教研教培課件：《幾何直觀素養(yǎng)的理解與培養(yǎng)》

幾何直觀素養(yǎng)的理解與培養(yǎng)

“培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力以及幾何直觀能力，是高中階段數(shù)學(xué)必修系列課程的基本要求”2003年頒布立體幾何四大能力關(guān)于平面幾何的爭論一直存在,而且范圍很廣.我仔細(xì)琢磨這個問題,覺得對其進(jìn)行改造還是可行的,打算用十年改造幾何.但是改造的好與不好應(yīng)該有個標(biāo)準(zhǔn)來評價,標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該是大家都認(rèn)可的并且依賴于平面幾何的教育價值.平面幾何的教育價值何在我以為除了公認(rèn)的幾何證明外,就是培養(yǎng)幾何直觀能力了！

（2007年發(fā)表于《數(shù)學(xué)通報》）

《平面幾何》改造計劃

東北師范大學(xué)史寧中

現(xiàn)行平面幾何教學(xué)中的優(yōu)點(diǎn)是重視演繹體系和演繹證明；缺點(diǎn)是缺少幾何直觀，知識過于陳舊八個數(shù)學(xué)核心概念數(shù)感符號意識空間觀念幾何直觀數(shù)據(jù)分析觀念運(yùn)算能力推理能力模型思想2011年頒布數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)建模直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)據(jù)分析六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)2017頒布年份與圖有關(guān)的題目數(shù)總題數(shù)比例2020212875%2019222879%2018212875%2017222879%2016232882%中考數(shù)學(xué)（北京卷）與“圖形”有關(guān)的試題統(tǒng)計提綱一、幾何直觀的內(nèi)涵

二、幾何直觀的價值三、幾何直觀的培養(yǎng)一、幾何直觀的內(nèi)涵直觀--數(shù)學(xué)直觀---幾何---幾何直觀

哲學(xué)家認(rèn)為，直觀就是未經(jīng)充分邏輯推理而對事物本質(zhì)的一種直接洞察，直接地把握對象的全貌和對本質(zhì)的認(rèn)識心理學(xué)家認(rèn)為，直觀是從感覺到的具體對象背后，發(fā)現(xiàn)抽象的能力。一、幾何直觀的內(nèi)涵感性認(rèn)識---理性認(rèn)識---感性認(rèn)識----理性認(rèn)識……直觀就是未經(jīng)嚴(yán)格的推理或借助具體對象，而去直接洞察事物本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)事物蘊(yùn)含的一般性關(guān)系與規(guī)律的一種認(rèn)識與能力。數(shù)學(xué)直觀是對數(shù)學(xué)對象及對象關(guān)系的一種直觀判斷，包括代數(shù)直觀、幾何直觀、統(tǒng)計直觀幾何是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科，幾何學(xué)是有關(guān)圖形的一門數(shù)學(xué)分科一、幾何直觀的內(nèi)涵

借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知就是幾何直觀

---著名數(shù)學(xué)家徐利治幾何直觀是一種對數(shù)學(xué)對象及數(shù)學(xué)對象的關(guān)系，能用幾何圖形和幾何語言去表達(dá)、思考和解決問題的能力

--北京師范大學(xué)錢佩玲

一個人如果能夠借助圖形來思考問題,便稱這個人具有幾何直觀,這里所說的思考問題包括描述問題、探討本質(zhì)、啟發(fā)思路、預(yù)測結(jié)果等.

---東北師范大學(xué)史寧中一、幾何直觀的內(nèi)涵一、幾何直觀的內(nèi)涵

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。

---《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版）》問題：生活問題、數(shù)學(xué)問題、科學(xué)問題圖形：幾何圖、坐標(biāo)系、統(tǒng)計圖、表格、示意圖、結(jié)構(gòu)圖、關(guān)系圖…….狹義：幾何直觀就是借助圖形的形象關(guān)系，來直接感知抽象的數(shù)學(xué)研究對象及其關(guān)系的一種認(rèn)識與能力(數(shù)學(xué)）廣義：幾何直觀就是借助圖形直觀的去描述問題、探討本質(zhì)、啟發(fā)思路、預(yù)測結(jié)果等（所有學(xué)科）一、幾何直觀的內(nèi)涵幾何：基于視覺的對幾何圖形及其數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系的直接感知代數(shù)：基于幾何圖形對代數(shù)對象關(guān)系的直接感知統(tǒng)計：基于幾何圖形對統(tǒng)計對象及其關(guān)系的直接感知一、幾何直觀的內(nèi)涵

幾何直觀與邏輯推理密不可分幾何直觀不僅是指視覺上看到了什么，更是指通過看到的圖形思考到了什么？想象到了什么？聯(lián)系到了什么？它本質(zhì)上一種通過圖形所展開的想象能力。邏輯推理與幾何直觀相互交織、彼此關(guān)聯(lián)，直觀中有邏輯，邏輯中有直觀.沒有推理的直觀是膚淺的，沒有直觀的推理是空洞的、難以理解的。二、幾何直觀的價值人類的一切知識都是從直觀開始，從那里進(jìn)入概念而已理念結(jié)束.

