河北省張家口市2024屆高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

絕密★啟用前張家口市2024年高三年級(jí)第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)和考號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】,故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第三象限，故選：C2.已知雙曲線的方程為，則該雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)關(guān)系求出，由離心率定義可得.【詳解】由可知，，所以，所以該雙曲線的離心率為.故選：C3.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)，將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，去掉第一個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)后，則下列統(tǒng)計(jì)量一定不變的是（）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.方差 D.極差【答案】B【解析】【分析】根據(jù)極差、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的定義計(jì)算即可得出答案.【詳解】現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)，將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為，去掉第一個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)后為.原平均數(shù)為，刪除后平均數(shù)為，不一定相等，故A不正確；根據(jù)中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)不會(huì)發(fā)生改變，故B正確；因?yàn)樽钚〉臄?shù)據(jù)變大，最大的數(shù)據(jù)變小，其余數(shù)據(jù)不變，方差的意義是新數(shù)據(jù)與新平均值的波動(dòng)情況，不能確定不變，故C不正確.原極差為，刪除后極差為，不一定相等，故D不正確.故選：B.4.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，則（）A.28 B.32 C.36 D.40【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知求得，然后利用下標(biāo)和性質(zhì)化簡(jiǎn)，結(jié)合對(duì)數(shù)恒等式可得.【詳解】記數(shù)列的公比為，由題知，則，所以.故選：C5.的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A. B.5 C. D.10【答案】A【解析】【分析】先求展開(kāi)式中含的項(xiàng)，再與中的項(xiàng)分別相乘可得.【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，則的展開(kāi)式中項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：A6.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，O為原點(diǎn)，直線與該拋物線交于M，N兩點(diǎn)，且，則（）A.12 B.13 C.14 D.15【答案】B【解析】【分析】將拋物線與直線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求解出，利用垂直關(guān)系，求解，即可得到，代入即可得到答案.【詳解】設(shè)，將直線與拋物線聯(lián)立，消去有：，有，則,由于，因此，即，得到,因此，由于拋物線中，拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線的距離，因此.故選：B7.已知正數(shù)m，n滿足，則的最大值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】在等式兩邊同時(shí)乘以，利用基本不等式可得出關(guān)于的不等式，進(jìn)而可解得的最大值.【詳解】因m，n為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，所以，在等式兩邊同時(shí)乘以，可得：，即，解得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取得最大值8.故選：D8.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)求遞推關(guān)系，然后記，利用構(gòu)造法求得，然后分組求和可得.【詳解】因?yàn)?，所以，，且，所以，記，則，所以，所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，，記的前n項(xiàng)和為，則.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵在于先分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)求遞推公式，然后再并項(xiàng)得的遞推公式，利用構(gòu)造法求通項(xiàng)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的前50項(xiàng)和.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知a，b，c為三條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】AC【解析】【分析】利用線面平行判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合直線平行的傳遞性可判斷A；由線面垂直判定定理可判斷B；由面面平行的判定定理可判斷C；根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，又，，所以，所以，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，直線不一定垂直于，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由面面平行的判定定理可知，C正確；對(duì)于D，由面面垂直性質(zhì)定理可知，若直線時(shí)，直線不一定垂直于，D錯(cuò)誤.故選：AC10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的一個(gè)周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為D.若，其中為銳角，則的值為【答案】ACD【解析】【分析】利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，由周期公式可判斷A；代入驗(yàn)證可判斷B；根據(jù)平移變化求，由奇偶性可求出，可判斷C；根據(jù)已知化簡(jiǎn)可得，將目標(biāo)式化為，由和差角公式求解可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以的最小值周期，所以是函?shù)的一個(gè)周期，A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，點(diǎn)不是函數(shù)的對(duì)稱中心，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題知，，若函數(shù)為偶函數(shù)，則，得，因?yàn)?，所以的最小值為，C正確；對(duì)于D，若，則，因?yàn)闉殇J角，，所以，所以，D正確.故選：ACD11.二進(jìn)制是計(jì)算機(jī)技術(shù)中廣泛采用的一種數(shù)制，二進(jìn)制數(shù)據(jù)是用0和1兩個(gè)數(shù)碼來(lái)表示的數(shù)，它的基數(shù)為2，進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”，借位規(guī)則是“借一當(dāng)二”，由18世紀(jì)德國(guó)數(shù)理哲學(xué)大師萊布尼茲發(fā)現(xiàn)．當(dāng)前的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)使用的基本都是二進(jìn)制系統(tǒng)，數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)中主要以補(bǔ)碼的形式存儲(chǔ)，我們用表示十進(jìn)制數(shù)n在二進(jìn)制下的數(shù)字各項(xiàng)之和（例如：，則十進(jìn)制數(shù)5的二進(jìn)制數(shù)為101，），則下列說(shuō)法正確的是（）A.