第15講一元二次不等式的綜合問(wèn)題（三大題型歸納易錯(cuò)分層練）

第15講一元二次不等式的綜合問(wèn)題目錄TOC\o"13"\h\z\u題型歸納 1題型01簡(jiǎn)單的分式不等式 1題型02簡(jiǎn)單的一元二次不等式恒成立問(wèn)題 4題型03一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用 6易錯(cuò)歸納 9分層練習(xí) 10夯實(shí)基礎(chǔ) 10能力提升 16創(chuàng)新拓展 22題型01簡(jiǎn)單的分式不等式【解題策略】分式不等式的解法(1)對(duì)于比較簡(jiǎn)單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元二次不等式組求解，但要注意等價(jià)變形，保證分母不為零．(2)對(duì)于不等號(hào)右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項(xiàng)再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號(hào)右邊為零，然后再用上述方法求解【典例分析】【例1】例1解下列不等式：(1)eq\f(x＋1,2x－1)<0；(2)eq\f(1－x,3x＋5)≥0；(3)eq\f(x－1,x＋2)>1.解(1)原不等式可化為(x＋1)(2x－1)<0，∴－1<x<eq\f(1,2)，故原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<x<\f(1,2))))).(2)原不等式可化為eq\f(x－1,3x＋5)≤0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－13x＋5≤0，,3x＋5≠0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)≤x≤1，,x≠－\f(5,3)，))即－eq\f(5,3)<x≤1.故原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)<x≤1)))).(3)原不等式可化為eq\f(x－1,x＋2)－1>0，∴eq\f(x－1－x＋2,x＋2)>0，eq\f(－3,x＋2)>0，則x<－2.故原不等式的解集為{x|x<－2}．【變式演練】【變式1】（2324高一上·山東濰坊·期末）已知關(guān)于x的不等式的解集是，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)不等式的解集可得答案.【詳解】由得，因?yàn)椴坏仁降慕饧?，所以，解?故選：B【變式2】（2324高一上·河北滄州·期末）不等式的解集為．【答案】【分析】將分?jǐn)?shù)不等式轉(zhuǎn)換為與之等價(jià)的不等式組即可求解.【詳解】，即，則且．解得，不等式的解集為.故答案為：【變式3】解下列不等式：(1)eq\f(x＋1,x－3)≥0；(2)eq\f(5x＋1,x＋1)<3.解(1)不等式eq\f(x＋1,x－3)≥0可轉(zhuǎn)化成不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1x－3≥0，,x≠3.))解得x≤－1或x>3，即原不等式的解集為{x|x≤－1或x>3}．(2)不等式eq\f(5x＋1,x＋1)<3可化為eq\f(5x＋1,x＋1)－3<0，即eq\f(2x－1,x＋1)<0.所以2(x－1)(x＋1)<0，解得－1<x<1.所以原不等式的解集為{x|－1<x<1}．題型02簡(jiǎn)單的一元二次不等式恒成立問(wèn)題【解題策略】一元二次不等式恒成立問(wèn)題的解法(1)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，考慮x2的系數(shù)和對(duì)應(yīng)方程的判別式的符號(hào)這兩個(gè)方面．(2)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題：分離參數(shù)后，求相應(yīng)二次函數(shù)的最值，使參數(shù)大于(小于)這個(gè)最值【典例分析】【例2】對(duì)?x∈R，不等式mx2－mx－1<0，求m的取值范圍．解若m＝0，顯然－1<0恒成立；若m≠0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝m2＋4m<0))?解得－4<m<0.綜上，m的取值范圍為{m|－4<m≤0}．【變式演練】【變式1】（2324高一上·浙江金華·期末）若對(duì)于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)在上的最大值即得.【詳解】令函數(shù)，顯然在上單調(diào)遞減，，因?yàn)槿我?，不等式恒成立，于是，所?故選：A【變式2】．若關(guān)于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．答案{k|－3<k≤1}解析當(dāng)k＝1時(shí)，－1<0恒成立；當(dāng)k≠1時(shí)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－1<0，,k－12＋4k－1<0，))解得－3<k<1，因此實(shí)數(shù)k的取值范圍為{k|－3<k≤1}．【變式3】（2022高一上·江蘇南京·專題練習(xí)）對(duì)于不等式與沒(méi)有共同解，求的取值范圍．【答案】【分析】求得的解集，即可將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為時(shí)，的問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為恒成立，利用函數(shù)的單調(diào)性，求得當(dāng)時(shí)的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)不等式恒成立的意義得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解不等式得.