三角恒等變換（十一大題型）（講義）（原卷版）-2025高考數學一輪復習（含2024年高考試題+回歸教材）

第02講三角恒等變換

目錄

01考情透視目標導航............................................................2

02知識導圖思維引航............................................................3

03考點突破題型探究............................................................4

知識點1：兩角和與差的正余弦與正切............................................................4

知識點2:二倍角公式...........................................................................4

知識點3:降次（幕）公式.......................................................................5

知識點4:半角公式.............................................................................5

知識點4：輔助角公式...........................................................................5

解題方法總結...................................................................................5

題型一：兩角和與差公式的證明..................................................................7

題型二：兩角和與差的三角函數公式..............................................................9

題型三：兩角和與差的三角函數公式的逆用與變形................................................10

題型四：利用角的拆分求值......................................................................11

題型五：給角求值..............................................................................11

題型六：給值求值..............................................................................12

題型七：給值求角..............................................................................13

題型八：正切恒等式及求非特殊角...............................................................14

題型九：三角恒等變換的綜合應用...............................................................14

題型十：輔助角公式的高級應用.................................................................16

題型十一：積化和差、和差化積公式.............................................................16

04真題練習?命題洞見...........................................................17

05課本典例高考素材...........................................................18

06易錯分析答題模板...........................................................19

易錯點：不會應用輔助角公式...................................................................19

答題模板：三角關系式的化簡求值...............................................................19

1/20

考點要求考題統計考情分析

三角恒等變換位于三角函數與數學變換

2024年I卷第4題，5分的結合點上，高考會側重綜合推理能力和運

（1）基本公式2024年II卷第13題，5分算能力的考查，體現三角恒等變換的工具性

作用，以及會有一些它們在數學中的應用.

（2）三角恒等變換2024年甲卷第8題，5分

求值2023年II卷第7題，5分這就需要同學熟練運用公式，進一步提

年卷卷第題，分高運用聯系轉化的觀點去處理問題的自覺

（3）輔助角公式2023III85

2022年II卷第6題，5分性，體會一般與特殊的思想、換元的思想、

2021年甲卷第U題，5分方程的思想等數學思想在三角恒等變換中的

作用.

復習目標：

（1）會推導兩角差的余弦公式

（2）會用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式

（3）掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會簡單應用

（4）能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進行簡單的恒等

變換

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㈤2

〃皿SM圖?里維己［骯

(1)sin(a±p)=sinacosp±cosas//?p；

(2)cos(a±p)=cosacosp干s加as加p；

兩角和與差的正余弦與正切

tana±tanp

③加〃(a±P尸

l^tanatanp,

(T)sin2a=2sinacosa；

@cos2a=cos2a-sin1(i.=2cos2(i-l=l-2sin2(JL；

二倍角公式

③3,2a=2/°”a；

1-taira

sniacos(i=—sinla]

.,1-cos2a

三角恒等變換降次（黑）公式snra=---------;

l+cosla

cos2'a=

l-cosa

sin—

半角公式a'1+COS(1

242

a577/a1-cosa

21+cosasina

asina+bcosa—Ja'+b'sin(a.+巾)

輔助角公式(其中si"。=[bcos(|)=r'I,tan6=—).

”+/ra

3/20

考占室硒?題刊摩宓」

知識固本

知識點1:兩角和與差的正余弦與正切

①sin（（z±0）=sinacos/3±cosasin/?；

@cos（cr±=cosacosyff+sincrsin13；

③tan（a±0=里吧加目;

1+tanatan0

tan11°+tan19°

【診斷自測】

tan11°tanl9°-1

知識點2：二倍角公式

①sin2a=2sinacosa；

②cos2a=cos2a-sin?a=2cos2a-\=1-2sin2a；

2tana

③tan2a=

1-tan2a

【診斷自測】已知sin(2一=貝h05("+2&］的值為()

2424

A.B.C.D.

25252525

4/20

知識點3：降次（靠）公式

1.c.2l-cos2a1+cos2a

smocosa=—sm2a;sma--------------;cos2a---------------

222

【診斷自測】已知函數/(x)=2sinxcosx+273cos2x-V3.

(1)求/(x)的最小正周期和單調區(qū)間；

⑵若=求的值.

