2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)3.4數(shù)學(xué)建?；顒記Q定蘋果的最佳出售時間點(diǎn)練習(xí)含解析新人教B版必修第一冊

PAGE1-3.4數(shù)學(xué)建?；顒樱簺Q定蘋果的最佳出售時間點(diǎn)最新課程標(biāo)準(zhǔn)：1.會利用所學(xué)知識，解決一次函數(shù)型、二次函數(shù)型及分段函數(shù)型的實(shí)際問題.2.掌握求解函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.知識點(diǎn)函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型解析式：y＝kx＋b.(2)二次函數(shù)模型①一般式：y＝ax2＋bx＋c.②頂點(diǎn)式：y＝a(x－h(huán))2＋k，其中頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k)．(3)分段函數(shù)模型有些實(shí)際問題，在事物的某個階段對應(yīng)的變化規(guī)律不盡相同，此時我們可以選擇利用分段函數(shù)模型來刻畫它，由于分段函數(shù)在不同的區(qū)間中具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在研究條件變化的實(shí)際問題中，或者在某一特定條件下的實(shí)際問題中具有廣泛的應(yīng)用．eq\x(狀元隨筆)(1)在函數(shù)建模中，通常需要先畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像來確定兩個變量的關(guān)系，選擇函數(shù)類型．(2)函數(shù)模型在實(shí)際應(yīng)用中，函數(shù)的自變量x往往具有實(shí)際意義，如x表示長度時，x≥0；x表示件數(shù)時，x≥0，且x∈Z等．在解答時，必須要考慮這些實(shí)際意義．[基礎(chǔ)自測]1．一個等腰三角形的周長是20，則底邊長y是關(guān)于腰長x的函數(shù)，其解析式為()A．y＝20－2x(x≤10)B．y＝20－2x(x<10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5<x<10)答案：D2．將進(jìn)貨單價為80元的商品按90元一個售出時，能賣出400個，已知該商品每個漲價1元時，其銷售量就會減少20個，為了獲得最大的利潤，其售價應(yīng)定為()A．110元/個B．105元/個C．100元/個D．95元/個解析：設(shè)每個商品漲價x元，利潤為y元，則銷售量為(400－20x)個，根據(jù)題意，有y＝(10＋x)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4000＝－20(x－5)2＋4500.所以當(dāng)x＝5時，y取得最大值，且為4500，即當(dāng)每個漲價5元，也就是售價為95元/個時，可以獲得最大利潤為4500元．答案：D3．某生產(chǎn)廠家的生產(chǎn)總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(件)之間的關(guān)系式為y＝x2－80x，若每件產(chǎn)品的售價為25萬元，則該廠獲得最大利潤時，生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為()A．52B．52.5C．53D．52或53解析：因?yàn)槔麧櫍绞杖耄杀?，?dāng)產(chǎn)量為x件時(x∈N)，利潤f(x)＝25x－(x2－80x)，所以f(x)＝105x－x2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(105,2)))2＋eq\f(1052,4)，所以x＝52或x＝53時，f(x)有最大值．答案：D4．某游樂場每天的盈利額y(單位：元)與售出的門票數(shù)x(單位：張)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，試分析圖像，要使該游樂場每天的盈利額超過1000元，那么每天至少應(yīng)售出________張門票．解析：由題圖知，盈利額每天要超過1000元時，x∈(200,300]這一區(qū)間，設(shè)y＝kx＋b(k≠0)，將(200,500)，(300,2000)代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝15，,b＝－2500，))即y＝15x－2500.由15x－2500>1000，得x>eq\f(700,3)，故至少要售出234張門票，才能使游樂場每天的盈利額超過1000元．