七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)-5.1相交線 解析版

.1相交線【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：相交線與垂線的定義 考點(diǎn)二：畫垂線或最短問題考點(diǎn)三：與對(duì)頂角有關(guān)問題 考點(diǎn)四：鄰補(bǔ)角的定義考點(diǎn)五：鄰補(bǔ)角求角度問題 考點(diǎn)六：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的問題考點(diǎn)七：相交線的綜合問題知識(shí)點(diǎn)一、相交線相交線：如果兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn),就說這兩條直線相交，該公共點(diǎn)叫做兩直線的交點(diǎn)。如直線AB、CD相交于點(diǎn)O。 A D C O B對(duì)頂角：兩條直線相交出現(xiàn)對(duì)頂角。頂點(diǎn)相同，角的兩邊互為反向延長(zhǎng)線.，滿足這種關(guān)系的角，互為對(duì)頂角，對(duì)頂角相等。對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的。鄰補(bǔ)角：有一條公共邊，角的另一邊互為反向延長(zhǎng)線.滿足這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為領(lǐng)補(bǔ)角。知識(shí)點(diǎn)二、垂線垂直：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足。從垂直的定義可知，判斷兩條直線互相垂直的關(guān)鍵：要找到兩條直線相交時(shí)四個(gè)交角中一個(gè)角是直角。垂直的表示：用“⊥”和直線字母表示垂直垂直的書寫形式：如圖，當(dāng)直線AB與CD相交于O點(diǎn)，∠AOD=90°時(shí)，AB⊥CD，垂足為O。書寫形式：DAO∵∠AOD=90°DAO∴AB⊥CD（垂直的定義）反之，若直線AB與CD垂直，垂足為O，那么，∠AOD=90°。C書寫形式：C∵AB⊥CD（已知）B∴∠AOD=90°（垂直的定義）B應(yīng)用垂直的定義：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°垂線的畫法：BAl如圖，已知直線l和l上的一點(diǎn)A,作l的垂線.則所畫直線AB是過點(diǎn)A的直線l的垂線.BAl工具：直尺、三角板1放:放直尺,直尺的一邊要與已知直線重合;2靠:靠三角板,把三角板的一直角邊靠在直尺上;3移:移動(dòng)三角板到已知點(diǎn);4畫線:沿著三角板的另一直角邊畫出垂線.垂線的性質(zhì)：1、同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.2、連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短,或說成垂線段最短。直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。FEDCBA87654321知識(shí)點(diǎn)三、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角（出現(xiàn)在一條直線與兩條直線分別相交的情形）FEDCBA87654321同位角：一邊都在截線上而且同向，另一邊在截線同側(cè)的兩個(gè)角。如∠1和∠5，∠4和∠8。內(nèi)錯(cuò)角：一邊都在截線上而且反向，另一邊在截線兩側(cè)的兩個(gè)角。（兩個(gè)角在兩條截線內(nèi)） 如∠3和∠5，∠4和∠6。同旁內(nèi)角：一邊都在截線上而且反向，另一邊在截線同旁的兩個(gè)角。（兩個(gè)角在兩條截線內(nèi)） 如∠3和∠6，∠4和∠5。題型一：相交線與垂線的定義1．（2024上·福建廈門·七年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)語(yǔ)句“直線l與線段AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C”畫出的圖形是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題主要考查了相交線以，兩條直線交于一點(diǎn)，我們稱這兩條直線為相交線．根據(jù)語(yǔ)句“直線l與線段AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C″進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)語(yǔ)句“直線l與線段AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C”畫出的圖形是：故選：C．2．（2024上·福建福州·七年級(jí)?？计谀┫铝姓f法：（1）用兩根釘子固定一根木條，體現(xiàn)數(shù)學(xué)事實(shí)是兩點(diǎn)之間線段最短；（2）射線與射線表示同一條射線；（3）若，則為線段的中點(diǎn)；（4）在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，其中正確的有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查了射線，垂線與平行線，解題的關(guān)鍵是熟記平行線與射線的定義及垂線的性質(zhì)．根據(jù)平行線、相交線等基礎(chǔ)知識(shí)求解即可．【詳解】解：（1）用兩根釘子固定一根木條，體現(xiàn)數(shù)學(xué)事實(shí)是兩點(diǎn)確定一條直線，此結(jié)論錯(cuò)誤；（2）射線與射線的起點(diǎn)不同、方向不同，不是同一射線，此結(jié)論錯(cuò)誤；（3）若，當(dāng)三點(diǎn)不在同一直線上時(shí)，不是線段的中點(diǎn)，此結(jié)論錯(cuò)誤；（4）在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，此結(jié)論正確；故選B．3．（2024上·江蘇徐州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，，于D，則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（