知識點4：半角公式

asina1-cosor

tan——=------------=-------------.

21+cosorsin。

nsin0sin0

【診斷自測】(2024?高三?河北-期末)已知tan7=2則的值為

21-cos01+cos0

知識點4：輔助角公式

asina+bcosa=yla2+b2sin(a+(p)(其中sin9=.,cos(p=.,tan(p=—

yla2+b2yja1+b2a

【診斷自測】當％時，/(x)=2sinx+cosx取最小值，求sina的值____.

解題方法總結

1、兩角和與差正切公式變形

tana±tan/3=tan（a±夕）（1+tanatan/｝）；

5/20

tana+tan,tana—tan￡

tana-tanfl=1-----------------=--------------------1.

tan(a+f3)tan(a-

2、降累公式與升幕公式

.l-cos2a21+cos2a；」；

sin2a=--------；cosa=-------------sinacosasin2a

222

1+cos2a=2cos2a；1-cos2a=2sin2a；l+sin2tz=(sina+costz)2；1一sin2。=(sina-cosa)2

3、其他常用變式

2sinacosa2tanacos2a-sin2a1-tan2aasina1-cos6Z

sin2a=；cos2a=；tan—二

sin2a+cos2a1+tan2asin2a+cos2a1+tan2a21+cosofsina

ai

4、拆分角問題：@a=2~；；②a=0-〈0-a)?,③a=,[(a+尸)+(。一￡)];

④P=g[(a+￡)—(a—夕)]；⑤(+二=]一(?—a).

注意：特殊的角也看成已知角，如""

5、和化積公式

a+Ba-B

sina+sinp=2sin------cos.......-

22

a+/?.ex.—B

sina-sinp=2cos------sin.......-

22

a+/3ci—B

cosa+cosp=2cos-------cos--------

22

ccB.cc—B

cosa-cosp=-2sin------sin.......-

22

6、積化和公式

sina-cosp=—[sin(cr+/?)+sin(a-0]

cosa-cosp=;[cos(a+/?)+cos(a-p)]

sincvsinp=g[cos(a-,)一cos(a+/)]

題型洞察

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題型一：兩角和與差公式的證明

【典例1-1】閱讀下面材料：根據兩角和與差的正弦公式，有

sin(7+/?)=sinccos夕+costzsin'①，

sin(a-￡)=sinacos"-cosasin￡②，

由①+②得sin(a+?)+sin(a-?)=2sintzcos尸③.

ojonrnrA+BA.-B小、A'r>>A+BA-B

令Atz+/=4,a-B=B,貝!|a=-------,Bn=--------,代入③得SHL4+sia8=2sin--------cos--------

2222

(1)利用上述結論，試求sinl5o+sin75。的值；

JRA-R

(2)類比上述推證方法，根據兩角和與差的余弦公式，證明：cos^-cosS=-2sinsin.

【典例1-2］如圖，設單位圓與x軸的正半軸相交于點。(1,0),當。大2后%+￡(左eZ)時，以x軸非負半軸

為始邊作角a,尸，它們的終邊分別與單位圓相交于點4(cosa,sina),2(cos￡,sin0.

(1)敘述并利用上圖證明兩角差的余弦公式；

(2)利用兩角差的余弦公式與誘導公式.證明：sin(a-/7)=sin?cos-cosasin/7.

(附：平面上任意兩點4(項,乂)，￡(%,%)間的距離公式P島=fy+(%-乂『)

【方法技巧】

推證兩角和與差公式就是要用這兩個單角的三角函數表示和差角的三角公式，通過余弦定理或向量數

量積建立它們之間的關系，這就是證明的思路.

【變式1-1］如圖，在平面直角坐標系中，以原點為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點尸(cosa,sine),

7/20

Q(cos尸,sin/7).

（1）請分別利用向量而與質的數量積的定義式和坐標式，證明：cos（a-^）=cosacos/?+sinasin.

（2）已知（1）中的公式對任意的a,月都成立（不用證），請用該公式計算cosl50的值，并證明：

sin（a+/3）=sinacos[3+cosasin/?.

【變式1-2]在推導很多三角恒等變換公式時，我們可以利用平面向量的有關知識來研究，在一定程度上

可以簡化推理過程.如我們就可以利用平面向量來推導兩角差的余弦公式：

cos（a-￡）=cosacos夕+sinasin§.

