離散型隨機變量的方差 高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

=

x1p1

+

x2p2

+

…

+

xipi

+

…

+

xnpn

=

xi

pi

,

i

=

1,2,3,

…

n.數(shù)學期望是反映離散型隨機變量的平均水平2.數(shù)學期望的性質：E(aX+b)=aE(X)+b若X服從兩點分布，則E（X）=pXx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnX10Pp1-p1.離散型隨機變量的數(shù)學期望問題1.從兩名同學中挑選出一名代表班級參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績記

錄,

甲、乙兩名同學擊中目標靶的環(huán)數(shù)X

和Y的分布列為Y678910P0.070.220.380.300.03X678910P0.090.240.320.280.07如何評價這兩名同學的射擊水平？E(X)=8,E(Y)=8,因此只根據(jù)均值不能區(qū)分這兩名同學的射擊水平.兩個均值相等除平均中靶環(huán)數(shù)以外,還要考慮穩(wěn)定性,

即擊中環(huán)數(shù)的離散程度.下圖分別是X

和Y的概率分布圖.比較兩個圖形,哪一名同學的射擊成績更穩(wěn)定?0

6

7

8

910

X0

6

7

8

910

YP0.40.3

0.2

0.1P0.40.3

0.2

0.1

在一組數(shù)：x1,x2

,…,xn

中，各數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x

,則這組數(shù)據(jù)的方差為：方差反應的是這組數(shù)

據(jù)的波動情況2

1

2

2

2S

=n

[(x1

-

x)+

(x2

-

x)+

…+

(xn

-

x)

]類似

于這個概念,

我們可以定義隨機變量的方差.問題探究差.記為σ(X).它們都是反映離散型隨機變量偏離于均值的平均程度的量，它們

的值越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越小，即越集中于均值。Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn

3.離散型隨機變量方差設離散型隨機變量X的概率分布為：D(X

)為隨機變量X的方差.并稱

D(X)為隨機變量X的標準練習：給出下列四個命題：①離散型隨機變量X的均值E(X)反映了X取值的平均值；②離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；③離散型隨機變量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平；④離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值偏離于均值的平均程度.

則正確命題應該是(

D

)A

.

①④

B

.

②③

C

.

①②

D

.

③④D（X)=(6-8)2

×0.09+(7-8)2

×0.24+(8-8)2

×0.32+(9-8)2

×0.28+(10-8)2

×0.07=1.16

D（Y)=(6-8)2

×0.07+(7-8)2

×0.22+(8-8)2

×0.38+(9-8)2

×0.30+(10-8)2

×0.03=0.92

D(X)>D(Y)

，即乙同學的射擊成績相對更穩(wěn)定Y678910P0.070.220.380.300.03X678910P0.090.240.320.280.07下面用兩名同學射擊成績的的方差和標準差來刻畫他們射擊成績的穩(wěn)定性E(X)=

8,E(Y)=8.:

E(ξ)

=

0

×

+

1×

+

2

×+

3×

0

+

4

×=

1:

D(ξ)=(0-

1)2

×+(1

-

1)2

×+(2-

1)2

×

+(3

-

1)2

×

0+(4-

1)2

×=1例1.數(shù)字1，2，3，4任意排成一列，如果數(shù)字k恰好在第k個位置上，則稱有一個巧合，求巧合數(shù)

的期望和方差.在方差計算中,利用下面的結論可以使計算簡化

=

x

pi

-

(E(X))2

.=

E(X2

)

-

(E(X))2i2例2.拋擲一枚質地均勻的骰子，求擲出的點數(shù)X的方差.離散型隨機變量方差的性質若Y=aX+b,則

E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+bD(Y)=D(aX+b)=a2D(X)3例4.袋中有20個大小相同的球,其中標上0號的有10個,標上n號的有n個(其中n

=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取1個球,X表示所取球的標號.(1).求X的分布列、

期望和方差;(2).若Y=

aX

+b,

E(Y)

=

1,D(Y)

=

11,

試求a,b的值.解:(1)X的所有可能取值為0,1,2,3,4

=

2.75.X01234P

1212011032015例4.袋中有20個大小相同的球,其中標上0號的有10個,標上n號的有n個(其n

=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取1個球,X表示所取球的標號.(1).求X的分布列、

期望和方差;(2).若Y=

aX

+b,

E(Y)

=

1,D(Y)

=

11,

試求a,b的值.（2）

由(1)得

E(X)=

1.