）①：②與互相垂直；③點(diǎn)C到的垂線段是線段；④點(diǎn)A到的距離是線段的長(zhǎng)度；⑤線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)C到的距離：⑥線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)D到的距離．A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】A【分析】本題考查了垂直的定義，點(diǎn)到線段的距離，熟練掌握垂線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)到線段的距離是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直的定義可判斷①；根據(jù)垂線的性質(zhì)可判斷②不正確；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離可判斷③④⑤⑥．【詳解】解：①∵，∴；故①正確；②，由垂線的性質(zhì)知與不垂直；故②錯(cuò)誤；③點(diǎn)C到的垂線段是線段的長(zhǎng)度；故③錯(cuò)誤；④點(diǎn)A到的距離是線段的長(zhǎng)度；故④正確；⑤線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)C到的距離；故⑤正確；⑥線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)C到的距離；故⑥錯(cuò)誤；綜上：正確的是：，共3個(gè)；故選A．題型二：畫垂線或最短問題4．（2023下·福建廈門·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知直線，點(diǎn)在直線上，用三角尺過點(diǎn)畫直線的垂線．下列選項(xiàng)中，三角尺擺放位置正確的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)直角三角板畫垂線的步驟：一利用直角三角板的一直角邊貼在已知直線上，二移動(dòng)三角板另一直角邊到已知點(diǎn)，三過已知點(diǎn)畫垂線，四畫出垂直符號(hào)對(duì)每一項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：∵三角尺過點(diǎn)畫直線的垂線：一、利用直角三角板的一直角邊貼在已知直線上，二、移動(dòng)三角板另一直角邊到已知點(diǎn)，三、過已知點(diǎn)畫垂線，四、畫垂直符合，∴項(xiàng)符合題意，不符合題意；故選．【點(diǎn)睛】本題考查了利用直角三角板畫垂線的步驟：一利用直角三角板的一直角邊貼在已知直線上，二移動(dòng)三角板另一直角邊到已知點(diǎn)，三過已知點(diǎn)畫垂線，四畫出垂直符號(hào)，熟記直角三角板畫垂線的步驟是解題的關(guān)鍵．5．（2024上·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)是直線外一點(diǎn)，可知，其依據(jù)是（

）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．兩點(diǎn)之間，線段最短C．兩點(diǎn)之間，直線最短 D．垂線段最短【答案】B【分析】此題主要考查對(duì)兩點(diǎn)之間距離的理解，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，即可得解．【詳解】解：，依據(jù)是：兩點(diǎn)之間，線段最短故答案為B．6．（2024上·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，垂足為，P是線段上一點(diǎn)，連接的長(zhǎng)不可能是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】本題考查垂線段的性質(zhì)和三角形中的等面積法，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)由面積法求高．根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)取最小值，利用等面積法求出的最小值，即可從選項(xiàng)中找出答案．【詳解】解：在中，，垂足為，∵當(dāng)時(shí)，的值最小，中，由等面積法可得：，即：，，∴線段的值不可能是4．故選：A．題型三：與對(duì)頂角有關(guān)問題7．（2024上·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列圖形中，與是對(duì)頂角的是（）A．B．C．

