2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量章末綜合測評含解析北師大版必修4

PAGE8-章末綜合測評(二)平面對量(時間：120分鐘，滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝(3，0)，那么|eq\o(AB,\s\up8(→))|等于()A．2 B．3C．(1，2) D．5B[∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝(3，0)，∴|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(32＋02)＝3.故選B.]2．若eq\o(OA,\s\up8(→))＝(－1，2)，eq\o(OB,\s\up8(→))＝(1，－1)，則eq\o(AB,\s\up8(→))＝()A．(－2，3) B．(0，1)C．(－1，2) D．(2，－3)D[eq\o(OA,\s\up8(→))＝(－1，2)，eq\o(OB,\s\up8(→))＝(1，－1)，所以eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3).]3．已知向量a＝(3，k)，b＝(2，－1)，a⊥b，則實數(shù)k的值為()A．－eq\f(3,2) B．eq\f(3,2)C．6 D．2C[∵向量a＝(3，k)，b＝(2，－1)，a⊥b，∴6－k＝0，解得k＝6，故選C.]4．在下列向量組中，可以把向量a＝(3，2)表示出來的是()A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)B[設(shè)a＝k1e1＋k2e2，A選項，∵(3，2)＝(k2，2k2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝3，,2k2＝2，))無解，B選項，∵(3，2)＝(－k1＋5k2，2k1－2k2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－k1＋5k2＝3，,2k1－2k2＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝2，,k2＝1.))故B中的e1，e2可把a(bǔ)表示出來．同理，C、D選項同A選項，無解．]5．設(shè)O是正方形ABCD的中心，則向量eq\o(AO,\s\up8(→))，eq\o(BO,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))，eq\o(OD,\s\up8(→))是()A．相等的向量 B．平行的向量C．有相同起點的向量 D．模相等的向量D[這四個向量的模相等．]6．已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC＝60°，則eq\o(BD,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))等于()A．－eq\f(3,2)a2 B．－eq\f(3,4)a2C．eq\f(3,4)a2 D．eq\f(3,2)a2D[eq\o(BD,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(BD,\s\up8(→))·eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\r(3)a·acos30°＝eq\f(3,2)a2，故選D.]7．?dāng)?shù)軸上點A，B，C的坐標(biāo)分別為－1，1，5，則下列選項錯誤的是()A．eq\o(AB,\s\up8(→))的坐標(biāo)表示為(2，0) B．eq\o(CA,\s\up8(→))＝－3eq\o(AB,\s\up8(→))C．eq\o(CB,\s\up8(→))的坐標(biāo)表示為(4，0) D．eq\o(BC,\s\up8(→))＝2eq\o(AB,\s\up8(→))C[選項C不正確．故選C.]8．已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4).若λ為實數(shù)，(a＋λb)∥c，則λ＝()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．1D．2B[a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝eq\f(1,2).]9．△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿意eq\o(AB,\s\up8(→))＝2a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝2a＋b，則下列選項正確的是()A．|b|＝1 B．a(chǎn)⊥bC．a(chǎn)·b＝1 D．(4a＋b)⊥eq\o(BC,\s\up8(→))D[在△ABC中，由eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos120°＝－1，所以(4a＋b)·eq\o(BC,\s\up8(→))＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥eq\o(BC,\s\up8(→))，故選D.]10．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，其中θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，b＝(0，－1)，則a與b的夾角等于()A．θ－eq\f(π,2) B．eq\f(π,2)＋θC．eq\f(3π,2)－θ D．θC[設(shè)a與b的夾角為α，a·b＝cosθ·0＋sinθ·(－1)＝－sinθ，|a|＝1，|b|＝1，所以cosα＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－sinθ＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))，因為θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，α∈[0，π]，y＝cosx在[0，π]上是遞減的，所以α＝eq\f(3π,2)－θ，故選C.]11．已知點O，N在△ABC所在平面內(nèi)，且|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝|eq\o(OB,\s\up8(→))|＝|eq\o(OC,\s\up8(→))|，eq\o(NA,\s\up8(→))＋eq\o(NB,\s\up8(→))＋eq\o(NC,\s\up8(→))＝0，則點O，N依次是△ABC的()A．