2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 解三角形的應(yīng)用 專項(xiàng)訓(xùn)練

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-4.7-解三角形的應(yīng)用-專項(xiàng)訓(xùn)練

基礎(chǔ)鞏固練

L已知/乃兩地間的距離為101?11,8。兩地間的距離為201<111,現(xiàn)測(cè)得乙43。=120°，則兩

地間的距離為()

A.10kmB.10V3km

C.10V5kmD.IOV?km

2.設(shè)MN為某海邊相鄰的兩座山峰，到海平面的距離分別為100米,50米.現(xiàn)欲在MN之間架

設(shè)高壓電網(wǎng)，須計(jì)算峪N之間的距離.勘測(cè)人員在海平面上選取一點(diǎn)尸，利用測(cè)角儀從尸點(diǎn)測(cè)得

MN點(diǎn)的仰角分別為30°,45°，并從P點(diǎn)觀測(cè)到MN點(diǎn)的視角為45°,則MN之間的距離為

()

A.50V1U米B.50VH米

C.50夜米D.50點(diǎn)米

3.嵩岳寺塔位于河南鄭州登封市嵩岳寺內(nèi)，歷經(jīng)1400多年風(fēng)雨侵蝕，仍巍然屹立，是中國(guó)現(xiàn)存

最早的磚塔.如圖，為測(cè)量塔的總高度N瓦選取與塔底8在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與

A現(xiàn)測(cè)得/3CO=30°,/8DC=45°,CD=32m,在C點(diǎn)測(cè)得塔頂/的仰角為60°,則塔的總高

度為()

A.(96-32V6)mB.(96-32V3)m

C.(92-32A/2)mD.(92-32V3)m

A

4.(多選題)如圖所示，為了測(cè)量?jī)商帊u嶼間的距離,小明在D處觀測(cè)到A,B分別在。處的

北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛30海里至C處，觀測(cè)3在C處的正北方向H

在C處的北偏西60°方向，則下列結(jié)論正確的有()

A.ZC4Z)=60°

B.4。之間的距離為15近海里

C.A,B兩處島嶼間的距離為15返海里

D.B,D之間的距離為30%海里

5.(多選題)某貨輪在/處看燈塔3在貨輪北偏東75°，距離為12乃nmile;在N處看燈塔。

在貨輪的北偏西30。，距離為8百nmile.貨輪由/處向正北方向航行到D處時(shí)，再看燈塔3

在南偏東60°的方向上，則下列說(shuō)法正確的有（）

N.A處與D處之間的距離是24nmile

B.燈塔C與D處之間的距離是8V3nmile

C.燈塔。在。處的西偏南60°

D.D在燈塔8的北偏西30°

6.已知甲船位于小島N的南偏西30°的8處,乙船位于小島N處,48=20千米，甲船沿瓦?的方

向以每小時(shí)6千米的速度行駛，同時(shí)乙船以每小時(shí)8千米的速度沿正東方向勻速行駛,當(dāng)甲、

乙兩船相距最近時(shí)，他們行駛的時(shí)間為小時(shí).

7.如圖，從氣球/上測(cè)得正前方的河流的兩岸瓦C的俯角分別為67°,30°，此時(shí)氣球的高是

92m,則河流的寬度2C約等于________m.（用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位.參考數(shù)據(jù):sin

67°=0.92,cos67°=0.39,sin37°-0.60,cos37°=0.80,73=1.73）

8.海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象,被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我

國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞.若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑42兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚

群島上取兩點(diǎn)CQ,測(cè)得CD=50m,/4DB=135°,ZBDC=ZDCA=15°,ZACB=12O°，求

兩點(diǎn)間的距離及A,B兩點(diǎn)間的距離.

.■■....................綜合提升練

9.如圖，一輛汽車在一條水平的公路上沿正西方向勻速行駛，在公路北側(cè)遠(yuǎn)處一座高900米的

山頂。測(cè)得點(diǎn)/在東偏南30°方向上，過(guò)一分鐘后測(cè)得點(diǎn)3在山頂。的東偏南60°方向上,

俯角為45°，則該車的行駛速度為（）

A.15米型

B.15百米型

C.20米鄰

D.20舊米敬

10.“寸影千里”法是《周髀算經(jīng)》中記載的一種遠(yuǎn)距離測(cè)量的估算方法,其具體方法是在同一

天（如夏至）的正午，于兩地分別豎起同高的標(biāo)桿，然后測(cè)量標(biāo)桿的影長(zhǎng),并根據(jù)“日影差一寸，實(shí)

地相距千里”的原則推算兩地距離.如圖，某人在夏至的正午分別在同一水平面上的A,B兩地

豎起高度均為a寸的標(biāo)桿AE與BF^C與BD分別為標(biāo)桿AE與BF在地面的影長(zhǎng)，再按影長(zhǎng)

AC與BD的差結(jié)合“寸影千里”來(lái)推算48兩地的距離.記。尸=及0<%）,則按

照“寸影千里”的原則H乃兩地的距離大約為（）

A1OOOasin(a+0)里

sinasiny?

1000asin(a+S)m

D.---：-------里

sinacosp

C1000acos(a+S)里

sin^cosa

D1000acos(a+6)里

,cosacos/?

