人教版初一數(shù)學(xué)下冊相期末壓軸題易錯題模擬檢測試卷及答案

一、解答題

1.如圖1,已知，點(diǎn)4La),AH_Lx軸，垂足為“，將線段A。平移至線段BC,點(diǎn)B(b,

(1)填空：①直接寫出4B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)4卜8(卜C()；

②直接寫出三角形A?！钡拿娣e.

(2)如圖1,若點(diǎn)D(m,n)在線段0A上，證明：4m=n.

(3)如圖2,連。C,動點(diǎn)P從點(diǎn)B開始在x軸上以每秒2個單位的速度向左運(yùn)動，同時

點(diǎn)Q從點(diǎn)。開始在V軸上以每秒1個單位的速度向下運(yùn)動.若經(jīng)過t秒，三角形A0P與三

角形C0Q的面積相等，試求t的值及點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析：(1)①1,4；3,0；2,-4；②2；(2)見解析；(3)t=1.2時，P(0.6,0),t

=2時，P(-1,0).

【分析】

(1)①利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出。，b的值，可得結(jié)論.

②利用三角形面積公式求解即可.

(2)連接DH,根據(jù)△0?！钡拿娣e+的面積的面積，構(gòu)建關(guān)系式，可得結(jié)

論.

(3)分兩種情形：①當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上，②當(dāng)點(diǎn)P在B。的延長線上時，分別利用面

積關(guān)系，構(gòu)建方程，可得結(jié)論.

【詳解】

(1)解：①；,4-a+(6-3)2=o,

又；y/4-a>0,(b-3)2>0,

a=4,b=3,

41，4),8(3,0),

B是由A平移得到的，

二A向右平移2個單位，向下平移4個單位得到B,

???點(diǎn)C是由點(diǎn)。向右平移2個單位，向下平移4個單位得到的，

.C(2,-4),

故答案為：1,4；3,0；2,-4.

②△ACW的面積=4xlx4=2,

故答案為：2.

圖1

???△ODH的面積+△ADH的面積=△OAH的面積，

/.gxlxc+gx4x(l-m)=2,

4m=".

(3)解：①當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上，

由三角形AOP與三角形COQ的面積相等得：

—1OP'yA=-1O”Q-xc,

：gx(3-2t)x4=yx2t,

解得t=1.2.

此時P(0.6,0).

②當(dāng)點(diǎn)P在B。的延長線上時，

由三角形AOP與三角形COQ的面積相等得：

11-

-OP-yA=^OCl-xc,

yx(2t-3)x4=gx2xt,

解得t=2,

此時P(-1,0),

綜上所述，t=1.2時，P(0.6,0),t=2時，P(-1,0).

【點(diǎn)睛】

本題考查坐標(biāo)與圖形變化-平移，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會

利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

2.如圖1,在直角坐標(biāo)系中直線A8與X、》軸的交點(diǎn)分別為A(a,0),3(0力)，且滿足

Ja~\~b+|t7-b+81=0.

(2)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,利）且SABM=2sAOM,求m的值；

(3)如圖2,點(diǎn)尸坐標(biāo)是（-1,-2）,若.ABO以2個單位/秒的速度向下平移，同時點(diǎn)P以

1個單位/秒的速度向左平移，平移時間是t秒，若點(diǎn)尸落在AABO內(nèi)部（不包含三角形的

邊），求/的取值范圍.

解析：(1)a=T,b=4；(2)m=-5sS,m-^；(3)l<f<|

【分析】

（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)和為0,則每一個非負(fù)數(shù)都是0,即可求出a,b的值；

（2）設(shè)直線與直線X=1父于點(diǎn)/V,可得/V（1,5）,根據(jù)48M=S/kAM/V-SA8MN,即

可表示出5AABMy從而列出m的方程.

（3）根據(jù)題意知，臨界狀態(tài)是點(diǎn)戶落在和AB上，分別求出此時t的值，即可得出范

圍.

【詳解】

（1）++Z?+81=0,yja+b>0,,一匕+8|20

a+Z?=O,a—Z?+8—0

解得：a=-4,b=4

（2）設(shè)直線AB與直線x=l交于N,設(shè)N（l,〃）

a=-4,b=4,

：.A(-4,0),B(0,4),

設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為：y=kx+b,

0=-4k+bk=l

代入得4=b,解得

6=4

，直線AB的函數(shù)解析式為：y=x+4,

代入x=l得N（l,5）

S^ABM=SA,N-SABMN=gx5x15-m|-gxlx|5-m|=2S^AOM=gx4x|"?|=2帆

-v二，q

?uABM_QAOM

/.2|m-5|=2x2|m|

「?m—5=2m^m—5=-2m

解得：根=-5或根=g,

(3)當(dāng)點(diǎn)P在0A邊上時，則2t=2,

.?t—~1,

當(dāng)點(diǎn)P在邊上時，如圖，過點(diǎn)P作PK//X軸，AKLx軸交于K,

則KP'=3-t,KA'=2t-2,

：.3-t=2t-2,

5

..t=一

3

本題主要考查了平移的性質(zhì)、一般三角形面積的和差表示、以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識點(diǎn),

第(2)問中用絕對值來表示動點(diǎn)構(gòu)成的線段長度是正確解題的關(guān)鍵.

