第六章 微分中值定理及其應用

§1拉格朗日定理和函數(shù)的單調性§2柯西中值定理及不定式極限§3泰勒公式§4

函數(shù)的極值與最值§5函數(shù)的凹凸性與拐點§6

函數(shù)圖象的討論第六章微分中值定理及其應用第六章微分中值定理及其應用§1拉格朗日定理和函數(shù)的單調性一問題的提出我們知道，導數(shù)是刻劃函數(shù)在一點處變化率的數(shù)學模型，它反映的是函數(shù)在一點處的局部變化性態(tài)，但在理論研究和實際應用中，常常需要把握函數(shù)在某區(qū)間上的整體變化性態(tài)，那么函數(shù)的整體變化性態(tài)與局部變化性態(tài)有何關系呢？中值定理正是對這一問題的理論詮釋。中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間上的整體性質與該區(qū)間內(nèi)部某一點的導數(shù)之間的關系。中值定理既是利用微分學知識解決應用問題的數(shù)學模型，又是解決微分學自身發(fā)展的一種理論性數(shù)學模型。二微分中值定理微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，費馬定理是它的預備定理，羅爾定理是它的特例，柯西定理是它的推廣。1預備定理——費馬（Fermat）定理費馬（Fermat，1601-1665），法國人，與笛卡爾共同創(chuàng)立解析幾何。因提出費馬大、小定理而著于世。幾何解釋:證明:幾何解釋:2羅爾(Rolle)定理證注1:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結論可能不成立.例如,例如,XY-110注2:若羅爾定理的條件僅是充分條件，不是必要的.例12）唯一性由零點定理即為方程的正實根.矛盾,證：1）存在性3拉格朗日(Lagrange)中值定理幾何解釋:證分析:弦AB方程為化歸證明法作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導數(shù)之間的關系.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.推論1拉格朗日中值公式另外的表達方式：例2證由上式得第四節(jié)函數(shù)的單調性

二單調性的判別法第四節(jié)（I）函數(shù)的單調性三單調區(qū)間求法四單調性的應用五小結與思考判斷題一問題的提出1問題的提出若在區(qū)間（a,b)上單調上升若在區(qū)間（a,b)上單調下降三函數(shù)的單調性2單調性的判別法定理證應用拉氏定理,得例1解例2解注1:要用導數(shù)在區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調性．注2：函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調的，但在各個部分區(qū)間上單調．3單調區(qū)間求法1、單調區(qū)間定義:若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調區(qū)間.導數(shù)等于零的點和不可導點，可能是單調區(qū)間的分界點．2、單調區(qū)間的劃分例3解單調區(qū)間為例4解單調區(qū)間為解：1）定義域為(-∞、+∞)2)f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)3)列表：令f'(x)=0得x1=1x2=24）由表可知：函數(shù)的單調增區(qū)間為（-∞、1]∪[2、+∞）單調減區(qū)間為（1、2）。xy'y(-∞、1)+10（1、2）-+(2、+∞)20練習：確定函數(shù)y=2x3+3x2-12x+1的單調區(qū)間。例4：解：1）定義域為(-∞、-1)∪（-1、+∞).3)列表:(-∞、-2)+-20（-1、0）-00+(0、+∞)4）由表可知函數(shù)的單調增區(qū)間為(-∞、-2)∪(0、+∞)

單調減區(qū)間為（-2、-1）∪（-1、0）。xy’y（-2、-1）-4單調性的應用例5證四.小結與作業(yè)1.拉格朗日中值定理及推論.2.函數(shù)單調性的判定方法與步驟.3.作業(yè)：P124:1(1)~(2).2(1)~(2).3.4(1)~(3).5(1(~(2).6(1)~(4).7(1)~(3).