“兩不等式和沒(méi)有共同解”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，恒成立”即當(dāng)時(shí)恒成立.當(dāng)時(shí)，要使得，只需使得恒成立即恒成立.由于為區(qū)間上的單調(diào)增函數(shù)當(dāng)時(shí)的取值范圍是所以，即的取值范圍為.題型03一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用【解題策略】利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟(1)選取合適的字母表示題目中的未知數(shù)．(2)由題目中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組)．(3)求解所列出的不等式(組)．(4)結(jié)合題目的實(shí)際意義確定答案【典例分析】【例3】某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元的價(jià)格收購(gòu)某農(nóng)產(chǎn)品，并每100元納稅10元(又稱征稅率為10個(gè)百分點(diǎn))，計(jì)劃可收購(gòu)a萬(wàn)擔(dān)．政府為了鼓勵(lì)收購(gòu)公司多收購(gòu)這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅率降低x(x>0)個(gè)百分點(diǎn)，預(yù)測(cè)收購(gòu)量可增加2x個(gè)百分點(diǎn)．(1)寫出降稅后稅收y(萬(wàn)元)與x的關(guān)系式；(2)要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)節(jié)后，不少于原計(jì)劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍．解(1)降低稅率后的稅率為(10－x)%，農(nóng)產(chǎn)品的收購(gòu)量為a(1＋2x%)萬(wàn)擔(dān)，收購(gòu)總金額為200a(1＋2x%)萬(wàn)元．依題意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝eq\f(1,50)a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)．(2)原計(jì)劃稅收為200a×10%＝20a(萬(wàn)元)．依題意得eq\f(1,50)a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化簡(jiǎn)得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.又因?yàn)?<x<10，所以0<x≤2.即x的取值范圍為{x|0<x≤2}．【變式演練】【變式1】（2324高一上·河北滄州·階段練習(xí)）某商店購(gòu)進(jìn)一批紀(jì)念章，每枚的最低售價(jià)為15元，若每枚按最低售價(jià)銷售，每天能賣出45枚，每枚售價(jià)每提高1元，日銷售量將減少3枚，為了使這批紀(jì)念章每天獲得600元以上的銷售額，則這批紀(jì)念章的銷售單價(jià)（單位：元）的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得出關(guān)于的不等式，再結(jié)合可得出答案.【詳解】由題意，得，即，∴，解得，又每枚的最低售價(jià)為15元，∴.故選：B.【變式2】（2021高一·全國(guó)·課后作業(yè)）甲廠以x千克/時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每小時(shí)可獲得利潤(rùn)元．要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3000元，則x的最小值是．【答案】3【分析】根據(jù)題意，由求解.【詳解】要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3000元，則，整理得，又，所以，解得．故x的最小值是3．故答案為：3【變式3】（2324高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）2022年2月24日,俄烏爆發(fā)戰(zhàn)爭(zhēng)，至今戰(zhàn)火未熄.2023年10月7日巴以又爆發(fā)沖突.與以往戰(zhàn)爭(zhēng)不同的是，無(wú)人機(jī)在戰(zhàn)場(chǎng)中起到了偵察和情報(bào)收集，攻擊敵方目標(biāo)和反偵察等多種功能，扮演了重要的角色.某無(wú)人機(jī)企業(yè)原有200名科技人員，年人均工資萬(wàn)元，現(xiàn)加大對(duì)無(wú)人機(jī)研發(fā)的投入，該企業(yè)把原有科技人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員名且，調(diào)整后研發(fā)人員的年人均工資增加，技術(shù)人員的年人均工資調(diào)整為萬(wàn)元.(1)若要使調(diào)整后研發(fā)人員的年總工資不低于調(diào)整前200名科技人員的年總工資，求調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為多少人?(2)為了激勵(lì)研發(fā)人員的工作熱情和保持技術(shù)人員的工作積極性，企業(yè)決定在工資方面要同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①研發(fā)人員的年總工資始終不低于技術(shù)人員的年總工資;②技術(shù)人員的年人均工資始終不減少.