高考數(shù)學(xué)專題講座 第18講 高頻考點(diǎn)分析之命題、邏輯推理和程序框圖探討

【備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)專題講座】第18講：高頻考點(diǎn)分析之命題、邏輯推理和程序框圖探討1～2講，我們對客觀性試題解法進(jìn)行了探討，3～8講，對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了探討，9～12講對數(shù)學(xué)解題方法進(jìn)行了探討，從第13講開始我們對高頻考點(diǎn)進(jìn)行探討。結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)的知識，高考中命題、邏輯推理和程序框圖問題主要有以下幾種：1.四種命題的判定；2.真假命題的判定；3.充分必要條件的判定；4.邏輯推理；5.程序框圖。結(jié)合年全國各地高考的實(shí)例，我們從以上五方面探討命題和簡易邏輯問題的求解。一、四種命題的判定：典型例題：例1.（年安徽省文5分）命題“存在實(shí)數(shù),，使”的否定是【】對任意實(shí)數(shù),都有不存在實(shí)數(shù)，使對任意實(shí)數(shù),都有存在實(shí)數(shù)，使【答案】。【考點(diǎn)】否命題?！窘馕觥咳绻麅蓚€(gè)命題中一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件和結(jié)論的否定，則這兩個(gè)命題稱互為否命題。因此，命題“存在實(shí)數(shù),，使”的否定是：對任意實(shí)數(shù),都有。故選。例2.（年湖北省理5分）命題“”的否定是【】ABCD【答案】D。【考點(diǎn)】命題的否定。【解析】根據(jù)特稱命題“?x∈A，p（A）”的否定是“?x∈A，非p（A）”，結(jié)合已知中命題，即可得到答案：∵命題“”是特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題，∴“”的否定是“”。故選D。例3.（年湖北省文5分）命題“存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是【】A.任意一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)B.任意一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)C.存在一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)D.存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)【答案】B。【考點(diǎn)】命題的否定?！窘馕觥扛鶕?jù)特稱命題的否定，需先將存在量詞改為全稱量詞，然后否定結(jié)論，故該命題的否定為“任意一個(gè)無理數(shù),它的平方不是有理數(shù)”。故選B。例4.（年湖南省理5分）命題“若，則”的逆否命題是【】A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】C?！究键c(diǎn)】四種命題?！窘馕觥恳?yàn)椤叭?，則”的逆否命題為“若，則”，所以“若，則”的逆否命題是“若，則”。故選C。例5.（年遼寧省理5分）已知命題p：x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0，則p是【】(A)x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0(B)x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0(C)x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)<0(D)x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)<0【答案】C。【考點(diǎn)】含有量詞的命題的否定?！窘馕觥棵}p為全稱命題，所以其否定p應(yīng)是特稱命題，所以(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0否定為(f(x2)f(x1))(x2x1)<0。故選C。例6.（年重慶市文5分）命題“若p則q”的逆命題是【】（A）若q則p（B）若p則q（C）若則（D）若p則【答案】A。【考點(diǎn)】四種命題?！痉治觥繉⒃}的條件與結(jié)論互換，可得逆命題，從而可得解答：命題“若p則q”的逆命題是：若q則p。故選A。例7.（年陜西省理12分）（1）如圖，證明命題“是平面內(nèi)的一條直線，是外的一條直線（不垂直于），是直線在上的投影，若，則”為真.（2）寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假（不需要證明）【答案】解：（1）證明：如圖，過直線上任一點(diǎn)作平面的垂線，設(shè)直線的方向向量分別是，則共面。根據(jù)平面向量基本定理，存在實(shí)數(shù)使得，則?！撸?。又∵，，∴?！?，從而。（2）逆命題：a是平面內(nèi)一條直線，是外的一條直線（不垂直于），是直線在上的投影，若，則。逆命題為真命題?！究键c(diǎn)】向量語言表述線面的垂直、平行關(guān)系，命題?！窘馕觥浚?）作出輔助線，在直線上構(gòu)造對應(yīng)的方向向量：過直線上任一點(diǎn)作平面的垂線，要證兩條直線垂直，只要證明兩條直線對應(yīng)的向量的數(shù)量積等于0，根據(jù)向量的運(yùn)算法則得到結(jié)果。另解：如圖，記，為直線上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，過P作，垂足為，則。∵，，∴直線。又∵，平面，，∴平面。又∵平面，∴。（2）把所給的命題的題設(shè)和結(jié)論交換位置，得到原命題的逆命題，判斷出逆命題的正確性。如上圖，記，為直線上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，過P作，垂足為，則?！?，，∴直線。又∵，，∴平面。又∵平面，∴。二、真假命題的判定：典型例題：例1.