2024八年級數(shù)學上冊第十三章軸對稱測試卷1新版新人教版

Page1第13章軸對稱一、選擇題1．在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標記中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．如圖，∠3=30°，為了使白球反彈后能將黑球干脆撞入袋中，那么擊打白球時，必需保證∠1的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°3．如圖是經過軸對稱變換后所得的圖形，與原圖形相比（）A．形態(tài)沒有變更，大小沒有變更B．形態(tài)沒有變更，大小有變更C．形態(tài)有變更，大小沒有變更D．形態(tài)有變更，大小有變更4．正方形的對稱軸的條數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．45．正三角形△ABC的邊長為3，依次在邊AB、BC、CA上取點A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，則△A1B1C1的面積是（）A． B． C． D．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以點C為圓心，CB為半徑的圓恰好經過AB的中點D，則AC=（）A．5 B． C． D．67．視察下列圖形，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．8．剪紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術，下列剪紙作品中，是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．9．以下圖形中對稱軸的數(shù)量小于3的是（）A． B． C． D．10．下列圖案中，軸對稱圖形是（）A． B． C． D．11．下面四個圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標記，在這四個標記中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．12．在一些美術字中，有的漢字是軸對稱圖形．下面4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．13．下列圖案是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．14．如圖，直角坐標系中的五角星關于y軸對稱的圖形在（）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限15．將四根長度相等的細木條首尾相接，用釘子釘成四邊形ABCD，轉動這個四邊形，使它形態(tài)變更，當∠B=90°時，如圖1，測得AC=2，當∠B=60°時，如圖2，AC=（）A． B．2 C． D．216．P是∠AOB內一點，分別作點P關于直線OA、OB的對稱點P1、P2，連接OP1、OP2，則下列結論正確的是（）A．OP1⊥OP2 B．OP1=OP2C．OP1⊥OP2且OP1=OP2 D．OP1≠OP217．如圖，點P是∠AOB外的一點，點M，N分別是∠AOB兩邊上的點，點P關于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關于OB的對稱點R落在MN的延長線上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，則線段QR的長為（）A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm18．已知AD∥BC，AB⊥AD，點E，點F分別在射線AD，射線BC上．若點E與點B關于AC對稱，點E與點F關于BD對稱，AC與BD相交于點G，則（）A．1+tan∠ADB= B．2BC=5CFC．∠AEB+22°=∠DEF D．4cos∠AGB=二、填空題19．由于木質衣架沒有柔性，在掛置衣服的時候不太便利操作．小敏設計了一種衣架，在運用時能輕易收攏，然后套進衣服后松開即可．如圖1，衣架桿OA=OB=18cm，若衣架收攏時，∠AOB=60°，如圖2，則此時A，B兩點之間的距離是cm．20．如圖，有一個英語單詞，四個字母都關于直線l對稱，請在試卷上補全字母，在答題卡上寫出這個單詞所指的物品．21．請從以下兩個小題中任選一個作答，若多選，則按所選做的第一題計分．A．一個正五邊形的對稱軸共有條．B．用科學計算器計算：+3tan56°≈（結果精確到0.01）22．如圖，△ABC是等邊三角形，高AD、BE相交于點H，BC=4，在BE上截取BG=2，以GE為邊作等邊三角形GEF，則△ABH與△GEF重疊（陰影）部分的面積為．23．