七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)-專(zhuān)題強(qiáng)化：平行線(xiàn)?？寄Ｐ蜌w納 解析版

專(zhuān)題強(qiáng)化：平行線(xiàn)常考模型歸納【題型歸納】題型一：M型（含鋸齒型）1．（2023下·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，，，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作，根據(jù)平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)可得，結(jié)合，兩式相加即可求出．【詳解】解：如圖，作，

∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，求出是解題的關(guān)鍵．2．（2021下·重慶北碚·七年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谀┤鐖D，AB∥CD，點(diǎn)E，P在直線(xiàn)AB上（P在E的右側(cè)），點(diǎn)G在直線(xiàn)CD上，EF⊥FG，垂足為F，M為線(xiàn)段EF上的一動(dòng)點(diǎn)，連接GP，GM，∠FGP與∠APG的角平分線(xiàn)交與點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q在直線(xiàn)AB，CD之間的區(qū)域，下列結(jié)論：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，則3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，則∠AEF∠MGC＝90°．正確的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】①過(guò)點(diǎn)F作FH∥AB，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)以及已知即可證明；②利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，結(jié)合①的結(jié)論即可證明；③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，結(jié)合①的結(jié)論即可證明；④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，結(jié)合①的結(jié)論即可證明．【詳解】解：①過(guò)點(diǎn)F作FH∥AB，如圖：∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正確；②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2，∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°，即2∠1=180°-2∠2-∠CGF，∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF，∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)，∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)=360°-(180°-∠CGF)=180°+∠CGF，∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正確；③∵∠MGF＝2∠CGF，∴∠MGC＝3∠CGF，∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)=390°＝270°；3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正確；④∵∠MGF＝n∠CGF，∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC，∵∠AEF+∠CGF=90°，∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正確．綜上，①②③④都正確，共4個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義等知識(shí)點(diǎn)，作輔助線(xiàn)求得∠AEF+∠CGF=90°，是解此題的關(guān)鍵．3．（2023下·山東聊城·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知直線(xiàn)，、和、分別交于點(diǎn)、、、，點(diǎn)在直線(xiàn)或上且不與點(diǎn)、、、重合．記，，．

(1)若點(diǎn)在圖（1）位置時(shí)，求證：；(2)若點(diǎn)在圖（2）位置時(shí)，寫(xiě)出、、之間的關(guān)系并給予證明．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，證明見(jiàn)解析【分析】此題兩個(gè)小題的解題思路是一致的，過(guò)作直線(xiàn)、的平行線(xiàn)，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)得到和、相等的角，然后結(jié)合這些等角和的位置關(guān)系，來(lái)得出、、的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）過(guò)作，

∵，∴，由兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得：、；∵，∴．（2）關(guān)系：．過(guò)作，

∵，∴，同（1）可證得：；∵，∴，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線(xiàn)的性質(zhì)，能夠正確多出輔助線(xiàn)是解題關(guān)鍵．題型二：筆尖型4．（2023下·重慶九龍坡·七年級(jí)重慶市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線(xiàn)，，分別為直線(xiàn)、上的點(diǎn)，為兩平行線(xiàn)間的點(diǎn)，連接、，過(guò)點(diǎn)作平分交直線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交直線(xiàn)于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)作，則，由平行線(xiàn)的性質(zhì)得，NG平分和得，再由可變形推得．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，則，如圖所示：，，，，平分，，，，，，．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)、平行公理的應(yīng)用、角平分線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線(xiàn)．5．（2021下·湖南株洲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線(xiàn)EF，點(diǎn)在直線(xiàn)上，則．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】①過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)EFAB，由平行線(xiàn)的性質(zhì)：兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，即可得出結(jié)論；②如圖2，先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1＝∠C+∠P，再根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可作出判斷；③如圖3，過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)EF∥AB，由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④如圖4，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的關(guān)系解答即可．【詳解】解：①如圖1，過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，∴∠A+∠AEC+∠C=360°，故①正確；②如圖2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正確；③如圖3，過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③錯(cuò)誤；④如圖4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正確；綜上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為3，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線(xiàn)的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)是解答此題的關(guān)鍵．6．（2021下·廣東東莞·七年級(jí)東莞市光明中學(xué)?？计谥校?）如圖（1），猜想與的關(guān)系，說(shuō)出理由．（2）觀察圖（2），已知，猜想圖中的與的關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知，猜想圖中的與的關(guān)系，不需要說(shuō)明理由．