（年全國課標(biāo)卷理5分）下面是關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題：其中的真命題為【】的共軛復(fù)數(shù)為的虛部為 【答案】?！究键c(diǎn)】真假命題，復(fù)數(shù)的概念。【解析】∵，，，的共軛復(fù)數(shù)是，∴不是真命題；是真命題；的共軛復(fù)數(shù)為不是真命題；的虛部為是真命題。故選。例2.（年四川省理5分）下列命題正確的是【】A、若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B、若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C、若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D、若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行【答案】C?！究键c(diǎn)】立體幾何的線、面位置關(guān)系及線面的判定和性質(zhì)。【解析】采用排除法：若兩條直線和同一平面所成角相等，這兩條直線可能平行，也可能為異面直線，也可能相交，所以A錯(cuò)；一個(gè)平面不在同一條直線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行，故B錯(cuò)；若兩個(gè)平面垂直同一個(gè)平面兩平面可以平行，也可以垂直；故D錯(cuò)；故選項(xiàng)C正確。故選C。例3.（年山東省文5分）設(shè)命題p：函數(shù)的最小正周期為；命題q：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.則下列判斷正確的是【】Ap為真B為假C為假D為真【答案】C。【考點(diǎn)】真假命題的判定，三角函數(shù)的周期和對稱性?！窘馕觥俊吆瘮?shù)的最小正周期為，∴命題p為假。∵函數(shù)的圖象的對稱軸為，∴命題q為假?！酁榧?。故選C。例4.（年江西省理5分）下列命題中，假命題為【】A．存在四邊相等的四邊形不是正方形B．為實(shí)數(shù)的充分必要條件是互為共軛復(fù)數(shù)C．若，且則至少有一個(gè)大于D．對于任意都是偶數(shù)【答案】B?！究键c(diǎn)】真假命題的判定，特稱命題和全稱命題，充要條件，共軛復(fù)數(shù)，不等式的基本性質(zhì)，二項(xiàng)式定理。【解析】對于A項(xiàng)，通過特例判斷：例如菱形，滿足四邊相等的四邊形不是正方形，所以A為真命題；對于B項(xiàng)，通過特例判斷：令,顯然，但不互為共軛復(fù)數(shù)，所以B為假命題；對于C項(xiàng)，通過不等式的基本性質(zhì)判斷：顯然正確（可用它的逆否命題證明），所以C為真命題；對于D項(xiàng)，通過二項(xiàng)式定理系數(shù)的特例判斷：根據(jù)二項(xiàng)式定理，對于任意有為偶數(shù)，所以D為真命題。綜上所述，假命題為B項(xiàng)。故選B。例5.（年浙江省理5分）設(shè)是公差為（）的無窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是【】A．若，則數(shù)列有最大項(xiàng)B．若數(shù)列有最大項(xiàng)，則C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則對任意，均有D．若對任意，均有，則數(shù)列是遞增數(shù)列【答案】C。【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用，數(shù)列的函數(shù)特性?！窘馕觥窟x項(xiàng)C顯然是錯(cuò)的，舉出反例：—1，0，1，2，3，…，滿足數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，但是Sn＞0不成立。故選C。例6.（年福建省理5分）下列命題中，真命題是【】A．?x0∈，≤0B．?x∈，2x＞x2C．a(chǎn)＋b＝0的充要條件是eq\f(a,b)＝－1D．a(chǎn)＞1，b＞1是ab＞1的充分條件【答案】D?！究键c(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，全稱命題，特稱命題，命題的真假判斷與應(yīng)用?！窘馕觥繉τ贏，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)不存在x0，使得≤0，因此A是假命題。對于B，當(dāng)x＝2時(shí)，2x＝x2，因此B是假命題。對于C，當(dāng)a＋b＝0時(shí)，eq\f(a,b)不存在，因此C是假命題。對于D，a＞1，b＞1時(shí)ab＞1，所以a＞1，b＞1是ab＞1的充分條件，因此D是真命題。故選D。例7.（年福建省理5分）函數(shù)在[a，b]上有定義，若對任意x1，x2∈[a，b]，有，則稱在[a，b]上具有性質(zhì)P.設(shè)在[1,3]上具有性質(zhì)P，現(xiàn)給出如下命題：①在[1,3]上的圖象是連續(xù)不斷的；②在[1，eq\r(3)]上具有性質(zhì)P；③若在x＝2處取得最大值1，則＝1，x∈[1,3]；④對任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有．其中真命題的序號是【】A．①②B．①③C．②④D．③④【答案】D?！究键c(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)的連續(xù)性?！窘馕觥繉τ诿}①，設(shè)，顯然它在[1,3]上具有性質(zhì)P，但函數(shù)在處是不連續(xù)的，命題錯(cuò)誤；對于命題②，設(shè)，顯然它在[1,3]上具有性質(zhì)P，但在[1，eq\r(3)]上不具有性質(zhì)P，命題錯(cuò)誤；對于命題③，∵在x＝2處取得最大值1，∴在[1，3]上，，即?！??！啵?，x∈[1,3]。命題正確；對于命題④，對任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有命題正確。故選D。例8.（年四川省理4分）記為不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，，，。