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同始終線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=度．24．如圖，直線a∥b，△ABC是等邊三角形，點A在直線a上，邊BC在直線b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如圖①）；接著以上的平移得到圖②，再接著以上的平移得到圖③，…；請問在第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)是．25．如圖，點B1是面積為1的等邊△OBA的兩條中線的交點，以OB1為一邊，構造等邊△OB1A1（點O，B1，A1按逆時針方向排列），稱為第一次構造；點B2是△OB1A1的兩條中線的交點，再以OB2為一邊，構造等邊△OB2A2（點O，B2，A2按逆時針方向排列），稱為其次次構造；以此類推，當?shù)趎次構造出的等邊△OBnAn的邊OAn與等邊△OBA的邊OB第一次重合時，構造停止．則構造出的最終一個三角形的面積是．26．已知等邊三角形ABC的邊長是2，以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形，得到第一個等邊三角形AB1C1，再以等邊三角形AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形，得到其次個等邊三角形AB2C2，再以等邊三角形AB2C2的邊B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形，得到第三個等邊AB3C3；…，如此下去，這樣得到的第n個等邊三角形ABnCn的面積為．27．如圖，在平面直角坐標系中，點O是原點，點B（0，），點A在第一象限且AB⊥BO，點E是線段AO的中點，點M在線段AB上．若點B和點E關于直線OM對稱，則點M的坐標是（，）．28．已知等邊三角形ABC的高為4，在這個三角形所在的平面內有一點P，若點P到AB的距離是1，點P到AC的距離是2，則點P到BC的最小距離和最大距離分別是．三、解答題29．如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F．（1）求∠F的度數(shù)；（2）若CD=2，求DF的長．30．如圖，O為△ABC內部一點，OB=3，P、R為O分別以直線AB、直線BC為對稱軸的對稱點．（1）請指出當∠ABC在什么角度時，會使得PR的長度等于7？并完整說明PR的長度為何在此時會等于7的理由．（2）承（1）小題，請推斷當∠ABC不是你指出的角度時，PR的長度是小于7還是會大于7？并完整說明你推斷的理由．

參考答案與試題解析一、選擇題1．在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標記中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】軸對稱圖形．【分析】依據軸對稱圖形的概念求解．假如一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．【解答】解：A、是軸對稱圖形，故A符合題意；B、不是軸對稱圖形，故B不符合題意；C、不是軸對稱圖形，故C不符合題意；D、不是軸對稱圖形，故D不符合題意．故選：A．【點評】本題主要考查軸對稱圖形的學問點．確定軸對稱圖形的關鍵是找尋對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．如圖，∠3=30°，為了使白球反彈后能將黑球干脆撞入袋中，那么擊打白球時，必需保證∠1的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°【考點】生活中的軸對稱現(xiàn)象；平行線的性質．【專題】壓軸題．【分析】要使白球反彈后能將黑球干脆撞入袋中，則∠2=60°，依據∠1、∠2對稱，則能求出∠1的度數(shù)．【解答】解：要使白球反彈后能將黑球干脆撞入袋中，∠2+∠3=90°，∵∠3=30°，∴∠2=60°，∴∠1=60°．故選：C．【點評】本題是考查圖形的對稱、旋轉、分割以及分類的數(shù)學思想．3．如圖是經過軸對稱變換后所得的圖形，與原圖形相比（）A．形態(tài)沒有變更，大小沒有變更B．形態(tài)沒有變更，大小有變更C．形態(tài)有變更，大小沒有變更D．形態(tài)有變更，大小有變更【考點】軸對稱的性質．【分析】依據軸對稱不變更圖形的形態(tài)與大小解答．【解答】解：∵軸對稱變換不變更圖形的形態(tài)與大小，∴與原圖形相比，形態(tài)沒有變更，大小沒有變更．故選：A．【點評】本題考慮軸對稱的性質，是基礎題，熟記軸對稱變換不變更圖形的形態(tài)與大小是解題的關鍵．4．正方形的對稱軸的條數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點】軸對稱的性質．