具體過程如下：如圖，在平面直角坐標系X0內作單位圓0,以Ox為始邊作角％它們的終邊與單位

(1)(2)

則OA=（cosa,sina）,OB=（cos尸,sin尸），由向量數量積的坐標表不，有0A-OB=cosacos夕+sinasin0.

設），礪的夾角為6,則。/?OB=|04MOB|cos9=cos9=cosacos，+sinasin/7,另一方面，由圖（1）可

知，a=2kji+/3+0；

由圖（2）可知戊=2左"+，一。，干是a—B=2k?i土e,ksZ.

所以cos（a-尸）=cos6,也有cos（a-7?）=cosacos/?+sinasin/?；

所以，對于任意角d夕有：cos（tz-/7）=cosacos/?+sinasin（3.

此公式給出了任意角a,尸的正弦、余弦值與其差角a-6的余弦值之間的關系，稱為差角的余弦公式，簡

記作C”子.有了公式Ca_,以后，我們只要知道cosa,cos/,sina,sin用的值，就可以求得cos（a-/）的值了.

8/20

閱讀以上材料，利用圖（3）單位圓及相關數據（圖中”是N8的中點），采取類似方法（用其他方法解答

正確同等給分）解決下列問題：

（3）

⑴判斷反=蘇兩是否正確？（不需要證明）

(2)證明：sina+sin￡=2sin°'cos巴~—

22

題型二：兩角和與差的三角函數公式

【典例2-1】(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測)已知sinasin[a+/J=cosasin《-aJ,貝ljtan12a+；

()

A.2-V3B.—2-6C.2+V3D.-2+73

71

【典例2-2】(2024?浙江?三模)若sin(a-/7)+cos(a-/?)=2^sin6Z--近夕，貝I」（）

A.tan(?-y0)=-lB.tan(cr-y0)=l

C.tan(?+/?)=-!D.tan(a+〃)=l

【方法技巧】

兩角和與差的三角函數公式可看作是誘導公式的推廣，可用。，￡的三角函數表示。土尸的三角函數,

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在使用兩角和與差的三角函數公式時，特別要注意角與角之間的關系，完成統一角和角與角轉換的目的.

【變式2-1]（多選題）下列選項中，值為。的是（）

A.2cos215°B.sin27ocos3°+cos27osin3°

tan22.5°

C.2sin15°sin75°

l-tan222.5°

jr

【變式2-21（多選題）已知0<a<￡<5，且1@11々911月是方程21--10工+1=0的兩根，下列選項中正確

的是（）

A.tan(a+")=(sin(cr+/7)6

?cos(6z-/7)11

4二71

C.tan(a_0)=-D.+2/7——

題型三：兩角和與差的三角函數公式的逆用與變形

【典例3-1】（2024?高三?陜西商洛?期中）已知萬滿足（l+tana）（l-tan￡）=2,貝1]"一￡=

【典例3-2】計算：tan730-tan1930-6tan73°tan13°=

【方法技巧】

運用兩角和與差的三角函數公式時，不但要熟練、準確，而且要熟悉公式的逆用及變形.公式的逆用

和變形應用更能開拓思路，增強從正向思維向逆向思維轉化的能力.

【變式3-1】cos（a+30°）cosa+sin（a+30°）sina=___.

32

【變式3-2]（2024?江西?模擬預測）已知cos（a+/?）=丁cosacos/7,貝!jcos（2a-26）=.

【變式3-3】已知a,夕,7￡0,—,sm/3+sin/=sincir,coscr+cos/=cosyfi,貝!j￡—a=.

、7

【變式3?4】設cosa+cos尸=],sina-sin/?=—,則sin2022(a+/)+cos2022(?+/?)=

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題型四：利用角的拆分求值

【典例4-1】（2024?遼寧?模擬預測）已知sin[a+弓]=；,貝Usin（2a+gb.

【典例4-2】已知廣均為銳角，sin[ag=*sinL|+^=^,貝加里芋的值為（）

V2V2V2V2

A.B.c.D.

V而10

【方法技巧】

常用的拆角、配角技巧：2a=(a+/})+(a-/5)；a=(a+/3)—(3=(a—+/3

0=￡；，一。J=(a+2夕)一(a+夕)；a_￡=(a_/)+(7一4)；15°=45°-30°；~^+a

等.