思考判斷題1區(qū)間內(nèi)個別點導數(shù)為零,影響區(qū)間的單調性.3單調函數(shù)的導函數(shù)仍是單調函數(shù)。第六章微分中值定理及其應用§2柯西中值定理及不定式極限一、柯西(Cauchy)中值定理幾何解釋:證作輔助函數(shù)例1二、不定式極限洛必達(L’Hospital,1661-1704)定理1洛必達法則證則有輔助函數(shù)所以定義定義這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則.例2解例3解例4解例5解例6解注意：1)使用羅必塔法則必須驗證條件，不是未定式不能用羅必塔法則；2)羅必塔法則可以連續(xù)應用，必須步步化簡（盡可能地化簡）、步步驗證求未定式的極限.例7

定理2例8解注意3：若導數(shù)比的極限不存在，不能判斷原函數(shù)極限不存在。例如，事實上例題三其他未定式例8解解法：將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型例9解例10解例11四小結與思考判斷題Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理1）羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關系；2）利用中值定理證明等式與不等式.Fermat定理四小結與思考判斷題洛必達法則思考判斷題思考題

1拉格朗日中值定理的條件缺少一個，結論就可能不成立.2第六章微分中值定理及其應用§3泰勒公式一問題的提出不足問題1、精確度不高；2、誤差不能估計。分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在點相交三泰勒(Taylor)中值定理證明:定理1（帶lagrange余項的泰勒定理）如果f(x)在點鄰域內(nèi)有n+1階導數(shù)，則拉格朗日形式的余項皮亞諾形式的余項定理2（帶peano余項的泰勒定理）如果f(x)在點鄰域內(nèi)有n+1階導數(shù)，則幾點說明：（3）（麥克勞林公式）四常用n階泰勒公式及其簡單應用解例3求在x=1點的四階泰勒公式例4：求極限羅爾定理Lagrange定理柯西定理泰勒公式羅必塔法則條件，結論五小結與思考判斷題其它函數(shù)的麥克勞林公式第六章微分中值定理及其應用§4函數(shù)的極值與最值1.確定函數(shù)f(x)=2x3-9x2+12x-3的單調區(qū)間.1）函數(shù)f(x)的定義域為（-∞，+∞）2）又f’(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)令f’(x)=0,得x=1或x=2.3）4）單調增區(qū)間為(-∞，1]和[2，+∞）單調減區(qū)間為[1，2]xf’(x)f(x)(-∞，1)1(1，2)2(2，+∞）++00-解：復習引入2.根據(jù)單調性畫出函數(shù)f(x)的草圖由圖知：f(x)在x=1處的函數(shù)值大于它近兩旁各點的函數(shù)值；而f(x)在x=2處的函數(shù)值小于它近兩旁各點的函數(shù)值。xy12-1-212f’(1)=0f’(2)=00一.極值的概念定義：設f(x)在區(qū)間(a，b)上有定義，x0∈(a，b)極值極小值極大值極值點極小值點極大值點注：1）極值是指函數(shù)值，而極值點是自變量的值；2）函數(shù)的極值概念具有局部性；在小范圍內(nèi)相比比較而言該點的函數(shù)值較大，而不是在整個定義域上最大或最小，所以函數(shù)的極大值不一定比極小值大。3）函數(shù)極值點必出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)部，而不在區(qū)間的端點。講授新課極大值,極大值點.極小值,極小值點.幾何特征：結論：1）f(x)在x0處有極值且可導，則f’(x0)=0

2）f(x)在x0處有極值且可導，則f’(x0)在x0的左右兩旁的符號要改變。f’(x)從+到-f’(x)從-到+xy0xy0x0+-x0+-二.判定定理定理:極大值.極小值.

極值的求法：1）求出函數(shù)f(x)的定義域；2）求出函數(shù)f(x)的導數(shù)f'(x)；3）令f’(x)=0,解出方程f'(x)=0的全部解，得到f(x)的

全部駐點。4）用駐點把函數(shù)的定義域劃分成若干個部分區(qū)間，考察每個部分區(qū)間內(nèi)f’(x)的符號，以確定該駐點是否為極值點，并由極值點求出函數(shù)的極值。例題與練習解：xf’(x)f(x)(-∞，-3)-3(-3，3)3(3，+∞）++00-極大值

22極小值

-14由上表得極大值f(-3)=22,極小值f(3)=-14練習1.求函數(shù)y=xln2x例2.求函數(shù)f(x)=(x2-1)3的極值解：xf’(x)f(x)(-∞，-1)-1(-1，0)0(0，1）++00-極小值