【分析】依據正方形的對稱性解答．【解答】解：正方形有4條對稱軸．故選：D．【點評】本題考查了軸對稱的性質，熟記正方形的對稱性是解題的關鍵．5．正三角形△ABC的邊長為3，依次在邊AB、BC、CA上取點A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，則△A1B1C1的面積是（）A． B． C． D．【考點】等邊三角形的判定與性質．【專題】壓軸題．【分析】依題意畫出圖形，過點A1作A1D∥BC，交AC于點D，構造出邊長為1的小正三角形△AA1D；由AC1=2，AD=1，得點D為AC1中點，因此可求出S△AA1C1=2S△AA1D=；同理求出S△CC1B1=S△BB1A1=；最終由S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1求得結果．【解答】解：依題意畫出圖形，如下圖所示：過點A1作A1D∥BC，交AC于點D，易知△AA1D是邊長為1的等邊三角形．又AC1=AC﹣CC1=3﹣1=2，AD=1，∴點D為AC1的中點，∴S△AA1C1=2S△AA1D=2××12=；同理可求得S△CC1B1=S△BB1A1=，∴S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1=×32﹣3×=．故選B．【點評】本題考查等邊三角形的判定與性質，難度不大．本題入口較寬，解題方法多種多樣，同學們可以嘗試不同的解題方法．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以點C為圓心，CB為半徑的圓恰好經過AB的中點D，則AC=（）A．5 B． C． D．6【考點】等邊三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形；勾股定理．【專題】計算題；壓軸題．【分析】連結CD，直角三角形斜邊上的中線性質得到CD=DA=DB，利用半徑相等得到CD=CB=DB，可推斷△CDB為等邊三角形，則∠B=60°，所以∠A=30°，然后依據含30度的直角三角形三邊的關系先計算出BC，再計算AC．【解答】解：連結CD，如圖，∵∠C=90°，D為AB的中點，∴CD=DA=DB，而CD=CB，∴CD=CB=DB，∴△CDB為等邊三角形，∴∠B=60°，∴∠A=30°，∴BC=AB=×10=5，∴AC=BC=5．故選C．【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質：三邊都相等的三角形為等邊三角形；等邊三角形的三個內角都等于60°．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質以及含30度的直角三角形三邊的關系．7．視察下列圖形，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】軸對稱圖形．【分析】依據軸對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、是軸對稱圖形，故本選項正確；B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；D、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤．故選A．【點評】本題考查了軸對稱圖形的學問，軸對稱圖形的關鍵是找尋對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．8．剪紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術，下列剪紙作品中，是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．【考點】軸對稱圖形．【分析】依據軸對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，B、不是軸對稱圖形，C、不是軸對稱圖形，D、是軸對稱圖形，故選：D．【點評】本題考查了軸對稱圖形，軸對稱圖形的推斷方法：把某個圖象沿某條直線折疊，假如圖形的兩部分能夠重合，那么這個是軸對稱圖形．9．以下圖形中對稱軸的數(shù)量小于3的是（）A． B． C． D．【考點】軸對稱圖形．【分析】依據對稱軸的概念求解．【解答】解：A、有4條對稱軸；B、有6條對稱軸；C、有4條對稱軸；D、有2條對稱軸．故選D．【點評】本題考查了軸對稱圖形，解答本題的關鍵是駕馭對稱軸的概念：假如一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠相互重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．10．下列圖案中，軸對稱圖形是（）A． B． C． D．【考點】軸對稱圖形．【分析】依據軸對稱圖形的概念對各圖形分析推斷后即可求解．