第五章 模態(tài)參數(shù)識別的時域方法

第五章模態(tài)參數(shù)識別的時域方法

§5.1引

言

時域識別的幾種典型方法：

ITD法（S.R.Ibrahim，1973-1986）LSCE法（Prony法，最小二乘復指數(shù)法）（BrownD.,

AllemangR.etal，1979）

ARMA時序法（PanditS.M.,WuS.M.，1983）

PRCE法（多參考點復指數(shù)法）（HarvardVold，1982）

ERA法（特征系統(tǒng)實現(xiàn)法）（NASA所屬Langley研究中心，1984）

DPMI法（直接參數(shù)模型識別法）（J.M.Leuridanetal，1986）

SISOMIMO將LSCE、PRCE及ITD法統(tǒng)一起來兩點補充說明：

對這些方法的討論只限于粘性阻尼系統(tǒng)

隨機減量技術(shù)（H.A.Cole，1973）——從隨機響應(yīng)信號得到自由響應(yīng)信號的方法，可與ITD法和LSCE法聯(lián)用——SIMO1§5.2隨機減量技術(shù)

有些情況下，很難直接得到自由響應(yīng)，如海浪及風激勵下的海上鉆井平臺和鉆井船，航行中的輪船，隨機風載作用下的高層建筑等，容易得到的是隨機響應(yīng)信號。隨機減量技術(shù)提供了從這些隨機信號中提取出某種自由響應(yīng)信號的方法。

一、單自由度系統(tǒng)的隨機減量技術(shù)

設(shè)已獲得單自由度系統(tǒng)平穩(wěn)隨機位移響應(yīng)的時間歷程x(t)，其均值為零；取一固定值A(chǔ)，作直線x＝A與x(t)交于s個點tk，x(tk)＝A，k＝1,2,…,s，并設(shè)s為偶數(shù)；從每個tk點開始，截取長度為T的樣本x(t－tk)，樣本長度T應(yīng)足夠長；對這些樣本取平均即得在初始條件x(0)＝A下的自由響應(yīng)信號——特征信號。如圖5.2-1所示。2(a)隨機位移響應(yīng)信號

(b)將各樣本函數(shù)移至同一原點坐標系

(c)平均后獲得的自由響應(yīng)特征信號

圖5.2-1單自由度系統(tǒng)的隨機減量原理3二、多自由度系統(tǒng)的隨機減量技術(shù)

任選一測點（如1點）為基準點，對該點隨機響應(yīng)可獲得某一初始條件下的自由響應(yīng)；對這些樣本取平均，即得與基準點同樣初始條件下的各點自由響應(yīng)信號。

圖5.2-2多自由度系統(tǒng)的隨機減量技術(shù)

對其他測點的隨機響應(yīng)信號xe

(t)，e＝2,3,…,n，按照基準點1信號的取樣本位置截取相同長度的樣本xe

(t－tk)，k＝1,2,…,s；4§5.3ITD方法

ITD法的基本思想：

各測點的自由響應(yīng)

建立系統(tǒng)特征方程

特征對及模態(tài)參數(shù)自由響應(yīng)采樣數(shù)據(jù)增廣矩陣

三次采樣

一、數(shù)學模型

粘性阻尼系統(tǒng)自由響應(yīng)：

(1.5-47)

簡寫為

，{pi}＝{

i}yi

(0)(5.3-1)

(5.3-5)

數(shù)學模型：

5式中

前n列包含各階振型

前n個元素包含各階特征值

(5.3-6)

(5.3-7)

二、系統(tǒng)特征方程

（1）正常采樣

數(shù)學模型：

(5.3-5)

k＝1,2,…,2n (5.3-9)

(5.3-10)

式中

(5.3-11)

(5.3-12)

6

為

t的整數(shù)倍∈C2n×2n[Q]＝[P][

]∈Cn×2nk＝1,2,…,2n (5.3-15)

（2）延時

采樣

(5.3-14)

(5.3-18)

式中

(5.3-19)

（3）延時2

采樣

由式(5.3-5)，按照上面的處理方法可得對應(yīng)采樣點理論值：

(5.3-21)

7式中

∈Rn×2n

(5.3-22)

∈Cn×2n (5.3-23)

（4）構(gòu)造增廣矩陣

正常采樣和延時

采樣：

(5.3-10,18)

合并

∈R2n×2n(5.3-25)

(5.3-26)

式中

∈C2n×2n (5.3-27)

8延時

采樣和延時2

采樣：

(5.3-18)

合并∈R2n×2n(5.3-29)

(5.3-30)

式中

∈C2n×2n (5.3-31)

(5.3-32)

（5）構(gòu)造系統(tǒng)特征方程

(5.3-26)

消去[E]

9(5.3-33)

矩陣[A]的標準的特征值問題

∈C2n×2n

[A]＝[Dyz][Dxy]

－1∈R2n×2n特征矩陣

(5.3-35)

三、求解特征值問題

1．自由響應(yīng)的數(shù)據(jù)矩陣

（1）正常采樣

∈RM×2n(5.3-8)

設(shè)獲得M個測點的自由響應(yīng)時間歷程，e＝1,2,…,M。按三種形式對其進行采樣，采樣點號k＝1,2,…,s，設(shè)s＝2n。10（2）延時

采樣

∈RM×2n(5.3-13)

（3）延時2

采樣

∈RM×2n(5.3-20)

2．構(gòu)造自由響應(yīng)的增廣數(shù)據(jù)矩陣

∈R2M×2n(5.3-24,28)113．系統(tǒng)特征方程

(5.3-35)

取一列i＝1,2,…,2n

(5.3-38)

設(shè)測點數(shù)M與系統(tǒng)自由度數(shù)n相等，即M＝n

(5.3-37)