答案：234題型一一次函數(shù)模型的應(yīng)用[經(jīng)典例題]例1(1)某廠日生產(chǎn)文具盒的總成本y(元)與日產(chǎn)量x(套)之間的關(guān)系為y＝6x＋30000.而出廠價格為每套12元，要使該廠不虧本，至少日生產(chǎn)文具盒()A．2000套B．3000套C．4000套D．5000套(2)商店出售茶壺和茶杯，茶壺定價為每個20元，茶杯每個5元，該商店推出兩種優(yōu)惠辦法：①買一個茶壺贈一個茶杯；②按總價的92%付款．某顧客需要購買茶壺4個，茶杯若干個(不少于4個)，若購買茶杯x(個)，付款y(元)，分別建立兩種優(yōu)惠辦法中y與x之間的函數(shù)解析式，并討論該顧客買同樣多的茶杯時，兩種辦法哪一種更優(yōu)惠？【解析】(1)因利潤z＝12x－(6x＋30000)，所以z＝6x－30000，由z≥0解得x≥5000，故至少日生產(chǎn)文具盒5000套．(2)由優(yōu)惠辦法①可得函數(shù)解析式為y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，且x∈N)．由優(yōu)惠辦法②可得y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，且x∈N)．y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4，且x∈N)，令y1－y2＝0，得x＝34.所以，當(dāng)購買34個茶杯時，兩種辦法付款相同；當(dāng)4≤x<34時，y1<y2，即優(yōu)惠辦法①更省錢；當(dāng)x>34時，y1>y2，優(yōu)惠辦法②更省錢．【答案】(1)D(2)見解析方法歸納(1)一次函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用：一次函數(shù)模型應(yīng)用時，本著“問什么，設(shè)什么，列什么”這一原則．(2)一次函數(shù)的最值求解：一次函數(shù)求最值，常轉(zhuǎn)化為求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答時，注意系數(shù)a的正負(fù)，也可以結(jié)合函數(shù)圖像或其單調(diào)性來求最值．跟蹤訓(xùn)練1若一根蠟燭長20cm，點(diǎn)燃后每小時燃燒5cm，則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時間t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖像表示為圖中的()解析：蠟燭剩下的長度隨時間增加而縮短，根據(jù)實(shí)際意義不可能是D項(xiàng)，更不可能是A、C兩項(xiàng)．故選B項(xiàng)．答案：B題型二二次函數(shù)模型的應(yīng)用[經(jīng)典例題]例2某水果批發(fā)商銷售每箱進(jìn)價為40元的蘋果，假設(shè)每箱售價不得低于50元且不得高于55元．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元的價格銷售，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱．(1)求平均每天的銷售量y(箱)與銷售單價x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售單價x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)每箱蘋果的售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？【解析】(1)根據(jù)題意，得y＝90－3(x－50)，化簡，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．(2)因?yàn)樵撆l(fā)商平均每天的銷售利潤＝平均每天的銷售量×每箱銷售利潤．所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9600(50≤x≤55，x∈N)．(3)因?yàn)閣＝－3x2＋360x－9600＝－3(x－60)2＋1200，所以當(dāng)x<60時，w隨x的增大而增大．又50≤x≤55，x∈N，所以當(dāng)x＝55時，w有最大值，最大值為1125.所以當(dāng)每箱蘋果的售價為55元時，可以獲得最大利潤，且最大利潤為1125元．eq\x(狀元隨筆)本題中平均每天的銷售量y(箱)與銷售單價x(元/箱)是一個一次函數(shù)關(guān)系，雖然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把問題看成一次函數(shù)模型的應(yīng)用問題；平均每天的銷售利潤w(元)與銷售單價x(元/箱)是一個二次函數(shù)關(guān)系，可看成是一個二次函數(shù)模型的應(yīng)用題.