D．

【答案】C【分析】本題主要考查對(duì)頂角的定義，如果一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角兩邊的反向延長(zhǎng)線，且這兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角，根據(jù)對(duì)頂角的定義，即可解題．【詳解】解：根據(jù)一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角兩邊的反向延長(zhǎng)線，可知選項(xiàng)C中的與是對(duì)頂角，故選：C．8．（2024上·江蘇無錫·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線與相交，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了對(duì)頂角的性質(zhì)，理解對(duì)頂角相等時(shí)解題關(guān)鍵．根據(jù)“對(duì)頂角相等”可得，結(jié)合即可獲得答案．【詳解】解：∵，，∴．故選：B．9．（2024·全國(guó)·七年級(jí)競(jìng)賽）已知三條直線相交于同一點(diǎn)，如圖所示，根據(jù)圖示信息，下列結(jié)論全對(duì)的一組是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了對(duì)頂角相等以及平角的定義，由題意求出，即可求解．【詳解】解：由圖可知：，由對(duì)頂角相等可得：，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤；故選：A題型四：鄰補(bǔ)角的定義10．（2023下·福建泉州·七年級(jí)?？计谥校┫铝袌D形中，與是鄰補(bǔ)角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】鄰補(bǔ)角是指兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，叫做鄰補(bǔ)角，且兩個(gè)角的和為，由此即可求解．【詳解】解：、不是鄰補(bǔ)角，原選項(xiàng)不符合題意；、是對(duì)頂角，原選項(xiàng)不符合題意；、是鄰補(bǔ)角，原選項(xiàng)符合題意；、不是鄰補(bǔ)角，原選項(xiàng)不符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查鄰補(bǔ)角的概念及識(shí)別，理解并掌握其概念，圖形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．11．（2023下·河北石家莊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列圖形中，∠1+∠2＝180°一定成立的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義逐一分析解答即可．【詳解】解：A、不一定等于，故A不符合題意；B、不一定等于180°，故B不符合題意；C、和是鄰補(bǔ)角，則，故C符合題意；D、不一定等于，故D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查鄰補(bǔ)角．熟練掌握鄰補(bǔ)角的定義，是解題的關(guān)鍵．12．（2022下·山東德州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，則的鄰補(bǔ)角是（

）A． B． C．和 D．和【答案】D【分析】只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角，根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念解答即可．【詳解】：解：根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可知，∠COF的鄰補(bǔ)角是∠DOF和∠EOC．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了鄰補(bǔ)角的概念，鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角成對(duì)出現(xiàn)，在相交直線中，一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)．鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角都是相對(duì)與兩個(gè)角而言，是指的兩個(gè)角的一種位置關(guān)系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．題型五：鄰補(bǔ)角求角度問題13．（2024上·廣西玉林·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線、交于點(diǎn)平分，若，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是鄰補(bǔ)角的概念、角平分線的定義．根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念求出，根據(jù)角平分線的定義求出，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∴，故選：D．14．（2024上·河南鶴壁·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，已知直線，相交于點(diǎn)，平分，平分，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了角平分線的概念，角的和差計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的概念．首先根據(jù)角平分線的概念得到，然后根據(jù)即可求解．【詳解】∵平分，平分∴，∴∵∴∴．故選：B．15．（2023上·重慶南川·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線相交于點(diǎn)，若射線平分，射線平分，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)和平角的定義，對(duì)頂角的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平角的定義可得，根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：射線平分，，射線平分，，，，，，.故選：B．題型六：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的問題16．（2024上·福建廈門·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，和的位置關(guān)系是（

）A．對(duì)頂角 B．同位角 C．內(nèi)錯(cuò)角 D．同旁內(nèi)角【答案】B【分析】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的辨析，根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：如圖，和的位置關(guān)系是同位角．故選：B17．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，下列結(jié)論正確的是（

）A．與是對(duì)頂角 B．與是同位角 C．與是同旁內(nèi)角 D．與是同旁內(nèi)角【答案】D【分析】本題考查同位角同旁內(nèi)角、對(duì)頂角，根據(jù)同位角、同旁內(nèi)角、對(duì)頂角的定義進(jìn)行判斷，熟練掌握各角的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】A、與是對(duì)頂角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、與是同位角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、與沒有處在兩條被截線之間，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、與是同旁內(nèi)角；故本選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．18．（2023上·黑龍江綏化·七年級(jí)?？计谥校┫铝信袛噱e(cuò)誤的是（

