2022北京海淀區(qū)初三（上）期中考數(shù)學試卷和答案

初中PAGE1初中2022北京海淀初三（上）期中數(shù)學注意事項1．本試卷共6頁，共兩部分，28道小題．滿分100分．考試時間120分鐘．2．在試卷和答題紙上準確填寫學校名稱、姓名和準考證號．3．試題答案一律填涂或書寫在答題紙上，在試卷上作答無效．4．在答題紙上，選擇題用2B鉛筆作答，其他題用黑色字跡簽字筆作答．第一部分選擇題一、選擇題（共16分，每題2分）1.一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（）A.3，6，4 B.3，，4 C.3，6， D.3，，2.將拋物線向上平移2個單位長度，得到的拋物線是（）A. B.C. D.3.下列四幅圖案中，可以由右側的一筆畫“天鵝”旋轉得到的圖案是（）A. B.C. D.4.如圖，是中線，，分別是，的中點，連接EF．若，則的長為（）A. B.2 C. D.45.用配方法解方程時，結果正確的是（）A. B.C. D.6.二次函數(shù)的x與y的部分對應值如下表：則的值是（）A.1 B.2 C.5 D.107.如圖，在中，，將繞點逆時針旋轉得到，點的對應點分別為，連接．當點在同一條直線上時，下列結論不正確的是（）A. B.C. D.8.如圖，已知關于x的一元二次方程的兩根在數(shù)軸上對應的點分別在區(qū)域①和區(qū)域②，區(qū)域均含端點，則k的值可能是（）A. B. C. D.第二部分非選擇題二、填空題（共16分，每題2分）9.若1是關于x的方程的根，則a的值為___________．10.已知的周長為，則的長為___________．11.若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則ac_____0（填“＞”或“＝”或“＜”）．12.如圖，等邊繞頂點逆時針旋轉得到，連接，則___________．13.若關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為___________．14.如圖是某停車場的平面示意圖，停車場外圍的長為30米，寬為18米．停車場內(nèi)車道的寬都相等．停車位總占地面積為288平方米．設車道的寬為x米，可列方程為___________．15.點在二次函數(shù)的圖象上．若，寫出一個符合條件的a的值___________．16.甲、乙、丙三名同學每人抽取一張卡片，每張卡片上有一個形如的二次函數(shù)的解析式，其中只有一人與其他兩人抽到的解析式不同．下面是他們對抽到的解析式所對應的圖象的描述：甲：開口向下；乙：頂點第三象限；丙：經(jīng)過點（，），（，）．根據(jù)描述可知，抽到與其他兩人解析式不同的是___________（填“甲”，“乙”或“丙”）．三、解答題（本題共68分，第17題8分，18-25題每題5分，第26題6分，第27、28題每題7分）17.解方程：（1）；（2）．18.如圖，在中，，將繞點C順時針旋轉得到，點A與點D對應，點B與點E對應．（1）依題意補全圖形；（2）直線AB與直線DE的位置關系為___________．19.已知是方程的一個根，求代數(shù)式的值．20.如圖，在中，，將繞點A順時針旋轉得到，交于點F．若，求的長．21.在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過和兩點．（1）求該拋物線的解析式；（2）該拋物線的對稱軸為___________．22.已知關于x的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若該方程有一個實數(shù)根小于2，求m的取值范圍．23.在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)圖象頂點為A，與x軸正半軸交于點B．（1）求點B的坐標，并畫出這個二次函數(shù)的圖象；（2）一次函數(shù)的圖象過A，B兩點，結合圖象，直接寫出關于x的不等式的解集．24.如圖，在△ABC中，，BD為△的中線．，，連接CE．（1）求證：四邊形BDCE為菱形；（2）連接DE，若，，求DE的長．25.探照燈的內(nèi)部可以看成是拋物線的一部分經(jīng)過旋轉得到的拋物曲面．其原理是過某一特殊點的光線，經(jīng)拋物線反射后所得的光線平行于拋物線的對稱軸，我們稱這個特殊點為拋物線的焦點．若拋物線的表達式為，則拋物線的焦點為．如圖，在平面直角坐標系中，某款探照燈拋物線的表達式為，焦點為F．（1）點F的坐標是___________；（2）過點F的直線與拋物線交于A，B兩點，已知沿射線FA方向射出的光線，反射后沿射線射出，所在直線與x軸的交點坐標為．①畫出沿射線方向射出的光線的反射光線；②所在直線與x軸的交點坐標為___________．26.在平面直角坐標系中，已知拋物線．（1）求拋物線的頂點坐標（用含的式子表示）；（2）已知點．①當拋物線過點時，求的值；②點的坐標為．若拋物線與線段恰有一個公共點，結合函數(shù)圖象，直接寫出的取值范圍．27.在等邊△ABC中，將線段CA繞點C逆時針旋轉α（0°<α<30°）得到線段CD，線段CD與線段AB交于點E，射線AD與射線CB交于點F．（1）①依題意補全圖形；②分別求∠CEB和∠AFC的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?；（2）用等式表示線段BE，CE，CF之間數(shù)量關系，并證明．28.在平面直角坐標系xOy中，已知點．對于點給出如下定義：當時，若實數(shù)k滿足，則稱k為點P關于點A的距離系數(shù)．若圖形M上所有點關于點A的距離系數(shù)存在最小值，則稱此最小值為圖形M關于點A的距離系數(shù)．（1）當點A與點O重合時，在中，關于點A的距離系數(shù)為1的是___________；（2）已知點，若線段BC關于點距離系數(shù)小于，則m的取值范圍為___________；（3）已知點，其中．以點T為對角線的交點作邊長為2的正方形，正方形的各邊均與某條坐標軸垂直，點D，E為該正方形上的動點，線段的長度是一個定值（）．①線段關于點A的距離系數(shù)的最小值為___________；②若線段關于點A距離系數(shù)的最大值是，則的長為___________．