3.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，A(1,3),B(3,1),將線段4平移至CD,C

(m,-1),D(1,n)

(1)m=,n=

(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(c,0)

①設(shè)NABP=a,請寫出NBPD和NPDC之間的數(shù)量關(guān)系(用含a的式子表示，若有多種數(shù)

量關(guān)系，選擇一種加以說明)

②當(dāng)三角形PAB的面積不小于3且不大于10,求點(diǎn)p的橫坐標(biāo)C的取值范圍(直接寫出

答案即可)

解析：(1)-1,-3.(2)①當(dāng)點(diǎn)P在直線AB,C。之間時，ZBPD叱PDC=a.當(dāng)點(diǎn)P在直

線CD的下方時，NBPD+NPDC=a.當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的上方時，NBPD“PDC=a；②-6<

m<l或7<m<14

【分析】

(1)由題意，線段向左平移2個單位，向下平移4個單位得到線段C。，利用平移規(guī)

律求解即可.

(2)①分三種情形求解，如圖1中，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB,CD之間時，NBPD-NPDC=a.如

圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在直線CO的下方時，NBPD+ZPDC=a.如圖3中，當(dāng)點(diǎn)P在直線的上

方時，同法可證NBPD+ZPDC=a.分別利用平行線的性質(zhì)求解即可.

②求出點(diǎn)P在直線AB兩側(cè)，△%B的面積分別為3和10時，m的值，即可判斷.

【詳解】

解：(1)由題意，線段AB向左平移2個單位，向下平移4個單位得到線段C。，

A(1,3),8(3,1),

C(-1,-1),D(1,-3),

/.m=-l,n=-3.

故答案為：-1,-3.

(2)如圖1中，當(dāng)點(diǎn)P在直線28,CD之間時，NBPD叱PDC=a.

?/ABWCD,

/.PEWCDWAB,

：.ZABP=Z.BPE,ZPDC=NDPE,

：.ZBPD叱PDC=NBPD叱DPE=4BPE=a.

如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在直線C。的下方時，ZBPD+Z.PDC=a.

理由：過點(diǎn)尸作PEII/B,

ABWCD,

/.PEWCDWAB,

：.ZABP=NBPE,ZPDC=NDPE,

：.ZBPD+NPDC=NBPD+NDPE=ZBPE=a.

如圖3中，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的上方時，同法可證N8PD+NPDC=a.

(3)如圖4中，過點(diǎn)B作軸于H,過點(diǎn)A作AriBM交于點(diǎn)了，延長AB交x軸

當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的下方時，

SAPAB=S^ATHP-SAABT-S^PBH=~(2+3-m)?3-yx2x2-^-?(3-m)?l=-m+4,

當(dāng)小PAB的面積=3時，-m+4=3,解得m=l,

當(dāng)公PAB的面積=3時，-m+4=10,解得m=-6,

???△ABT是等腰直角三角形，

ZABT=45°=NHBE,

：.BH=EH=1,

.E(4,0),

根據(jù)對稱性可知，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的右側(cè)時，當(dāng)ARAB的面積=3時，m=7,

當(dāng)APAB的面積=3時，m=14,

觀察圖象可知，-6<mSl或74m<14.

【點(diǎn)睛】

本題屬于三角形綜合題，考查了三角形的面積，平行線的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵

是學(xué)會利用分割法求三角形面積，學(xué)會尋找特殊位置解決問題，屬于中考?？碱}型.

4.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，邊長為2的正方形ABCD(點(diǎn)。與點(diǎn)

0重合)和邊長為4的正方形EFGH的邊CO和GH都在X軸上，且點(diǎn)H坐標(biāo)為(7,

0）.正方形ABCD以3個單位長度/秒的速度沿著X軸向右運(yùn)動，記正方形ABCD和正方形

EFG”重疊部分的面積為S,假設(shè)運(yùn)動時間為t秒，且t<4.

（1）點(diǎn)F的坐標(biāo)為；

（2）如圖2,正方形ABC。向右運(yùn)動的同時，動點(diǎn)P在線段FE上，以1個單位長度/秒的

速度從F到E運(yùn)動.連接AP,AE.

①求t為何值時，AP所在直線垂直于x軸；

②求t為何值時，S=SAAPE.

解析：（1）（3,4）；（2）①■時，4P所在直線垂直于x軸；②當(dāng)t為］或1時,

S—SAAPE-

【分析】

（1）根據(jù)直角坐標(biāo)系得出點(diǎn)F的坐標(biāo)即可；

（2）①根據(jù)AP所在直線垂直于X軸，得出關(guān)于t的方程，解答即可；

7710

②分和兩種情況，利用面積公式列出方程即可求解.