【答案】（1），理由見(jiàn)解析；（2），理由見(jiàn)解析；（3）圖（3），圖（4）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作，得到，由，，得到，得到，由此得到；（2）過(guò)點(diǎn)P作，由，得到，從而得到結(jié)論；（3）由，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得與的關(guān)系．【詳解】（1）解：猜想．理由：過(guò)點(diǎn)P作，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；（2）．理由：如圖，過(guò)點(diǎn)P作，

∵，∴，∴，∴；（3）如圖（3）：．理由：∵，

∴，∵，∴，即；如圖（4）：．理由：∵，

∴，∵，∴，即．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，平行公理的推論，三角形的外角的性質(zhì)定理，熟記平行線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型三：雞翅型7．（2023上·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校靖兄骄俊咳鐖D①，已知，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上．求證：．【類(lèi)比遷移】如圖②，、、的數(shù)量關(guān)系為．（不需要證明）【結(jié)論應(yīng)用】如圖③，已知，，，則°．【答案】【感知探究】證明見(jiàn)解析；【類(lèi)比遷移】；【結(jié)論應(yīng)用】20【分析】本題主要考查平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，作輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可求解；（2）如圖②，過(guò)作，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）如圖③，過(guò)作，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖①，過(guò)點(diǎn)作，則，又∵，∴，，，即；（2）解：．證明：如圖②，過(guò)作，，∵，∴，，，即：．故答案為：；（3）如圖③，過(guò)作，，∵，∴，，，故答案為：20．8．（2021下·廣東河源·七年級(jí)河源市第二中學(xué)?？计谥校┮阎本€(xiàn)，A是l1上的一點(diǎn)，B是l2上的一點(diǎn)，直線(xiàn)l3和直線(xiàn)l1，l2交于C和D，直線(xiàn)上有一點(diǎn)P．(1)如果P點(diǎn)在C，D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)，，有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)若點(diǎn)P在C，D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（P點(diǎn)與C，D不重合），試探索，，之間的關(guān)系又是如何？（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案，不需要證明）【答案】(1)(2)當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)上方時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)下方時(shí)，．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，由“平行于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行”可得出，再由“兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”得出、，再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）按點(diǎn)的兩種情況分類(lèi)討論：①當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)上方時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)下方時(shí)，同理（1）可得、，再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：．過(guò)點(diǎn)作，如圖1所示．，，，，，，．（2）解：結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)上方時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)下方時(shí)，．①當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)上方時(shí)，如圖2所示．過(guò)點(diǎn)作．，，，，，，．②當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)下方時(shí)，如圖3所示．過(guò)點(diǎn)作．，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)以及角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)“兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”找到相等的角．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出相等（或互補(bǔ)）的角是關(guān)鍵．9．（2020下·湖北武漢·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知：點(diǎn)A、C、B不在同一條直線(xiàn)，

(1)求證：：(2)如圖②，分別為的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)，試探究與的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖③，在（2）的前提下，且有，直線(xiàn)交于點(diǎn)P，，直接寫(xiě)出．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作，則，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得出、，據(jù)此可得；（2）過(guò)點(diǎn)Q作，則，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的定義可得出，結(jié)合（1）的結(jié)論可得出；（3）由（2）的結(jié)論可得出①，由可得出②，聯(lián)立①②可求出的度數(shù)，再結(jié)合（1）的結(jié)論可得出的度數(shù)，將其代入中可求出結(jié)論．【詳解】（1）在圖①中，過(guò)點(diǎn)C作，則．