參考答案第一部分選擇題一、選擇題（共16分，每題2分）1.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的一般式可直接進行求解．【詳解】解：一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是3，，；故選D．【點睛】本題主要考查一元二次方程的一般式，熟練掌握一元二次方程的一般式是解題的關鍵．2.【答案】A【解析】【分析】直接利用二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律：上加下減，平移即可求解．詳解】解：將拋物線向上平移2個單位長度，得到的拋物線是，即，故選A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，掌握二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律是解題的關鍵．3.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：可以下圖一筆畫“天鵝”旋轉得到的圖案是．故選A．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質(zhì)，旋轉只改變了圖形的方向、不改變形狀．4.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角形中線求出，再根據(jù)三角形中位線定理即可求出．【詳解】解：∵是的中線，，∴，∵點E，F(xiàn)分別是，的中點，∴，故選：B．【點睛】本題考查了三角形的中線定義、三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．5.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)完全平方公式，結合等式的性質(zhì)，進行配方即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查了配方法，熟練掌握配方法的求解步驟是解題的關鍵．6.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知，拋物線的對稱軸為，由拋物線的對稱性可知，時的值與時的值相等，即可求解．【詳解】解：有表格可知，當，，當，，由拋物線的對稱性可知，拋物線的對稱軸為，∴時的值與時的值相等，∴時的值為5，即的值為5，故選：C．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)圖象的對稱性，解題關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．7.【答案】D【解析】【分析】將繞點逆時針旋轉得到，可得再證明再逐一分析即可．【詳解】解：∵將△ABC繞點逆時針旋轉得到△DEC，∴故A不符合題意；∴∴故B不符合題意；∴∴∴故C不符合題意；∵∴故D符合題意；故選D．【點睛】本題考查的是旋轉的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，掌握“旋轉的性質(zhì)”是解本題的關鍵．8.【答案】C【解析】【分析】先確定方程兩根的范圍，然后再確定拋物線的對稱軸，最后根據(jù)拋物線與x軸的兩個交點關于對稱軸對稱即可解答．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程的兩根在數(shù)軸上對應的點分別在區(qū)域①和區(qū)域②，區(qū)域均含端點，∴一個根，另一個根，∵拋物線的對稱軸是直線，∴拋物線與x軸的兩個交點關于對稱軸對稱，∴k的值可能為1．故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像與一元二次方程關系，掌握二次函數(shù)圖像與x軸的交點關于對稱軸對稱是解答本題的關鍵．二、填空題（共16分，每題2分）9.【答案】【解析】【分析】把1代入方程即可．【詳解】解：把1代入方程得，∴故答案為：1．【點睛】本題主要考查已知方程根求參數(shù)的做法，能夠正確代入方程計算是解題關鍵．10.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形對邊相等，即可求解．【詳解】解：∵的周長為，∴，∴，∴,故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的對邊相等是解題的關鍵．11.【答案】＜【解析】【分析】首先由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，進而判斷ac與0的關系．