IL說(shuō)起延安革命紀(jì)念地景區(qū)，可謂是家喻戶曉,它由寶塔山、棗園革命舊址、楊家?guī)X革命舊址、

中共中央西北局舊址、延安革命紀(jì)念館組成.尤其寶塔山，它可是圣地延安的標(biāo)志，也是中國(guó)革

命的搖籃，見(jiàn)證了中國(guó)革命的進(jìn)程,在中國(guó)老百姓的心中具有重要地位.如圖，寶塔山的坡度比

為V7：3（坡度比即坡面的垂直高度和水平寬度的比），在山坡/處測(cè)得，從/處沿

山坡往上前進(jìn)66m到達(dá)B處,在山坡3處測(cè)得NC2O=30。，則寶塔CD的高為（）

12.（多選題）某同學(xué)為測(cè)量教學(xué)樓的高度，先在地面選擇一點(diǎn)C,測(cè)量出對(duì)教學(xué)樓N8的仰角/

NC2=a，再分別執(zhí)行如下四種測(cè)量方案，則利用測(cè)量數(shù)據(jù)可表示出教學(xué)樓高度的方案有（）

A

方案B,C

E

方案D

A.從點(diǎn)C向教學(xué)樓前進(jìn)a米到達(dá)點(diǎn)。，測(cè)量出角

B.在地面上另選點(diǎn)。，測(cè)量出米

C.在地面上另選點(diǎn)。，測(cè)量出N3Z)C=S,CD=a米

D.從過(guò)點(diǎn)C的直線上(不過(guò)點(diǎn)8)另選點(diǎn)￡),瓦測(cè)量出CD=2DE=a米,NADB=B，NAEB=y

13.如圖，一位同學(xué)從尸1處觀測(cè)塔頂B及旗桿頂4得仰角分別為a和90°-a.后退/m至點(diǎn)P2

處再觀測(cè)塔頂尻仰角變?yōu)樵瓉?lái)的一半，設(shè)塔CB和旗桿BA都垂直于地面，且C,馬F2三點(diǎn)在同

一條水平線上，則塔BC的高為_(kāi)______m;旗桿BA的高為_(kāi)________m(用含有I和a的式子表

示).

14.某公園要建造如圖所示的綠地。43co4。。為互相垂直的墻體，已有材料可建成的圍欄

AB與BC的總長(zhǎng)度為12米，且設(shè)N8/O=a,0<a<5

⑴當(dāng)A8=3,a用時(shí)，求AC的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)AB=6時(shí),求綠地OABC面積S的最大值及此時(shí)a的值.

創(chuàng)新應(yīng)用練

15.魏晉時(shí)期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)量海島的高.

如圖，點(diǎn)E",G在水平線NC上QE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為

“表高”,EG稱為“表距”,GC和EH都稱為“表目距”,GC與EH的差稱為“表目距的差”，則海島

的高N3=()

人表(KjX表距主言D表高X表距主吉

七口口匚+衣同

A?表目距的差B.表目距的差一不同

C表局*表距+表是巨表高x表距

。,表目距的差衣膽口表目距的差衣咫

16.汽車最小轉(zhuǎn)彎半徑是指當(dāng)轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)到極限位置，汽車以最低穩(wěn)定車速轉(zhuǎn)向行駛時(shí)，外側(cè)轉(zhuǎn)

向輪的中心平面在支承平面上滾過(guò)的軌跡圓半徑，下圖中的2。即是.已知某車在低速前進(jìn)時(shí),

圖中/處的輪胎行進(jìn)方向與/C垂直,2處的輪胎前進(jìn)方向與BC垂直，軸距AB為2.55米，方

向盤轉(zhuǎn)到極限時(shí),輪子方向偏了30°，則該車的最小轉(zhuǎn)彎半徑8C為米

17.記A4BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知於=℃,點(diǎn)D在邊NC上,3￡>sin//BC=asinC.

(1)證明:AD=b.

⑵若40=2。。,求cos/48c的值.

參考答案

l.D2.A3.B4.BC5.ABC

io

6罵7.120

8.解在中,N5CD=N4C5+NDC4=135°，則NC5Q=180°-15°-135°=30°,

由正弦定理冤普_BD

sinZ.BCD,

所以四旦舞黑=￥=50&(m).

smZ.CBD1

2

在中，N/DC=N/D8+N8DC=150。，則NG4。=180°-150°-15°=15。，所以

AD=CD=50m.在4ABD中=AD2+BD2-2ADBDcosZADB=2500+5

000-2X50X50V2X(-y)=12500,

所以/8=50有m.

9.A10.Cll.A12.ABD

lcos2a

13./sina

since

14.解（1）如圖，連接NC在A/BC中43=3,3C=9,//8C=2兀-靜一工一］=券，由余弦定理,

得AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC=Ul,^AC=3413.

因此ZC的長(zhǎng)為3履米.

⑵由題意知fC=4B=6,N/C3=NC4昆N4BC=2兀-2a5=孚-2a,所以NCMC=NOC4=；.

LL4

在△45。中,由余弦定理得ZG=452+gG_24SWcosN45C=72-72cos居-2a)=72+72sin

2a,所以S^AOC=^C^^lS+lSsin2a,S^ABc=-1X6><6xsin(竽-2a)—18cos2%所以

S=S^ABC^~S^AOC=-18cos2a+18+18sin2a=18V^.sin(2a-；)+18,0vav],當(dāng)2a-y=；，即

\4/L4Lo

時(shí),S取到最大值，最大值為18金+18.因此，當(dāng)a=萼時(shí)，綠地O4BC面積S的最大值為

O

(18/+18)平方米.

15.A16.5.1

17.(1)證明在△45。中，由正弦定理，得5。中=如

又爐=*,所以血)6=死即BD=b.

(2)解因?yàn)?￡>=2OC,所以AD'2bQC'b1.

在MBD中，由余弦定理，得

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