設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列滿足，，現(xiàn)有下列命題：①當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前3項(xiàng)依次為5,3,2；②對數(shù)列都存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)總有；③當(dāng)時(shí)，；④對某個(gè)正整數(shù)，若，則。其中的真命題有▲_。（寫出所有真命題的編號）【答案】①③④?！究键c(diǎn)】真命題的判定，對高斯函數(shù)的理解，數(shù)列的性質(zhì)，特殊值法的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用?！窘馕觥繉τ冖?，若，根據(jù)當(dāng)n=1時(shí)，x2=[]=3,同理x3=。故①正確。對于②，可以采用特殊值列舉法：當(dāng)a=3時(shí)，x1=3,x2=2,x3=1,x4=2……x2k=1,x2k+1=1,……此時(shí)數(shù)列從第二項(xiàng)開始為2，1，2，1……，不成立。故②錯(cuò)誤。對于③，由的定義知，，而為正整數(shù)，故，且是整數(shù)。∵對于兩個(gè)正整數(shù)、，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，∴不論是偶數(shù)還是奇數(shù)，有?！吆投际钦麛?shù)，∴。又當(dāng)時(shí)，，∵，∴成立?！喈?dāng)時(shí)，。故③正確。對于④，當(dāng)時(shí)，，∴，即。∴，即，解得。由③，∴。∴。故④正確。綜上所述，真命題有①③④。例9.（年四川省文4分）設(shè)為正實(shí)數(shù)，現(xiàn)有下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則。其中的真命題有▲。（寫出所有真命題的編號）【答案】①④。【考點(diǎn)】真命題的判定，特殊值法的應(yīng)用?！窘馕觥繉τ冖?，∵為正實(shí)數(shù)，∴。又∵，∴。故①正確。對于②，可以采用特殊值列舉法：取，滿足為正實(shí)數(shù)和的條件，但。故②錯(cuò)誤。對于③，可以采用特殊值列舉法：取，滿足為正實(shí)數(shù)和的條件，，但。故③錯(cuò)誤。對于④，不妨設(shè)，由得，∴?！邽檎龑?shí)數(shù)，∴。∴。故④正確?！咔遥?。綜上所述，真命題有①④。三、充分必要條件的判定：典型例題：例1.（年北京市理5分）設(shè)a，b∈R.“a=0”是‘復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的【】A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B?！究键c(diǎn)】復(fù)數(shù)的概念，純虛數(shù)的定義，充分必要條件的判定?！窘馕觥繌?fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)必須滿足a=0，b≠0同時(shí)成立。當(dāng)a=0時(shí)，如果b=0，此時(shí)a+bi是實(shí)數(shù)，不是純虛數(shù)，因此不是充分條件：而如果a+bi已經(jīng)為純虛數(shù)，由定義實(shí)部為零，虛部不為零可以得到a=0。因此，.“a=0”是‘復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的必要而不充分條件。故選B。例2.（年上海市文5分）對于常數(shù)、，“”是“方程的曲線是橢圓”的【】A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充分必要條件D、既不充分也不必要條件【答案】B?！究键c(diǎn)】充分條件、必要條件和充要條件，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解?！窘馕觥糠匠痰那€表示橢圓，常數(shù)的取值為或，所以，由得不到方程的曲線表示橢圓，因而不充分。反過來，根據(jù)該曲線表示橢圓，能推出，因而必要?！唷啊笔恰胺匠痰那€是橢圓”的必要不充分條件。故選B。例3.（年四川省文5分）設(shè)、都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使成立的充分條件是【】A、且B、C、D、【答案】D?！究键c(diǎn)】充分條件。【解析】若使成立，即要、共線且方向相同，即要。所以使成立的充分條件是。故選D。例4.（年天津市理5分）設(shè)，則“”是“為偶函數(shù)”的【】（A）充分而不必要條件（Ｂ）必要而不充分條件（Ｃ）充分必要條件（Ｄ）既不充分也不必要條件【答案】A?！究键c(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，函數(shù)奇偶性的判斷。【分析】∵為偶函數(shù)，成立；為偶函數(shù)，推不出。∴“”是“為偶函數(shù)”的充分而不必要條件。故選A。例5.（年天津市文5分）設(shè)，則“”是“”的【】（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】A。【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，一元二次不等式的解?！痉治觥俊卟坏仁降慕饧癁榛颍唷啊笔恰啊背闪⒌某浞植槐匾獥l件。故選A。例6.（年安徽省理5分）設(shè)平面與平面相交于直線，直線在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，且，則“”是“”的【】 充分不必要條件必要不充分條件充要條件 即不充分不必要條件【答案】?！究键c(diǎn)】充分和必要條件，兩直線垂直的判定和性質(zhì)。【解析】∵，∴“”是“”的充分條件?！呷绻瑒t與條件相同，∴“”是“”的不必要條件。故選。例7.（年山東省理5分）設(shè)，則“函數(shù)在R上是減函數(shù)”，是“函數(shù)在R上是增函數(shù)”的【】A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】A?！究键c(diǎn)】充分必要條件的判斷，指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)?！