【詳解】

（1）由直角坐標(biāo)系可得：F坐標(biāo)為：（3,4）；

故答案為：（3,4）；

只需要Px=Ax,

貝Ut+3=3t,

3

解得：=9

2

3

所以即f=：時，AP所在直線垂直于X軸;

2

②由題意知，

7

0H=7f所以當(dāng)方時，點(diǎn)。與點(diǎn)H重合，所以要分以下兩種情況討論:

7

情況一：當(dāng)時，

GD=3t-3,PF=t,PE=4-t,

「5—SAAPEf

/.BCxGD=*后義區(qū)—Ay）,

即：2x（3t-3）=/（4—%）x2,

解得：

HD=3t-7,PF=t,PE=4-t,

?5—SAAPE，

：.BCxCH=|PEx）,

即：2x[2-（3t-7）]=1（4-f）x2,

14

解得：f=],

綜上所述，當(dāng)t為亍或不時，S—S^APE-

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的移動，一元一次方程的應(yīng)用等問題，理解題意，分類討

論是解題關(guān)鍵.

5.在平面直角坐標(biāo)系xQv中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（0,4）,點(diǎn)B坐標(biāo)為（4,0）,過點(diǎn)C（3,0）作直線

CD_Lx軸，垂足為C,交線段于點(diǎn)。.

①填空：石的面積為；②點(diǎn)夕為直線上一動點(diǎn)，當(dāng)3ApM=SAAOB時，求點(diǎn)P

的坐標(biāo)；

（2）如圖2,點(diǎn)。為線段CO延長線上一點(diǎn)，連接3。，0Q,線段。。交于點(diǎn)尸，若

S"。尸=S^QBF，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.

解析：⑴①6；②尸的坐標(biāo)為（3,5）,（3,-3）；（2）（3,4）.

【解析】

【分析】

（1）①易證四邊形AECO為矩形，則點(diǎn)B到AE的距離為。A,AE=OC=3,OA=CE=4,

S^ABE=^-AE?OA,即可得出結(jié)果；

2

②設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,根），分兩種情況:點(diǎn)P在點(diǎn)E上方，連接得

S"AB-SAPAE+S^BE+S"BE=8,點(diǎn)尸在點(diǎn)C的下方，得右9=S“AC+‘AABC+S.BC=8,分別列出方

程解方程即可得出結(jié)果；

（2）由SAAo產(chǎn)SAQBF,貝USAAOS=SAQOB,△AOB與△QOB是以AB為同底的三角形，分別

為：04、QC,得出OA=CQ,即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：（1）①?.,CO_Lx軸，AE±CD,

,AElIx軸，四邊形AEC。為矩形，點(diǎn)B到AE的距離為

???點(diǎn)A（0,4）,點(diǎn)C（3,0）,

：.AE=0C=3,0A=C￡=4,

I1

9

/.SAABE=—AE0A=—x3x4=6,

22

故答案為：6；

②設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（3,優(yōu)）.

⑺???點(diǎn)4坐標(biāo)為（。,4）,點(diǎn)8坐標(biāo)為（4,0）,

5Ap旗=5AAsc,=；°B,OA=；x4x4=8-

8AABE=6,

S"AB>S^QE?

???點(diǎn)P在點(diǎn)E上方，連接跖(如圖1).根據(jù)題意得

解圖1

?++S"BE=8,

/.-AEPE+-AEOA+-PEBC=^,

222

/.gx3（m-3）+；x3x4+：（根-3）x1=8,

/.m=5.

■.當(dāng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（3,5）.

（"）點(diǎn)尸在點(diǎn)C的下方，連接AC（如圖2）.

解圖2

Si.VAiRoCc=-2BC-OA=2-xlx4=2.

?s>q

?.點(diǎn)尸在點(diǎn)c的下方，根據(jù)題意得

-S^PAC+SMBC+S"BC=8,

\-OCPC+-BCOA+-PCBC=8,

222

m=—3.

??當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,-3).

(2)(2)SAAOF=SAQBF,如圖3所小:

??AOB~S^QOB，

???△AOB與△QOB是以AB為同底的三角形，高分別為：。4、Q.C,

OA=CQ,

二點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,4),

故答案為：(3,4).

【點(diǎn)睛】

本題是三角形綜合題，主要考查了圖形與點(diǎn)的坐標(biāo)、矩形的判定與性質(zhì)、三角形面積的計

算等知識，熟練掌握圖形與點(diǎn)的坐標(biāo)，靈活運(yùn)用割補(bǔ)法表示三角形面積列出方程是解題的

關(guān)鍵.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,3),

點(diǎn)C在X軸的負(fù)半軸上，且AC=6.

⑴直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo).

2

(2)在y軸上是否存在點(diǎn)P,使得以POB=『SAABC若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請說明

理由.

⑶把點(diǎn)C往上平移3個單位得到點(diǎn)H,作射線CH,連接BH,點(diǎn)M在射線CH上運(yùn)動(不與點(diǎn)

C、H重合).試探究NHBM,ZBMA,NMAC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

解析：⑴C(-2,0);⑵點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,6)或(0,-6)；⑶。BMA=NMAC土NHBM,證明見解析.