【變式4-1]（2024?山東?模擬預測）已知cos[a—^）—cosa=g,貝!]sin[2戊+已）=（）

72424

A.B.C.D.

2525

已矢口3sin9+^^cos。=1,則cos(1+28

【變式4-2】1=()

22

A."V3

Rc.-D.

333~3

【變式4-3]若a為銳角，且sin（a-：）=|,貝ljcos2a=（

242477

A.B.C.D.

25252525

題型五：給角求值

2sin18°f3cos290-sin29°-ll

【典例5-1](2024?重慶-模擬預測)式子-------------廣---------化簡的結果為()

cos6°+V3sin6°

A.1B.1C.2sin9°D.2

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【典例5-2】計算：萬sin4（Tsin80。=（）

cos40°+cos60°

A.--B.--C.D.

222

【方法技巧】

（1）給角求值問題求解的關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系，借助角之間的聯系尋找轉

化方法.

（2）給角求值問題的一般步驟

①化簡條件式子或待求式子；

②觀察條件與所求之間的聯系，從函數名稱及角入手；

③將已知條件代入所求式子，化簡求值.

【變式5-1］求值：=（）

Vl-cos20

A.1B.V2C.V3D.2A/2

【變式5-2］（2024?廣東汕頭?二模）若4sinl600+tan20。=百，則實數2的值為（）

A.4B.4A/3C.273D.—

3

【變式5-3】sinll00cos：50。的值為（）

cos225°-sin-155°

A.--B.IC.—D.--

2222

題型六：給值求值

7T17

【典例6-1］（2024?廣西南寧?一模）已知0＜。＜5＜/?＜兀,（：05月=—§岡11（。+夕）=§,貝［Jtana=

7T*I3

【典例6-2］（2024?高三?吉林長春?開學考試）已知cos（a+〃）=w，sin（6r-/7）=-,則

tanctftan/?=.

12/20

【方法技巧】

給值求值：給出某些角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數值，解題關鍵在于“變角”，使

其角相同或具有某種關系，解題的基本方法是：①將待求式用已知三角函數表示；②將已知條件轉化而推

出結論，其中“湊角法”是解此類問題的常用技巧，解題時首先要分析已知條件和結論中各種角之間的相

互關系，并根據這些關系來選擇公式.

【變式6-1]（2024?全國?模擬預測）已知sin（z=2sin（tz+￡）,2sin￡-cos0+2=0,貝I]tan（（z+"）=.

【變式6-2]（2024?高三?浙江紹興?期末）若sinO=|,當<9<3n,貝!]tang+2cos。.

兀a)+V§sina=[,則

【變式6-3]（2024?山西臨汾?模擬預測）已知a為銳角，且sin

cos2a+-

I6

題型七：給值求角

【典例7-1】（2024?貴州六盤水?模擬預測）設戊￡—,P,且sina+cosa=Vicos",則

a-/}=___.

2兀

【典例7-2】已知夕為銳角，且sina+sin[a+]）+sin]a=C,貝!|a=

3

【方法技巧】

給值求角：解此類問題的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函數值，再確定“所求角”的范

圍，最后借助三角函數圖像、誘導公式求角.

【變式7-1]已知,均為銳角，cosa=亞，sin/7=逋，則cos2a=,2a—B=.

714

【變式7-2】若會吟,且”+止-焉sm2￡f則—=一

【變式7-3]已知tan（"一,tana=—；,%，￡（0,兀），貝U2/一a的值是（）

13/20

71兀3兀

A.B.CD.

44-TT

【變式7-4】設asg?',P，:,且sina+cosa=J5cos/7,則()

c兀c兀c兀

A.cc+B=-B.cc—B——C.a+/?二萬D.a-p=——

444

題型八：正切恒等式及求非特殊角

【典例8-1】（2024?陜西商洛?高三陜西省山陽中學校聯考期中）已知以/滿足（l+tana）（l-ta"）=2,

則，-a=.

【典例8-2］（2024?江蘇南通?高三校考期中）在A/tSC中，若tan4+tanB+0=V^tanZtanB，則

tan2C=.

【方法技巧】

正切恒等式：當/+3+。=版■時，tanA+tanB+tanC=tanA-tanB-tanC.

