本試卷共4頁.滿分150分，考試時間120分鐘.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，，若，則（）A. B. C.1 D.22.已知集合，，則（）A. B. C. D.3.已知母線長為10的圓臺的側面積為，且其上底面的半徑與下底面的半徑滿足，則（）A.2 B.4 C.8 D.124.若，則（）A. B. C. D.5.記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則（）A. B. C. D.16.已知，，則（）A. B. C. D.7.記A，B為隨機事件，已知，，，則（）A. B. C. D.8.函數(shù)，若對任意，，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.北京時間2024年7月27日，我國射擊健將黃雨婷、李豪戰(zhàn)勝韓國選手，摘奪了射擊混合團體10米氣步槍金牌，通過賽后數(shù)據(jù)記錄得到其中一名選手的得分分別為7，12，13，17，18，20，32，則（）A.該組數(shù)據(jù)的極差為25B.該組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為19C.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為17D.若該組數(shù)據(jù)去掉一個數(shù)得到一組新數(shù)據(jù)，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能相等10.已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項積為，前項和為，則（）A. B.C. D.11.已知函數(shù)是偶函數(shù)，點，點，點在函數(shù)的圖象上，且，記的邊AC上的高為，則（）A.B.函數(shù)在定義域內單調遞減C.點可能在以AC為直徑的圓上D.的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為_________.13.寫出一個同時具有下列性質的函數(shù)的解析式：_________.①不是常函數(shù)②的最小正周期為2③不存在對稱中心14.已知直線與橢圓交于A，B兩點，弦AB的中點為，則直線的方程為_________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）已知橢圓過點和.（1）求的離心率；（2）若直線與有且僅有一個交點，求的一般式方程.16.（15分）已知在中，，.（1）求；（2）設，求AB邊上的高.17.（15分）如圖，在直三棱柱中，，E，F(xiàn)分別為棱，的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）若，求二面角的余弦值.18.（17分）設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.（1）求a，b的值；（2）設函數(shù)，求的單調區(qū)間；（3）求的極值點個數(shù).19.（17分）（新題型）若存在使得對任意恒成立，則稱為函數(shù)在上的最大值點，記函數(shù)在上的所有最大值點所構成的集合為.（1）若，，求集合；（2）若，，求集合；（3）設為大于1的常數(shù)，若，，證明，若集合中有且僅有兩個元素，則所有滿足條件的從小到大排列構成一個等差數(shù)列.2024—2025學年度62級高三開學考試題數(shù)學參考答案選擇題答案：1.D2.A3.C4.C5.D6.A7.D8.A9.ACD10.AD11.ABD1.D解：因為，所以，所以即，故.2.A解：因為，，且注意到，從而.故選：A.3.C解：因為該圓臺的側面積為，母線長，所以，解得，.4.C解：因為，所以.故選：C.5.D解：由正弦定理得，即，或.若，結合有，故舍去，，，，故答案選D.6.A解：因為，所以，而，所以，故，即，從而，故，故選：A.7.D解：記，由全概率公式有，代入數(shù)據(jù)有，解得，.8.A解：因為對任意，，都有成立，可得在R上是單調遞減的，則，解得.9.ACD解：對于A項，極差等于，故A正確；對于B項，，故分位數(shù)為20，故B錯誤；對于C項，平均數(shù)等于，故C正確；對于D項，去掉17后，這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故D正確，故答案選ACD.10.AD解：已知數(shù)列滿足，，則，，，所以數(shù)列是以3為一個周期的周期數(shù)列.對于A項，，A項正確；對于B項，，B項錯誤；對于C項，任意相鄰三項均在一個周期內，則，C項錯誤；對于D項，，，所以，D項正確.故選：AD.11.ABD解：對于A選項，由是偶函數(shù)有，則，得，故A正確；對于B選項，，由復合函數(shù)單調性判斷有為減函數(shù).故B正確；對于C選項，由B知，即.由對稱性，可設，則.若點在以AC為直徑的圓上，則有，代入即，即.若，則，不滿足題意；若，.而，，故不可能在以AC為直徑的圓上.故C錯誤；對于D選項，過點作軸的垂線交AC于點，則（當且僅當時取等），而，記，則，當且僅當?shù)臅r候取等，即時取等，所以兩個不等號能同時取等，故的最大值為，故D正確.故答案選ABD.12.【答案】28解：方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為3，所以原正四棱錐的高為6，所以正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺的體積為.方法二：棱臺的體積為.13.【答案】（滿足題意即可）14.【答案】解：設點，，點為弦AB的中點，有，將A，B兩點代入橢圓方程，得，兩式作差得，整理得.得直線的斜率為，直線的方程為，即.經檢驗符合題意.故答案為：.15.解：（1）由題意得，從而可得，的離心率.（2）聯(lián)立，得，由，得，直線的一般式方程為：.16.解：（1），，即，又，，，.即，所以，.（2）由（1）知，，.由，由正弦定理，，可得，，.17（1）證明：取AB的中點，因為為棱BC的中點，所以，，又，，為的中點，所以，，所以四邊形是平行四邊形.所以，又平面，平面，所以平面.（2）證明：因為三棱柱為直三棱柱，所以平面，又平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，（3）取AC的中點，連接EG，因為為AB的中點，所以，又，所以，又直三棱柱的幾何特征可得面，又面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以二面角的平面角為，因為，所以，，在中，，所以，所以二面角的余弦值為.18.解：（1）因為，，所以，因為在處的切線方程為，所以，，則，解得，所以，.（2）由（1）得，則，令，解得，不妨設，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調遞減，在，上單調遞增，的單調遞減區(qū)間為和，單調遞增區(qū)間為和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上單調遞減，在，上單調遞增，當時，，，即，所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，此時，當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增；所以在上有一個極小值點；當時，在上單調遞減，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，此時，當時，，則單調遞增；當時，，則單調遞減；所以在上有一個極大值點；當時，在上單調遞增，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，此時，當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增；所以在上有一個極小值點；當時，，所以，則單調遞增，所以在上無極值點；綜上：在和上各有一個極小值點，在上有一個極大值點，共有3個極值點.19.解：（1），當且僅當時，在R上取得最大值，故；（2）定義域為R，，令，則，令得，-0+極小值其中，故，，可以看出，，故有且僅有2個零點，分別為1和2，令得或1或2，12＋0－0＋0－極大值極小值極大值其中，故當或2時，取得最大值，故；（3），，，，，，令得，，