）A．與是同旁內(nèi)角 B．與是內(nèi)錯(cuò)角 C．與是同旁內(nèi)角 D．與是同位角【答案】C【分析】此題主要考查了三線八角．根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：A、與是同旁內(nèi)角，說法正確；B、與是內(nèi)錯(cuò)角，說法正確；C、與不是兩條直線被第三條直線截成的角，說法錯(cuò)誤；D、與是同位角，說法正確．故選：C．題型七：相交線的綜合問題19．（2024上·浙江寧波·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)在同一直線上，，平分．(1)若，求和的度數(shù)．(2)若恰好平分，求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)【分析】本題考查了角平分線的定義、幾何圖中角度的計(jì)算，熟練掌握角平分線的定義是解此題的關(guān)鍵．（1）首先根據(jù)垂直的概念得到，根據(jù)角的和差關(guān)系和平角的概念求出的度數(shù)；然后結(jié)合角平分線的概念求出的度數(shù)；（2）根據(jù)角平分線的概念求解即可．【詳解】（1）；，平分（2）平分平分．20．（2024上·海南?？凇て吣昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線、相交于點(diǎn)，平分，于點(diǎn)．(1)若，求和的度數(shù)；(2)若（），直接寫出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)，(2)【分析】本題考查了垂線，鄰補(bǔ)角，角平分線，熟練掌握垂直的定義，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．（1）由對(duì)頂角相等可知，，再根據(jù)角平分線的定義求出、的度數(shù)，根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即可求出的度數(shù)，再根據(jù)求解即可；（2）根據(jù)對(duì)頂角相等及角平分線的定義求出的度數(shù)，再根據(jù)求出的度數(shù)，根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即可求出的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵直線、相交于點(diǎn)，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴；（2）∵直線、相交于點(diǎn)，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，則．21．（2024上·山東臨沂·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，，射線是的平分線．（1）如圖1，若，求的度數(shù)．諸補(bǔ)充完成下列解答過程：解：∵，，∴______，∵，∴______°．∵是的平分線，∴____________．∴____________．【類比分析】（2）如圖2，設(shè)，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．【答案】（1），，，，，；（2）【分析】本題考查了鄰補(bǔ)角、角度的和差計(jì)算，角平分線的定義；（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角得出，進(jìn)而根據(jù)余角的定義求得，根據(jù)角平分線的定義可得，進(jìn)而根據(jù)，即可求解；（2）同（1）的方法求得，進(jìn)而根據(jù)即可求解．【詳解】解：（1），，，，是的平分線，，；故答案為：，，，，，（2）∵，，∴，∵是的平分線，∴，∵，∴．一、單選題22．（2024上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A，D在直線m上，點(diǎn)，在直線上，，，，點(diǎn)A到直線的距離是（）A．線段的長(zhǎng)度 B．線段的長(zhǎng)度C．線段的長(zhǎng)度 D．線段的長(zhǎng)度【答案】A【分析】本題考查點(diǎn)到直線的距離．從直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線，這點(diǎn)與垂足間的線段長(zhǎng)度叫點(diǎn)到直線的距離．根據(jù)于D，可得到點(diǎn)A到直線的距離是線段的長(zhǎng)度．【詳解】解：∵，∴，∴點(diǎn)A到直線的距離是的長(zhǎng)度，故選：A．23．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如下圖，在“”字型圖中，、被所截，則與是（）A．同位角 B．內(nèi)錯(cuò)角 C．同旁內(nèi)角 D．鄰補(bǔ)角【答案】A【分析】本題主要考查了同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角和鄰補(bǔ)角的定義．根據(jù)同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角和鄰補(bǔ)角的定義判斷即可．【詳解】解：在“”字型圖中，兩條直線、被所截形成的角中，與都在直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則與是同位角．故選：A．24．（2024上·四川瀘州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)O在直線上，，平分，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了角的計(jì)算以及角平分線的定義的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用角平分線以及直角的定義，求得的度數(shù)，再根據(jù)鄰補(bǔ)角進(jìn)行計(jì)算．先根據(jù)，，求得，再根據(jù)平分，得出，最后得出．【詳解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∴，故選：A．25．（2024上·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（

