三角恒等變換（十一大題型）（講義）（原卷版）-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（含2024年高考試題+回歸教材）

第02講三角恒等變換

目錄

01考情透視目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：兩角和與差的正余弦與正切............................................................4

知識(shí)點(diǎn)2:二倍角公式...........................................................................4

知識(shí)點(diǎn)3:降次（幕）公式.......................................................................5

知識(shí)點(diǎn)4:半角公式.............................................................................5

知識(shí)點(diǎn)4：輔助角公式...........................................................................5

解題方法總結(jié)...................................................................................5

題型一：兩角和與差公式的證明..................................................................7

題型二：兩角和與差的三角函數(shù)公式..............................................................9

題型三：兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用與變形................................................10

題型四：利用角的拆分求值......................................................................11

題型五：給角求值..............................................................................11

題型六：給值求值..............................................................................12

題型七：給值求角..............................................................................13

題型八：正切恒等式及求非特殊角...............................................................14

題型九：三角恒等變換的綜合應(yīng)用...............................................................14

題型十：輔助角公式的高級應(yīng)用.................................................................16

題型十一：積化和差、和差化積公式.............................................................16

04真題練習(xí)?命題洞見...........................................................17

05課本典例高考素材...........................................................18

06易錯(cuò)分析答題模板...........................................................19

易錯(cuò)點(diǎn)：不會(huì)應(yīng)用輔助角公式...................................................................19

答題模板：三角關(guān)系式的化簡求值...............................................................19

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考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換

2024年I卷第4題，5分的結(jié)合點(diǎn)上，高考會(huì)側(cè)重綜合推理能力和運(yùn)

（1）基本公式2024年II卷第13題，5分算能力的考查，體現(xiàn)三角恒等變換的工具性

作用，以及會(huì)有一些它們在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

（2）三角恒等變換2024年甲卷第8題，5分

求值2023年II卷第7題，5分這就需要同學(xué)熟練運(yùn)用公式，進(jìn)一步提

年卷卷第題，分高運(yùn)用聯(lián)系轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)去處理問題的自覺

（3）輔助角公式2023III85

2022年II卷第6題，5分性，體會(huì)一般與特殊的思想、換元的思想、

2021年甲卷第U題，5分方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的

作用.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

（1）會(huì)推導(dǎo)兩角差的余弦公式

（2）會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式

（3）掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會(huì)簡單應(yīng)用

（4）能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進(jìn)行簡單的恒等

變換

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㈤2

〃皿SM圖?里維己［骯

(1)sin(a±p)=sinacosp±cosas//?p；

(2)cos(a±p)=cosacosp干s加as加p；

兩角和與差的正余弦與正切

tana±tanp

③加〃(a±P尸

l^tanatanp,

(T)sin2a=2sinacosa；

@cos2a=cos2a-sin1(i.=2cos2(i-l=l-2sin2(JL；

二倍角公式

③3,2a=2/°”a；

1-taira

sniacos(i=—sinla]

.,1-cos2a

三角恒等變換降次（黑）公式snra=---------;

l+cosla

cos2'a=

l-cosa

sin—

半角公式a'1+COS(1

242

a577/a1-cosa

21+cosasina

asina+bcosa—Ja'+b'sin(a.+巾)

輔助角公式(其中si"。=[bcos(|)=r'I,tan6=—).

”+/ra

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考占室硒?題刊摩宓」

知識(shí)固本

知識(shí)點(diǎn)1:兩角和與差的正余弦與正切

①sin（（z±0）=sinacos/3±cosasin/?；

@cos（cr±=cosacosyff+sincrsin13；

③tan（a±0=里吧加目;

1+tanatan0

tan11°+tan19°

【診斷自測】

tan11°tanl9°-1

知識(shí)點(diǎn)2：二倍角公式

①sin2a=2sinacosa；

②cos2a=cos2a-sin?a=2cos2a-\=1-2sin2a；

2tana

③tan2a=

1-tan2a

【診斷自測】已知sin(2一=貝h05("+2&］的值為()

2424

A.B.C.D.

25252525

4/20

知識(shí)點(diǎn)3：降次（靠）公式

1.c.2l-cos2a1+cos2a

smocosa=—sm2a;sma--------------;cos2a---------------

222

【診斷自測】已知函數(shù)/(x)=2sinxcosx+273cos2x-V3.