∵，∴，∴．（2）在圖2中，過(guò)點(diǎn)Q作，則．

∵，∴．∵平分，平分，∴，∴．∵，∴．（3）∵，∴，∴．∵，∴．又∵，∴，即，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線(xiàn)的的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)、添加輔助線(xiàn)構(gòu)建平行線(xiàn)．題型四：骨折型10．（2020上·貴州六盤(pán)水·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，，，則．【答案】/度【分析】本題主要考查了平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)．過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)和角的和差，求解即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，，，又，，，，．故答案為：．11．（2021上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？计谥校┮阎本€(xiàn)，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接、．

(1)如圖1，已知，，求的度數(shù)；(2)如圖2，判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．(3)如圖3，在（2）的條件下，，平分，若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得，，即可求出的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)作，則，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得，，又，即可得出；（3）交于點(diǎn)，由，得出，由得出，由，得出，由對(duì)頂角相等得出，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出，即，由（2）得：，代入計(jì)算即可求出的度數(shù)．【詳解】（1）解：如圖1，過(guò)點(diǎn)作，

，，，，，，，；（2）關(guān)系：證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)作，則，

，，，，，故答案為：；（3）如圖3，交于點(diǎn)，

，，，，，，，，平分，，，由（2）得：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)及角平分線(xiàn)的定義，掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．12．（2021下·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，MN∥PQ，點(diǎn)C、B分別在直線(xiàn)MN、PQ上，點(diǎn)A在直線(xiàn)MN、PQ之間．（1）求證：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如圖2，CD∥AB，點(diǎn)E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求證：∠MCA＝∠DCE；（3）如圖3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度數(shù)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）120°．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AD∥MN，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根據(jù)角的和差等量代換即可得解；（2）由兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由鄰補(bǔ)角定義得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代換即可得解；（3）由平行線(xiàn)的性質(zhì)得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分線(xiàn)的定義及平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°即可求解．【詳解】解：（1）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AD∥MN，∵M(jìn)N∥PQ，AD∥MN，∴AD∥MN∥PQ，∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如圖2，∵CD∥AB，∴∠CAB+∠ACD＝180°，∵∠ECM+∠ECN＝180°，∵∠ECN＝∠CAB∴∠ECM＝∠ACD，即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠MCA＝∠DCE；（3）∵AF∥CG，∴∠GCA+∠FAC＝180°，∵∠CAB＝60°即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF＝120°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，線(xiàn)段、角、相交線(xiàn)與平行線(xiàn)，準(zhǔn)確的推導(dǎo)是解決本題的關(guān)鍵．【專(zhuān)題強(qiáng)化】一、單選題13．（2021下·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知直線(xiàn)、被直線(xiàn)所截，，E是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不在直線(xiàn)、、上），設(shè)，．下列各式：①，②，③，④，的度數(shù)可能是（）A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】由題意根據(jù)點(diǎn)E有6種可能位置，分情況進(jìn)行討論，依據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解即可．【詳解】解：（1）如圖1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C=β-α．（2）如圖2，過(guò)E2作AB平行線(xiàn)，則由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，∴∠AE2C=α+β．（3）如圖3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C=α-β．（4）如圖4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，∴∠AE4C=360°-α-β．（5）（6）當(dāng)點(diǎn)E在CD的下方時(shí)，同理可得∠AEC=α-β或β-α．綜上所述，∠AEC的度數(shù)可能為β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③④．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線(xiàn)的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意兩直線(xiàn)平行，同位角相等；兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等以及分類(lèi)討論．14．（2016上·甘肅張掖·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線(xiàn)，，，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】作直線(xiàn)，，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得，，，進(jìn)而即可求得．【詳解】解：如圖，作直線(xiàn)，，

∵，∴，∴，，，∵，，∴，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2021·江蘇南通·南通田家炳中學(xué)?？级＃┤鐖D，已知，，，則的度數(shù)是（