---希爾伯特《幾何基礎(chǔ)》直觀是人類獲取知識、發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識的形成依賴直觀，數(shù)學(xué)知識的確立依賴推理，數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來的而不是“證”出來的

---史寧中《數(shù)學(xué)思想概論》（二）二、幾何直觀的價值直觀幫助學(xué)生更容易學(xué)懂?dāng)?shù)學(xué)

無論從事數(shù)學(xué)教學(xué)或研究,我是喜歡直觀的,學(xué)習(xí)一條數(shù)學(xué)定理及其證明,只有當(dāng)我把定理的直觀含義和證法的直觀思路弄明白了,我才認(rèn)為真正懂了.

----徐利治二、幾何直觀的價值案例1若方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根都在1，3之間，求字母a的取值范圍.

對稱軸

圖象恒過（0，-4）（4，-4）將問題化繁為簡，認(rèn)識本質(zhì)二、幾何直觀的價值案例2

反比例函數(shù)參數(shù)與圖象的關(guān)系

二、幾何直觀的價值借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀的理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都發(fā)揮著重要作用.

----《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).

-------《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）三、幾何直觀的培養(yǎng)1.注重學(xué)生畫圖能力的培養(yǎng)2m讓學(xué)生逐步體會畫圖的益處，養(yǎng)成畫圖研究問題的習(xí)慣若不等式組無解，則m的取值范圍是

.

三、幾何直觀的培養(yǎng)1.注重學(xué)生畫圖能力的培養(yǎng)若不等式組無解，則m的取值范圍是

.

2m讓學(xué)生逐步體會畫圖的益處，養(yǎng)成畫圖研究問題的習(xí)慣三、幾何直觀的培養(yǎng)1.注重學(xué)生畫圖能力的培養(yǎng)若不等式組無解，則m的取值范圍是

.

2m讓學(xué)生逐步體會畫圖的益處，養(yǎng)成畫圖研究問題的習(xí)慣三、幾何直觀的培養(yǎng)1.注重學(xué)生畫圖能力的培養(yǎng)若不等式組無解，則m的取值范圍是

.

2m讓學(xué)生逐步體會畫圖的益處，養(yǎng)成畫圖研究問題的習(xí)慣三、幾何直觀的培養(yǎng)1.注重學(xué)生畫圖能力的培養(yǎng)若不等式組無解，則m的取值范圍是

.

2m反思：圖形在分析問題時起到什么作用？

1.1讓學(xué)生逐步體會畫圖的益處，養(yǎng)成畫圖研究問題的習(xí)慣三、幾何直觀的培養(yǎng)1.注重學(xué)生畫圖能力的培養(yǎng)

1.2要舍得在培養(yǎng)學(xué)生畫圖能力上畫時間下功夫

在函數(shù)圖象學(xué)習(xí)初期，其教學(xué)重點(diǎn)不在于技能，而在繪制函數(shù)過程中，引導(dǎo)學(xué)生體會函數(shù)圖象的生成過程，解析式、坐標(biāo)、點(diǎn)、圖象的步步轉(zhuǎn)化，數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系，以及函數(shù)的對應(yīng)變化本質(zhì).變換圖函數(shù)圖象學(xué)習(xí)后期，重點(diǎn)是形成繪制基本初等的技能;并通過觀察圖象幾何特征，研究函數(shù)代數(shù)性質(zhì)，深刻理解數(shù)變形動，形動數(shù)變的關(guān)系的對應(yīng)關(guān)系.三、幾何直觀的培養(yǎng)1.注重學(xué)生畫圖能力的培養(yǎng)1.3提高學(xué)生畫動態(tài)圖形的能力