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；B、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；C、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；D、是軸對稱圖形，故此選項正確；故選；D．【點評】本題考查了軸對稱圖形，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合，軸對稱圖形的關鍵是找尋對稱軸．11．下面四個圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標記，在這四個標記中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】軸對稱圖形．【分析】依據軸對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；D、是軸對稱圖形，故本選項正確．故選D．【點評】本題考查了軸對稱圖形的學問，軸對稱圖形的關鍵是找尋對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．12．在一些美術字中，有的漢字是軸對稱圖形．下面4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】軸對稱圖形．【分析】依據軸對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、是軸對稱圖形，故本選項正確；B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；D、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤．故選A．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是找尋對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．13．下列圖案是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】軸對稱圖形．【分析】依據軸對稱圖形的概念對個圖形分析推斷即可得解．【解答】解：A、是軸對稱圖形，B、不是軸對稱圖形，C、不是軸對稱圖形，D、不是軸對稱圖形，故選：A．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是找尋對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．14．如圖，直角坐標系中的五角星關于y軸對稱的圖形在（）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【考點】軸對稱的性質．【分析】依據軸對稱的性質作出選擇．【解答】解：如圖所示，直角坐標系中的五角星關于y軸對稱的圖形在第一象限．故選：A．【點評】本題考查了軸對稱的性質．此題難度不大，采納了“數(shù)形結合”的數(shù)學思想．15．將四根長度相等的細木條首尾相接，用釘子釘成四邊形ABCD，轉動這個四邊形，使它形態(tài)變更，當∠B=90°時，如圖1，測得AC=2，當∠B=60°時，如圖2，AC=（）A． B．2 C． D．2【考點】等邊三角形的判定與性質；勾股定理的應用；正方形的性質．【分析】圖1中依據勾股定理即可求得正方形的邊長，圖2依據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形即可求得．【解答】解：如圖1，∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，∴四邊形ABCD是正方形，連接AC，則AB2+BC2=AC2，∴AB=BC===，如圖2，∠B=60°，連接AC，∴△ABC為等邊三角形，∴AC=AB=BC=．【點評】本題考查了正方形的性質，勾股定理以及等邊三角形的判定和性質，利用勾股定理得出正方形的邊長是關鍵．16．P是∠AOB內一點，分別作點P關于直線OA、OB的對稱點P1、P2，連接OP1、OP2，則下列結論正確的是（）A．OP1⊥OP2 B．OP1=OP2C．OP1⊥OP2且OP1=OP2 D．OP1≠OP2【考點】軸對稱的性質．【專題】壓軸題．【分析】作出圖形，依據軸對稱的性質求出OP1、OP2的數(shù)量與夾角即可得解．【解答】解：如圖，∵點P關于直線OA、OB的對稱點P1、P2，∴OP1=OP2=OP，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2，=2（∠AOP+∠BOP），=2∠AOB，∵∠AOB度數(shù)隨意，∴OP1⊥OP2不肯定成立．故選：B．【點評】本題考查了軸對稱的性質，是基礎題，嫻熟駕馭性質是解題的關鍵，作出圖形更形象直觀．