【分析】

⑴由點(diǎn)A坐標(biāo)可得OA=4,再根據(jù)C點(diǎn)X軸負(fù)半軸上，AC=6即可求得答案；

2_

(2)先求出SAABC=9,SABOP=OP,再根據(jù)SAPOB=]SAABC,可得OP=6,即可寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶先得到點(diǎn)H的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)可得到BH//AC,然后根據(jù)點(diǎn)M在射線CH上，

分點(diǎn)M在線段CH上與不在線段CH上兩種情況分別進(jìn)行討論即可得.

【詳解】

(I)-/A(4,0),

/.OA=4,

.「C點(diǎn)x軸負(fù)半軸上，AC=6,

/.OC=AC-OA=2,

:C(-2,0)；

(2)-/B(2,3),

:SAABC=gx6x3=9,SABOP=gOPx2=OP,

又SAPOB=_SAABC,

2

/.OP=-x9=6,

3

.?.點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,6)或(0,-6)；

(3)NBMA=NMAC士NHBM,證明如下：

???把點(diǎn)C往上平移3個單位得到點(diǎn)H,C(-2,0),

.H(-2,3),

文:B(2,3),

BH//AC；

如圖1,當(dāng)點(diǎn)M在線段HC上時，過點(diǎn)M作MN//AC,

/.ZMAC=ZAMN,MN//HB,

/.ZHBM=ZBMN,

ZBMA=ZBMN+NAMN,

ZBMA=NHBM+ZMAC；

如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在射線CH上但不在線段HC上時，過點(diǎn)M作MN〃AC,

ZMAC=ZAMN,MN//HB,

/.ZHBM=ZBMN,

ZBMA=ZAMN-ZBMN,

ZBMA=ZMAC-ZHBM；

綜上，ZBMA=ZMAC+ZHBM.

【點(diǎn)睛】

本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，三角形的面積，點(diǎn)的平移，平行線的判定與性質(zhì)等知識，綜合性較

強(qiáng)，正確進(jìn)行分類并準(zhǔn)確畫出圖形是解題的關(guān)鍵.

7.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，A(a,0),C(b,2),且滿足(0+2了+后工=。，過

C作CBJL元軸于B,

(1)求a,b的值；

(2)在y軸上是否存在點(diǎn)P,使得△ABC和4OCP的面積相等，若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，

若不存在，試說明理由.

(3)若過B作BDIIAC交y軸于D,且AE,DE分別平分NCAB,ZODB,如圖2,圖3,

①求：ZCAB+ZODB的度數(shù)；

②求：ZAED的度數(shù).

解析：(1)a=-2,b=2；(2)P(0,-4)或(0,4)；(3)①NCAB+NODB=90°；

②NAED=45°.

【分析】

(1)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求得a、b的值；(2)先求得SAABC=4,設(shè)P(0,t),根據(jù)

SA0Pc=g0Px2=gxMx2=4求得t值，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)①已知BDIIAC,根據(jù)

兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得NCAB=ZOBD,由NOBD+zODB=90°,即可得NCAB+

ZODB=90°；②根據(jù)角平分線的定義及①中的結(jié)論，可求得N3+N4=45。；過點(diǎn)E作

EFIIAC,即可得EFUBDIIAC,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得N3=N1,Z2=Z4,由此求得

ZAED=Z1+Z2=Z4+N3=45°.

【詳解】

(1)???(a+2)2+V^2=0,

a+2=0,b-2=0,

a=-2,b=2；

(2)a=-2,b=2,

/.A(-2,0),C(2,2),

「?SAABC=—AB?BC=-X4X2=4；

設(shè)P(0,t),

SAOPC=|oPx2=|x|r|X2=M=4;

.t=4或t=-4,

P(0,-4)或(0,4).

(3)①BDIIAC,

ZCAB=ZOBD,

ZOBD+ZODB=90",

ZCAB+ZODB=90°；

②,：AE,DE分別平分NCAB,ZODB,

z3=-ZCAB,z4=-ZODB,

22

ZCAB+ZODB=90",

z3+Z4=-ZCAB+-ZODB=45°,

22

過點(diǎn)E作EFIIAC,

BDIIAC,

EFIIBDIIAC,

Z3=Z1,Z2=N4,

ZAED=Z1+Z2=N4+Z3=45".

【點(diǎn)睛】

本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟知非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積公式及平行線的性質(zhì)是解

決問題的關(guān)鍵.

8.己知，ABWDE,點(diǎn)C在AB上方，連接BC、CD.

（1）如圖1,求證：ZBCD+ZCDE=AABC-,

（2）如圖2,過點(diǎn)C作CF_L8C交ED的延長線于點(diǎn)F,探究NABC和NF之間的數(shù)量關(guān)

系；

（3）如圖3,在（2）的條件下，NCFD的平分線交CD于點(diǎn)G,連接GB并延長至點(diǎn)H,

若BH平分NABC,求NBGD-ZCGF的值.