窘馕觥俊遬：“函數(shù)在R上是減函數(shù)”等價(jià)于，q：“函數(shù)在R上是增函數(shù)”等價(jià)于且，即且，∴p是q成立的充分不必要條件.。故選A。例8..（年浙江省理5分）設(shè)，則“”是“直線：與直線：平行”的【】A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A?！究键c(diǎn)】充分必要條件。【解析】當(dāng)a＝1時(shí)，直線l1：x＋2y－1＝0與直線l2：x＋2y＋4＝0顯然平行，所以“”是“直線：與直線：平行”的充分條件；若直線l1與直線l2平行，則有：，解之得：a＝1或a＝﹣2，所以“”是“直線：與直線：平行”的不必要條件。∴“”是“直線：與直線：平行”的充分不必要條件。故選A。例9.（年湖北省文5分）設(shè)∈R，則“”是“”的【】A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要的條件【答案】A?！究键c(diǎn)】充分、必要條件的判定，基本不等式的應(yīng)用?！窘馕觥慨?dāng)時(shí)，，而（當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)等號成立），∴。當(dāng)取,顯然有,但。∴由不可以推得。綜上，是的充分不必要條件。故選A。例10.（年重慶市理5分）已知是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“為[0，1]上的增函數(shù)”是“為[3，4]上的減函數(shù)”的【】（A）既不充分也不必要的條件（B）充分而不必要的條件（C）必要而不充分的條件（D）充要條件【答案】D?！究键c(diǎn)】充分條件、必要條件、和充要條件的判定，函數(shù)的奇偶性、周期性和單調(diào)性及其之間的關(guān)系。【分析】∵為[0，1]上的增函數(shù)，是偶函數(shù)，∴在上遞減。任取，則。又∵是周期為2的周期函數(shù)，∴且?！酁閇3，4]上遞減。反之，當(dāng)在[3，4]上遞減時(shí)，根據(jù)是周期為2的周期函數(shù)知在上遞減；又根據(jù)是定義在R上的偶函數(shù)，得到在[0，1]上遞增。故選D。例11.（年陜西省理5分）設(shè)，是虛數(shù)單位，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的【】A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B?！究键c(diǎn)】充分必要條件?！窘馕觥慨?dāng)時(shí)，，只有，并且時(shí)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，否則不成立。所以“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的不充分條件。若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則有：，所以“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的必要條件?！唷啊笔恰皬?fù)數(shù)為純虛數(shù)”的必要不充分條件。故選B。例12.（年安徽省理13分）數(shù)列滿足：（=1\*ROMANI）證明：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是（=2\*ROMANII）求的取值范圍，使數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列。【答案】解：（=1\*ROMANI）證明：必要條件：當(dāng)時(shí)，，∴數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列。充分條件當(dāng)數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列時(shí)，，∴?！鄶?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是。（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI）得：=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，，不合題意。=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，。

由解得，?！撸?。∴。又，當(dāng)時(shí)，，∴?！嗯c同號。由得，∴?！?。當(dāng)時(shí)，存在，使，即即與異號。與數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列矛盾。綜上所述，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列?！究键c(diǎn)】充分必要條件，數(shù)列的單調(diào)性證明?！窘馕觥浚?1\*ROMANI）要證數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是，即要=1\*GB3①由得出數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列：=2\*GB3②由數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列得。（=2\*ROMANII）求的取值范圍，使數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，即要求出數(shù)列的后項(xiàng)與前項(xiàng)之差大于0時(shí)的取值范圍。由（=1\*ROMANI）和時(shí)，，不合題意。因此在的條件下推導(dǎo)。四、邏輯推理：典型例題：例1.（年全國大綱卷理5分）正方形的邊長為1，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，，動點(diǎn)從出發(fā)沿直線向運(yùn)動，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角。當(dāng)點(diǎn)第一次碰到時(shí)，與正方形的邊碰撞的次數(shù)為【】A．16B．14C【答案】A。