高中數(shù)學(xué) 第20講 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用配套試題（含解析）理 新人教B版

[第20講函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用](時(shí)間：45分鐘分值：100分)eq\a\vs4\al\co1(基礎(chǔ)熱身)1．[·天津質(zhì)檢]給定性質(zhì)：a：最小正周期為π；b：圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對稱．則下列四個(gè)函數(shù)中，同時(shí)具有性質(zhì)ab的是________．①y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))；②y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))；③y＝sin|x|；④y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).2．[·長春檢測]若函數(shù)f(x)＝2sinωx(ω>0)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，\f(2π,3)))上單調(diào)遞增，則ω的最大值為________．3．有一種波，其波形為函數(shù)y＝sineq\f(π,2)x的圖象，若在區(qū)間[0，t]上至少有2個(gè)波峰(圖象的最高點(diǎn))，則正整數(shù)t的最小值是________．4．已知函數(shù)f(x)＝asin2x＋cos2x(a∈R)圖象的一條對稱軸方程為x＝eq\f(π,12)，則a的值為________．eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)，將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移eq\f(2,3)π個(gè)單位長度后，所得圖象與原函數(shù)圖象重合，則ω的最小值等于()A.eq\f(1,3)B．3C．6D．96．[·唐山一模]函數(shù)y＝sin3x的圖象可以由函數(shù)y＝cos3x的圖象()A．向左平移eq\f(π,2)個(gè)單位得到B．向右平移eq\f(π,2)個(gè)單位得到C．向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位得到D．向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位得到7．[·保定聯(lián)考]如果函數(shù)y＝cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)，0))中心對稱，那么|φ|的最小值為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)8．[·課程標(biāo)準(zhǔn)卷]已知ω>0，函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D．(0，2]9．[·黃岡高三期末]函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中A>0，|φ|<\f(π,2)))的部分圖象如圖K20－1所示，為了得到g(x)＝sin2x的圖象，則只要將f(x)的圖象()圖K20－1A．向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長度B．向右平移eq\f(π,12)個(gè)單位長度C．向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位長度D．向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位長度10．[·鄭州模擬]已知函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的圖象如圖K20－2所示，則φ＝________.圖K20－211．[·全國卷]當(dāng)函數(shù)y＝sinx－eq\r(3)cosx(0≤x<2π)取得最大值時(shí)，x＝________．12．若將函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(5π,6)))(ω>0)的圖象向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位長度后，與函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))的圖象重合，則ω的最小值為________．13．[·云南檢測]若eq\f(π,4)<x<eq\f(π,2)，則函數(shù)y＝tan2xtan3x的最大值為________．14．(10分)如圖K20－3是某簡諧運(yùn)動的一段圖象，它的函數(shù)模型是f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x≥0)，其中A>0，ω>0，－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2).(1)根據(jù)圖象求函數(shù)y＝f(x)的解析式；(2)將函數(shù)y＝f(x)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)y＝g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上的最大值和最小值．圖K20－315．(13分)[·沈陽檢測]設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx，1)，b＝(cosx，eq\r(3)sin2x＋m)．(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))時(shí)，f(x)的最大值為4，求m的值．eq\a\vs4\al\co1(難點(diǎn)突破)16．(12分)[·東北模擬]如圖K20－4是某簡諧運(yùn)動的一段圖象，其函數(shù)模型是f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x≥0)，其中A>0，ω>0，－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2).(1)根據(jù)圖象求函數(shù)y＝f(x)的解析式；(2)若函數(shù)g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，實(shí)數(shù)α滿足0<α<π，且eq\i\in(α,π,)g(x)dx＝3，求α的值．圖K20－4

課時(shí)作業(yè)(二十)【基礎(chǔ)熱身】1．④[解析]④中，∵T＝eq\f(2π,2)＝π，又2×eq\f(π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，所以x＝eq\f(π,3)為其對稱軸．2.eq\f(3,4)[解析]由題意，得eq\f(4,3)π≤eq\f(T,2)，即eq\f(4,3)π≤eq\f(π,ω)，∴0<ω≤eq\f(3,4)，則ω的最大值為eq\f(3,4).3．5[解析]函數(shù)y＝sineq\f(π,2)x的周期T＝4，若在區(qū)間[0，t]上至少出現(xiàn)兩個(gè)波峰，則t≥eq\f(5,4)T＝5.4.eq\f(\r(3),3)[解析]∵x＝eq\f(π,12)是對稱軸，∴f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，即cos0＝asineq\f(π,3)＋coseq\f(π,3)，∴a＝eq\f(\r(3),3).【能力提升】5．B[解析]f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)向右平移eq\f(2,3)π個(gè)單位長度得f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(2πω,3)＋\f(π,3)))，所以－eq\f(2πω,3)＝2kπ，ωmin＝3.選B.6．A[解析]本題主要考查三角函數(shù)圖象的變換．屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查．y＝sin3x＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋3x))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))))，故函數(shù)y＝cos3x的圖象向左平移eq\f(π,2)個(gè)單位得到y(tǒng)＝sin3x.7．