圖1圖3

圖2

解析：（1）證明見解析；（2）ZABC-ZF=90°；（3）45°.

【分析】

（1）過點(diǎn)C作b〃AB,先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得ZABC+N3CF=180。，再根據(jù)平行公

理推論可得C尸DE,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NCDE+/3CE+/3CD=180。，由此即

可得證；

（2）過點(diǎn)C作CG〃A3,同（1）的方法，先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出

ZABC+ZBCG=180°,/F+/3CG+/3CF=180。，從而可得Z/WC-ZF=N3CF,再

根據(jù)垂直的定義可得N3B=90。，由此即可得出結(jié)論；

（3）過點(diǎn)G作GMAB,延長FG至點(diǎn)N,先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得=,

ZMGN=NDFG,從而可得/MGH-/MGN=ZABH-NDFG,再根據(jù)角平分線的定義、

結(jié)合（2）的結(jié)論可得NMGH-/MGN=45。，然后根據(jù)角的和差、對頂角相等可得

ZBGD-ZCGF=ZMGH-AMGN,由此即可得出答案.

【詳解】

證明：（1）如圖，過點(diǎn)C作C尸〃A5,

ABDE,

CFPDE,

ZCDE+ZDCF=180°,即ZCDE+ZBCF+ZBCD=180°,

ZCDE+ZBCF+ZBCD=ZABC+ZBCF,

NBCD+NCDE=ZABC；

(2)如圖，過點(diǎn)C作CG〃AB,

ZABC+ZBCG=180°,

ABDE,

:.CGDE,

/.ZF+ZFCG=180°,即Nb+NBCG+ZBCF=180。，

/.ZF+/BCG+/BCF=ZABC+NBCG,

.\ZABC-ZF=ZBCF,

CFYBC,

.\ZBCF=90°,

.\ZABC-ZF=90°；

(3)如圖，過點(diǎn)G作GMAB,延長FG至點(diǎn)N,

:.ZABH=ZMGH,

AB\DE,

:.GMDE,

:.ZMGN=/DFG,

而平分ZABC,FN平分/CFD,

ZABH=-ZABC,ZDFG=-ZCFD,

22

由（2）可知，ZABC-ZCFD=90°f

ZMGH-ZMGN=ZABH-ZDFG=-ZABC--ZCFD=45°,

22

J/BGD=ZMGH+ZMGD

又［ZCGF=ZDGN=/MGN+ZMGD'

ZBGD-ZCGF=ZMGH-ZMGN=45°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)、對頂角相等、角平分線的定義等知識點(diǎn)，熟練掌握平行線的性

質(zhì)是解題關(guān)鍵.

9.如圖1,已知直線mil”，AB是一個平面鏡，光線從直線m上的點(diǎn)O射出，在平面鏡

4B上經(jīng)點(diǎn)P反射后，到達(dá)直線"上的點(diǎn)Q.我們稱OP為入射光線，PQ為反射光線，鏡面

反射有如下性質(zhì)：入射光線與平面鏡的夾角等于反射光線與平面鏡的夾角，即

NOPA二NQPB.

DO

inmm

n

QBn

圖1圖2圖3

(1)如圖L若NOPQ=82。，求NORA的度數(shù)；

(2)如圖2,若2Aop=43。,NBQP=49。，求2。如的度數(shù);

(3)如圖3,再放置3塊平面鏡，其中兩塊平面鏡在直線m和。上，另一塊在兩直線之

間，四塊平面鏡構(gòu)成四邊形488,光線從點(diǎn)。以適當(dāng)?shù)慕嵌壬涑龊?，其傳播路徑?/p>

。-PfQ-03P3...試判斷NOPQ和NORQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

解析：(1)49。，(2)44°,(3)N0PQ=N0RQ

【分析】

(1)根據(jù)NOPA=NQPB.可求出NOPA的度數(shù)；

(2)由NAOP=43。，NBQP=49。可求出NOPQ的度數(shù)，轉(zhuǎn)化為(1)來解決問題；

(3)由(2)推理可知：ZOPQ=NAOP+ABQP,ZORQ=NDOR+NRQC,從而

ZOPQ=NORQ.

【詳解】

解：(1),「N0R4=NQPB,NOPQ=82°,

/.ZOPA=(180°-ZOPQ)x；=(180°-82°)x；=49。,

(2)作PCIIm,

*/mIIn,

mIIPCWn,

：.ZAOP=NOPC=43°,

NBQP=NQPC=49°,

/.ZOPQ=NOPC+NQPC=43°+49°=92°,

ZOPA=(180°-ZOPQ)X；=(180°-92°)x/44。，

圖2

(3)ZOPQ=NORQ.