【考點(diǎn)】反射原理，正方形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)?！窘馕觥拷Y(jié)合已知中的點(diǎn),的位置，進(jìn)行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關(guān)系，作圖，可以得到回到點(diǎn)時(shí)，需要碰撞14次即可。也可以通過三角形相似的相似比求解：如圖，為便是于計(jì)算，將正方形的邊長擴(kuò)大7倍，這樣邊長為7，，?！噙@些三角形相似的兩邊長之比?！?；；；；；。∴經(jīng)過7次碰撞，到達(dá)與點(diǎn)成軸對稱的點(diǎn)處，根據(jù)正方形的對稱性，再經(jīng)過7次碰撞，到達(dá)點(diǎn)，共14次碰撞。故選A。例2.（年全國大綱卷文5分）正方形的邊長為1，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，，動點(diǎn)從出發(fā)沿直線向運(yùn)動，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角。當(dāng)點(diǎn)第一次碰到時(shí)，與正方形的邊碰撞的次數(shù)為【】A8B6C4D3【答案】B?！究键c(diǎn)】反射原理，正方形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)。【解析】結(jié)合已知中的點(diǎn),的位置，進(jìn)行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關(guān)系，作圖，可以得到回到點(diǎn)時(shí)，需要碰撞6次即可。也可以通過三角形相似的相似比求解：如圖，為便是于計(jì)算，將正方形的邊長擴(kuò)大3倍，這樣邊長為7，，?！噙@些三角形相似的兩邊長之比?！啵?；∴經(jīng)過3次碰撞，到達(dá)與點(diǎn)成軸對稱的點(diǎn)處，根據(jù)正方形的對稱性，再經(jīng)過3次碰撞，到達(dá)點(diǎn)，共6次碰撞。故選B。例3.（年江西省理5分）觀察下列各式：則【】A．28B．76C．123D．199【答案】C?！究键c(diǎn)】歸納推理的思想方法?！窘馕觥坑^察各等式的右邊,它們分別為1，3，4，7，11，…，發(fā)現(xiàn)從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)就是它的前兩項(xiàng)之和，故等式的右邊依次為1，3，4，7，11，18，29，47，76，123,…，故。故選C。例4.（年福建省文5分）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝ncoseq\f(nπ,2)，其前n項(xiàng)和為Sn，則S2012等于【】A．1006B．C．503D．0【答案】A?！究键c(diǎn)】規(guī)律探索題。【解析】尋找規(guī)律：a1＝1coseq\f(π,2)＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝3coseq\f(3π,2)＝0，a4＝4cos2π＝4；a5＝5coseq\f(5π,2)＝0，a6＝6cos3π＝－6，a7＝7coseq\f(7π,2)＝0，a8＝8coseq\f(8π,2)＝8；······∴該數(shù)列每四項(xiàng)的和。∵÷4=503，∴S2012＝2×503＝1006。故選A。例5.（年北京市理5分）已知，若同時(shí)滿足條件：，則m的取值范圍是▲【答案】?！究键c(diǎn)】簡易邏輯，函數(shù)的性質(zhì)?！窘馕觥坑傻?。∵條件，∴當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，，不能做到在時(shí)，，所以舍去?！咦鳛槎魏瘮?shù)開口只能向下，∴，且此時(shí)兩個(gè)根為。為保證條件=1\*GB3①成立，必須。又由條件的限制，可分析得出時(shí)，恒負(fù)?！嗑托枰谶@個(gè)范圍內(nèi)有得正數(shù)的可能，即－4應(yīng)該比兩根中小的那個(gè)大。由得，∴當(dāng)時(shí)，，解得交集為空集，舍去。當(dāng)時(shí)，兩根同為－2＞－4，舍去。當(dāng)時(shí)，。綜上所述，。例6.（年湖北省文5分）傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)。他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1,3，6,10，…記為數(shù)列，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，可以推測：（Ⅰ）是數(shù)列中的第▲項(xiàng)；（Ⅱ）=▲。（用表示）【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）?！究键c(diǎn)】歸納規(guī)律?！窘馕觥坑梢陨弦?guī)律可知三角形數(shù)1,3,6,10,…,的一個(gè)通項(xiàng)公式為，寫出其若干項(xiàng)有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,發(fā)現(xiàn)其中能被5整除的為10,15,45,55,105,110。故。從而由上述規(guī)律可猜想：（為正整數(shù)），。故,即是數(shù)列中的第5030項(xiàng)。例7.（年湖南省理5分）設(shè)N=2n（n∈N*，n≥2），將N個(gè)數(shù)x1,x2,…，xN依次放入編號為1,2，…，N的N個(gè)位置，得到排列P0=x1x2…xN.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出，并按原順序依次放入對應(yīng)的前和后個(gè)位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，將此操作稱為C變換，將P1分成兩段，每段個(gè)數(shù)，并對每段作C變換，得到；當(dāng)2≤i≤n-2時(shí)，將Pi分成2i段，每段個(gè)數(shù)，并對每段C變換，得到Pi+1，例如，當(dāng)N=8時(shí)，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此時(shí)x7位于P2中的第4個(gè)位置.