【新課標(biāo)下關(guān)于高中最值問題的探究5400字（論文）】

新課標(biāo)下關(guān)于高中最值問題的研究摘要最值問題分布高中數(shù)學(xué)的各個(gè)章節(jié)，實(shí)際生活中的優(yōu)化問題也涉及最值，因此是高考考察的重點(diǎn)內(nèi)容．近些年,人們對(duì)最值進(jìn)行了探究．文章基于新課標(biāo)下，在已有研究成果上來探討以下內(nèi)容：首先向大家介紹三種數(shù)學(xué)思維模式：映射模式、方程模式、變換模式；其次借助高考試圖對(duì)最值問題進(jìn)行分析討論，體會(huì)數(shù)學(xué)思維模式的應(yīng)用；最后在理解數(shù)學(xué)思維模式的基礎(chǔ)上鍛煉學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)．關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；最值問題；思維模式目錄TOC\o"1-2"\h\z\u第1章引言 1第2章關(guān)于數(shù)學(xué)思維模式的相關(guān)概述 1第3章最值問題題型及分析 23.1線性規(guī)劃中的最值問題 23.2三角函數(shù)中的最值問題 43.3數(shù)列中的最值問題 63.4圓錐曲線中的最值問題 93.5導(dǎo)數(shù)中的最值問題 12結(jié)論 14參考文獻(xiàn) 15第1章引言高中數(shù)學(xué)最值問題，就是求某個(gè)數(shù)學(xué)量在某個(gè)過程中的最大值或者最小值[1]．高中數(shù)學(xué)教材按照知識(shí)板塊進(jìn)行教學(xué)安排，最值問題關(guān)聯(lián)最多的函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、直線與圓、圓錐曲線等都各自組成一個(gè)章節(jié)[2],因此學(xué)生系統(tǒng)的學(xué)習(xí)最值問題存在困難．而最值問題作為高考出現(xiàn)頻率較高的題型之一，研究最值問題就十分重要．近些年來，人們對(duì)最值問題進(jìn)行多方向的研究．一些研究學(xué)者從教學(xué)方面和學(xué)生對(duì)最值問題的學(xué)習(xí)方面給出自己的看法和建議；一些研究學(xué)者對(duì)最值問題做了系統(tǒng)分類并給出了相應(yīng)的解題策略，還有一些研究從理論論述了數(shù)學(xué)思想對(duì)解題的重要性．本文首先介紹三種數(shù)學(xué)思維模式：映射模式，方程模式，變換模式；然后從高考題目入手，分析其解題策略中數(shù)學(xué)思維模式在線性規(guī)劃，三角函數(shù)，數(shù)列，圓錐曲線，導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用，使學(xué)生對(duì)最值解題方法有一個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)．學(xué)生通過數(shù)學(xué)思維模式進(jìn)行解題,可以使學(xué)生更好的理解題意，找準(zhǔn)做題方法，提高做題速度和正確率，使學(xué)生自主分析問題解決問題的能力得到提高．第2章關(guān)于數(shù)學(xué)思維模式的相關(guān)概述“新課標(biāo)”提出：數(shù)學(xué)課程應(yīng)致力于實(shí)現(xiàn)義務(wù)教育階段的培養(yǎng)目標(biāo)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性．其基本理念是：人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展[3]．要求教師要因材施教，使學(xué)生最大程度發(fā)展自我．大力施行素質(zhì)教育的今天，成績(jī)雖然仍是衡量一個(gè)學(xué)生的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，但題海戰(zhàn)術(shù)是不可取的；更重要的是通過解題分析其方法，探索其規(guī)律．體會(huì)解題過程中的思維策略，有利于提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用能力，有利于學(xué)生把握題目的本質(zhì)，提高得分能力．?dāng)?shù)學(xué)思維模式，就是人對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行規(guī)律性的概括及反應(yīng)的一種思維習(xí)慣[4]．文章從三種數(shù)學(xué)思維模式出發(fā)，來分析最值解題問題．下面是三種數(shù)學(xué)思維模式的定義．定義2.1[5]映射模式：把問題從本領(lǐng)域(或關(guān)系系統(tǒng))映射到另一領(lǐng)域，在另一領(lǐng)域中獲解后再返回原來領(lǐng)域使問題解決的思維方式．定義2.2[5]方程模式：是通過列方程(或方程組)與解方程(或方程組)來確定數(shù)學(xué)關(guān)系或解決問題的思維方式．