-1-(1，+∞)10練習2.解：xf’(x)f(x)+0-極大值

練習3.例4：求函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+5在[-2，6]上的極值.解：(1)f'(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3)(2)令f'(x)=0，(3)列表考察f'(x)的符號xf'(x)f(x)(-2，-1)+(-1，3)(3，6)300-1+-(4)極小值f(3)=-22,極大值f(-1)=10草圖：由圖知，極大值為10但不是最大值。問題：求f(x)=x3-3x2-9x+5

在[-2，6]上的最大(小)值.(-2,3)-1-2106(3,-22)3(-1,10)(6,59)極大值

10極小值

-22xy0函數(shù)最大值和最小值的一般求法：(一)y=f(x)x∈[a,b](1)求出f(x)的導數(shù)f'(x)；令f'(x)=0，求出駐點；(2)求出駐點處的函數(shù)值以及端點處的函數(shù)值；(3)比較這些值的大小，其中最大的就是函數(shù)的最大值，最小的就是最大值.三.函數(shù)的最值例題與練習解：(1).f(x)的定義域為(-∞，1)，[-8，1](-∞，+1](2).(3).令f‘(x)=0，解之得駐點為(5).比較大小得，在[-8，1]上的最大值為，最小值為-5.(4).練習：求函數(shù)y=x2-4x+6在閉區(qū)間[-3，10]上的最大值和最小值例2.求函數(shù)f(x)=x2-2x+6的最值.(1).f(x)的定義域為(-∞，+∞).解：(2).f’(x)=2x-2=2(x-1)(3).令f’(x)=0，解之得駐點為x=1.當x∈(-∞，1)時，f’(x)<0,單調遞減.當x∈(1，+∞)時，f’(x)>0,單調遞增.(二)若函數(shù)在一個開區(qū)間或無窮區(qū)間(-∞，+∞)內(nèi)可導，且有唯一的極值點.

例3.在半徑為R的半圓內(nèi)作內(nèi)接梯形，使其底為直徑其他三邊為圓的弦，問應這樣設計，才能使梯形的面積最大？解：(三)：解決實際問題中的最大值問題的步驟：(1).根據(jù)題意建立函數(shù)關系式.(2).確定函數(shù)的定義域..(3).求函數(shù)f(x)在給定區(qū)域上的最大值或最小值.練習3.求半徑為R的半圓的內(nèi)接矩形的最大面積.例4.生產(chǎn)某種商品x個單位的利潤是P(x)=5000+x-0.00001x2(元)

問生產(chǎn)多少個單位時獲得的利潤最大？解：(1)函數(shù)關系式為P(x)=5000+x-0.00001x2(x>0).(2)P’(x)=1-0.00002x(3)令P’(x)=0得駐點x=5×104∵x=5×104是唯一駐點，又利潤最大值存在.練習：∴當生產(chǎn)5×104個單位時獲得的利潤最大.

小結與作業(yè)1）求出函數(shù)的定義域；2）求出函數(shù)f(x)的導數(shù)f'(x)；3）令f’(x)=0,解出方程f'(x)=0的全部解，得到f(x)的

全部駐點。4）列表考察f’(x)的符號，以確定該駐點是否為極值點，并由極值點求出函數(shù)的極值。求函數(shù)極值的步驟：小結與作業(yè)最值問題的兩種類型：(1)求出給定解析式的導數(shù)f'(x)；令f'(x)=0，求出駐點；(2)求出駐點處的函數(shù)值以及端點處的函數(shù)值；(3)比較這些值的大小，其中最大的就是函數(shù)的最大值，最小的就是最大值.1.已知函數(shù)解析式及閉區(qū)間求最值.2.實際問題求最值.(1)根據(jù)題意建立函數(shù)關系式y(tǒng)=f(x)；(2)根據(jù)實際問題確定函數(shù)的定義域；(3)求出函數(shù)y=f(x)的導數(shù)，令f‘(x)=0，求出駐點；若定義域為開區(qū)間且駐點只存一個，則由題意判定函數(shù)存在最大或最小值，則該駐點所對應函數(shù)值就是所求.作業(yè)：P146:1,2,3,4,5.第六章微分中值定理及其應用§5函數(shù)的凸性與拐點