17．如圖，點P是∠AOB外的一點，點M，N分別是∠AOB兩邊上的點，點P關于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關于OB的對稱點R落在MN的延長線上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，則線段QR的長為（）A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm【考點】軸對稱的性質．【專題】幾何圖形問題．【分析】利用軸對稱圖形的性質得出PM=MQ，PN=NR，進而利用MN=4cm，得出NQ的長，即可得出QR的長．【解答】解：∵點P關于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關于OB的對稱點R落在MN的延長線上，∴PM=MQ，PN=NR，∵PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，∴RN=3cm，MQ=2.5cm，即NQ=MN﹣MQ=4﹣2.5=1.5（cm），則線段QR的長為：RN+NQ=3+1.5=4.5（cm）．故選：A．【點評】此題主要考查了軸對稱圖形的性質，得出PM=MQ，PN=NR是解題關鍵．18．已知AD∥BC，AB⊥AD，點E，點F分別在射線AD，射線BC上．若點E與點B關于AC對稱，點E與點F關于BD對稱，AC與BD相交于點G，則（）A．1+tan∠ADB= B．2BC=5CFC．∠AEB+22°=∠DEF D．4cos∠AGB=【考點】軸對稱的性質；解直角三角形．【專題】幾何圖形問題；壓軸題．【分析】連接CE，設EF與BD相交于點O，依據軸對稱性可得AB=AE，并設為1，利用勾股定理列式求出BE，再依據翻折的性質可得DE=BF=BE，再求出BC=1，然后對各選項分析推斷利用解除法求解．【解答】解：如圖，連接CE，設EF與BD相交于點O，由軸對稱性得，AB=AE，設為1，則BE==，∵點E與點F關于BD對稱，∴DE=BF=BE=，∴AD=1+，∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE，∴四邊形ABCE是正方形，∴BC=AB=1，1+tan∠ADB=1+=1+﹣1=，故A正確；CF=BF﹣BC=﹣1，∴2BC=2×1=2，5CF=5（﹣1），∴2BC≠5CF，故B錯誤；∠AEB+22°=45°+22°=67°，∵BE=BF，∠EBF=∠AEB=45°，∴∠BFE==67.5°，∴∠DEF=∠BFE=67.5°，故C錯誤；由勾股定理得，OE2=BE2﹣BO2=（）2﹣（）2=，∴OE=，∵∠EBG+∠AGB=90°，∠EBG+∠BEF=90°，∴∠AGB=∠BEF，又∵∠BEF=∠DEF∴cos∠AGB===，4cos∠AGB=2，故D錯誤．故選：A．【點評】本題考查了軸對稱的性質，解直角三角形，等腰直角三角形的判定與性質，正方形的判定與性質，熟記性質是解題的關鍵，設出邊長為1可使求解過程更簡單理解．二、填空題19．由于木質衣架沒有柔性，在掛置衣服的時候不太便利操作．小敏設計了一種衣架，在運用時能輕易收攏，然后套進衣服后松開即可．如圖1，衣架桿OA=OB=18cm，若衣架收攏時，∠AOB=60°，如圖2，則此時A，B兩點之間的距離是18cm．【考點】等邊三角形的判定與性質．【專題】應用題．【分析】依據有一個角是60°的等腰三角形的等邊三角形進行解答即可．【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴AB=OA=OB=18cm，故答案為：18【點評】此題考查等邊三角形問題，關鍵是依據有一個角是60°的等腰三角形的等邊三角形進行分析．20．如圖，有一個英語單詞，四個字母都關于直線l對稱，請在試卷上補全字母，在答題卡上寫出這個單詞所指的物品書．【考點】軸對稱圖形．【分析】依據軸對稱圖形的性質，組成圖形，即可解答．【解答】解：如圖，這個單詞所指的物品是書．故答案為：書．【點評】本題考查了軸對稱圖形，解決本題的關鍵是依據軸對稱的性質，作出圖形．21．請從以下兩個小題中任選一個作答，若多選，則按所選做的第一題計分．A．一個正五邊形的對稱軸共有5條．B．用科學計算器計算：+3tan56°≈10.02（結果精確到0.01）【考點】軸對稱的性質；計算器—數(shù)的開方；計算器—三角函數(shù)．【專題】常規(guī)題型；計算題．【分析】A．過正五邊形的五個頂點作對邊的垂線，可得對稱軸．B．先用計算器求出、tan56°的值，再計算加減運算．【解答】解：（A）如圖，正五邊形的對稱軸共有5條．故答案為：5．（B）≈5.5678，tan56°≈1.4826，則+3tan56°≈5.5678+3×1.4826≈10.02故答案是：10.02．【點評】A題考查了軸對稱的性質，熟記正五邊形的對稱性是解題的關鍵．B題考查了計算器的運用，要留意此題是精確到0.01．22．