(1)求/(x)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間；

⑵若=求的值.

知識(shí)點(diǎn)4：半角公式

asina1-cosor

tan——=------------=-------------.

21+cosorsin。

nsin0sin0

【診斷自測】(2024?高三?河北-期末)已知tan7=2則的值為

21-cos01+cos0

知識(shí)點(diǎn)4：輔助角公式

asina+bcosa=yla2+b2sin(a+(p)(其中sin9=.,cos(p=.,tan(p=—

yla2+b2yja1+b2a

【診斷自測】當(dāng)％時(shí)，/(x)=2sinx+cosx取最小值，求sina的值____.

解題方法總結(jié)

1、兩角和與差正切公式變形

tana±tan/3=tan（a±夕）（1+tanatan/｝）；

5/20

tana+tan,tana—tan￡

tana-tanfl=1-----------------=--------------------1.

tan(a+f3)tan(a-

2、降累公式與升幕公式

.l-cos2a21+cos2a；」；

sin2a=--------；cosa=-------------sinacosasin2a

222

1+cos2a=2cos2a；1-cos2a=2sin2a；l+sin2tz=(sina+costz)2；1一sin2。=(sina-cosa)2

3、其他常用變式

2sinacosa2tanacos2a-sin2a1-tan2aasina1-cos6Z

sin2a=；cos2a=；tan—二

sin2a+cos2a1+tan2asin2a+cos2a1+tan2a21+cosofsina

ai

4、拆分角問題：@a=2~；；②a=0-〈0-a)?,③a=,[(a+尸)+(。一￡)];

④P=g[(a+￡)—(a—夕)]；⑤(+二=]一(?—a).

注意：特殊的角也看成已知角，如""

5、和化積公式

a+Ba-B

sina+sinp=2sin------cos.......-

22

a+/?.ex.—B

sina-sinp=2cos------sin.......-

22

a+/3ci—B

cosa+cosp=2cos-------cos--------

22

ccB.cc—B

cosa-cosp=-2sin------sin.......-

22

6、積化和公式

sina-cosp=—[sin(cr+/?)+sin(a-0]

cosa-cosp=;[cos(a+/?)+cos(a-p)]

sincvsinp=g[cos(a-,)一cos(a+/)]

題型洞察

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題型一：兩角和與差公式的證明

【典例1-1】閱讀下面材料：根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有

sin(7+/?)=sinccos夕+costzsin'①，

sin(a-￡)=sinacos"-cosasin￡②，

由①+②得sin(a+?)+sin(a-?)=2sintzcos尸③.

ojonrnrA+BA.-B小、A'r>>A+BA-B

令A(yù)tz+/=4,a-B=B,貝!|a=-------,Bn=--------,代入③得SHL4+sia8=2sin--------cos--------

2222

(1)利用上述結(jié)論，試求sinl5o+sin75。的值；

JRA-R

(2)類比上述推證方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cos^-cosS=-2sinsin.

【典例1-2］如圖，設(shè)單位圓與x軸的正半軸相交于點(diǎn)。(1,0),當(dāng)。大2后%+￡(左eZ)時(shí)，以x軸非負(fù)半軸

為始邊作角a,尸，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)4(cosa,sina),2(cos￡,sin0.

(1)敘述并利用上圖證明兩角差的余弦公式；

(2)利用兩角差的余弦公式與誘導(dǎo)公式.證明：sin(a-/7)=sin?cos-cosasin/7.

(附：平面上任意兩點(diǎn)4(項(xiàng),乂)，￡(%,%)間的距離公式P島=fy+(%-乂『)

【方法技巧】

推證兩角和與差公式就是要用這兩個(gè)單角的三角函數(shù)表示和差角的三角公式，通過余弦定理或向量數(shù)

量積建立它們之間的關(guān)系，這就是證明的思路.

【變式1-1］如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點(diǎn)尸(cosa,sine),

7/20

Q(cos尸,sin/7).

（1）請分別利用向量而與質(zhì)的數(shù)量積的定義式和坐標(biāo)式，證明：cos（a-^）=cosacos/?+sinasin.

（2）已知（1）中的公式對任意的a,月都成立（不用證），請用該公式計(jì)算cosl50的值，并證明：

sin（a+/3）=sinacos[3+cosasin/?.

