浙江2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：平面向量（含解析）

課時(shí)跟蹤檢測(cè)（一）小題考法一一平面對(duì)量

A組—10+7提速練

一、選擇題

1.已知平面對(duì)量@=以4）,b=（x,若@〃上則實(shí)數(shù)萬(wàn)為（）

22

B.

33

33

C.D.

88

13

解析：選CVa//b,.\3X-=4x,解得x=小故選C.

Zo

2.(2025屆高三?杭州六校聯(lián)考)已知向量a和b的夾角為120。，且|a|=2,|b|=5,

則(2a—b)?a=()

A.9B.10

C.12D.13

解析：選D??,向量a和b的夾角為120°,

且|a|=2,|b|=5,

Aa?b=2X5Xcos120°=—5,

(2a—b),a=2a2—a?b=2X4+5=13,

故選D.

3.（2024?全國(guó)卷I）在△/阿中，助為9邊上的中線，￡為/〃的中點(diǎn)，則EB=（）

3-1—>1*3?

A.~AB-ACB.IAB——AC

44

3—?1—?1—*?3—

C.-AB+-ACD.IAB+-AC

__.一,,,_.—?—?—?]—?]—>

解析:選A作出示意圖如圖所示.EB=ED+DB=-AD+-CB=

11—?—?1—?—?3—*■1—?

-X-(AB+JO+-(AB-AC)^-AB--/C.故選A.

4.設(shè)向量a=(—2,1),a+b=(勿，—3),c=(3,1),若(a+b)J_c,則cos(a,b)=

()

亞

5

解析：選D由(a+b)J_c可得，力義3+(—3)X1=0,解得m=l.所以a+b=(1,—3),

故b—(a+b)—a=(3,—4).

a?b________—2X3+1X—4_________2^5

所以cos(a,b)a?|b|N^~2+l2X^3H~—4z-5'0'

5.P是AABC所在平面上一點(diǎn)，滿意|PB-PC\~PB+PC—2PA|=0,則△/阿

的形態(tài)是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

解析：選B:戶是△N6C所在平面上一點(diǎn)，且|PB-PC\-\PB+PC—2PA|=0,

|CB\~\{PB-PA)+{PC-PA}\=0,

即|CB|=AB+AC\,

\AB-AC|=|AB+AC\,

兩邊平方并化簡(jiǎn)得46?4C=0,

/.ABLAC,.,.NA=90°,

則是直角三角形.

6.（2024?浙江二模）如圖，設(shè)A,8是半徑為2的圓。上的兩個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，點(diǎn)C為中點(diǎn)，則CO?"的取值范圍是()

A.[-1,3]B.[1,3]

C.[—3,—1]D.[—3,1]

解析：選A建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，

可得。（0,0）,力（-2,0）,<7（-1,0）,設(shè)8（2cos0,2sin6）.0

e[0,2JI）.

貝！JCO?⑦=(1,0)?(2cos夕+1,2sin夕)=2cos夕+1G[一

1,3].

故選A.

7.（2025屆高三?浙江名校聯(lián)考）已知在△/回中，46=4,AC=2,ACLBC,，為N6的

---A1---AQ1---?---?---?---?

中點(diǎn)，點(diǎn)產(chǎn)滿意a=-九+——AD,則為?（陽(yáng)+小）的最小值為（)

aa

28

A.12B.T

257

一D.

0A2

—>■[—>■a]—?

解析：選c由/尸=-/0+——知點(diǎn)尸在直線沖上，以點(diǎn)

aa

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，/所在直線為x軸，。所在直線為y軸建立如圖所示

的平面直角坐標(biāo)系，則C(o,o),4(0,2),B(2小，2(十,1),...直線切的方程為y=

亞X,42坐_、

3X'設(shè)p\，貝IJ陽(yáng)=—x,PBX,3X,PC

2#、

：.~PA?(萬(wàn)十元)=-x(24一2x)

-x,,：.PB+PC=3x,

+|x4m8210#x=平時(shí)，萬(wàn)?(萬(wàn)'+元)取得最

X=~X-—

oOOOO

一士25

小值一■

o

8.已知單位向量a,b,c是共面對(duì)量，a?b=；,

a,c=b,c<0,t己m=\4a-b|+|

一cl(XGR),則序的最小值是()