）A．兩點(diǎn)之間直線最短B．如果，那么的補(bǔ)角的度數(shù)為C．如果一個(gè)角的余角和補(bǔ)角都存在，那么這個(gè)角的余角比這個(gè)角的補(bǔ)角小D．相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角【答案】C【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)、補(bǔ)角和余角、對(duì)頂角等知識(shí)進(jìn)行解答即可，此題考查了線段的性質(zhì)、補(bǔ)角和余角、對(duì)頂角的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A．兩點(diǎn)之間線段最短，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．如果，那么的補(bǔ)角的度數(shù)為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．如果一個(gè)角的余角和補(bǔ)角都存在，那么這個(gè)角的余角比這個(gè)角的補(bǔ)角小，故選項(xiàng)正確，符合題意；D．相等的兩個(gè)角不一定是對(duì)頂角，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：C26．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知直線和相交于O點(diǎn)，平分．(1)求的度數(shù)；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了對(duì)頂角、角平分線等知識(shí)點(diǎn)，（1）根據(jù)對(duì)頂角相等可得答案；（2）根據(jù)角平分線以及圖形中角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可；掌握對(duì)頂角相等，角平分線的定義是正確解答的前提．【詳解】（1）∵與是對(duì)頂角，，∴；（2）∵，∴，∵平分，∴，∴．27．（2024上·浙江溫州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線與直線交于點(diǎn)，射線在內(nèi)部，是的平分線，且．(1)若，求的度數(shù)．(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了垂線、角平分線的定義以及角的計(jì)算，一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)建立等量關(guān)系式．（1）先求，再求即可求出答案；（2）設(shè)，根據(jù)題意列出方程式，再根據(jù)補(bǔ)角的定義即可解決問題，【詳解】（1）解：，，，，是的平分線，，，；（2）解：設(shè)，則，，，，是的平分線，，，，，．一、單選題28．（2024上·重慶渝中·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線相交于點(diǎn)O，，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，對(duì)頂角相等，根據(jù)平角的定義得到，進(jìn)而推出，由此求出，則由對(duì)頂角相等得到．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故選：C．29．（2024上·浙江寧波·七年級(jí)校考期末）如圖所示，D是直線上一點(diǎn)，，，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．與互補(bǔ) B．與互余C．與相等 D．平分【答案】C【分析】本題主要考查余角和補(bǔ)角以及垂線的定義，解決此題的關(guān)鍵是熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用．A．利用補(bǔ)角的定義即可得到答案；B．利用余角的定義即可得到答案；C．沒有可以驗(yàn)證相等的條件；

D．利用等角的補(bǔ)角相等即可得出答案．【詳解】解：A∴，故本選項(xiàng)不符合題意；B．∵，

∴，故本選項(xiàng)不符合題意；C．，故本選項(xiàng)符合題意；D．∵，同理可得，∴平分，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．30．（2024上·浙江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，相交于點(diǎn)，平分，設(shè)，，下列結(jié)論：①，則；②若，則；③若，則；④若平分．則其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】本題考查垂線，角平分線，對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，掌握垂直定義，角平分線的定義以及圖形中角的和差關(guān)系是正確判斷的關(guān)鍵．根據(jù)垂直定義，角平分線的定義以及圖形中角的和差關(guān)系逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】①平分，，，，而，，即，因此①正確；②，，，，，因此②正確；③平分，，只有當(dāng)時(shí),，而與是否垂直不確定，因此③不正確；④∵平分平分，，，，即，因此④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①②④，故選:B．31．（2024上·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，交于點(diǎn)，．若，平分，則下列角中，與互余的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了余角、補(bǔ)角、角平分線，正確運(yùn)用余角、補(bǔ)角的定義和角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．由垂直的定義可得，；由余角的定義可得，由等角的余角相等可得，，因?yàn)槠椒?，所以，則與互余的角是．【詳解】解：∵，平分∴與互余的角是，故選：B．32．（2024上·江蘇連云港·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，射線、在內(nèi)，，平分，下列說法正確的是（