【詳解】解：∵拋物線的開口向下，∴a＜0，∵與y軸的交點在y軸的正半軸上，∴c＞0，∴ac＜0．故答案為＜．【點睛】考查二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號的確定．二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?shù)項c決定拋物線與y軸交點．12.【答案】【解析】【分析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)得出，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，等量代換得到，由旋轉得出，繼而可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，以及等腰三角形的性質(zhì)得出．【詳解】解：∵等邊繞頂點逆時針旋轉得到，∴，，∵，是等邊三角形，∴，，，∴，，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等邊對等角，旋轉的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握以上知識是解題的關鍵．13.【答案】【解析】【分析】由關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則方程的判別式，據(jù)此列方程，解方程可得答案．【詳解】∵關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴方程的判別式：，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是一元二次方程的根的判別式，掌握“一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則”是解題的關鍵．14.【答案】【解析】【分析】由停車場外圍的長為30米，寬為18米．及車道及入口都是長為x米寬，將兩個停車位合在一起，可得出停車位的面積等于停車場的面積減去車道的面積，列出方程即可．【詳解】解：依題意得，故答案為：【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．15.【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】二次函數(shù)開口向上，離對稱軸越遠的點函數(shù)值越大，找一個離對稱軸比1大的數(shù)即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)開口向上，∴離對稱軸：直線越遠的點的函數(shù)值越大，A點離對稱軸水平距離為1，故a可以等于3．故答案為3（答案不唯一）【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，熟練運用函數(shù)圖像的最低點及性質(zhì)比大小是解題關鍵．16.【答案】甲【解析】【分析】根據(jù)可知，函數(shù)圖象過，再根據(jù)丙的描述，畫出圖象即可進行判斷．【詳解】解：，當時，；∴圖象過，根據(jù)丙的描述，可得的圖象如下：∴拋物線的開口朝上，頂點在第三象限，∴乙，丙兩位同學描述的是同一函數(shù)圖象，∴抽到與其他兩人解析式不同的是：甲；故答案為：甲．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關鍵．三、解答題（本題共68分，第17題8分，18-25題每題5分，第26題6分，第27、28題每題7分）17.【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)直接開平方法進行求解方程即可；（2）根據(jù)因式分解法進行求解方程即可．【小問1詳解】解：∴，；【小問2詳解】解：或∴．【點睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關鍵．18.【答案】（1）見解析（2）AB⊥DE【解析】【分析】（1）直接根據(jù)旋轉的性質(zhì)作圖即可；（2）如圖：延長交于點F，然后根據(jù)旋轉的性質(zhì)可得，然后根據(jù)對頂角相等并結合即可解答．【小問1詳解】解：如圖即為所求：．【小問2詳解】解：延長交于點F由旋轉可得:,∵,∵∵，∴,∴，即．故答案為：．【點睛】本題主要考查了旋轉作圖和旋轉的性質(zhì)等知識點，靈活運用旋轉的性質(zhì)成為解答本題的關鍵．19.【答案】3【解析】【分析】把代入方程，求出，再將代數(shù)式進行化簡，利用整體思想進行計算即可．【詳解】19．解：∵是方程的一個根，∴．∴．原式．【點睛】本題考查一元二次方程的解得定義，以及利用整體思想求代數(shù)式的值．熟練掌握一元二次方程的解的概念是解題的關鍵．20.【答案】【解析】【分析】利用旋轉的性質(zhì)，得到，為等腰直角三角形，利用勾股定理進行求解即可．【詳解】解：∵繞點A順時針旋轉得到，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴是等腰直角三角形．∴．【點睛】本題考查旋轉的性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握旋轉的性質(zhì)和勾股定理是解題的關鍵．21.