1.函數(shù)y=f(x)單調性的判定K切=f'(x)>0y單調遞增凡呈凸型的弧段其切線總位于曲線的上方.凡呈凹型的弧段其切線總位于曲線的下方.K切=f'(x)<0y單調遞減x0y0px0y0y=f(x)pxyyxoo

2.幾何特征Ｉy=f(x)連續(xù)曲線的凹弧段與凸弧段有分界點.復習引入一.定義:若曲線y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)位于其切線的上方.則稱該曲線在此區(qū)間內(nèi)是凸的,此區(qū)間稱為凸區(qū)間.若曲線位于其切線的下方,則稱該曲線在此區(qū)間內(nèi)是凹的,此區(qū)間稱為凹區(qū)間.xyoθ1θ2θ3abxyoθ1θ2θ3曲線的凹凸與拐點ab1.幾何特征Ⅱ凸型曲線:切線的斜率隨著X的增大而增大.凹型曲線:切線的斜率隨著X的增大而減小.??????x1x2x3x1x2x3講授新課連續(xù)曲線y=f(x)上凹的曲線弧和凸的曲線弧的分界點稱為拐點.曲線y=f(x)的凹凸性可以用f′的單調性來判定.

即y=f(x)的凹凸性與f″的符號有關.(x)

(x)設f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導數(shù)f″.(x)(1)如果在(a,b)內(nèi)f″>0,那末曲線在(a,b)內(nèi)

是凸的.(x)

(2)如果在(a,b)內(nèi)f″<0,那么曲線在(a,b)內(nèi)

是凹的.

(x)

2.結論:二.定理:三.定義:例1.判定y=ax2+bx+c的凹凸性.(a≠0)解:定義域為(?∞,+∞)y'=2ax+b當a>0時，y">0,曲線y=ax2+bx+c在(?∞,+∞)內(nèi)是凸的.當a<0時，y"<0,曲線y=ax2+bx+c在(?∞,+∞)內(nèi)是凹的.注：凹凸性的判定定理的記憶與二次函數(shù)的開口方向相結合。y"=2a例2.求下列曲線的凹凸區(qū)間與拐點1.y=x4

?2x3+1解：（1）定義域為（?∞,+∞）（2）y'=4x3?6x2y"=12x2?12x=12x(x?1)（4）列表xy″y（?∞，0）+∪00（0，1）?∩10拐點（0，1）拐點（1，0）（1，+∞）+∪∴已知曲線的凸區(qū)間為（?∞，0）∪（1，+∞），凹區(qū)間為（0，1）拐點為（0，1）與（1，0）.（3）令y"=0,得x=0,x=1

12解：（1）定義域為（?∞，+∞）（2）y'=8(2x-1)3（3）顯然x∈

(?∞,+∞),y"≥0∴凸區(qū)間（?∞，+∞），無拐點

2.y=(2x-1)+14y"=48(2x-1)21.下列結論是否正確（1）.由f"(x0)=0所確定的點(x0,f(x0))一定是拐點.2.求下列曲線的凸區(qū)間與拐點（2）y=ln(1+x2)（2）.若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)二次可導,且f'(x)<0,

f"(x)>0,則曲線y=f(x)在(a,b)單調遞減且凸向上.練習（1）y=3x?4x3+14小結:作業(yè):1.如何來研究函數(shù)的凹凸性.2.凹與凸的定義,拐點的定義.3.凹與凸的判定.P153:1,2,3,4,5.第六章微分中值定理及其應用§6函數(shù)圖象的討論引例1：引例2：xy0xy011新課講解一.水平漸近線和垂直漸近線.定義1.那么直線y=b稱為曲線y=f(x)的水平漸近線.那么直線y=x0稱為曲線y=f(x)的垂直漸近線.如：引例1中.引例2中.例1.求下列曲線的水平漸近線