理由如下：由(2)可知：NOPQ=NAOP+NBQP,NORQ=NDOR+NRQC,

???入射光線與平面鏡的夾角等于反射光線與平面鏡的夾角，

ZAOP=NDOR,ZBQP=ZRQC,

ZOPQ=NORQ.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行線的性質(zhì)和入射角等于反射角的規(guī)定，解決本題的關(guān)鍵是注意問題的

設(shè)置環(huán)環(huán)相扣、前為后用的設(shè)置目的.

10.如圖，已知直線AB//射線CO,NCEB=110。.尸是射線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作

P0/EC交射線8于點(diǎn)Q,連接CP.作=交直線A3于點(diǎn)/，CG平分

ZECF.

(1)若點(diǎn)尸，F(xiàn),G都在點(diǎn)E的右側(cè).

①求/PCG的度數(shù)；

②若ZEGC-ZECG=30。，求NCPQ的度數(shù).(不能使用"三角形的內(nèi)角和是180?！敝苯咏?/p>

題)

(2)在點(diǎn)尸的運(yùn)動過程中，是否存在這樣的偕形，使NEGC:NEFC=3:2?若存在,直

接寫出NCPQ的度數(shù)；若不存在.請說明理由.

解析：(1)①35°；(2)55°；(2)存在，52.5?；?.5°

【分析】

(1)①依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到NPCG的度數(shù)；

②依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到NECG=NGCG20。，再根據(jù)PQIICE,

即可得出NCPQ=NECP=60°；

(2)設(shè)NEGC=3x,ZEFC=2x,則NGCF=3x-2x=x,分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)G、F在點(diǎn)E

的右側(cè)時，②當(dāng)點(diǎn)G、F在點(diǎn)E的左側(cè)時，依據(jù)等量關(guān)系列方程求解即可.

【詳解】

解：(1)①CD,

ZCEB+N￡CQ=180°,

ZCEB=110°,

：.ZECQ=70°,

ZPCF=NPCQ,CG平分NECF,

：.ZPCG=ZPCF+NFCG=gNQCF+gNFCE=ZECQ=35°；

②；ABWCD,

ZQCG=NEGC,

ZQCG+NECG=ZECQ=70°,

：.ZEGC+NECG=70°,

又：ZEGC-ZECG=30°,

ZEGC=50°,ZECG=20°,

/.ZECG=NGCF=20°,ZPCF=NPCQ=1(70°-40°)=15°,

?/PQIICE,

/.ZCPQ=ZECP=NECQ-ZPCQ=70°-15°=55°.

(2)52.5?；?.5。,

設(shè)NEGC=3x°,ZEFC=2x0,

ABIICD,

/.ZQCG=ZEGC=3x°,ZQCF=NEFC=2x\

則NGCF=4QCG-NQCF=3x°-2xo=x°,

/.ZPCF=NPCQ=gNFCQ=gNEFC=x°,

則NECG=NGCF=NPCF=ZPCD=x°,

,/ZECD=70°,

4x=70°,解得x=17.5。,

/.ZCPQ=3x=52.5°；

②當(dāng)點(diǎn)G、F在點(diǎn)E的左側(cè)時，反向延長CD到H,

,/ZEGC=3x°fZEFC=2x°,

：.ZGCH=NEGC=3x°,ZFCH=/EFC=2x°,

：.ZECG=NGCF=ZGCH-NFCH=x0,

,/ZCGF=180°-3x°,ZGCQ=70°+x°,

180-3x=70+x,

解得x=27.5,

/.ZFCQ=NECF+NECQ=27.5°x2+70°=125°,

ZPCQ=；NFCQ=62.5°,

ZCPQ=NECP=62.5°-55°=7.5°,

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯角相

等是解題的關(guān)鍵.

11.直線ABUCD,點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接AP,CP.

(1)如圖①，點(diǎn)P在直線48,C。之間，當(dāng)NBAP=60。，NOCP=20。時，求NAPC的度

數(shù)；

(2)如圖②，點(diǎn)P在直線AB,CD之間，NBAP與NOCP的角平分線相交于K,寫出

NAKC與NAPC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

29

(3)如圖③，點(diǎn)P在直線C。下方，當(dāng)NBAK=[NBAP,NOCK=：NOCP時，寫出

NAKC與NAPC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

解析：(1)80。；(2)NAKC=gzAPC,理由見解析；(3)NAKC=APC,理由見解

23

析

【分析】

(1)先過P作PEIIAB,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到NAPE=NBAP,NCPE=NDCP,再根

據(jù)N4PC=ZAPE+ZCPE=ZBAP+NDCP進(jìn)行計算即可；

(2)過K作KEIIAB,根據(jù)KEIIABIICO,可得NAKE=NBAK,ZCKE=ADCK,進(jìn)而得到

ZAKC=NAKE+NCKE=NBAK+NDCK,同理可得，ZAPC=NBAP+ZDCP,再根據(jù)角平分線

的定義，得出NBAK+NDCK=：NBAP+qNDCP=；(ZBAP+ADCP)=qNAPC,進(jìn)而得

到NAKC=|ZAPC-,

(3)過K作KEIIAB,KEWABWCD,可得NBAK=NAKE,NDCK=NCKE,進(jìn)而得到

ZAKC=NBAK-ZDCK,同理可得，ZAPC=/BAP-ZDCP,再根據(jù)已知得出/BAK-

2222

ZDCK=-NBAP--ZDCP=-ZAPC,進(jìn)而得到NBAK-ZDCK=-ZAPC.