（1）當(dāng)N=16時(shí)，x7位于P2中的第▲個(gè)位置；（2）當(dāng)N=2n（n≥8）時(shí)，x173位于P4中的第▲個(gè)位置.【答案】（1）6；（2）?！究键c(diǎn)】演繹推理的基本方法，進(jìn)行簡單的演繹推理。【解析】（1）當(dāng)N=16時(shí),,可設(shè)為,,即為,,即,x7位于P2中的第6個(gè)位置。（2）考察C變換的定義及（1）計(jì)算可發(fā)現(xiàn)：第一次C變換后，所有的數(shù)分為兩段，每段的序號組成公差為2的等差數(shù)列，且第一段序號以1為首項(xiàng)，第二段序號以2為首項(xiàng)；第二次C變換后，所有的數(shù)據(jù)分為四段，每段的數(shù)字序號組成以為4公差的等差數(shù)列，且第一段的序號以1為首項(xiàng)，第二段序號以3為首項(xiàng)，第三段序號以2為首項(xiàng)，第四段序號以4為首項(xiàng)；依此類推可得出P4中所有的數(shù)字分為16段，每段的數(shù)字序號組成以16為公差的等差數(shù)列，且一到十六段的首項(xiàng)的序號分別為1，9，5，13，…，由于173=16×10+13，故x173位于以13為首項(xiàng)的那一段的第11個(gè)數(shù)，由于N=2n（n≥8）故每段的數(shù)字有2n-4個(gè)，以13為首項(xiàng)的是第四段，故x173位于第個(gè)位置。例8.（年福建省理4分）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和為Sn，則S2012＝▲.【答案】3018。【考點(diǎn)】規(guī)律探索題?！窘馕觥繉ふ乙?guī)律：a1＝1coseq\f(π,2)＋1＝1，a2＝2cosπ＋1＝－1，a3＝3coseq\f(3π,2)＋1＝1，a4＝4cos2π＋1＝5；a5＝5coseq\f(5π,2)＋1＝1，a6＝6cos3π＋1＝－5，a7＝7coseq\f(7π,2)＋1＝1，a8＝8coseq\f(8π,2)＋1＝9；······∴該數(shù)列每四項(xiàng)的和?！摺?=503，∴S2012＝6×503＝3018。例9.（年福建省文4分）某地區(qū)規(guī)劃道路建設(shè)，考慮道路鋪設(shè)方案，方案設(shè)計(jì)圖中，點(diǎn)表示城市，兩點(diǎn)之間連線表示兩城市間可鋪設(shè)道路，連線上數(shù)據(jù)表示兩城市間鋪設(shè)道路的費(fèi)用．要求從任一城市都能到達(dá)其余各城市，并且鋪設(shè)道路的總費(fèi)用最小，例如：在三個(gè)城市道路設(shè)計(jì)中，若城市間可鋪設(shè)道路的線路圖如圖①，則最優(yōu)設(shè)計(jì)方案如圖②，此時(shí)鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用為10.現(xiàn)給出該地區(qū)可鋪設(shè)道路的線路圖如圖③，則鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用為▲．【答案】16。【考點(diǎn)】最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。【解析】根據(jù)題意先選擇中間最優(yōu)線路，中間有三條，分別是A→F→G→D，E→F→B，E→G→C，費(fèi)用最低的是A→F→G→D為3＋1＋2＝6；再選擇A→F→G→D線路到點(diǎn)E的最低費(fèi)用線路是：A→E費(fèi)用為2；再選擇A→F→G→D到C→B的最低費(fèi)用，則選擇：G→C→B，費(fèi)用最低為3＋5＝8，所以鋪設(shè)道路的最小費(fèi)用為：6＋2＋8＝16。例10.（年陜西省理5分）觀察下列不等式，……照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為▲.【答案】?！究键c(diǎn)】歸納規(guī)律?！窘馕觥坑深}設(shè)中所給的三個(gè)不等式歸納出它們的共性：左邊式子是連續(xù)正整數(shù)平方的倒數(shù)和，最后一個(gè)數(shù)的分母是不等式序號n+1的平方；右邊分式中的分子與不等式序號n的關(guān)系是2n+1，分母是不等式的序號n+1，得出第n個(gè)不等式，即可得到通式：。令n=5，即可得出第五個(gè)不等式，即。例11.（年北京市文13分）設(shè)A是如下形式的2行3列的數(shù)表，abcdef滿足性質(zhì)P：a，b，c，d，e，f∈[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0。記ri（A）為A的第i行各數(shù)之和（i=1,2），cj（A）為A的第j列各數(shù)之和（j=1，2，3）；記k（A）為|r1(A)|,|r2(A)|,|c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。（1）對如下數(shù)表A，求k（A）的值11－0.80.1－0.3－1（2）設(shè)數(shù)表A形如11－1－2ddd－1其中－1≤d≤0.求k（A）的最大值；（3）對所有滿足性質(zhì)P的2行3列的數(shù)表A，求k(A)的最大值。【答案】解：（1）由題意可知，∴。（2）∵－1≤d≤0，∴?！??！喈?dāng)d=0時(shí)，k（A）取得最大值1。（3）任給滿足性質(zhì)P的數(shù)表A（如下所示）abcdef任意改變A三維行次序或列次序，或把A中的每個(gè)數(shù)換成它的相反數(shù)，所得數(shù)表A*仍滿足性質(zhì)P，并且k（A）=k（A*）因此，不防設(shè)r1（A）≥0，c1（A）≥0，c2（A）≥0，由k（A）的定義知，k（A）≤r1（A），k（A）≤c1（A），k（A）≤c2（A），∴∴k（A）≤1由（2）可知，存在滿足性質(zhì)P的數(shù)表A使k（A）=1，故k（A）的最大值為1。【考點(diǎn)】邏輯推理?！窘馕觥浚?）根據(jù)ri（A）為A的第i行各數(shù)之和（i=1，2），cj（A）為A的第j列各數(shù)之和（j=1，2，3）；求出|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值可即為所求。（2）k（A）的定義可求出k（A）=1+d，然后根據(jù)d的取值范圍可求出所求。