A.4+73B.2+y/3

C.2+取D.4+y/2

解析：選B由a?c=b?c,可得c,(a—b)=0,故c與a—b

垂直，又a?c=b?c<0,記的=a,OB=b,OC=c,以。為坐標(biāo)

原點(diǎn)，OA的方向?yàn)閤軸正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)

OD=4a,則|4a—b|+|Xa—c|=|BD\+|CD121b—c|=|BC

|,由圖可知最小值為6。，易知/0BC=/BC0=15°,所以N80C=150。,在△8%中，比2

=Bd+0d—2B0?05cosN60C=2+/.所以君的最小值是2+4.

9.在矩形/交9中，AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)尸在以點(diǎn)C為圓心且與物相切的圓上.若北

=兒AB+nAD,貝!J八十〃的最大值為()

A.3B.2y[2

C.乖D.2

解析：選A以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,4〃所在直線分別為x軸，y軸建

立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，貝I4(0,0),8(1,0),C(l,2),。(0,2),一j/J

可得直線曲的方程為2x+y—2=0,點(diǎn)C到直線劭的距離為次、=泉Vj

所以圓C：(x—1片+(y—2)2=*.

u

因?yàn)椤ㄔ趫A。上，所以(L+^^COS0,2+~^sin

又加=(1,0),AD=(0,2),2尸=448+〃/〃=(幾，2〃)，

1+;cos0=X,

5

所以《

2+羋sin

。=2〃，

5

2-\/5

4+〃=2+^-cos，+季in0=2+sin（夕+0）W3（其中tan0=2）,當(dāng)且僅當(dāng)

5

JI

。=萬(wàn)+2?兀-0,AEZ時(shí)，4十〃取得最大值3.

10.如圖，在四邊形/四中，點(diǎn)￡，尸分別是邊/〃8。的中點(diǎn)，設(shè)下?~BC=m,~AC?~BD

n若4B=巾,EF=\,CD=^3,貝U（

A.2m—n=lB.2%一2刀=1

C.m—2n=lD.2n—2m=l

—?

解析：選DAC?BD=（AB+BC）?AB+AD）-~AB2JV~AB?~AD-

-------->--------?

AB?BC+AD?BC-AB2+AB?（AD-BC）+以=-AB2+ABAB+BC+

CD-BC）+m=AB?CD又EFEA+AB+BF,EF=ED+DC+CF,兩式相

加，再依據(jù)點(diǎn)￡,戶分別是邊歐的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)得2廝=48+"7,兩邊同時(shí)平方得4

111

即

所以

貝n+

*-*--如

=2+3+2AB?DC,2u22

=1,故選D.

二、填空題

11.（2024?龍巖模擬）已知向量a,b夾角為60°,且|a|=1,12a—b|=2噂，貝!||b|

解析：V|2a-b|=273,.'.4a2-4a?b+b2=12,

/.4Xf-4XlX|b|cos60°+|b產(chǎn)=12,

即b|2—21b—8=0,

解得⑻=4.

答案：4

12.（2025屆高三?寧波效實(shí)模擬）如圖，在平面四邊形/灰/中，

\AC\=3,\BD\=4,貝I］（萬(wàn)+左）?（■+萬(wàn)）=.A\/

解析：：在平面四邊形/反/中，\AC\=3,|即=4,B

AB+DC=AC+CB+DB+BC=AC+DB=AC—BD,

—?—?—?—?

BC+AD=BD+DC+AC+CD=AC+BD,

：.{AB+DC)?(BC+/，)=(AC-BDHAC+BD)=AC2-劭？=9—16=—7.

答案：一7

13.設(shè)向量a,13滿意憶+13|=2憶一1)|,瓜|=3,貝1b|的最大值是；最小值

是.

解析:由|a+b|=21a—b|兩邊平方，a2+2a?b+b2=4(a2—2a,b+b2),化簡(jiǎn)得到

3a2+3b2=10a?b^lO|a||b|,|b|2-101b|+9^0,解得lW：|b|W9.