3333

【詳解】

(1)如圖1,過P作PEIIAB,

■：ABWCD,

：.PEWABWCD,

：.ZAPE=ZBAP,ZCPE=NDCP,

：.ZAPC=NAPE+NCPE=NBAP+Z.DCP=60°+20°=80°；

(2)ZAKC=gZAPC.

理由：如圖2,過K作KEWAB,

■：ABWCD,

：.KEWABWCD,

：.ZAKE=NBAK,ZCKE=NDCK,

：.ZAKC=NAKE+NCKE=NBAK+ZDCK,

過P作PFIIAB,

同理可得，ZAPC=NBAP+ZDCP,

ZBAP與NDCP的角平分線相交于點(diǎn)K,

：.ZBAK+NDCK=；NBAP+^ADCP=J(ZBAP+ZDCP)=；NAPC,

：.ZAKC=；NAPC；

,、2

(3)ZAKC=-ZAPC

3

理由：如圖3,過K作KEWAB,

■：ABWCD,

：.KEWABWCD,

：.ZBAK=NAKE,ZDCK=ZCKE,

：.ZAKC=NAKE-ZCKE=NBAK-ZDCK,

過P作PFIIAB,

同理可得，NAPC=ZBAP-NDCP,

22

■:NBAK=-NBAP,ZDCK=—ZDCP,

33

2222

:.NBAK-NDCK=-NBAP——2DCP=-QBAP-ZDCP)=-2APC,

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是作出平行線構(gòu)造內(nèi)錯角相等計

算.

12.已知點(diǎn)C在射線0A上.

（1）如圖①，CD//OE,若NAOB=90。，NOCD=120。，求NBOE的度數(shù)；

（2）在①中，將射線OE沿射線OB平移得OF（如圖②），若NAOB=a,探究NOC。

與NB0E的關(guān)系（用含a的代數(shù)式表示）

（3）在②中，過點(diǎn)。'作OB的垂線，與NOC。的平分線交于點(diǎn)P（如圖③），若NCPO,

=90",探究NAOB與NB0E的關(guān)系.

解析：(1)150°；(2)NOCO+NBO'E'=360--a；(3)NAOB=NBO'E'

【分析】

(1)先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NAOE的度數(shù)，再根據(jù)直角、周角的定義即可求得NBOE的

度數(shù)；

(2)如圖②，過。點(diǎn)作OFIICD,根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)可得NOCD、NB。史的數(shù)量關(guān)

系；

(3)由已知推出CPUOB,得到NAO8+NPCO=180。，結(jié)合角平分線的定義可推出

ZOCD=2NPCO=360°-2ZAOB,根據(jù)(2)ZOCD+ZBO'E'=360°-NAOB,進(jìn)而推出

ZAOB=NBO'E'.

【詳解】

解：(1)???CDIIOE,

：.ZAOE=NOCD=120°,

ZSO￡=360°-ZAOE-NAOB=360°-90°-120°=150°；

(2)NOCD+NBOE=360Ja.

證明：如圖②，過。點(diǎn)作OFIICD,

圖②

CDIIO'E',

：.OF11O'E',

：.Z4OF=180°-ZOCD,ZBOF=NE,O,O=180°-ZBO'E1,

：.Z40B=ZAOF+Z.BOF=180°-ZOCD+180°-ZBO'E'=360°-(ZOCD+ZBOE)=a,

：.ZOCD+ZBO'F=360°-a；

(3)ZAOB=2BO'E'.

證明：NCPO'=90°,

PO'rCP,

-，-PO'±OB,

：.CPUOB,

：.ZPCO+ZAOB=180°,

：.2ZPCO=3600-2ZAOB,

rCP是NOCD的平分線，

/.ZOCD=2ZPCO=3600-2ZAOB,

■：由（2）知，NOCO+NBOE=360Ja=360。-/AOB,

3600-2ZAOB+ABO,F=360°-ZAOB,

：.ZAOB=NBO'E'.

【點(diǎn)睛】

此題考查了平行線的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，直角的定義，角平分線的定義，正確作出

輔助線是解決問題的關(guān)鍵.

13.已知AB〃C。，點(diǎn)E在與CO之間.

（1）圖1中，試說明：ABED=ZABE+ZCDE；

（2）圖2中，的平分線與NCDE的平分線相交于點(diǎn)F,請利用（1）的結(jié)論說明：

ZBED=2ZBFD.

（3）圖3中，ZABE的平分線與ZCDE的平分線相交于點(diǎn)F，請直接寫出/BED馬

ZBFD之間的數(shù)量關(guān)系.

解析：（1）說明過程請看解答；（2）說明過程請看解答；（3）ZB￡D=3600-2ZBFD.