請(qǐng)問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)，滿足以上兩個(gè)條件，若存在，求出的范圍;若不存在,說(shuō)明理由.【答案】(1)100(2)存在，【分析】（1）由條件“調(diào)整后研發(fā)人員的年總工資不低于調(diào)整前200名科技人員的年總工資”建立不等關(guān)系可求解；（2）根據(jù)條件①②建立不等關(guān)系，假設(shè)存在實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，由基本不等式及一次函數(shù)求最值可得結(jié)果.【詳解】（1）依題意可得調(diào)整后研發(fā)人員的年人均工資為萬(wàn)元,則,整理得,解得,因?yàn)榍?所以,故,所以要使這名研發(fā)人員的年總工資不低于調(diào)整前200名科技人員的年總工資,調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為100人.（2）由條件①研發(fā)人員的年總工資始終不低于技術(shù)人員的年總工資，得,整理得;由條件②技術(shù)人員年人均工資不減少,得,解得假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù),使得技術(shù)人員在已知范圍內(nèi)調(diào)整后,滿足以上兩個(gè)條件,即恒成立，因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,所以,又因?yàn)?當(dāng)時(shí),取得最大值11,所以所以,即,即存在這樣的滿足條件,其范圍為.易錯(cuò)點(diǎn)認(rèn)為分式不等式與一元二次不等式等價(jià)致錯(cuò)[山東濰坊三縣2022期中聯(lián)考]若關(guān)于x的不等式eq\f(3x＋a,x－1)≤1的解集為[－eq\f(5,2)，1)，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－6B．－eq\f(7,2)C.eq\f(3,2)D．4【解析】由eq\f(3x＋a,x－1)≤1?eq\f(2x＋a＋1,x－1)≤0?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2x＋a＋1）（x－1）≤0，,x－1≠0，))由題意得－eq\f(a＋1,2)＝－eq\f(5,2)，解得a＝4.故選D.【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2324高一上·寧夏固原·階段練習(xí)）不等式的解集為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)分式不等式的解法求得正確答案.【詳解】，解得或，所以不等式的解集為或.故選：C2．（2324高一上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】解絕對(duì)值不等式和分式不等式，得到解集，由真包含關(guān)系得到答案.【詳解】，，等價(jià)于，解得，其中為的真子集，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B3．（2324高一上·北京東城·期中）已知不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先對(duì)的取值進(jìn)行分類討論，在時(shí)，需結(jié)合二次函數(shù)的圖象分析，得到與之等價(jià)的不等式組，求解即得.【詳解】因不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則①當(dāng)時(shí)，不等式為，恒成立，符合題意；②當(dāng)時(shí)，不等式在R上恒成立等價(jià)于，解得：.綜上可得：實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：C.4．（2324高一上·北京·階段練習(xí)）某市有塊三角形荒地，如圖所示，（單位：米），現(xiàn)市政府要在荒地中開(kāi)辟一塊矩形綠地，其中點(diǎn)分別在線段上，若要求綠地的面積不少于7500平方米，則的長(zhǎng)度（單位：米）范圍是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)米，表示出綠地面積，根據(jù)不等式求的長(zhǎng)度范圍.【詳解】中，，為等腰直角三角形，設(shè)米，則米，米，依題意有，解得.即的長(zhǎng)度（單位：米）范圍是.故選：B.二、多選題5．（2324高一上·廣東·階段練習(xí)）若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】CD【分析】解不等式得到，根據(jù)充分不必要條件得到，得到答案.【詳解】，則，若“”是“”的充分不必要條件，則，CD滿足.故選：CD.6．（2223高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）有純農(nóng)藥液一桶，倒出8升后用水加滿，然后又倒出4升后再用水加滿，此時(shí)桶中所含的純農(nóng)藥藥液不超過(guò)桶的容積的，則桶的容積可能為（