定義2.3[5]變換模式：變換模式是通過適當(dāng)變更問題的表達(dá)形式使其由難化易，由繁化簡(jiǎn)，從而最終達(dá)到解決問題的思維方式．映射模式運(yùn)用到解決最值問題中最主要就是幾何法和解析法的應(yīng)用．特別是在線性規(guī)劃問題和圓錐曲線中的體現(xiàn)特別明顯線性規(guī)劃問題中，先把數(shù)字語言轉(zhuǎn)化成圖像語言，通過圖像直觀的看到問題結(jié)果；圓錐曲線問題中，根據(jù)題意我們翻譯得到圖像，然后把我們經(jīng)過一系列代數(shù)運(yùn)算得到我們的目標(biāo)，把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題．方程模式我們通過翻譯，理解題意，找出未知量之間的過系，我們列出方程或方程組，解所得的方程(或方程組)得出結(jié)果[6]．考察學(xué)生的基礎(chǔ)，鍛煉學(xué)生的運(yùn)算能力．通過變換模式將問題與熟悉的知識(shí)靠攏有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的整體把握．把復(fù)雜關(guān)系轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單關(guān)系，把隱性關(guān)系轉(zhuǎn)化為顯性關(guān)系，把間接關(guān)系轉(zhuǎn)化為直接關(guān)系，目的在于使問題得以便捷解決[7]．第3章最值問題題型及分析3.1線性規(guī)劃中的最值問題線性規(guī)劃問題將不等式部分和函數(shù)部分兩部分結(jié)合，在高考最值問題中多考察線性目標(biāo)函數(shù)的最值，偶爾考察非線性目標(biāo)的最值，但都是在線性約束條件下，基本出現(xiàn)在題位置，作為學(xué)生的必會(huì)題，而年出現(xiàn)在15題的位置，說明相對(duì)于線性，非線性是稍難一點(diǎn)．例3.1（2015年全國理科卷I，填空15題，非線性）若,滿足約束條件，則的最大值為()．分析：我們知道，求目標(biāo)函數(shù)首先要找可行域，這就是把題中的給的數(shù)字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言；然后看準(zhǔn)目標(biāo)設(shè)，與我們所學(xué)的知識(shí)相聯(lián)系,的幾何意義是點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率．所以就是讓我們求可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連接斜率的最大值．圖3.1約束條件表示的平面區(qū)域如圖3.1即為可行域，因?yàn)橹本€的斜率最大,又因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為(1，3)所以．我們將此題進(jìn)行變換，約束條件不變，將問題化成,我們同樣根據(jù)它的幾何意義表示點(diǎn)和點(diǎn)連線的斜率得出結(jié)果．例3．2（2018年全國理科卷I，填空題13題，線性）若滿足約束條件，則的最大值為（）．分析：第一步將式子映射到直角坐標(biāo)系中，要對(duì)進(jìn)行恒等變形，表示直線的縱截距，縱截距越大越大．將求目標(biāo)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化成讓求出截距的最大值問題．圖3.2約束條件表示的平面區(qū)域解：如圖3.2，為我們所得的可行域，轉(zhuǎn)化成,說明截距越大，值越大，平移發(fā)現(xiàn)在（3，0）處取最大值，即．在數(shù)學(xué)全國卷2017年填空13題和2020年填空13題我們同樣可以運(yùn)用此種方法．小結(jié)：在做線性規(guī)劃問題時(shí)，將式子映射到直角坐標(biāo)系中很直觀的就得到了結(jié)果，這就是數(shù)學(xué)思維模式中的映射思維的體現(xiàn)．非線性規(guī)劃中，一般和函數(shù)的幾何意義有關(guān)，給大家?guī)追N常見式子的幾何意義：表示點(diǎn)和原點(diǎn)之間的斜率； （2）表示點(diǎn)和原點(diǎn)之間的距離；（3）表示點(diǎn)和與點(diǎn)之間的距離；（4）表示點(diǎn)到直線的距離；（5）表示點(diǎn)和點(diǎn)連線的斜率．3.2三角函數(shù)中的最值問題在新課標(biāo)中對(duì)三角函數(shù)做了具體要求：借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切)的定義，能畫出這些三角函數(shù)的圖象，了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大(?。┲礫8]．而在高考中要求考生有運(yùn)用這些知識(shí)解決問題的能力．例3.3（2014年全國卷理科卷I，填空16題）已知分別為的三個(gè)內(nèi)角，、的對(duì)邊，，且，則面積的最大值為（）．