如圖，△ABC是等邊三角形，高AD、BE相交于點H，BC=4，在BE上截取BG=2，以GE為邊作等邊三角形GEF，則△ABH與△GEF重疊（陰影）部分的面積為．【考點】等邊三角形的判定與性質；三角形的重心；三角形中位線定理．【專題】壓軸題．【分析】依據等邊三角形的性質，可得AD的長，∠ABG=∠HBD=30°，依據等邊三角形的判定，可得△MEH的形態(tài)，依據直角三角形的判定，可得△FIN的形態(tài)，依據面積的和差，可得答案．【解答】解：如圖所示：，由△ABC是等邊三角形，高AD、BE相交于點H，BC=4，得AD=BE=BC=6，∠ABG=∠HBD=30°．由直角三角的性質，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°．由對頂角相等，得∠MHE=∠BHD=60°由BG=2，得EG=BE﹣BG=6﹣2=4．由GE為邊作等邊三角形GEF，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，△MHE是等邊三角形；S△ABC=AC?BE=AC×EH×3EH=BE=×6=2．由三角形外角的性質，得∠BIG=∠FGE﹣∠IBG=60°﹣30°=30°，由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，由線段的和差，得IF=FG﹣IG=4﹣2=2，由對頂角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，由銳角三角函數(shù)，得FN=1，IN=．S五邊形NIGHM=S△EFG﹣S△EMH﹣S△FIN=×42﹣×22﹣××1=，故答案為：．【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質，利用了等邊三角形的判定與性質，直角三角形的判定，利用圖形的割補法是求面積的關鍵．23．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同始終線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=15度．【考點】等邊三角形的性質；三角形的外角性質；等腰三角形的性質．【專題】幾何圖形問題．【分析】依據等邊三角形三個角相等，可知∠ACB=60°，依據等腰三角形底角相等即可得出∠E的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案為：15．【點評】本題考查了等邊三角形的性質，互補兩角和為180°以及等腰三角形的性質，難度適中．24．如圖，直線a∥b，△ABC是等邊三角形，點A在直線a上，邊BC在直線b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如圖①）；接著以上的平移得到圖②，再接著以上的平移得到圖③，…；請問在第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)是400．【考點】等邊三角形的判定與性質；平移的性質．【專題】規(guī)律型．【分析】先證出陰影的三角形是等邊三角形，又視察圖可得，第n個圖形中大等邊三角形有2n個，小等邊三角形有2n個，據此求出第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)．【解答】解：如圖①∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC，∵A′B′∥AB，BB′=B′C=BC，∴B′O=AB，CO=AC，∴△B′OC是等邊三角形，同理陰影的三角形都是等邊三角形．又視察圖可得，第1個圖形中大等邊三角形有2個，小等邊三角形有2個，第2個圖形中大等邊三角形有4個，小等邊三角形有4個，第3個圖形中大等邊三角形有6個，小等邊三角形有6個，…依次可得第n個圖形中大等邊三角形有2n個，小等邊三角形有2n個．故第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)是：2×100+2×100=400．故答案為：400．【點評】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質及平移的性質，解題的關鍵是據圖找出規(guī)律．25．如圖，點B1是面積為1的等邊△OBA的兩條中線的交點，以OB1為一邊，構造等邊△OB1A1（點O，B1，A1按逆時針方向排列），稱為第一次構造；點B2是△OB1A1的兩條中線的交點，再以OB2為一邊，構造等邊△OB2A2（點O，B2，A2按逆時針方向排列），稱為其次次構造；以此類推，當?shù)趎次構造出的等邊△OBnAn的邊OAn與等邊△OBA的邊OB第一次重合時，構造停止．則構造出的最終一個三角形的面積是．【考點】等邊三角形的性質．