A[解析]由對稱中心可知eq\f(4π,3)×2＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ，即φ＝eq\f(π,2)＋kπ－eq\f(8π,3)＝(k－2)π－eq\f(π,6)，顯然當(dāng)k＝2時(shí)，|φ|min＝eq\f(π,6)，選A.8．A[解析]因?yàn)楫?dāng)ω＝1時(shí)，函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上是單調(diào)遞減的，故排除B，C項(xiàng)；當(dāng)ω＝2時(shí)，函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上不是單調(diào)遞減的，故排除D項(xiàng)．故選A.9．A[解析]函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，為了得到g(x)＝sin2x的圖象，則只要將f(x)的圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長度，故選A.10.eq\f(9π,10)[解析]由圖象知函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的周期為2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(3π,4)))＝eq\f(5π,2)，∴eq\f(2π,ω)＝eq\f(5π,2)，∴ω＝eq\f(4,5).∵當(dāng)x＝eq\f(3,4)π時(shí)，y有最小值－1，因此eq\f(4,5)×eq\f(3π,4)＋φ＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)．∵－π≤φ<π，∴φ＝eq\f(9π,10).11.eq\f(5π,6)[解析]本小題主要考查利用三角函數(shù)的兩角和與差公式變形求最值，解題的突破口為化為振幅式并注意定義域．函數(shù)可化為y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，由x∈[0，2π)得x－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(5π,3)))，∴x－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)時(shí)，即x＝eq\f(5π,6)時(shí)，函數(shù)有最大值2，故填eq\f(5π,6).12.eq\f(7,4)[解析]依題意，將函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(5π,6)))(ω>0)的圖象向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位長度后，所對應(yīng)的函數(shù)是y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(5π,6)－\f(π,3)ω))(ω>0)，它的圖象與函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))的圖象重合，所以eq\f(5π,6)－eq\f(π,3)ω＝eq\f(π,4)＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝eq\f(7,4)－6k(k∈Z)．因?yàn)棣?gt;0，所以ωmin＝eq\f(7,4).13．－8[解析]eq\f(π,4)<x<eq\f(π,2)，tanx>1，令tan2x－1＝t>0，則y＝tan2xtan3x＝eq\f(2tan4x,1－tan2x)＝eq\f(2（t＋1）2,－t)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)＋2))≤－8，當(dāng)且僅當(dāng)t＝eq\f(1,t)，即t＝1，即tanx＝eq\r(2)時(shí)取等號，故填－8.14．解：(1)由函數(shù)圖象及函數(shù)模型f(x)＝Asin(ωx＋φ)知A＝2；由eq\f(2π,ω)＝T＝eq\f(13π,3)－eq\f(π,3)＝4π，得ω＝eq\f(1,2)，由最高點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)π，2))得，eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴φ＝－eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)，又－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(π,6).∴所求函數(shù)解析式為y＝f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6)))(x≥0)．(2)方法一：將y＝f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6)))圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)＝g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的圖象，∵eq\f(π,2)≤x≤π，∴eq\f(π,3)≤x－eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)，當(dāng)x－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(2π,3)時(shí)，g(x)有最大值2；當(dāng)x－eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6)，即x＝π時(shí)，g(x)有最小值1.方法二：將y＝f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6)))圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)＝g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的圖象，令t＝x－eq\f(π,6)，∵函數(shù)y＝2sint的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z，由－eq\f(π,2)＋2kπ≤x－eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)＋2kπ，得－eq\f(π,3)＋2kπ≤x≤eq\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z，設(shè)A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋2kπ≤x≤\f(2π,3)))＋2kπ，k∈Z))，則A∩B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))，∴函數(shù)y＝g(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))上單調(diào)遞增，同理可得，函數(shù)y＝g(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))上單調(diào)遞減．又∵geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq\r(3)，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝2，g(π)＝1，∴函數(shù)y＝g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上的最大值為2，最小值為1.15．解：(1)∵f(x)＝a·b＝2cos2x＋eq\r(3)sin2x＋m＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋m＋1，∴函數(shù)f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.令－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(π,3)＋kπ≤x≤eq\f(π,6)＋kπ，k∈Z，故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1