答案：91

AD

14.(2024?嘉興期末)在中，AB=AC=2,D為四邊上的點(diǎn)，且說(shuō)=2,則

DU

CD,CA=；若CD=xCA+yCB,則xy=.

解析：以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，~AB,下分別為x軸，y軸的正方向建立如圖

所示的平面直角坐標(biāo)系，則4(0,0),6(2,0),C(0,2),噌，0),所以說(shuō)?西

(^\一一一(4\L

=匕，-2I-(0,—2)=4.由5+y%,得［j,-21=^(0,-2)+

4122

y(2,—2),所以1=2%—2=—2x—2y,解得y=~,所以燈=g.

oooy

a山2

答案：4-

15.(2024?溫州二模)若向量a,b滿意(a+b)?—b?=|a|=3,且|b|22,則a?b=

，a在b方向上的投影的取值范圍是.

解析：向量a,b滿意(a+b)?—b?=|a|=3,

/.a2+2a?b+b2—b2=3,

.*.9+2a,b=3,Aa,b=-3；

a?h—3

則a在b方向上的投影為|a|cos9=-=~,

3—3

又|b|22,J—2^7bT<0,

；.a在b方向上的投影取值范圍是一米0；

答案：一3-|,0)

16.（2024?溫州適應(yīng)性測(cè)試）已知向量a,b滿意|a|=|b|=a?b=2,向量x=Xa+

(1一4)b,向量丫=儂+疝，其中A,m,T?￡R,且勿>0,〃>0.若(y—x)?(a+b)=6,則H?

+力的最小值為.

解析：法一：依題意得，[加+〃b—Xa—(1—4)b]?(a+b)=6,所以[(〃-A)a+(〃

—1+4)b],(a+b)=6,因?yàn)閨a|=|b|=a?b=2,所以4(m—4)+4(〃-1+吹)+2[(必一

1)+(〃-1+4)]=6,所以〃+〃-1=1,即/+〃=2,所以〃2+〃2=蘇+(2—42=2/?/—4/

+4=25—1尸+2》2,當(dāng)且僅當(dāng)卬=1時(shí)取等號(hào)，所以幫+〃2的最小值為2.

法二：依題意得，[困+〃b—4a—(1—4)b]?(a+b)=6,

即[(m一A)a+(〃-1+A)b],(a+b)=6,

因?yàn)閨a|=|b|=a?b=2,所以4(nr—/)+4(A—1+/)+2](勿—1)+(〃—1+4)]=

6,

所以必+〃-1=1,即R+〃=2,所以序+4=(必+〃)2—23=4-207724-2仔^y=2,

當(dāng)且僅當(dāng)1n=n=l時(shí)取等號(hào)，所以蘇十〃2的最小值為2.

答案：2

17.已知在△/6C中，ACLAB,46=3,47=4.若點(diǎn)戶在△26C的內(nèi)切圓上運(yùn)動(dòng)，則

PA?kPB+47)的最小值為,此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

解析：因?yàn)?口血，所以以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，以/氏/C所在的直線

分別為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則/(0,0),6(3,0),

以0,4).由題意可知△力6c內(nèi)切圓的圓心為。(1,1),半徑為1.因?yàn)辄c(diǎn)尸

在△力回的內(nèi)切圓上運(yùn)動(dòng)，所以可設(shè)戶(1+cos9,1+sin

夕)(0W0〈2n).所以商=(—1—cos9,-1-sin夕)，~PB+^C

=(l-2cos9,2-2sin6),所以必?(必+R?)=(—1—cos?)(1—2cos9)+(一

1—sinO')(2—2sin9)=—1+cos9+2cos29—2+2sin29=—1+cos?！芬?一1

=一2,當(dāng)且僅當(dāng)cos6=-1,即P(0,1)時(shí)，PA?(如+PC)取到最小值，且最小值為

-2.