十進(jìn)制數(shù)25的二進(jìn)制數(shù)為1101 B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】將二進(jìn)制數(shù)1101轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)可判斷A；將100轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)可判斷B；設(shè)可得，可判斷C；由可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以十進(jìn)制數(shù)100的二進(jìn)制數(shù)為1100100，所以，B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，則，所以，C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于對(duì)定義的理解，會(huì)對(duì)十進(jìn)制和二進(jìn)制進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并能觀察出是數(shù)列的前n項(xiàng)和.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.圓與圓的公切線的方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，然后將圓化為一般式，兩式相減可得.【詳解】圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心為，半徑為6，因?yàn)?，所以兩圓內(nèi)切，只有一條公切線，將圓化為一般式得：，，兩式相減得，即，所以圓的公切線的方程為.故答案為：13.已知向量，若，則在上的投影向量為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求出，然后由投影向量公式可得.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，解得，因?yàn)?，所以在上的投影向量?故答案為：14.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局比賽11分制，若比分打到時(shí)，需要一人比另一人多得兩分，比賽才能結(jié)束．已知甲贏得每一分的概率為，在兩人的第一局比賽中，兩人達(dá)到了，此局比賽結(jié)束時(shí)，兩人的得分總和為n，則此時(shí)的概率__________．【答案】【解析】【分析】由條件分析的特點(diǎn)，討論，結(jié)合比賽流程及概率乘法公式分別求甲贏得比賽的概率和乙贏得比賽的概率，相加可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)楸荣惤Y(jié)束時(shí)，兩人的得分總和為n，其中且兩人的得分的差的絕對(duì)值為，所以，且為偶數(shù)，所以當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，且偶數(shù)時(shí)，若甲贏得比賽，則最后兩局比賽甲勝，余下比賽中，第21球開(kāi)始，奇數(shù)球與其之后的偶數(shù)球均為甲乙一勝一負(fù)，所以事件甲贏得比賽的概率為，同理乙贏得比賽的概率為，所以，時(shí)，的值也符合關(guān)系，所以，，，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于認(rèn)真審題，分析事件的特征，選擇適當(dāng)?shù)母怕蔬\(yùn)算公式求解.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）證明：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)詳解.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求斜率，由解析式求出切點(diǎn)縱坐標(biāo)，然后可得切線方程；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，令，求導(dǎo)，利用零點(diǎn)存在性定理判斷極值點(diǎn)，利用隱零點(diǎn)方程化簡(jiǎn)極小值可得，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得證.【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，又，所以切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】，令，則，因?yàn)?，所以存在，使得，即，易知在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，取得最小值：，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以.16.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，且滿足．（1）證明：；（2）若為內(nèi)角A的平分線，且，求．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）.【解析】【分析】（1）記的中點(diǎn)為，利用向量運(yùn)算證明即可；（2）先根據(jù)向量關(guān)系得，再由角平分線定理可得，分別在使用余弦定理可得，再在中利用余弦定理求，然后由平方關(guān)系可得.【小問(wèn)1詳解】記的中點(diǎn)為，則，因?yàn)椋?，所以為的垂直平分線，所以.【小問(wèn)2詳解】記，因，所以，所以，，又為內(nèi)角A的平分線，所以，，在中，分別由余弦定理得：，聯(lián)立可得，在中，由余弦定理得，所以.17.如圖，在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且平面平面．（1）求三棱錐體積的最大值；（2）若，點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)，當(dāng)二面角為時(shí)，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）記BD的中點(diǎn)為O，連接OC，AO，利用表示出體積，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)可得最大值；（2）記BC，CD的中點(diǎn)分別為F，H，連接OF，OH，以O(shè)為原點(diǎn)，的方向?yàn)榈恼较蚪⒖臻g直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出坐標(biāo)，求出法向量，根據(jù)二面角的向量公式列方程求解可得.【小問(wèn)1詳解】記BD的中點(diǎn)為O，連接OC，AO，因?yàn)闉檎切?，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)椋?，記，則，三棱錐體積，當(dāng)時(shí)，三棱錐體積取得最大值.【小問(wèn)2詳解】記BC，CD的中點(diǎn)分別為F，H，連接OF，OH，則，又，所以，由（1）知平面，平面，所以，以O(shè)為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，則，，，設(shè)，則，設(shè)為平面的法向量，則，取，則，易知，為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)槎娼菫?，所以，即，解得，所?18.已知點(diǎn)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線l（斜率不為0）交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，．（1）求橢圓C的離心率；（2）若點(diǎn)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，且面積的最大值為，直線與直線相交于點(diǎn)M，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出通徑，可得齊次式，然后可得離心率；（2）設(shè)直線方程分別為：，，聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用斜率公式表示出，代入化簡(jiǎn)，再利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的函數(shù)，然后可得的范圍.【小問(wèn)1詳解】令，得，解得，所以，，即，整理得，解得（舍去）或.【小問(wèn)2詳解】易知，當(dāng)點(diǎn)在短軸端點(diǎn)時(shí)，的面積最大，所以，解得，所以，橢圓C的方程為.易知，直線的斜率不為0，設(shè)其方程分別為：，，聯(lián)立解得，所以，由斜率公式可得，所以，，因，所以，，所以，，聯(lián)立得，所以，不妨記，則，則，所以，易知，，所以所以，即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用斜率公式表示出，再結(jié)合韋達(dá)定理與求根公式化簡(jiǎn)即可求解.19.在某項(xiàng)投資過(guò)程中，本金為，進(jìn)行了次投資后，資金為，每次投資的比例均為x（投入資金與該次投入前資金比值），投資利潤(rùn)率為r（所得利潤(rùn)與當(dāng)次投入資金的比值，盈利為正，虧損為負(fù)）的概率為P，在實(shí)際問(wèn)題中會(huì)有多種盈利可能（設(shè)有n種可能），記利潤(rùn)率為的概率為（其中），其中，由大數(shù)定律可知，當(dāng)N足夠大時(shí)，利潤(rùn)率是的次數(shù)為．（1）假設(shè)第1次投資后的利潤(rùn)率為，投資后的資金記為，求與的關(guān)系式；（2）當(dāng)N足夠大時(shí)，證明：（其中）；（3）將該理論運(yùn)用到非贏即輸?shù)挠螒蛑?，記贏了的概率為，其利潤(rùn)率為；輸了的概率為，其利潤(rùn)率為，求最大時(shí)x的值（用含有的代數(shù)式表達(dá)，其中）．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)詳解；