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）將拋物線的解析式化為頂點式，即可得出答案．【小問1詳解】解：∵拋物線經(jīng)過和兩點，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：．【小問2詳解】解：∵，∴拋物線的對稱軸為．故答案：．【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，對稱軸，熟練掌握待定系數(shù)法求拋物線解析式的一般步驟，是解題的關鍵．22.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）求得該一元二次方程根的判別式大于等于零即可證明結論；（2）先求出該方程的解，然后令一個實數(shù)根小于2，然后求解不等式即可解答．【小問1詳解】證明：由題意，．∴該方程總有兩個實數(shù)根．【小問2詳解】（2）解：解方程，得：，．∵方程有一個實數(shù)根小于2，∴．∴．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式、解一元二次方程等知識點，當一元二次根的判別式大于等于零，則該方程有兩個不相等的實數(shù)根或相等的實數(shù)根．23.【答案】（1）（2，0），畫圖見解析（2）【解析】【分析】（1）令，得出，然后解方程即可求出點B的坐標；（2）先在平面直角坐標系中畫出一次函數(shù)的圖象，然后觀察函數(shù)圖象即可得出答案．【小問1詳解】解：令，則，解得，，∴B點坐標為（2，0），列表得：x0123y3003畫圖得：【小問2詳解】解：如圖，觀察圖象可知：關于x的不等式的解集為．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)與不等式的關系，數(shù)形結合是解題的關鍵．24.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）利用對邊平行且相等證平行四邊形，再通過直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)判定即可．（2）連接DE，根據(jù)菱形的性質(zhì)利用勾股定理求解即可．【小問1詳解】證明：∵，，∴四邊形為平行四邊形．∵，BD為AC邊上的中線，∴，∴四邊形為菱形．【小問2詳解】解：連接DE交BC于O點，如圖．∵四邊形為菱形，，∴．∵，∴．∴．∴．∴．【點睛】本題主要考查菱形的判定及性質(zhì)，能夠熟練運用菱形的性質(zhì)是解題關鍵．25.【答案】（1）（2）①見解析，②【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得出，即可確定點F的坐標；（2）①根據(jù)題意確定軸，得出，經(jīng)拋物線反射后所得的光線平行于y軸，軸，據(jù)此作出平行線即可；②設直線的解析式為，利用待定系數(shù)法確定直線AB的解析式，然后與聯(lián)立求解即可得出結果．【小問1詳解】解：根據(jù)題意得，，∴，∴，故答案為：；【小問2詳解】由題意可知拋物線的對稱軸是y軸，∴經(jīng)拋物線反射后所得的光線平行于拋物線的對稱軸，即經(jīng)拋物線反射后所得的光線平行于y軸，∴軸∵所在的直線與x軸的交點坐標為，∴A點的橫坐標為4，縱坐標為，∴，①經(jīng)拋物線反射后所得的光線平行于y軸，∴軸∴畫出沿射線方向射出的光線的反射光線，如下圖所示：②設直線的解析式為，把、代入，得，解得：∴直線的解析式為，由題意可知，直線與拋物線交于A、B兩點，把代入整理得，解得：，，∵點B在y軸的左側，∴B點的橫坐標為，∵軸，∴所在直線與x軸的交點坐標為，故答案為：．【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的應用及利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合問題等，理解題意，綜合運用一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關鍵．26.【答案】（1）（2）①，，②或【解析】【分析】（1）將解析式化為頂點式，即可求解；（2）①將點代入解析式，解一元二次方程，即可得的值；②根據(jù)①的結論，結合圖形即可求解．【小問1詳解】解：∵，∴拋物線的頂點坐標為．【小問2詳解】①∵點在拋物線上，∴．∴．解得，．②解：拋物線的對稱軸為，點的坐標為，，根據(jù)①可得，點在拋物線上，，．當時，點在對稱軸的右側，此時拋物線與線段恰有一個公共點，如圖，當時，點在對稱軸的左側，此時拋物線與線段恰有一個公共點，如圖，綜上所述，或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．27.【答案】（1）①見解析，②∠CEB=60°＋α，∠AFC=（2）CF=BE＋CE，見解析【解析】【分析】（1）①按要求補全圖形即可，②利用等邊三角形及旋轉的性質(zhì)結合外角，內(nèi)角和解題即可．（2）CF=BE＋CE，延長EA至點G使得EG=CE，運用截長補短方法解題即可．【小問1詳解】解：①補全圖形，如圖．②解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°．∵線段CA繞點C逆時針旋轉α得到線段CD，∴CA=CD，∠ACD=α．∴∠CAD=∠CDA==．∴∠CEB=∠BAC＋∠ACD=60°＋α．∴∠AFC=180°-∠CAD-∠ACB=．【小問2