證明：因為tan(4+5)=tan/+tan8,tanC二一tan(4+8),所以tan/+tanB=一tanC(1-tan/tanB)

1-tanAtanB

故tan/+tanB+tanC=tan24-tan5-tanC.

【變式8-1](2024?山東?高三濟寧市育才中學?？奸_學考試)若角。的終邊經過點尸(sin7(T,cos7()。)，且

tana+tan2a+mtana-tan2a=，貝!J實數m=.

【變式8-2］（山西省臨汾市2023?2024學年高三11月期中數學試題）已知戊￡（0,兀），戊+，+/=兀，且

2sin6/+tan+tan/=2sintantan/,貝!Ja=（）

題型九：三角恒等變換的綜合應用

9a2

[典例9-1】在AASC*中，cosB=7，6=5,—=—.

16c3

⑴求。；

14/20

(2)求sinA；

(3)求cos(B-24).

【典例9-2】(2024?天津?二模)在“BC中，角A,B,C所對的邊分別為〃，b,c,已知6=4,

…4出

a—3c，coS/4=----.

3

⑴求sinC的值；

⑵求c的值；

⑶求sin(2/+C)的值.

【方法技巧】

(1)進行三角恒等變換要抓?。鹤兘恰⒆兒瘮得Q、變結構，尤其是角之間的關系；注意公式的逆

用和變形使用.

(2)形如y=asinx+6cosx化為y=個a1+b1sin(x+p),可進一步研究函數的周期性、單調性、最值

與對稱性.

【變式9-1](2023,陜西咸陽,校考二模)已知函數/(x)=2cosx(sinx-cosx)+l,xeR

(1)求函數/(x)的對稱軸和對稱中心；

(2)當xe27T,三37r，求函數/(x)的值域.

o4_

a

【變式9-2](2023?上海松江?高三上海市松江二中?？茧A段練習)已知/(x)=cosx^V3sinx-cosx^+-.

⑴求/(%)在[0,1]上的單調遞減區(qū)間；

⑵若=年)，求sin2a的值.

15/20

題型十：輔助角公式的高級應用

【典例10-1】已知/(x)=cos(x+/)+2sinx的最大值為3,則tan^=

【典例10-2】設4RC是一個三角形的三個內角，則coM(3sii4+4sinC)的最小值為.

【方法技巧]

bb

(1)osina+bcosa=V^+^sin(a+0)(其中sin0=/.，COS^="7，tan(p=—

yja2+b2y/a2+b2a

H<f)?

/c、.2ylm2+H2.、n,n

(2)msmcoxcoscox+ncoscox=------------sm(2(vx+(p)+—,tan0=一.

22m

【變式(?高三?內蒙古赤峰?開學考試)已知見￡(

10-1]2024e0g,若P=sinasin26+cosacos夕,則

p的最大值為.

【變式10-2]y=cos(a+/?)+cosc-cos?-l的取值范圍是

題型十一：積化和差、和差化積公式

則二

【典例11-1】cosa-cosp=-,sina-sinp=-,tan^^

322

【典例11-2】若sinx+sin3x+sin5x=a,cosx+cos3x+cos5x=6,則tan3x=___結果用6表示.

【方法技巧】

三角函數式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯系(和、差、倍、互余、互補等).

、71

【變式11-1】設cosa+cosQ=—,sina-sin/?=—,則tan(a-Q)=.

16/20

【變式11-2］已知tan(a；1)=告，tanatan夕=g，則cos(a-尸)的值為___.

［2

【變式11-3］若cosxcosy-sinxsiny=5,sin2x-sin2y=—,貝!Jsin(x—>)=___.

【變式11-4】(2024?安徽阜陽?一模)已知5畝戊+$畝;?=4,饃51+(：05/=6(。/?。0),貝i」cos(a—/)=

sin(a+〃)=___.

1.（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）已知一C0SQf.=V3,則tana+[=（）

cosa-sma14）

A.273+1B.273-1C.—D.1-V3

2

2.（2024年新課標全國I卷數學真題）已知cos(&+))=九tanatan0=2,則cos(a—/)=()

JT)

A.-3mB.-----C.—D.3m

33

已知sin(a—,)=，,cosasin'=L,貝［Jcos(