分析：首先我們觀察已知條件，那轉(zhuǎn)為，結(jié)合正弦定理得到，去括號(hào)得到，類比到余弦定理得到進(jìn)而得到角為，這里的角的范圍是一個(gè)隱含條件；然后看我們的目標(biāo)是的面積最大值，我們已知角,結(jié)合面積公式，就轉(zhuǎn)化成了求的最大值，此時(shí)只與和有關(guān)，那我們將代入得到，繼續(xù)化簡(jiǎn)，此時(shí)考察的是不等式的知識(shí)，我們得到得到當(dāng)取最大值時(shí)，有最大值．解：已知：，，則，得，即，因?yàn)?=，所以，又因?yàn)椋驗(yàn)?，所以．?.4（2019年全國卷理科卷I，選擇題11題）關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)②在區(qū)間單調(diào)遞增③是有4個(gè)零點(diǎn)④的最大值是2．結(jié)論正確的有（）．．①②④．②④．①④．①③解析:我們將看成兩個(gè)函數(shù)，和我們可以做出函數(shù)圖像，的圖像為圖3.3，的圖像為圖3.4，的圖像為圖3.5，因?yàn)椋?，?dāng)，或，時(shí)兩等號(hào)同時(shí)成立，所以的最大值為2,所以④正確．這個(gè)題根據(jù)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)可以判斷①④正確．圖3.3的函數(shù)圖像圖3.3圖3.4的函數(shù)圖像圖3.5的函數(shù)圖像小結(jié)：在三角函數(shù)中，題目多簡(jiǎn)單，中難度，簡(jiǎn)單題目多考察圖像性質(zhì)，中難考察學(xué)生的分析能力，知識(shí)之間的聯(lián)系，如在例3.3中，我們運(yùn)用變換模式，層層分析，三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成了基本不等式．例3.4中，對(duì)于復(fù)合函數(shù)可以從我們熟悉的初等函數(shù)入手．3.3數(shù)列中的最值問題數(shù)列和三角函數(shù)經(jīng)常在17題的位置交替出現(xiàn)，作為簡(jiǎn)答題的第一題，必答題，在最值中考等差數(shù)列前項(xiàng)的最大值，數(shù)列關(guān)于最值的問題在高考中出現(xiàn)較小，因?yàn)閿?shù)列也是函數(shù)，所以我們?cè)诮獯鸫祟悊栴}時(shí)有時(shí)需借用函數(shù)的性質(zhì)．例3.5（2016年數(shù)學(xué)全國理科卷I，填空題15）設(shè)等比數(shù)列{}滿足，，，則的最大值為()．分析：我們由已知題意得，聯(lián)立方程組得，q=．思路一：由要使要值最大，即取得最大值，這就轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最大值，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，但，當(dāng)或時(shí)，．思路二：數(shù)列是特殊的函數(shù)，等比數(shù)列說明此函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，值開始減小，所以找時(shí)，n的取值．令，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，最大；又因?yàn)闀r(shí)，，任何數(shù)乘1結(jié)果不變，所以，所以當(dāng)或時(shí)，．解：方法一（二次函數(shù)法）：已知：，，即解得，因?yàn)?，又因?yàn)椋援?dāng)3或4時(shí)，．圖3.6二次函數(shù)圖像方法二：已知：，，即，得，因?yàn)椋源藬?shù)列為單調(diào)減數(shù)列．因?yàn)楫?dāng)，乘積變小，當(dāng)時(shí)，最小是5，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，=1，所以，綜上，當(dāng)或時(shí)，取得最大值64．小結(jié)：運(yùn)用方程的思維模式求出和，然后把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的問題，或者與舊知識(shí)聯(lián)系轉(zhuǎn)變成判斷函數(shù)的單調(diào)性的問題，解決方法也不同，多個(gè)方法使問題得到解決有利于對(duì)知識(shí)的全面深入理解．培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和創(chuàng)新能力，避免因同一思維解決問題而產(chǎn)生的固定思維狀態(tài)．3.4圓錐曲線中的最值問題圓錐曲線與函數(shù)，不等式，向量等都可以結(jié)合出題，思維邏輯強(qiáng)，計(jì)算量大．我們?cè)诮鉀Q此類問題時(shí)除了加強(qiáng)計(jì)算能力，更要在變換思維的模式下，對(duì)題型進(jìn)行總結(jié)，借助經(jīng)驗(yàn)，提高做題速度和得分．