【變式1-2]在推導(dǎo)很多三角恒等變換公式時(shí)，我們可以利用平面向量的有關(guān)知識(shí)來研究，在一定程度上

可以簡化推理過程.如我們就可以利用平面向量來推導(dǎo)兩角差的余弦公式：

cos（a-￡）=cosacos夕+sinasin§.

具體過程如下：如圖，在平面直角坐標(biāo)系X0內(nèi)作單位圓0,以O(shè)x為始邊作角％它們的終邊與單位

(1)(2)

則OA=（cosa,sina）,OB=（cos尸,sin尸），由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表不，有0A-OB=cosacos夕+sinasin0.

設(shè)），礪的夾角為6,則。/?OB=|04MOB|cos9=cos9=cosacos，+sinasin/7,另一方面，由圖（1）可

知，a=2kji+/3+0；

由圖（2）可知戊=2左"+，一。，干是a—B=2k?i土e,ksZ.

所以cos（a-尸）=cos6,也有cos（a-7?）=cosacos/?+sinasin/?；

所以，對于任意角d夕有：cos（tz-/7）=cosacos/?+sinasin（3.

此公式給出了任意角a,尸的正弦、余弦值與其差角a-6的余弦值之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，簡

記作C”子.有了公式Ca_,以后，我們只要知道cosa,cos/,sina,sin用的值，就可以求得cos（a-/）的值了.

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閱讀以上材料，利用圖（3）單位圓及相關(guān)數(shù)據(jù)（圖中”是N8的中點(diǎn)），采取類似方法（用其他方法解答

正確同等給分）解決下列問題：

（3）

⑴判斷反=蘇兩是否正確？（不需要證明）

(2)證明：sina+sin￡=2sin°'cos巴~—

22

題型二：兩角和與差的三角函數(shù)公式

【典例2-1】(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測)已知sinasin[a+/J=cosasin《-aJ,貝ljtan12a+；

()

A.2-V3B.—2-6C.2+V3D.-2+73

71

【典例2-2】(2024?浙江?三模)若sin(a-/7)+cos(a-/?)=2^sin6Z--近夕，貝I」（）

A.tan(?-y0)=-lB.tan(cr-y0)=l

C.tan(?+/?)=-!D.tan(a+〃)=l

【方法技巧】

兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣，可用。，￡的三角函數(shù)表示。土尸的三角函數(shù),

9/20

在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，特別要注意角與角之間的關(guān)系，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的.

【變式2-1]（多選題）下列選項(xiàng)中，值為。的是（）

A.2cos215°B.sin27ocos3°+cos27osin3°

tan22.5°

C.2sin15°sin75°

l-tan222.5°

jr

【變式2-21（多選題）已知0<a<￡<5，且1@11々911月是方程21--10工+1=0的兩根，下列選項(xiàng)中正確

的是（）

A.tan(a+")=(sin(cr+/7)6

?cos(6z-/7)11

4二71

C.tan(a_0)=-D.+2/7——

題型三：兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用與變形

【典例3-1】（2024?高三?陜西商洛?期中）已知萬滿足（l+tana）（l-tan￡）=2,貝1]"一￡=

【典例3-2】計(jì)算：tan730-tan1930-6tan73°tan13°=

【方法技巧】

運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟練、準(zhǔn)確，而且要熟悉公式的逆用及變形.公式的逆用

和變形應(yīng)用更能開拓思路，增強(qiáng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.

【變式3-1】cos（a+30°）cosa+sin（a+30°）sina=___.

32

【變式3-2]（2024?江西?模擬預(yù)測）已知cos（a+/?）=丁cosacos/7,貝!jcos（2a-26）=.

【變式3-3】已知a,夕,7￡0,—,sm/3+sin/=sincir,coscr+cos/=cosyfi,貝!j￡—a=.

、7

【變式3?4】設(shè)cosa+cos尸=],sina-sin/?=—,則sin2022(a+/)+cos2022(?+/?)=

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題型四：利用角的拆分求值

【典例4-1】（2024?遼寧?模擬預(yù)測）已知sin[a+弓]=；,貝Usin（2a+gb.

【典例4-2】已知廣均為銳角，sin[ag=*sinL|+^=^,貝加里芋的值為（）

V2V2V2V2

A.B.c.D.

V而10

【方法技巧】

常用的拆角、配角技巧：2a=(a+/})+(a-/5)；a=(a+/3)—(3=(a—+/3

0=￡；，一。J=(a+2夕)一(a+夕)；a_￡=(a_/)+(7一4)；15°=45°-30°；~^+a

等.