【分析】

（1）圖1中，過點(diǎn)E作EGIIAB,則NBEG=N4BE,根據(jù)ABIICO,EGIIAB,所以

CDIIEG,所以NDEG=ZCDE,進(jìn)而可得NBED=NABE+NCDE；

（2）圖2中，根據(jù)NABE的平分線與NCDE的平分線相交于點(diǎn)F,結(jié)合（1）的結(jié)論即可說

明：NBED=2NBFD；

（3）圖3中，根據(jù)NABE的平分線與NCDE的平分線相交于點(diǎn)F,過點(diǎn)E作EGIIAB,貝U

NBEG+N4BE=180°,因?yàn)锳BUCO,EGWAB,所以COIIEG,所以NOEG+NCOE=180°,再

結(jié)合（1）的結(jié)論即可說明NBED與NBFD之間的數(shù)量關(guān)系.

【詳解】

解：（1）如圖1中，過點(diǎn)E作EGIIA8,

則NBEG=NABE,

所以NDEG=ZCDE,

所以NBEG+NDEG=NABE+ZCDE,

即NBED=ZABE+NCDE；

(2)圖2中，因?yàn)锽F平分NABE,

所以NABE=2NABF,

因?yàn)镺F平分NCDE,

所以NCDE=2NCDF,

所以NABE+NCDE=2NABF+2NCDF=2(ZABF+Z.CDF),

由(1)得：因?yàn)锳BIICD,

所以NBED=NABE+NCDE,

ZBFD=NABF+NCDF,

所以NBED=2NBFD.

(3)ZBED=360°-2ZBFD.

圖3中，過點(diǎn)E作EGWAB,

所以CD"EG,

所以NDEG+ZCDf=180°,

所以NBEG+NDEG=360°-(ZABE+NCDE),

即NBED=360°-(ZABE+NCDE),

因?yàn)锽F平分NABE,

所以NABE=2NABF,

因?yàn)镺F平分NCDE,

所以NCDE=2NCDF,

ZBED=360°-2（ZABF+NCDF）,

由（1）得：因?yàn)锳BIICD,

所以NBFD=ZABF+NCDF,

所以NBED=360°-2ZBFD.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì).

14.如圖，已知直線“4，點(diǎn)AB在直線4上，點(diǎn)C、。在直線4上，點(diǎn)C在點(diǎn)。的右側(cè),

ZADC=80。,ZABC=（2w）。,8E平分ZABCQE平分直線班、DE交于點(diǎn)、E.

（1）若”=20時，貝！］ZB￡D=；

（2）試求出/BED的度數(shù)（用含”的代數(shù)式表示）；

（3）將線段2C向右平行移動，其他條件不變，請畫出相應(yīng)圖形，并直接寫出/BED的度

數(shù).（用含〃的代數(shù)式表示）

解析：（1）60°；（2）n°+40°；（3）n°+40°或n°-40°或2205

【分析】

（1）過點(diǎn)E作EFIIAB,然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，即可求NBED的度數(shù)；

（2）同（1）中方法求解即可；

（3）分當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)和當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)，再分三種情況，討論，分別過點(diǎn)E作

EFWAB,由角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，以及角的和差計算即可.

【詳解】

解：（1）當(dāng)。=20時，NABC=40°,

過E作EFIIAB,則EFIICD,

ZBEF=NABE,ZDEFNCDE,

-：ABC,DE平分NAOC,

/.ZBEF=NABE=20Q,ZDEF=NCDE=40°,

：.ZBED=ZBEF+NDEF=60°；

DC

(2)同(1)可知：

ZBEF=ZABE=n°,ZDEF=NCDE=40°,

：.ZBED=ZBEF+NDEF=n°+40°；

(3)當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)時，由(2)可知：ZBED=n0+40°；

當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)時，

如圖所示,過點(diǎn)E作EFIIAB,

BE平分NABC,DE平分NADC,ZABC=2n°,ZADC=80°,

：.ZABE=^ABC=n°,ZCDG=5N4DC=40°,

ABWCDIIEF,

：.ZBEF=NABE=n0,ZCDG=ZDEF=40°,

ZBED=NBEF-ZDEF=n°-40°；

如圖所示，過點(diǎn)E作EFIIAB,

平分NABC,DE平分NADC,ZABC=2na,ZADC=80",

：.ZABE=^AABC=n°,ZCOG=gNZ\DC=40°,

>4811CDIIEF,

：.ZBEF=1800-ZABE=180°-n°,ZCDE=NOEF=40°,

ZBEDSBEF+NDEF=180o-no+40o=220°-n°；

如圖所示,過點(diǎn)E作EFIIAB,

rBE平分NABC,OE平分NAOC,ZABC=n°,ZADC=70°,

：.ZABG=^ABC=n°,ZCDE=；NADC=40°,

ABIICDIIEF,

：.ZBEF=NABG=n°,ZCDE=ZDEF=40°,

ZBEDSBEF-NDEF=n°-40°；