）A．7 B．9 C．11 D．13【答案】BC【分析】根據(jù)題意列出不等式求解即可.【詳解】設(shè)桶的容積為x，根據(jù)題意可得關(guān)于x的一元二次不等式：，且，化簡(jiǎn)可得，，故選：BC三、填空題7．（2324高一上·上海寶山·期末）不等式的解集為.【答案】或.【分析】將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，再解得即可.【詳解】不等式等價(jià)于，解得或，所以不等式的解集為或.故答案為：或8．（2223高一上·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）某種襯衫進(jìn)貨價(jià)為每件元，若以元一件出售，則每天能賣出件；若每件提價(jià)元，則每天賣出件數(shù)將減少一件，為使每天出售襯衫的凈收入不低于元，則每件襯衫的售價(jià)的取值范圍是．(假設(shè)每件襯衫的售價(jià)是m)【答案】【分析】由每件襯衫的售價(jià)是元，可知每天的銷售量為件，那么可以得到每天出售襯衫的凈收入，令其大于等于，構(gòu)建不等式解不等即可.【詳解】假設(shè)每件襯衫的售價(jià)是元，則每天的銷售量為件，每天出售襯衫的凈收入，令,，，解得,故答案為：.9．（2324高一上·上海青浦·期末）若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由題意可得對(duì)任意的恒成立，故只需，結(jié)合基本不等式求解即可，注意取等條件.【詳解】由題意對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，故只需，而由基本不等式可得，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題10．（2324高一上·北京·期中）若二次函數(shù)滿足，且(1)確定函數(shù)的解析式；(2)若在區(qū)間上不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）依題意，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為則在上恒成立，令，利用單調(diào)性求最小值即可.【詳解】（1）設(shè)二次函數(shù)，則，

已知，所以，解得，又，得，.（2）在區(qū)間上不等式恒成立，則在上恒成立，令，可知在上單調(diào)遞減，則，得所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.11．（2324高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）某縣地處水鄉(xiāng)，縣政府原計(jì)劃從今年起填湖圍造一部分生產(chǎn)和生活用地，但根據(jù)前幾年抗洪救災(zāi)得到的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)和環(huán)境保護(hù)、生態(tài)平衡的要求，準(zhǔn)備重新研究修改計(jì)劃，為了尋求合理的計(jì)劃，需要研究以下問(wèn)題：(1)若按原計(jì)劃填湖造地，水面的減少必然導(dǎo)致蓄水能力的下降，為了保證防洪能力不會(huì)下降，除了填湖每平方千米b元費(fèi)用外，還需要增加排水設(shè)備費(fèi)用，且排水設(shè)備所需經(jīng)費(fèi)與當(dāng)年所填湖造地面積x（單位：平方千米）的平方成正比，其比例系數(shù)為a，又知每平方千米地面的年平均收益為c元（其中a，b，c均為常數(shù)），若按原計(jì)劃填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，試求所填面積x的最大值．(2)如果以每年1%的速度減少填湖造地的新增面積，并為了保證湖的蓄洪能力和環(huán)保要求，填湖造地的總面積三年內(nèi)不能超過(guò)現(xiàn)有水面面積的，求今年填湖造地的面積最多只能占現(xiàn)有水面的百分之幾．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)8.4%【分析】(1)根據(jù)題意，結(jié)合收益大于支出，列出不等式，即可求解；（2）首先分別設(shè)該縣的現(xiàn)有水面面積為m平方千米，今年填湖造地的面積為n平方千米，再根據(jù)題意，列出不等式，即可求解.【詳解】（1）收益不小于支出的條件可以表示為．所以，．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不符合實(shí)際情況；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)所填面積的最大值為平方千米．（2）設(shè)該縣的現(xiàn)有水面面積為m平方千米，今年填湖造地的面積為n平方千米，則，即，所以今年填湖造地的面積最多只能占現(xiàn)有水面的8.4%【能力提升】一、單選題1．（2223高二下·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）某地每年消耗木材約20萬(wàn)立方米，每立方米售價(jià)480元，為了減少木材消耗，決定按征收木材稅，這樣，每年的木材消耗量減少萬(wàn)立方米，為了既減少木材消耗又保證稅金收入每年不少于180萬(wàn)元，t的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，列出不等式，即可求解.【詳解】由題意，每年消耗木材為萬(wàn)立方米，所以每年稅金為，要保證稅金收入每年不少于萬(wàn)元，可得且，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.2．（2324高一上·浙江寧波·階段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】計(jì)算分式不等式解出集合后，結(jié)合交集運(yùn)算即可得.【詳解】由，即，解得，故，又，故.故選：B.3．（2324高一上·云南昆明·期中）命題：R，是假命題，則實(shí)數(shù)的值可能是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】先由p是假命題，得到是真命題，求出b的范圍，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證.