）A．80° B．120°C．100° D．140°【答案】C【分析】過(guò)E作直線(xiàn)MN//AB，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)即可求出∠1，進(jìn)而可求出∠2，然后根據(jù)平行于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行可得MN//CD，根據(jù)平行線(xiàn)性質(zhì)從而求出∠C．【詳解】解：過(guò)E作直線(xiàn)MN//AB，如下圖所示，∵M(jìn)N//AB，∴∠A+∠1＝180°（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)），∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°，∵，∴∵M(jìn)N//AB，AB//CD，∴MN//CD，∴∠C+∠2＝180°（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)），∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查的是平行線(xiàn)的判定及性質(zhì)，掌握構(gòu)造平行線(xiàn)的方法是解決此題的關(guān)鍵．16．（2021上·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)在上，，，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）；（2）；（3）；（4）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】利用平行線(xiàn)的性質(zhì)和三角形的性質(zhì)依次判斷即可求解．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°，又∵∠A＝110°，∴∠C＝70°，∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正確，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，∴∠D+∠CED＝110°，∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正確，∵點(diǎn)E在AC上的任意一點(diǎn)，∴AE無(wú)法判斷等于CE，∠BED無(wú)法判斷等于45°，故（1）、（4）錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．17．（2020下·重慶·七年級(jí)重慶南開(kāi)中學(xué)?？计谀┤鐖D，直線(xiàn)，在中，，點(diǎn)落在直線(xiàn)上，與直線(xiàn)交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）.A．30° B．40° C．50° D．65°【答案】B【分析】由題意過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)，利用平行線(xiàn)的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行分析即可得出答案．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)，∵直線(xiàn)m//n，，∴，∴∠2+∠3=180°，∵∠2=130°，∴∠3=50°，∵∠B=90°，∴∠4=90°-50°=40°，∵，∴∠1=∠4=40°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線(xiàn)的性質(zhì)定理和判定定理，熟練掌握兩直線(xiàn)平行，平面內(nèi)其外一條直線(xiàn)平行于其中一條直線(xiàn)則平行于另一條直線(xiàn)是解答此題的關(guān)鍵．18．（2020下·重慶南岸·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖,ABEF,∠D=90°,則,,的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過(guò)作輔助線(xiàn),過(guò)點(diǎn)C和點(diǎn)D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根據(jù)ABEF,可得ABEFCGDH,再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)即可得γ+β-α=90°,進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】解：如圖,過(guò)點(diǎn)C和點(diǎn)D作CGAB,DHAB,∵CGAB,DHAB,∴CGDHAB,∵ABEF,∴ABEFCGDH,∵CGAB,∴∠BCG=α,∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α,∵CGDH,∴∠CDH=∠GCD=β-α,∵HDEF,∴∠HDE=γ,∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°,∴γ+β-α=90°,∴β=α+90°-γ．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)．19．（2020下·浙江紹興·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AB//CD，則，，之間的等量關(guān)系為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則EF∥CD，然后通過(guò)平行線(xiàn)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則EF∥CD，如圖，

∵AB∥EF∥CD，∴∠γ+∠FED=180°，∵∠ABE+∠FEB=180°，∠ABE=∠α，∠FED+∠FEB=∠β，∴∠γ+∠FED+∠ABE+∠FEB=360°，∴∠α+∠β+∠γ=360°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)是解答此題的關(guān)鍵．20．（2019·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線(xiàn)，，則（