（3）任意改變A三維行次序或列次序，或把A中的每個(gè)數(shù)換成它的相反數(shù)，所得數(shù)表A*仍滿足性質(zhì)P，并且k（A）=k（A*）。因此，不防設(shè)r1（A）≥0，c1（A）≥0，c2（A）≥0，然后利用不等式的性質(zhì)可知3k（A）≤r1（A）+c1（A）+c2（A），從而求出k（A）的最大值。例12.（年上海市理18分）對于數(shù)集，其中，，定義向量集.若對于任意，存在，使得，則稱X具有性質(zhì)P.例如具有性質(zhì)P.（1）若＞2，且，求的值；（4分）（2）若X具有性質(zhì)P，求證：1X，且當(dāng)n＞1時(shí)，1=1；（6分）（3）若X具有性質(zhì)P，且1=1，（為常數(shù)），求有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式.（8分）【答案】解：（1）選取，則Y中與垂直的元素必有形式?！?，從而=4。（2）證明：取，設(shè)滿足。由得，∴、異號?！撸?是X中唯一的負(fù)數(shù)，所以、中之一為－1，另一為1。故1X。假設(shè)，其中，則。選取，并設(shè)滿足，即。則、異號，從而、之中恰有一個(gè)為－1。若=－1，則，矛盾；若=－1，則，矛盾.∴=1。（3）猜測，i=1,2,…,。記，=2,3,…,。先證明：若具有性質(zhì)P，則也具有性質(zhì)P。任取，、.當(dāng)、中出現(xiàn)－1時(shí)，顯然有滿足。當(dāng)且時(shí)，、≥1?！呔哂行再|(zhì)P，∴有，、，使得。從而和中有一個(gè)是－1，不妨設(shè)=－1，假設(shè)且，則。由，得，與矛盾?！?，從而也具有性質(zhì)P?，F(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：，i=1,2,…,。當(dāng)=2時(shí)，結(jié)論顯然成立。假設(shè)時(shí)，有性質(zhì)P，則，i=1,2,…,；則當(dāng)時(shí)，若有性質(zhì)P，則也有性質(zhì)P，所以。取，并設(shè)滿足，即。由此可得與中有且只有一個(gè)為－1。若，則，所以，這不可能；∴，，又，所以。綜上所述，，i=1,2,…,。【考點(diǎn)】數(shù)集、集合的基本性質(zhì)、元素與集合的關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法和反證法的應(yīng)用。【解析】（1）根據(jù)題設(shè)直接求解。（2）用反證法給予證明。（3）根據(jù)題設(shè)，先用反證法證明：若具有性質(zhì)P，則也具有性質(zhì)P，再用數(shù)學(xué)歸納法證明猜測，i=1,2,…,。例13.（年北京市理13分）設(shè)A是由m×n個(gè)實(shí)數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿足：每個(gè)數(shù)的絕對值不大于1，且所有數(shù)的和為零，記s(m，n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合。對于A∈S(m，n)，記Ri(A)為A的第ⅰ行各數(shù)之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)為A的第j列各數(shù)之和（1≤j≤n）；記K(A)為∣R1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。（1）對如下數(shù)表A，求的值；11－0.80.1－0.3－1（2）設(shè)數(shù)表A∈S（2,3）形如11cab－1求的最大值；（3）給定正整數(shù)t，對于所有的A∈S（2，2t+1），求的最大值。【答案】解：（1）由題意可知，∴。（2）先用反證法證明：若，則，∴（無解）。同理可知。∴。由題設(shè)所有數(shù)和為0，即，∴，解得，與題設(shè)矛盾?！唷Ｒ字?dāng)時(shí)，存在。∴的最大值為1。（3）的最大值為。首先構(gòu)造滿足的：，。經(jīng)計(jì)算知，中每個(gè)元素的絕對值都小于1，所有元素之和為0，且，，。下面證明是最大值。若不然，則存在一個(gè)數(shù)表A∈S（2，2t+1），使得。由的定義知的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對值都不小于，而兩個(gè)絕對值不超過1的數(shù)的和，其絕對值不超過2，故的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對值都在區(qū)間中.由于，故的每一列兩個(gè)數(shù)符號均與列和的符號相同，且絕對值均不小于。設(shè)中有列的列和為正，有列的列和為負(fù)，由對稱性不妨設(shè)，則。另外，由對稱性不妨設(shè)的第一行行和為正，第二行行和為負(fù)?？紤]的第一行，由前面結(jié)論知的第一行有不超過個(gè)正數(shù)和不少于個(gè)負(fù)數(shù)，每個(gè)正數(shù)的絕對值不超過1（即每個(gè)正數(shù)均不超過1），每個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值不小于（即每個(gè)負(fù)數(shù)均不超過）。因此，故的第一行行和的絕對值小于，與假設(shè)矛盾。因此的最大值為?！究键c(diǎn)】邏輯推理，反證法的應(yīng)用?！窘馕觥浚?）根據(jù)ri（A）為A的第i行各數(shù)之和（i=1，2），cj（A）為A的第j列各數(shù)之和（j=1，2，3）；求出|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值可即為所求。（2）用反證法證明。（3）先構(gòu)造滿足的，用反證法證明是最大值。例14.（年湖北省理14分）（Ⅰ）已知函數(shù)，其中為有理數(shù)，且.求的最小值；（=2\*ROMANII）試用（1）的結(jié)果證明如下命題：設(shè)為正有理數(shù)，若，則；（=3\*ROMANIII）請將（2）中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題。注：當(dāng)為正有理數(shù)時(shí)，有求導(dǎo)公式【答案】解：（Ⅰ），令，解得。