【詳解】由，，得，.由于命題p是假命題，可知是真命題，所以在時(shí)恒成立，則，解得.故選：CD.4．（2324高一上·云南昆明·期中）若不等式的解集為R，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分類討論，結(jié)合一元二次不等式解集的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)需滿足，即，求得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：C二、多選題5．（2223高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）某商場(chǎng)若將進(jìn)貨單價(jià)為元的商品按每件元出售，每天可銷售件，現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價(jià)來(lái)增加利潤(rùn)．已知這種商品每件銷售價(jià)提高元，銷售量就要減少件．那么要保證每天所賺的利潤(rùn)在元以上，每件銷售價(jià)可能為（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】AB【分析】確定每件商品的利潤(rùn)、銷售量，根據(jù)利潤(rùn)=每件利潤(rùn)×銷售量，得出銷售利潤(rùn)y（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系，解不等式可得答案.【詳解】設(shè)銷售價(jià)定為每件x元，利潤(rùn)為y元，則，依題意有，即，解得，所以每件銷售價(jià)應(yīng)為12元到16元之間，故每件銷售價(jià)可能為13元或15元，故選︰AB．6．（2324高一上·安徽滁州·期中）已知不等式的解集為或，則（

）A．B．C．不等式的解集為D．不等式的解集為【答案】BCD【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集，先求得的關(guān)系式，然后對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榛?，則，且關(guān)于的方程的兩根分別為，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以.對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，不在不等式的解集內(nèi)，令，則有，B正確；對(duì)于C，，該不等式的解集為，C正確；對(duì)于D，不等式即為，化簡(jiǎn)可得，解得，因此，不等式的解集為，D正確.故選：BCD三、填空題7．（2324高一上·上?！て谥校┎坏仁降慕饧癁?【答案】【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為，再求解集即可.【詳解】等價(jià)于，解得，故答案為：.8．（2324高一上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）不等式的解集為.【答案】【分析】根據(jù)分式不等式的解法進(jìn)行求解即可.【詳解】不等式等價(jià)于，解得，所以原不等式的解集為.故答案為：.9．（2324高一上·上海奉賢·期末）不等式的解集用區(qū)間表示為.【答案】【分析】根據(jù)條件，利用分?jǐn)?shù)不等式的解法即可求出結(jié)果.【詳解】由，得到，等價(jià)于且，所以，即，故答案為：.四、解答題10．（2324高一上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）求關(guān)于x的不等式的解集：(1)已知集合，則求集合P；(2)設(shè)數(shù)軸上點(diǎn)A與實(shí)數(shù)3對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)，已知線段AB的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不大于5，求x的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)分式不等式的解法求解即可；（2）求出中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，即可得出關(guān)于的不等式，求解即可．【詳解】（1）由，化簡(jiǎn)得，所以，解得，所以．（2）因?yàn)榈闹悬c(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，所以由題意可知，即，因此，所以，因此的取值范圍是．11．（2324高一上·陜西西安·期末）某公司決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估，該商品原來(lái)每件售價(jià)為25元，年銷售8萬(wàn)件.(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？(2)為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和銷售策略調(diào)整，并提高定價(jià)到元.公司擬投入萬(wàn)元作為技改費(fèi)用，投入50萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問(wèn)：當(dāng)該商品改革后的銷售量至少達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)每件商品的定價(jià).【答案】(1)最多為元；(2)銷售量至少達(dá)到11萬(wàn)件，此時(shí)定價(jià)30元滿足題意.【分析】（1）設(shè)每件定價(jià)，根據(jù)