方法歸納二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(1)在根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問題中的最值問題．二次函數(shù)求最值最好結(jié)合二次函數(shù)的圖像來解答．(2)對于本題要清楚平均每天的銷售利潤＝平均每天的銷售量×每箱銷售利潤．跟蹤訓(xùn)練2有A，B兩城相距100km，在A，B兩城之間距A城xkm的D地建一核電站給這兩城供電．為保證城市安全，核電站與城市距離不得少于10km.已知供電費(fèi)用與供電距離的平方和供電量之積成正比，比例系數(shù)λ＝0.25.若A城供電量為20億度/月，B城供電量為10億度/月．(1)把月供電總費(fèi)用y表示成x的函數(shù)，并求定義域；(2)核電站建在距A城多遠(yuǎn)時，才能使供電費(fèi)用最??？解析：(1)由題意：y＝0.25[20x2＋10(100－x)2]＝7.5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(100,3)))2＋eq\f(50000,3).∵x≥10，且100－x≥10，∴10≤x≤90.∴函數(shù)的定義域?yàn)閇10,90]．(2)由二次函數(shù)知當(dāng)x＝eq\f(100,3)時，y最小，因此當(dāng)核電站建在距離A城eq\f(100,3)km時，供電費(fèi)用最?。}型三分段函數(shù)模型的應(yīng)用[經(jīng)典例題]例3WAP手機(jī)上網(wǎng)每月使用量在500min以下(包括500min)，按30元計(jì)費(fèi)；超過500min的部分按0.15元/min計(jì)費(fèi)．假如上網(wǎng)時間過短(小于60min)使用量在1min以下不計(jì)費(fèi)，在1min以上(包括1min)按0.5元/min計(jì)費(fèi)．計(jì)費(fèi)時間均取整數(shù)，不足1min的按1min計(jì)算．WAP手機(jī)上網(wǎng)不收通話費(fèi)和漫游費(fèi)．(1)寫出上網(wǎng)時間xmin與所付費(fèi)用y元之間的函數(shù)關(guān)系式．(2)12月份小王WAP上網(wǎng)使用量為20h，要付多少錢？(3)小王10月份付了90元的WAP上網(wǎng)費(fèi)，那么他上網(wǎng)的時間是多少？【解析】由于上網(wǎng)時間不同，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不同，因此對所付費(fèi)用作分段討論，以確定付費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，建立函數(shù)關(guān)系式，解決付費(fèi)與上網(wǎng)時間的問題．(1)設(shè)上網(wǎng)時間為xmin，用[x]表示不小于x的最小整數(shù)，由已知條件知所付費(fèi)用y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0<x<1，,0.5[x]，1≤x<60，,30，60≤x≤500，,30＋0.15[x]－500，x>500.))(2)當(dāng)x＝20×60＝1200(min)時，x>500，應(yīng)付y＝30＋0.15×(1200－500)＝135(元)．(3)90元已超過30元，所以上網(wǎng)時間超過500min，由解析式可得上網(wǎng)時間為900min.方法歸納分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(1)在刻畫實(shí)際問題中，變量之間的關(guān)系因自變量x取值范圍的不同，對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系不能用同一個解析式表示時，常用分段函數(shù)建立函數(shù)模型解決問題．(2)分段函數(shù)是指自變量在不同的范圍內(nèi)有著不同對應(yīng)法則的函數(shù)．求解分段函數(shù)的最值問題時應(yīng)注意：分段函數(shù)的最大值是各段函數(shù)最大值中較大的一個，分解函數(shù)的最小值是各段函數(shù)最小值中較小的一個．跟蹤訓(xùn)練3某廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本(即固定投入)為0.5萬元，但每生產(chǎn)100臺，需要加可變成本(即另增加投入)0.25萬元．市場對此產(chǎn)品的年需求量為500臺．銷售的收入函數(shù)為R(x)＝5x－eq\f(x2,2)(萬元)(0≤x≤5)，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位：百臺)．