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】由于點B1是△OBA兩條中線的交點，則點B1是△OBA的重心，而△OBA是等邊三角形，所以點B1也是△OBA的內心，∠BOB1=30°，∠A1OB=90°，由于每構造一次三角形，OBi邊與OB邊的夾角增加30°，所以還須要（360﹣90）÷30=9，即一共1+9=10次構造后等邊△OBnAn的邊OAn與等邊△OBA的邊OB第一次重合；又因為隨意兩個等邊三角形都相像，依據相像三角形的面積比等于相像比的平方，由△OB1A1與△OBA的面積比為，求得構造出的最終一個三角形的面積．【解答】方法一：解：∵點B1是面積為1的等邊△OBA的兩條中線的交點，∴點B1是△OBA的重心，也是內心，∴∠BOB1=30°，∵△OB1A1是等邊三角形，∴∠A1OB=60°+30°=90°，∵每構造一次三角形，OBi邊與OB邊的夾角增加30°，∴還須要（360﹣90）÷30=9，即一共1+9=10次構造后等邊△OBnAn的邊OAn與等邊△OBA的邊OB第一次重合，∴構造出的最終一個三角形為等邊△OB10A10．如圖，過點B1作B1M⊥OB于點M，∵cos∠B1OM=cos30°==，∴===，即=，∴=（）2=，即S△OB1A1=S△OBA=，同理，可得=（）2=，即S△OB2A2=S△OB1A1=（）2=，…，∴S△OB10A10=S△OB9A9=（）10=，即構造出的最終一個三角形的面積是．故答案為．方法二：∵∠AOA1=30°，∠A1OA2=30°，∠AOB=60°，∴每構造一次增加30°，∴n==10，∵△OBA∽△OB1A1，∴?，∵S△OBA=1，∴S△OB1A1=，q=，∴S△OB10A10=．【點評】本題考查了等邊三角形的性質，三角函數(shù)的定義，相像三角形的判定與性質等學問，有肯定難度．依據條件推斷構造出的最終一個三角形為等邊△OB10A10及利用相像三角形的面積比等于相像比的平方，得出△OB1A1與△OBA的面積比為，進而總結出規(guī)律是解題的關鍵．26．已知等邊三角形ABC的邊長是2，以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形，得到第一個等邊三角形AB1C1，再以等邊三角形AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形，得到其次個等邊三角形AB2C2，再以等邊三角形AB2C2的邊B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形，得到第三個等邊AB3C3；…，如此下去，這樣得到的第n個等邊三角形ABnCn的面積為（）n．【考點】等邊三角形的性質．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】由AB1為邊長為2的等邊三角形ABC的高，利用三線合一得到B1為BC的中點，求出BB1的長，利用勾股定理求出AB1的長，進而求出第一個等邊三角形AB1C1的面積，同理求出其次個等邊三角形AB2C2的面積，依此類推，得到第n個等邊三角形ABnCn的面積．【解答】解：∵等邊三角形ABC的邊長為2，AB1⊥BC，∴BB1=1，AB=2，依據勾股定理得：AB1=，∴第一個等邊三角形AB1C1的面積為×（）2=（）1；∵等邊三角形AB1C1的邊長為，AB2⊥B1C1，∴B1B2=，AB1=，依據勾股定理得：AB2=，∴其次個等邊三角形AB2C2的面積為×（）2=（）2；依此類推，第n個等邊三角形ABnCn的面積為（）n．故答案為：（）n．【點評】此題考查了等邊三角形的性質，屬于規(guī)律型試題，嫻熟駕馭等邊三角形的性質是解本題的關鍵．27．如圖，在平面直角坐標系中，點O是原點，點B（0，），點A在第一象限且AB⊥BO，點E是線段AO的中點，點M在線段AB上．若點B和點E關于直線OM對稱，則點M的坐標是（1，）．【考點】軸對稱的性質；坐標與圖形性質；解直角三角形．【專題】壓軸題．【分析】依據點B的坐標求出OB的長，再連接ME，依據軸對稱的性質可得OB=OE，再求出AO的長度，然后利用勾股定理列式求出AB的長，利用∠A的余弦值列式求出AM的長度，再求出BM的長，然后寫出點M的坐標即可．【解答】解：∵點B（0，），∴OB=，連接ME，∵點B和點E關于直線OM對稱，∴OB=OE=，∵點E是線段AO的中點，∴AO=2OE=2，依據勾股定理，AB===3，cosA==，即=，解得AM=2，∴BM=AB﹣AM=3﹣2=1，∴點M的坐標是（1，）．故答案為：（1，）．【點評】本題考查了軸對稱的性質，坐標與圖形性質，解直角三角形，嫻熟駕馭軸對稱的性質并作出協(xié)助線構造出直角三角形是解題的關鍵．28．已知等邊三角形ABC的高為4，在這個三角形所在的平面內有一點P，若點P到AB的距離是1，點P到AC的距離是2，則點P到BC的最小距離和最大距離分別是1，7．【考點】等邊三角形的性質；平行線之間的距離．【專題】計算題；壓軸題．【分析】依據題意畫出相應的圖形，直線DM與直線NF都與AB的距離為1，直線NG與直線ME都與AC的距離為2，當P與N重合時，HN為P到BC的最小距離；當P與M重合時，