【變式4-1]（2024?山東?模擬預(yù)測）已知cos[a—^）—cosa=g,貝!]sin[2戊+已）=（）

72424

A.B.C.D.

2525

已矢口3sin9+^^cos。=1,則cos(1+28

【變式4-2】1=()

22

A."V3

Rc.-D.

333~3

【變式4-3]若a為銳角，且sin（a-：）=|,貝ljcos2a=（

242477

A.B.C.D.

25252525

題型五：給角求值

2sin18°f3cos290-sin29°-ll

【典例5-1](2024?重慶-模擬預(yù)測)式子-------------廣---------化簡的結(jié)果為()

cos6°+V3sin6°

A.1B.1C.2sin9°D.2

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【典例5-2】計(jì)算：萬sin4（Tsin80。=（）

cos40°+cos60°

A.--B.--C.D.

222

【方法技巧】

（1）給角求值問題求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)

化方法.

（2）給角求值問題的一般步驟

①化簡條件式子或待求式子；

②觀察條件與所求之間的聯(lián)系，從函數(shù)名稱及角入手；

③將已知條件代入所求式子，化簡求值.

【變式5-1］求值：=（）

Vl-cos20

A.1B.V2C.V3D.2A/2

【變式5-2］（2024?廣東汕頭?二模）若4sinl600+tan20。=百，則實(shí)數(shù)2的值為（）

A.4B.4A/3C.273D.—

3

【變式5-3】sinll00cos：50。的值為（）

cos225°-sin-155°

A.--B.IC.—D.--

2222

題型六：給值求值

7T17

【典例6-1］（2024?廣西南寧?一模）已知0＜。＜5＜/?＜兀,（：05月=—§岡11（。+夕）=§,貝［Jtana=

7T*I3

【典例6-2］（2024?高三?吉林長春?開學(xué)考試）已知cos（a+〃）=w，sin（6r-/7）=-,則

tanctftan/?=.

12/20

【方法技巧】

給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使

其角相同或具有某種關(guān)系，解題的基本方法是：①將待求式用已知三角函數(shù)表示；②將已知條件轉(zhuǎn)化而推

出結(jié)論，其中“湊角法”是解此類問題的常用技巧，解題時(shí)首先要分析已知條件和結(jié)論中各種角之間的相

互關(guān)系，并根據(jù)這些關(guān)系來選擇公式.

【變式6-1]（2024?全國?模擬預(yù)測）已知sin（z=2sin（tz+￡）,2sin￡-cos0+2=0,貝I]tan（（z+"）=.

【變式6-2]（2024?高三?浙江紹興?期末）若sinO=|,當(dāng)<9<3n,貝!]tang+2cos。.

兀a)+V§sina=[,則

【變式6-3]（2024?山西臨汾?模擬預(yù)測）已知a為銳角，且sin

cos2a+-

I6

題型七：給值求角

【典例7-1】（2024?貴州六盤水?模擬預(yù)測）設(shè)戊￡—,P,且sina+cosa=Vicos",則

a-/}=___.

2兀

【典例7-2】已知夕為銳角，且sina+sin[a+]）+sin]a=C,貝!|a=

3

【方法技巧】

給值求角：解此類問題的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函數(shù)值，再確定“所求角”的范

圍，最后借助三角函數(shù)圖像、誘導(dǎo)公式求角.

【變式7-1]已知,均為銳角，cosa=亞，sin/7=逋，則cos2a=,2a—B=.

714

【變式7-2】若會(huì)吟,且”+止-焉sm2￡f則—=一

【變式7-3]已知tan（"一,tana=—；,%，￡（0,兀），貝U2/一a的值是（）

13/20

71兀3兀

A.B.CD.

44-TT

【變式7-4】設(shè)asg?',P，:,且sina+cosa=J5cos/7,則()

c兀c兀c兀

A.cc+B=-B.cc—B——C.a+/?二萬D.a-p=——

444

題型八：正切恒等式及求非特殊角

【典例8-1】（2024?陜西商洛?高三陜西省山陽中學(xué)校聯(lián)考期中）已知以/滿足（l+tana）（l-ta"）=2,

則，-a=.

【典例8-2］（2024?江蘇南通?高三校考期中）在A/tSC中，若tan4+tanB+0=V^tanZtanB，則

tan2C=.