重心，外心 B．重心，內(nèi)心C．外心，重心 D．外心，內(nèi)心C[由|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝|eq\o(OB,\s\up8(→))|＝|eq\o(OC,\s\up8(→))|知，O為△ABC的外心；由eq\o(NA,\s\up8(→))＋eq\o(NB,\s\up8(→))＋eq\o(NC,\s\up8(→))＝0，得eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\o(NB,\s\up8(→))＋eq\o(NC,\s\up8(→))，取BC邊的中點D(圖略)，則eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\o(NB,\s\up8(→))＋eq\o(NC,\s\up8(→))＝2eq\o(ND,\s\up8(→))，知A、N、D三點共線，且AN＝2ND，故點N是△ABC的重心．]12.如圖所示，半圓的直徑AB＝4，O為圓心，C是半圓上不同于A，B的隨意一點，若P為半徑eq\o(OC,\s\up8(→))上的動點，則(eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→)))·eq\o(PC,\s\up8(→))的最小值為()A．2 B．0C．－1 D.－2D[由平行四邊形法則得eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＝2eq\o(PO,\s\up8(→))，故(eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→)))·eq\o(PC,\s\up8(→))＝2eq\o(PO,\s\up8(→))·eq\o(PC,\s\up8(→))，又|eq\o(PC,\s\up8(→))|＝2－|eq\o(PO,\s\up8(→))|，且eq\o(PO,\s\up8(→))與eq\o(PC,\s\up8(→))反向，設(shè)|eq\o(PO,\s\up8(→))|＝t(0≤t≤2)，則(eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→)))·eq\o(PC,\s\up8(→))＝2eq\o(PO,\s\up8(→))·eq\o(PC,\s\up8(→))＝－2t(2－t)＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1].∵0≤t≤2，∴當(dāng)t＝1時，(eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→)))·eq\o(PC,\s\up8(→))的最小值為－2.]二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13．已知向量eq\o(OA,\s\up8(→))⊥eq\o(AB,\s\up8(→))，|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝3，則eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝________．9[因為eq\o(OA,\s\up8(→))⊥eq\o(AB,\s\up8(→))，所以eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))·(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))＝eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))－OA2＝0，所以eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝OA2＝|eq\o(OA,\s\up8(→))|2＝9，即eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝9.]14．有一兩岸平行的河流，水速為1，小船的速度為eq\r(2)，為使所走路程最短，小船應(yīng)朝與水速成________角的方向行駛．135°[如圖，eq\o(OA,\s\up8(→))為水速，eq\o(OC,\s\up8(→))是船行駛路程最短的情形，eq\o(OB,\s\up8(→))是船行駛的速度，易知∠AOB＝135°.]15．若三點A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值為________．eq\f(1,2)[eq\o(AB,\s\up8(→))＝(a－2，－2)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－2，b－2)，依題意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2).]16．已知a＝(1，3)，b＝(1，1)，c＝a＋λb，a和c的夾角是銳角，則實數(shù)λ的取值范圍是________．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(λ>－\f(5,2)，且λ≠0))))[c＝(1＋λ，3＋λ)，∵a，c夾角為銳角，∴0<cos〈a，c〉<1，∵cos〈a，c〉＝eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(10＋4λ,\r(10)·\r(（1＋λ）2＋（3＋λ）2))＝eq\f(10＋4λ,\r(20λ2＋80λ＋100))，∴0<eq\f(10＋4λ,\r(20λ2＋80λ＋100))<1，∴0<10＋4λ<eq\r(20λ2＋80λ＋100)，∴λ>－eq\f(5,2)，且λ≠0，∴實數(shù)λ的取值范圍是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(λ>－\f(5,2)，且λ≠0)))).]三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝eq\f(1,2)AB.求證：AC⊥BC.[證明]以A為原點，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)AD＝1，則A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，1)，所以eq\o(BC,\s\up8(→))＝(－1，1)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(1，1)，eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝－1×1＋1×1＝0，所以eq\o(AC,\s\up8(→))⊥eq\o(BC,\s\up8(→))，即AC⊥BC.18．