例3.6(2017年全國理科卷I，選擇題10題)已知為拋物線的焦點(diǎn)，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交與，兩點(diǎn)，則的最小值為()．．16．14．12．10分析：因?yàn)椋ハ啻怪?，所以，斜率必存在．就假設(shè)，的斜率分別為，．我們就可以得到的方程分別為，，我們把直線方程分別與拋物線方程聯(lián)立就可以得到交點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)與交于，兩點(diǎn)分別為，，聯(lián)立直線與拋物線，得到方程，又，我們由韋達(dá)定理可以得到，就可以得到關(guān)于k的表達(dá)式，同理得到的關(guān)于的表達(dá)式，那么，此時(shí)我們就可以運(yùn)用基本不等式得到最小值．根據(jù)定理過拋物線焦點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)的弦長(zhǎng)度為，是為的傾斜角，則，題中與互相垂直，那，則，我們就可以得到當(dāng)=45度時(shí)，最小為16．圖3.7第六個(gè)例題的圖解：方法一：設(shè)直線斜率為，且與交于兩點(diǎn)，那么方程表示為，則，整理得，得，又因?yàn)?，得，同理，則，根據(jù)基本不等式，所以．方法二：設(shè)直線的傾斜角為，則的傾斜角為，根據(jù)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)可得，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，的值最小，最小為16．方法三:如圖3.7，，直線與交于，直線與交于兩點(diǎn)，要使最小，則與關(guān)于軸對(duì)稱，即直線的斜率為1，又直線過點(diǎn)則直線的方程為，聯(lián)立方程組，得，所以，所以，所以的最小值為．例3.7（2020年全國卷理科卷I，選擇題11）已知?，直線，為上得動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作?的切線，，切點(diǎn)，當(dāng)最小值時(shí)，直線的方程為()．分析：數(shù)字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，根據(jù)圖形結(jié)合我們的目標(biāo)，就是面積的二倍，那么要使的值最小，就是最小，此時(shí)與垂直，寫出所在直線方程，與直線的方程朕立，求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后寫出以的直徑的圓的方程，與?的方程聯(lián)立可得所在的直線方程．圖3.8第七個(gè)例題的圖解:方法一：由圓的切線結(jié)論知且切點(diǎn)弦所在直線方程為，故選．方法二：已線段為直徑的圓的方程為，整理得與⊙的方程，做差可得直線的方程為，故選．小結(jié)：通過這兩道題，圓錐曲線的問題既考察基礎(chǔ)計(jì)算又考察了結(jié)論的記憶和運(yùn)用，既可以通過映射模式，通過數(shù)形結(jié)合的思想直觀的發(fā)現(xiàn)圖形特點(diǎn)，大大的減少了計(jì)算量，結(jié)論直接運(yùn)用，提升了做題速度和正確率．3.5導(dǎo)數(shù)中的最值問題導(dǎo)數(shù)常常被我們用作解決函數(shù)最值，極值，切線等的工具，除了能夠研究函數(shù)的性質(zhì)還可以解決一些參數(shù)問題，我們要理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并能運(yùn)用得到解題過程．例3.8（2017年全國理科卷I，第16題）如圖3.9，圓形紙片的圓心為，半徑為5，該紙片上的等邊的中心為，為圓上的點(diǎn)，、、分別是以、、為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以，，折疊、、，使得重合，得到三棱錐．當(dāng)?shù)倪呴L(zhǎng)不斷變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：)的最大值為（）．[9]圖3.9第八個(gè)例題的圖解：由題，連接,交與點(diǎn),根據(jù)題意得,,即的長(zhǎng)度與的長(zhǎng)度成正比．設(shè)，則,三棱錐的高為,即,令，則則，所以體積的最大值為．小結(jié)：我們做題時(shí)除了題中已知條件我們也要善于發(fā)現(xiàn)隱含條件，借助輔助線結(jié)合圖像特點(diǎn)使朝著我們熟悉的知識(shí)入手，將體積問題與我們學(xué)過的函數(shù)相聯(lián)系，而函數(shù)問題我們一定要知道導(dǎo)數(shù)法這種方法．結(jié)論本文主要將映射模式、方程模式、變換模式和最值問題的解題聯(lián)系起來，為學(xué)生解題提供了具體的思路及做法．對(duì)于以上例題的分析發(fā)現(xiàn)：首先要讀懂題意將數(shù)學(xué)語言進(jìn)行翻譯，如在線性規(guī)劃和圓錐曲線中，翻譯成圖形語言，結(jié)合圖像使問題變得簡(jiǎn)單；通過翻譯使我們更清晰的理解題意，進(jìn)一步提高解題策略．然后通過觀察我們最后要解決