當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)是增函數(shù)?！嗪瘮?shù)在處取得最小值。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，有，即①。若，中有一個(gè)為0，則成立；若，均不為0，又，可得。于是在①中令，，可得，即，亦即。綜上，對，，為正有理數(shù)且，總有②。（Ⅲ）（Ⅱ）中命題的推廣形式為：設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，為正有理數(shù).若，則.③用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）當(dāng)時(shí)，，有，③成立。（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，③成立，即若為非負(fù)實(shí)數(shù)，為正有理數(shù)，且，則。當(dāng)時(shí)，已知為非負(fù)實(shí)數(shù)，為正有理數(shù)，且，此時(shí)，即。∴=?！?，由歸納假設(shè)可得，∴。又∵，由②得，∴.故當(dāng)時(shí)，③成立。由（1）（2）可知，對一切正整數(shù)，所推廣的命題成立，【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用。【解析】（Ⅰ）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值。（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)論，分，中有一個(gè)為0和，均不為0討論即可。（Ⅲ）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明。五、程序框圖：典型例題：例1.（年全國課標(biāo)卷理5分）如果執(zhí)行下邊的程序框圖，輸入正整數(shù)和實(shí)數(shù)，輸出，則【】為的和為的算術(shù)平均數(shù)和分別是中最大的數(shù)和最小的數(shù)和分別是中最小的數(shù)和最大的數(shù)【答案】。【考點(diǎn)】程序框圖的結(jié)構(gòu)。【解析】根據(jù)程序框圖所示的順序，逐框分析程序中各變量、各語句的作用可知：該程序的作用是：和分別是中最大的數(shù)和最小的數(shù)。故選。例2.（年北京市理5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為【】A.2B.4C【答案】C。【考點(diǎn)】程序框圖。【分析】根據(jù)流程圖所示的順序，逐框分析程序中各變量、各語句的作用，程序的運(yùn)行過程中各變量值變化如下表：是否繼續(xù)循環(huán)Sk循環(huán)前10第一圈是21第二圈是42第三圈是83第四圈否輸出8∴最終輸出結(jié)果k=4。故選C。例3.（年天津市理5分）閱讀下邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，當(dāng)輸入的值為時(shí)，輸出的值為【】（A）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）【答案】C?！究键c(diǎn)】程序框圖?！痉治觥扛鶕?jù)流程圖所示的順序，程序的運(yùn)行過程中各變量值變化如下表：是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前－25第一圈是4第二圈是1第三圈否輸出3∴最終輸出結(jié)果。故選C。例4.（年天津市文5分）閱讀下邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出S的值為【】（A）8（B）18（C）26（D）80【答案】C?！究键c(diǎn)】程序框圖?！痉治觥扛鶕?jù)流程圖所示的順序，程序的運(yùn)行過程中各變量值變化如下表：是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前01第一圈是2第二圈是3第三圈是4第四圈否輸出26∴最終輸出結(jié)果。故選C。例5.（年安徽省理5分）如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果是【】【答案】?！究键c(diǎn)】程序框圖的結(jié)構(gòu)?！窘馕觥扛鶕?jù)程序框圖所示的順序，逐框分析程序中各變量、各語句的作用可知：該程序的作用是計(jì)算滿足的最小項(xiàng)數(shù)：根據(jù)流程圖所示的順序，程序的運(yùn)行過程中各變量值變化如下表：是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11第一圈是22第二圈是43第三圈是84第四圈否輸出4∴最終輸出結(jié)果。故選。例6.（年山東省理5分）執(zhí)行下面的程序圖，如果輸入a=4，那么輸出的n的值為【】A2B3C4D5【答案】B。【考點(diǎn)】程序框圖?！痉治觥扛鶕?jù)流程圖所示的順序，程序的運(yùn)行過程中各變量值變化如下表：是否繼續(xù)循環(huán)n=n+1P=P+42Q=2Q+1循環(huán)前001第一圈是013第二圈是157第三圈是22115第四圈否輸出3∴最終輸出結(jié)果n=3。故選B。例7.（年遼寧省理5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值是【】(A)1(B)(C)(D)4【答案】D。【考點(diǎn)】程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，數(shù)列的周期性?！窘馕觥扛鶕?jù)程序框圖可計(jì)算得由此可知S的值呈周期出現(xiàn)，其周期為4，輸出時(shí)因此輸出的值與時(shí)相同。故選D。例8.（年廣東省文5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為6，則輸出的值為【】A．B．C．D．【答案】C?！究键c(diǎn)】程序框圖?！窘馕觥勘狙h(huán)結(jié)構(gòu)是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，它所表示的算式為=1×3×5×…×（2i-1），輸入n=6，可得：進(jìn)入循環(huán)的條件為，即