循序漸進(jìn)，從學(xué)會繪制基本動圖入手4.若A（1，3-t）,B（1，5-t）請畫出線段AB1.畫點(diǎn)：A（1，t）（-5<t<5）解析幾何類2.畫線：y=ax2+1（-2<x<2）3.畫圓：以點(diǎn)(0,t)為圓心，以2為半徑5.過點(diǎn)M(t,0),N(t+2,0)作x軸垂線,分別交拋物線y=ax2+1于A，B兩點(diǎn)，記拋物線上A、B間的部分為圖形G，畫出圖形G.三、幾何直觀的培養(yǎng)1.注重學(xué)生畫圖能力的培養(yǎng)

綜合幾何類

循序漸進(jìn)，從學(xué)會繪制基本動圖入手思考：如何畫出條件不確定或結(jié)論不唯一的變化圖形？這樣的圖是靜止的嗎？是唯一的？怎樣運(yùn)動變化的？誰引起了圖的運(yùn)動？滿足條件的全體圖構(gòu)成了什么圖形？為什么會是這個圖形？1.3提高學(xué)生畫動態(tài)圖形的能力三、幾何直觀的培養(yǎng)三、幾何直觀的培養(yǎng)1.注重學(xué)生畫圖能力的培養(yǎng)1.4提高學(xué)生尺規(guī)作圖能力一是了解基本尺規(guī)作圖之法二是感悟思索作法的一般思維之道三是積累應(yīng)用尺規(guī)作圖研究幾何問題的基本經(jīng)驗(yàn)近代著名數(shù)學(xué)教育家傅種孫（1898-1962）---選自傅種孫著《幾何基礎(chǔ)研究》--作圖篇

作法的思維之道例以定線段AB為弦作一優(yōu)弧，使優(yōu)弧上AB弦所對圓周角等于定角

作作AF的垂線作AB的垂直平分線分析作法

作法的思維之道應(yīng)用尺規(guī)作圖研究幾何問題之“存在性問題”應(yīng)用尺規(guī)作圖研究幾何問題之“存在性問題”例已知兩邊及一邊對角，能否確定三角形三、幾何直觀的培養(yǎng)2.多引導(dǎo)學(xué)生積累從“數(shù)”與“形”從兩個角度認(rèn)識數(shù)學(xué)的思維經(jīng)驗(yàn)數(shù)形結(jié)合是認(rèn)識數(shù)學(xué)的基本角度，很多數(shù)學(xué)對象都具有數(shù)與形兩方面本質(zhì)特征，只有從兩方面理解內(nèi)容的含義，才能真正全面的把握內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

數(shù)形結(jié)合也是研究數(shù)學(xué)的基本方法，研究數(shù)學(xué)通常要在數(shù)與形之間化歸與轉(zhuǎn)化。培養(yǎng)幾何直觀離不開數(shù)形結(jié)合，也是為了發(fā)展學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力。代數(shù)幾何

配方法解一元二次方程的幾何解釋配方---化為正方形降次---化二維為一維一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方---補(bǔ)一個正方形幾何角度探索自然數(shù)立方和公式

213323331

二次函數(shù)的對稱性、增減性的認(rèn)識（形與數(shù)）tMNx1x2x3P對稱性增減性（a<0）代數(shù)特征：

幾何特征：平行或等高對稱點(diǎn)

幾何特征：距對稱軸近的點(diǎn)

較高三、幾何直觀的培養(yǎng)3.引導(dǎo)學(xué)生多從連續(xù)運(yùn)動的角度研究數(shù)學(xué)幾何直觀的教育價值沒有得到很好的落實(shí)，原因可能是多方面的，但從課程內(nèi)容的安排思考，沒有統(tǒng)籌地思考、恰當(dāng)?shù)囊雸D形運(yùn)動和圖形操作（包括尺規(guī)作圖）可能是很主要的原因.

---史寧中《數(shù)學(xué)思想概論（二）》思維是一種安靜的力量，這個力量是通過思維活動體現(xiàn)出來的。如果能夠讓我們研究的對象也活動起來，那么，在運(yùn)動變化的狀態(tài)下的思維活動會更有效，更有價值

----北京市海淀進(jìn)修學(xué)校正高級教師張鶴三、幾何直觀的培養(yǎng)3.引導(dǎo)學(xué)生多從連續(xù)運(yùn)動的角度研究數(shù)學(xué)思維是一種安靜的力量，這個力量是通過思維活動體現(xiàn)出來的。如果能夠讓我們研究的對象也活動起來，那么，在運(yùn)動變化的狀態(tài)下的思維活動會更有效更有價值。

---北京市海淀進(jìn)修學(xué)校正高級教師張鶴三、幾何直觀的培養(yǎng)4.透過直觀的現(xiàn)象，挖掘邏輯的本質(zhì)現(xiàn)象只是淺層次的直觀，高水平的