(1)把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；(2)年產(chǎn)量是多少時，工廠所得利潤最大？(3)年產(chǎn)量是多少時，工廠才不虧本？解析：(1)設(shè)利潤為L(x)，成本為C(x)．當(dāng)x≤5時，產(chǎn)品能全部售出；當(dāng)x>5時，只能售出500臺，故利潤函數(shù)為L(x)＝R(x)－C(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(x2,2)))－0.5＋0.25x，0≤x≤5，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×5－\f(52,2)))－0.5＋0.25x，x>5，))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4.75x－\f(x2,2)－0.5，0≤x≤5，,12－0.25x，x>5.))(2)當(dāng)0≤x≤5時，L(x)＝4.75x－eq\f(x2,2)－0.5，當(dāng)x＝4.75時，L(x)max＝10.78125(萬元)；當(dāng)x>5時，L(x)<12－1.25＝10.75(萬元)．∴生產(chǎn)475臺時利潤最大．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤5，,4.75x－\f(x2,2)－0.5≥0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>5，,12－0.25x≥0，))得5≥x≥4.75－eq\r(21.5625)≈0.11或5<x≤48，∴產(chǎn)品年產(chǎn)量在11臺到4800臺時，工廠不虧本．eq\x(狀元隨筆)本題考查分段函數(shù)問題，生產(chǎn)不超過500臺時，產(chǎn)量等于銷售量；產(chǎn)量超過500臺時，銷售量為一個常數(shù)500臺．課時作業(yè)21一、選擇題1．某種生物增長的數(shù)量y(個)與時間x(小時)的關(guān)系如下表：x/個123…y/小時138…下面函數(shù)解析式中，能表達(dá)這種關(guān)系的是()A．y＝x2－1B．y＝2x＋1C．y＝2x－1D．y＝1.5x2－2.5x＋2答案：D2．商店某種貨物的進(jìn)價下降了8%，但銷售價不變，于是這種貨物的銷售利潤率eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(銷售價－進(jìn)價,進(jìn)價)×100%))由原來的r%增加到(r＋10)%，則r的值等于()A．12B．15C．25D．50解析：設(shè)原銷售價為a，原進(jìn)價為x，可以列出方程組：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a－x,x)×100%＝\f(r,100)，,\f(a－x1－8%,x1－8%)×100%＝\f(10＋r,100)，))解這個方程組，消去a，x，可得r＝15.答案：B3．國家規(guī)定個人稿費(fèi)納稅辦法：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4000元的按超過800元部分的14%納稅；超過4000元的按全部稿酬的11.2%納稅，已知某人出版一本書，共納稅420元，則這個人應(yīng)得稿費(fèi)(扣稅前)為()A．2800元B．3000元C．3800元D．3818元解析：由題意，知納稅額y(單位：元)與稿費(fèi)(扣稅前)x(單位：元)之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x≤800，,0.14x－800，800<x≤4000，,0.112x，x>4000.))由于此人納稅420元，所以800<x≤4000時，令(x－800)×0.14＝420，解得x＝3800，x>4000時，令0.112x＝420，解得x＝3750(舍去)，故這個人應(yīng)得稿費(fèi)(扣稅前)為3800元．故選C.答案：C4．在股票買賣過程中，經(jīng)常用兩種曲線來描述價格變化情況：一種是即時價格曲線y＝f(x)，另一種是平均價格曲線y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票開始買賣后2小時的即時價格為3元；g(2)＝3表示2小時內(nèi)的平均價格為3元．下面給出了四個圖像，實(shí)線表示y＝f(x)，虛線表示y＝g(x)，其中可能正確的是()解析：根據(jù)即時價格與平均價格的相互依賴關(guān)系，可知，當(dāng)即時價格升高時，對應(yīng)平均價格也升高；反之，當(dāng)即時價格降低時，對應(yīng)平均價格也降低，故選項(xiàng)C中的圖像可能正確．