）A．150° B．180° C．210° D．240°【答案】C【分析】根據(jù)題意作直線(xiàn)l平行于直線(xiàn)l1和l2，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：作直線(xiàn)l平行于直線(xiàn)l1和l2．，．，．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線(xiàn)的性質(zhì)，掌握兩直線(xiàn)平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等是解題關(guān)鍵．21．（2016·浙江杭州·七年級(jí)期中）如圖所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，應(yīng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)C作CD∥AB，過(guò)M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．【詳解】過(guò)C作CD∥AB，過(guò)M作MN∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，∴=∠BCD+∠DCM=，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生的推理能力．二、填空題22．（2023下·陜西西安·七年級(jí)西安市第八十三中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖1所示的是一個(gè)由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動(dòng)變速箱托架，其主要作用是動(dòng)力傳輸．如圖2所示的是手動(dòng)變速箱托架工作時(shí)某一時(shí)刻的示意圖，已知，，，，則的度數(shù)是．【答案】/80度【分析】過(guò)點(diǎn)F作，因?yàn)?，所以，再根?jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可以求出，，進(jìn)而可求出，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)即可求得．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作，∵，∴，∴，，∵，，∴，，∴，∵，∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查平行線(xiàn)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用平行線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化和計(jì)算．23．（2023下·江蘇·七年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y(cè)）如圖，將為的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，則的度數(shù)為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)D，可證，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可得．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)D．中，，．，．，，，，，故按為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線(xiàn)性質(zhì)，平行公理的推論，三角板中的角度計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線(xiàn)．24．（2022上·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，平分，平分，，，則的度數(shù)為．（用含n的式子表示）【答案】【分析】首先過(guò)點(diǎn)E作，由平行線(xiàn)的傳遞性得，再根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得出，，由角平分線(xiàn)的定義得出，，再由兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出，由即可得出答案．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作，則，，∴，，又∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，解題關(guān)鍵是作出正確的輔助線(xiàn)，掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義．25．（2020下·山西·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，若直線(xiàn)，，，則的度數(shù)為．【答案】/150度【分析】如圖，先根據(jù)直線(xiàn)，得出，然后根據(jù)，得出，再根據(jù)兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，即可得出的度數(shù)．【詳解】如圖所示，點(diǎn)在直線(xiàn)上，點(diǎn)、在直線(xiàn)上，點(diǎn)在、之間，為，直線(xiàn)，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定定理是解本題的關(guān)鍵．26．（2021下·貴州安順·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4=540°，根據(jù)以上的規(guī)律求∠1+∠2+∠3+…+∠n=°．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)P作平行于AB的直線(xiàn)，運(yùn)用兩次兩條直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)即可得到三個(gè)角的和；分別過(guò)點(diǎn)P，Q作AB的平行線(xiàn)，運(yùn)用三次平行線(xiàn)的性質(zhì)，即可得到四個(gè)角的和；同樣作輔助線(xiàn)，運(yùn)用（n-1）次平行線(xiàn)的性質(zhì)，則n個(gè)角的和是．【詳解】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)P作一條直線(xiàn)PM平行于AB，∵AB∥CD，AB∥PM∵AB∥PM∥CD，∴∠1+∠APM=180°，∠MPC+∠3=180°，∴∠1+∠APC+∠3=360°；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P、Q作PM、QN平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥PM∥QN∥CD，∴∠1+∠APM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQC+∠4=180°；∴∠1+∠APQ+∠PQC+∠4=540°；根據(jù)上述規(guī)律，顯然作（n-2）條輔助線(xiàn)，運(yùn)用（n-1）次兩條直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．即可得到∠1+∠2+∠3+…+∠n=180°（n-1）．故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)．注意掌握輔助線(xiàn)的作法是解此題的關(guān)鍵．三、解答題27．（2022上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，平分交射線(xiàn)于點(diǎn)E，．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)F是射線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作交射線(xiàn)于點(diǎn)G，點(diǎn)N是上一點(diǎn)，連接，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，點(diǎn)P為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，平分交于點(diǎn)M，若平分，，，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用角平分線(xiàn)的定義可得，然后再利用等量代換可得，從而利用平行線(xiàn)的判定，即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)E作，可知，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可得，，由，可知，由，可證得結(jié)論；（3）設(shè)，利用角平分線(xiàn)的定義可得，從而可得，進(jìn)而可得，然后利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)垂直定義可得，最后利用（2）的結(jié)論可得，再利用角平分線(xiàn)的定義可得，從而可得，進(jìn)而可得，，再根據(jù)已知，列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴；（2）證明：過(guò)點(diǎn)E作，

∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（3）解：設(shè)，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，由（2）得：，∴，∵平分，∴，∴，∴，，∵，∴，解得：，∴，∴的度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)及角平分線(xiàn)的定義，垂直定義，熟練掌握平行線(xiàn)的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．28．（2023下·江蘇·七年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)校考周測(cè)）如圖，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)，，進(jìn)而根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)即可求的度數(shù)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，∵，∴，∴，，∴，【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)及靈活應(yīng)用平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)解決問(wèn)題．29．（2023下·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，連接A，C兩點(diǎn)．(1)如圖1，與的平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，則等于度；(2)如圖2，點(diǎn)M在射線(xiàn)反向延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)N在射線(xiàn)上．與的平分線(xiàn)交于點(diǎn)E．若，求的度數(shù)；(3)如圖3，圖4，M，N分別為射線(xiàn)，射線(xiàn)上的點(diǎn)，與的平分線(xiàn)交于點(diǎn)E．設(shè)，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中的度數(shù)（用含α，β的式子表示）．【答案】(1)90(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到，利用角平分線(xiàn)的定義求出，即可求出答案；（2）過(guò)點(diǎn)E作，得到，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求出，即可得到答案；（3）由平行線(xiàn)的性質(zhì)：兩直線(xiàn)平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求解．【詳解】（1）解：如圖1，∵，∴，∵分別平分，∴，∴，∴；故答案為：90．（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作，∵，∴，∴，∵分別平分，∴，∴；（3）①如圖3，過(guò)點(diǎn)E作，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；②如圖4，過(guò)點(diǎn)E作，∵，∴，∴，，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)及角平分線(xiàn)的定義，解題的關(guān)鍵是正確掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)：兩直線(xiàn)平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等．30．（2022上·河南平頂山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，，，，直接寫(xiě)出的度數(shù)．（2）如圖2，，點(diǎn)為直線(xiàn)間的一點(diǎn)，平分，平分，寫(xiě)出與之間的關(guān)系并說(shuō)明理由．（3）如圖3，與相交于點(diǎn)，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，平分，平分，若，，直接寫(xiě)出的度數(shù)．【答案】（1）；（2），理由見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，可得，，根據(jù)即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作，可求出，過(guò)點(diǎn)作，可求出，由此即可求解；（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可得，，平分，平分，可得，由此即可求解．【詳解】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作，∵，∴，∴，，∵，，∴，，∴．（2），理由如下：過(guò)點(diǎn)作，∵，∴，∴，，∵平分，平分，∴，，∴，同理，過(guò)點(diǎn)作，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即．（3）如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∴，，∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線(xiàn)的性質(zhì)，理解平行線(xiàn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．31．（2022下·廣東東莞·七年級(jí)東莞市光明中學(xué)?？计谥校╅喿x下面內(nèi)容，并解答問(wèn)題．已知：如圖1，，直線(xiàn)分別交，于點(diǎn)，．的平分線(xiàn)與的平分線(xiàn)交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)填空，并從下列①、②兩題中任選一題說(shuō)明理由．我選擇題．①在圖1的基礎(chǔ)上，分別作的平分線(xiàn)與的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，得到圖2，則的度數(shù)為．②如圖3，，直線(xiàn)分別交，于點(diǎn)，．點(diǎn)在直線(xiàn)，之間，且在直線(xiàn)右側(cè)，的平分線(xiàn)與的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，則與滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系為．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①；②結(jié)論：【分析】（1）利用平行線(xiàn)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可；（2）①利用基本結(jié)論求解即可；②利用基本結(jié)論，，求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)作，，，，,，平分，平分，，，，，；（2）解：①如圖2中，由題意，，平分，平分，，，故答案為：；②結(jié)論：．理由：如圖3中，由題意，，，平分，平分，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定，角平分線(xiàn)的定義，垂直的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)．32．（2022下·山東聊城·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知直線(xiàn)AB//CD，EF是截線(xiàn)，點(diǎn)M在直線(xiàn)AB、CD之間．(1)如圖1，連接GM，HM．求證：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如圖2，在∠GHC的角平分線(xiàn)上取兩點(diǎn)M、Q，使得∠AGM