(本小題滿分12分)設(shè)eq\o(OA,\s\up8(→))＝(2，－1)，eq\o(OB,\s\up8(→))＝(3，0)，eq\o(OC,\s\up8(→))＝(m，3).(1)當(dāng)m＝8時，將eq\o(OC,\s\up8(→))用eq\o(OA,\s\up8(→))和eq\o(OB,\s\up8(→))表示；(2)若A，B，C三點能構(gòu)成三角形，求實數(shù)m應(yīng)滿意的條件．[解](1)當(dāng)m＝8時，eq\o(OC,\s\up8(→))＝(8，3)，設(shè)eq\o(OC,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))，則(8，3)＝x(2，－1)＋y(3，0)＝(2x＋3y，－x)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝8，,－x＝3，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝\f(14,3)，))所以eq\o(OC,\s\up8(→))＝－3eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(14,3)eq\o(OB,\s\up8(→)).(2)因為A，B，C三點能構(gòu)成三角形，所以eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))不共線，eq\o(AB,\s\up8(→))＝(1，1)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(m－2，4)，所以1×4－1×(m－2)≠0，所以m≠6.19．(本小題滿分12分)已知非零向量a，b滿意|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝eq\f(3,4).(1)求|b|；(2)當(dāng)a·b＝－eq\f(1,4)時，求向量a與a＋2b的夾角θ的值．[解](1)依據(jù)條件，(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝1－b2＝eq\f(3,4)，∴b2＝eq\f(1,4)，∴|b|＝eq\f(1,2).(2)∵a·b＝－eq\f(1,4)，∴a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，|a＋2b|＝eq\r(（a＋2b）2)＝eq\r(1－1＋1)＝1，∴cosθ＝eq\f(a·（a＋2b）,|a||a＋2b|)＝eq\f(\f(1,2),1×1)＝eq\f(1,2)，∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(π,3).20．(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知向量a＝(2，1)，A(1，0)，B(cosθ，t).(1)若a∥eq\o(AB,\s\up8(→))，且|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(5)|eq\o(OA,\s\up8(→))|，求向量eq\o(OB,\s\up8(→))的坐標(biāo)；(2)若a∥eq\o(AB,\s\up8(→))，求y＝cos2θ－cosθ＋t2的最小值．[解](1)∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝(cosθ－1，t)，又a∥eq\o(AB,\s\up8(→))，∴2t－cosθ＋1＝0.∴cosθ－1＝2t. ①又∵|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(5)|eq\o(OA,\s\up8(→))|，∴(cosθ－1)2＋t2＝5. ②由①②得，5t2＝5，∴t2＝1，∴t＝±1.當(dāng)t＝1時，cosθ＝3(舍去)，當(dāng)t＝－1時，cosθ＝－1，∴B(－1，－1)，∴eq\o(OB,\s\up8(→))＝(－1，－1).(2)由(1)可知t＝eq\f(cosθ－1,2)，∴y＝cos2θ－cosθ＋eq\f(（cosθ－1）2,4)＝eq\f(5,4)cos2θ－eq\f(3,2)cosθ＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2θ－\f(6,5)cosθ))＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ－\f(3,5)))eq\s\up10(2)－eq\f(1,5)，∴當(dāng)cosθ＝eq\f(3,5)時，ymin＝－eq\f(1,5).21．(本小題滿分12分)如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b.(1)用a，b表示向量eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AE,\s\up8(→))，eq\o(AF,\s\up8(→))，eq\o(BE,\s\up8(→))，eq\o(BF,\s\up8(→))；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點共線．[解](1)延長AD到G，使eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up8(→))，連接BG，CG(圖略)，得到平行四邊形ABGC，所以eq\o(AG,\s\up8(→))＝a＋b，eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\o(AE,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)(b－2a)，eq\o(BF,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)b－a＝eq\f(1,2)(b－2a).(2)證明：由(1)可知eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BF,\s\up8(→))，又因為eq\o(BE,\s\up8(→))，eq\o(BF,\s\up8(→))有公共點B，所以B，E，F(xiàn)三點共線．22．(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系中，