特征值

i和特征向量{

xyi}

四、估算模態(tài)參數(shù)

1．復模態(tài)矢量{pi}

i＝1,2,…,2n (5.3-39)

122．復模態(tài)頻率

mi和復模態(tài)阻尼比

mi

i＝1,2,…,2n (5.3-40)

為避免求復模態(tài)頻率的多值性問題，采用無量綱算法。

設(shè)采樣圓頻率

s＝2

max，以

s為特征頻率對

i無量綱化:

兩端給以次方

i＝1,2,…,n (5.3-47)

(5.3-49)

13無量綱阻尼固有頻率：

(5.3-50)

無量綱阻尼：

(5.3-51)

復模態(tài)阻尼固有頻率：

(5.3-52)

復模態(tài)阻尼：

(5.3-53)

復模態(tài)頻率和阻尼比：

(5.3-54)

五、虛擬測點技術(shù)（簡介）

前面曾假定測點數(shù)M等于系統(tǒng)自由度數(shù)n，即M＝n，但在一般測試中，測點數(shù)往往達不到自由度數(shù)，即M<n。可通過延時采樣，補充虛擬測點。

可證在的主值范圍內(nèi)，

mdi是唯一的。14以相同時間間隔

t對實測信號進行延時

采樣，得，

為

t的整數(shù)倍，且

。以這些采樣數(shù)據(jù)作為虛擬測點的響應(yīng)信號，得到虛擬測點的響應(yīng)數(shù)據(jù)矩陣：

(5.3-57)

若n<2M，取中的n－M行并到式(5.3-8)中，使為n×2n階矩陣。對作同樣的延時

和2

采樣，將得到的數(shù)據(jù)矩陣中的相應(yīng)行并入中，使亦為n×2n矩陣。于是，增廣矩陣滿秩，均為2n×2n階。

若n>2M，增加M個虛擬測點仍不能使新的、為n×2n階矩陣，繼續(xù)采用延時

采樣增加虛擬測點，

為

t整數(shù)倍且

，

，直到補充足夠的虛擬測點，使、為n×2n階矩陣,從而

為2n×2n階滿秩矩陣。

15六、增加采樣點數(shù)以提高識別精度

前面分析中，均假設(shè)采樣點數(shù)s等于系統(tǒng)自由度數(shù)n的兩倍，即s＝2n?？刹捎迷黾硬蓸狱c數(shù)的方法增加測量數(shù)據(jù)，再用最小二乘法求出特征矩陣，以此為基礎(chǔ)求出的特征值和特征矢量將提高識別精度。

增加采樣點數(shù)使s>2n，則增廣矩陣為2n×s階矩陣。此時

[A]＝[Dyz][Dxy]

－1

不再成立(5.3-34)

(5.3-62)

(5.3-58)

但有關(guān)系

16七、考慮噪聲模態(tài)的ITD法

此前，一直假設(shè)系統(tǒng)自由度數(shù)或系統(tǒng)模態(tài)數(shù)為n，識別模態(tài)數(shù)亦為n。事實上，噪聲模態(tài)會混合在系統(tǒng)模態(tài)中，如果識別模態(tài)數(shù)仍取n，將會丟失真實模態(tài)。解決的方法是，提高識別模態(tài)數(shù)到N，N>n，并增加虛擬測點數(shù)，使s>2N，使用最小二乘法提高識別精度。問題？

如何識別噪聲模態(tài)？兩種判別法：

1．模態(tài)置信因子判別法

{pi}和{qi}應(yīng)有下述關(guān)系：

定義第i階模態(tài)第e個測點的(5.3-65)

e＝1,2,…,N (5.3-66)

17模態(tài)置信因子：

e＝1,2,…,N (5.3-67)

對系統(tǒng)模態(tài)，(MCF)e≈1，對噪聲模態(tài)，(MCF)e<<1或>>1。

(MCF)e≈1的個數(shù)為N0

定義總體模態(tài)置信因子：

(5.3-68)

對系統(tǒng)真實模態(tài)，OAMCF≈1，對噪聲模態(tài)，OAMCF<<1。

2．模態(tài)形狀相關(guān)系數(shù)判別法

(5.3-65)

消去

18定義

模態(tài)形狀相關(guān)系數(shù)：

(5.3-69)

對系統(tǒng)模態(tài)，MSCC≈1，對噪聲模態(tài)，MSCC<<1?！?.4最小二乘復指數(shù)法(LSCE)

LSCE法的基本思想：

留數(shù)表示的脈沖響應(yīng)

AR系數(shù)

脈沖響應(yīng)的AR模型

Prony多項式的根模態(tài)參數(shù)

19一、數(shù)學模型

脈沖響應(yīng)函數(shù)：

(1.6-38)

簡寫為

(5.4-2)

二、自回歸（AR）模型

hef

(tk)＝hefk＝hk，Refi=Ri，

為Z變換因子

k＝0,1,2,…,2ne＝1,2,…,M(=2n)i＝1,2,…,2n

(5.4-6)

Z變換因子形式的脈沖響應(yīng)模型：

Ri，zi∈C為待識別參數(shù)20構(gòu)造

Prony多項式：

(5.4-7)

a2n＝1，獨立的系數(shù)ap∈R共有2n個，在第l＋k點的值

(5.4-10)

乘以ap，并對k從0到2n求和(5.4-11)

這樣，將求zi的問題轉(zhuǎn)化為求ai。21脈沖響應(yīng)序列的自回歸模型：

自回歸系數(shù)即Prony多項式的系數(shù)

(5.4-12)

(5.4-13)

式中

∈R2n

(5.4-14)

∈R2n

(5.4-15)

自回歸系數(shù)列陣：

三、估算模態(tài)參數(shù)

1．求自回歸系數(shù)

令起始采樣點號