答案：C二、填空題5．經(jīng)市場調(diào)查，某商品的日銷售量(單位：件)和價格(單位：元/件)均為時間t(單位：天)的函數(shù)．日銷售量為f(t)＝2t＋100，價格為g(t)＝t＋4，則該種商品的日銷售額S(單位：元)與時間t的函數(shù)解析式為S(t)＝________.解析：日銷售額＝日銷售量×價格，故S＝f(t)×g(t)＝(2t＋100)×(t＋4)＝2t2＋108t＋400，t∈N.答案：2t2＋108t＋400，t∈N6．在某種金屬材料的耐高溫實(shí)驗(yàn)中，溫度y隨時間t的變化情況如圖所示，給出下面四種說法：①前5分鐘溫度增加的速度越來越快；②前5分鐘溫度增加的速度越來越慢；③5分鐘以后的溫度保持勻速增加；④5分鐘以后溫度保持不變．其中正確的說法是________．(只填序號)解析：前5分鐘溫度增加的速度應(yīng)越來越慢，因?yàn)榇硕蝺?nèi)曲線越來越“緩”，故②正確；5分鐘后，對應(yīng)曲線是水平的，說明溫度不變了，故④正確．答案：②④7．某商品進(jìn)貨單價為45元，若按50元一個銷售，能賣出50個；若銷售單價每漲1元，其銷售量就減少2個，為了獲得最大利潤，此商品的最佳售價應(yīng)為每個________元．解析：設(shè)漲價x元，銷售的利潤為y元，則y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250＝－2(x－10)2＋450，所以當(dāng)x＝10，即銷售價為60元時，y取得最大值．答案：60三、解答題8．某校校長暑假將帶領(lǐng)該校市級三好學(xué)生去北京旅游．甲旅行社說：“如果校長買全票一張，則其余學(xué)生可享受半價優(yōu)惠．”乙旅行社說：“包括校長在內(nèi)，全部按票價的6折(即按全票價的60%收費(fèi))優(yōu)惠．”若全票價為240元．(1)設(shè)學(xué)生數(shù)為x人，甲旅行社收費(fèi)為y甲元，乙旅行社收費(fèi)為y乙元，分別寫出兩家旅行社的收費(fèi)y甲，y乙與學(xué)生數(shù)x之間的解析式；(2)當(dāng)學(xué)生數(shù)是多少時，兩家旅行社的收費(fèi)一樣？(3)就學(xué)生人數(shù)討論哪家旅行社更優(yōu)惠？解析：(1)y甲＝120x＋240(x∈N＋)，y乙＝(x＋1)×240×60%＝144(x＋1)(x∈N＋)．(2)由120x＋240＝144x＋144，解得x＝4，即當(dāng)學(xué)生數(shù)為4時，兩家旅行社的收費(fèi)一樣．(3)當(dāng)x<4時，乙旅行社更優(yōu)惠；當(dāng)x>4時，甲旅行社更優(yōu)惠．9．某企業(yè)實(shí)行裁員增效．已知現(xiàn)有員工a人，每人每年可創(chuàng)純收益(已扣工資等)1萬元，據(jù)評估，在生產(chǎn)條件不變的條件下，每裁員一人，則留崗人員每人每年可多創(chuàng)收0.01萬元，但每年需付給每位下崗工人0.4萬元生活費(fèi)，并且企業(yè)正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得少于現(xiàn)有員工的eq\f(3,4)，設(shè)該企業(yè)裁員x人后年純收益為y萬元．(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出x的取值范圍；(2)當(dāng)140<a≤280時，該企業(yè)應(yīng)裁員多少人，才能獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益？(注：在保證能取得最大經(jīng)濟(jì)效益的情況下，能少裁員，應(yīng)盡量少裁)解析：(1)由題意可得y＝(a－x)×(1＋0.01x)－0.4x＝－eq\f(1,100)x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－140,100)))x＋a.∵a－x≥eq\f(3,4)a，∴x≤eq\f(1,4)a，即x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(a,4)))中的自然數(shù)．(2)∵y＝－eq\f(1,100)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－70))))2＋eq\f(1,100)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－70))2＋a，且140<a≤280，∴當(dāng)a為偶數(shù)時，x＝eq\f(a,2)－70，y取最大值．當(dāng)a為奇數(shù)時，x＝eq\f(a－1,2)－70，y取最大值．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∵盡可能少裁員，∴舍去x＝