）A．與互余 B．與互余C． D．圖中共有5個(gè)不同的角【答案】A【分析】本題考查的是角的計(jì)數(shù)，角的和差運(yùn)算，角平分線的定義，余角的含義，垂直的定義，掌握以上基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵；由角平分線的定義可判斷B，結(jié)合垂直的定義可判斷A，利用角的和差關(guān)系可判斷C，把圖中的角都表示出來可判斷D．【詳解】解：∵平分，∴，故B不符合題意；∵，∴，∴，∴與互余，故A符合題意；∵，，∴，故C不符合題意；圖中有，，，，，共6個(gè)不同的角，故D不符合題意；故選A33．（2024上·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，于點(diǎn)O，，射線在內(nèi)部．給出下列結(jié)論：①；②若平分，則平分；③與互補(bǔ)；④若，則．則其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．②③④【答案】B【分析】本題考查了角平分線的定義，補(bǔ)角的定義，角的和差等知識(shí)，根據(jù)角平分線的定義，補(bǔ)角的定義分析解答即可．【詳解】解：①由，無法確定，故①不正確；②∵，，∴，∴．∵平分，∴，∴，∴，∴平分，故②正確；③∵，∴與互補(bǔ)，故③正確；④∵無法確定，∴若，則不一定等于，∴不一定正確，故④不正確．故選B．二、填空題34．（2024上·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線相交于點(diǎn)，平分為平面上一點(diǎn)，且，若，則．【答案】或/65或115【分析】本題考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，根據(jù)題意畫出滿足條件的圖形是解題關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：，∵平分∴若在內(nèi)部，如圖所示：則；若在內(nèi)部，如圖所示：則；故答案為：或35．（2024上·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線相交于點(diǎn)O，射線平分，過點(diǎn)O作射線，使，如果，則的度數(shù)是．

【答案】射線如圖所示，或．【分析】本題考查了求角的度數(shù)，角平分線的定義，垂線的定義，作的角平分線，或的角平分線，根據(jù)題意即可求解，知道鄰補(bǔ)角的角平分線互相垂直是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作的角平分線，或的角平分線，

∵平分，,∴，，∴或即為所求，∵，∴∵平分，∴，由題意可知，，∵平分，∴，∴，∴的度數(shù)是或．36．（2024上·四川綿陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)在直線上，平分，點(diǎn)在直線的上方，設(shè)與互補(bǔ)，平分，則．（用含的式子表示）【答案】或【分析】本題考查了與角平分線的有關(guān)計(jì)算，運(yùn)用補(bǔ)角進(jìn)行角的等量代換，得，再進(jìn)行分類討論，并結(jié)合圖形，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合垂直定義，得根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算，即可作答．【詳解】解：如圖：當(dāng)在之間：∵與互補(bǔ)∴∵平分，∴∵平分，∴則；當(dāng)在之間：∵與互補(bǔ)∴∵平分，∴∵平分，∴則；綜上的度數(shù)為或，故答案為：或．37．（2024上·浙江紹興·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線l表示一段河道，點(diǎn)P表示村莊，現(xiàn)要從河l向村莊P引水，圖中有四種方案，其中沿線段路線開挖的水渠長(zhǎng)最短，理由是．【答案】垂線段最短【分析】本題考查垂線段最短，根據(jù)“垂直線段最短”進(jìn)行解答即可．【詳解】解：由“從直線外一點(diǎn)，到直線上任意一點(diǎn)所引的線段中，垂直線段最短”可知，這樣挖的理由是：垂線段最短，故答案為：垂線段最短．38．（2024上·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，射線同時(shí)從射線位置出發(fā)，分別以的速度繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，其中.記射線中的一條射線首次平分另外兩條射線組成的角的時(shí)刻為，射線中的一條射線最后一次平分另外兩條射線組成的角的時(shí)刻為，則.【答案】【分析】本題主要考查了解一元一次方程，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，角平分線等知識(shí)，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)列出一元一次方程解之即可求解.【詳解】解：第一次平分：，即；最后一次平分：，；；故答案為：.三、解答題39．（2024上·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，、相交于點(diǎn)，為的平分線，，．(1)是的平分線嗎？請(qǐng)說明理由；(2)若，求出的度數(shù)．【答案】(1)是，理由見解析(2)【分析】本題考查了垂線的性質(zhì)和角