【方法技巧】

正切恒等式：當(dāng)/+3+。=版■時(shí)，tanA+tanB+tanC=tanA-tanB-tanC.

證明：因?yàn)閠an(4+5)=tan/+tan8,tanC二一tan(4+8),所以tan/+tanB=一tanC(1-tan/tanB)

1-tanAtanB

故tan/+tanB+tanC=tan24-tan5-tanC.

【變式8-1](2024?山東?高三濟(jì)寧市育才中學(xué)?？奸_學(xué)考試)若角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸(sin7(T,cos7()。)，且

tana+tan2a+mtana-tan2a=，貝!J實(shí)數(shù)m=.

【變式8-2］（山西省臨汾市2023?2024學(xué)年高三11月期中數(shù)學(xué)試題）已知戊￡（0,兀），戊+，+/=兀，且

2sin6/+tan+tan/=2sintantan/,貝!Ja=（）

題型九：三角恒等變換的綜合應(yīng)用

9a2

[典例9-1】在AASC*中，cosB=7，6=5,—=—.

16c3

⑴求。；

14/20

(2)求sinA；

(3)求cos(B-24).

【典例9-2】(2024?天津?二模)在“BC中，角A,B,C所對的邊分別為〃，b,c,已知6=4,

…4出

a—3c，coS/4=----.

3

⑴求sinC的值；

⑵求c的值；

⑶求sin(2/+C)的值.

【方法技巧】

(1)進(jìn)行三角恒等變換要抓?。鹤兘?、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆

用和變形使用.

(2)形如y=asinx+6cosx化為y=個(gè)a1+b1sin(x+p),可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值

與對稱性.

【變式9-1](2023,陜西咸陽,?？级?已知函數(shù)/(x)=2cosx(sinx-cosx)+l,xeR

(1)求函數(shù)/(x)的對稱軸和對稱中心；

(2)當(dāng)xe27T,三37r，求函數(shù)/(x)的值域.

o4_

a

【變式9-2](2023?上海松江?高三上海市松江二中?？茧A段練習(xí))已知/(x)=cosx^V3sinx-cosx^+-.

⑴求/(%)在[0,1]上的單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵若=年)，求sin2a的值.

15/20

題型十：輔助角公式的高級應(yīng)用

【典例10-1】已知/(x)=cos(x+/)+2sinx的最大值為3,則tan^=

【典例10-2】設(shè)4RC是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，則coM(3sii4+4sinC)的最小值為.

【方法技巧]

bb

(1)osina+bcosa=V^+^sin(a+0)(其中sin0=/.，COS^="7，tan(p=—

yja2+b2y/a2+b2a

H<f)?

/c、.2ylm2+H2.、n,n

(2)msmcoxcoscox+ncoscox=------------sm(2(vx+(p)+—,tan0=一.

22m

【變式(?高三?內(nèi)蒙古赤峰?開學(xué)考試)已知見￡(

10-1]2024e0g,若P=sinasin26+cosacos夕,則

p的最大值為.

【變式10-2]y=cos(a+/?)+cosc-cos?-l的取值范圍是

題型十一：積化和差、和差化積公式

則二

【典例11-1】cosa-cosp=-,sina-sinp=-,tan^^

322

【典例11-2】若sinx+sin3x+sin5x=a,cosx+cos3x+cos5x=6,則tan3x=___結(jié)果用6表示.

【方法技巧】

三角函數(shù)式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等).

、71

【變式11-1】設(shè)cosa+cosQ=—,sina-sin/?=—,則tan(a-Q)=.

16/20

【變式11-2］已知tan(a；1)=告，tanatan夕=g，則cos(a-尸)的值為___.

［2

【變式11-3］若cosxcosy-sinxsiny=5,sin2x-sin2y=—,貝!Jsin(x—>)=___.

【變式11-4】(2024?安徽阜陽?一模)已知5畝戊+$畝;?=4,饃51+(：05/=6(。/?。0),貝i」cos(a—/)=

sin(a+〃)=___.

1.（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知一C0SQf.=V3,則tana+[=（）

cosa-sma14）

A.273+1B.273-1C.—D.1-V3

2

2.（2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知cos(&+))=九tanatan0=2,則cos(a—/)=()

JT)

A.-3mB.-----C.—D.3m

33

已知sin(a—,)=，,cosasin'=L,貝［Jcos(