答案：一2(0,1)

B組一一實(shí)力小題保分練

1.已知△/回是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)。，￡分別是邊8c的中點(diǎn)，連接施并

延長(zhǎng)到點(diǎn)戶，使得龍=2鰭，則/b?8c的值為()

51

B

-8-8-

1U

C--

4D.8

解析：選B如圖所示，AFAD+DF.A

又D,￡分別為AB,8c的中點(diǎn)，且DE=2EF,所以ADAB,DF

1—*■1—*■3—?

2AC+]AC=~AC,

—**1—?3—?

所以AF=-AB+]AC,

又BC=AC—AB,

—?—?(1—>3—>■、—?—?

則AF?BC=1-AB+-ACh(AC-AB)

1133

工

而

2/萬(wàn)8

-2-2-4-4-

311311

72T一22

-C--8-

412-4-4-2-4-ACX|AB|XcosABAC.

又I萬(wàn)I=|~AC|=1,Z^4C=60°,

31111

故AF?^=I-i-iX1X1X2=i

2.如圖,在等腰梯形/以小中，已知加〃/6,/4DC=120°,

---*-1---?

胴=4,電2,動(dòng)點(diǎn)￡和廠分別在線段充和DC上,且龐=1TBC,

DF=ADC,則/￡-BF的最小值是（）

A.4^6+13B.4-76-13

C.4m十今

D.4^/6-y

解析：選B在等腰梯形/反力中，AB=4,CD=2,N49C=120°,易得49=8C=2.由

1

0<rr<b1---?---?---?

動(dòng)點(diǎn)￡和尸分別在線段功和2c上得所以'〈"I.所以AE-BF=(AB+

[0</<1,

BE)*(BC+CF)=AB?BC+BE-BCAB?CF+BE?CF=|AB\'\BC

------?------?

jcos120°+BE|?iBCI-AB|?|CF\+BE\?|CF|cos60°=4X2X+4

113

X2-4X(1-2)X2+—X(1—4)X2X-=-13+8-13+2

AA

13,當(dāng)且僅當(dāng)兒=平時(shí)取等號(hào).所以下?赤的最小值是4m—13.

3.（2024?臺(tái)州一模）已知單位向量ei,e2,且ei?e2=—],若向量a滿意（a—ej?（a

-e2）貝！J|a|的取值范圍為（）

1

且e2---

解析：選B???單位向量ei,e2el2

J<ei,e2>=120°，

若向量a滿意(a-ej?(a—e2)

2

則a—a?(ei+e2)+ei?e2=]

27

Ia|2-a?(ei+a)=1,

2

|a|—|a|?cos(a,ei+e2)

BPcos(a,ei+es)=~i~i-

|a|

V—l^cos〈a,e1+e2〉＜1,

wI

4aX

11

-+-

Ja的取值范圍為22

4.（2024?麗水模擬）在△Z6C和斯中，夕是廝的中點(diǎn)，28=鰭=1,比三6,CA=y]33f

若下?~AE+1C?~AF=2,則定與無(wú)的夾角的余弦值等于.

解析：由題意可得而2=（記一下）2=下2+/2—2定?~AB=33+1-

2AC?U=36,???丞?/=-1.

由45?AE+AC?AF=2,

可得AB,(AB+BE)+AC?(AB+BF)

=萬(wàn)2+而?肉+元?方+元?赤

=1-U?而+(-1)+記?~BF

=樂?CAC-~AB")

1--->,--->?

=《EF?BC=2,

故有樂?~BC=4.

再由鰭?BC=lX6Xcos(EF,BC)，

—?—?—?—?2

可得6Xcos(EF,BC)=4,.'.cos(EF,BC)="

u

答案：I

JI,,

5.(2025屆局三?鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)已知向量a,b的夾角為"，|b|=2,對(duì)隨意x￡R,

有

|b+xa|2|a—b|,貝!||砧一a|+fb—|(Z￡R)的最小值為.

解析：向量a,b夾角為丁，|b|=2,對(duì)隨意x￡R,有|b+xa|2|a—b|,

O

兩邊平方整理可得/a2+2Aa?b—(a2—2a,b)20,

貝ljzl=4(a?b)2+4a2(a2—2a,b)^0,

即有(a2—a,b)2^0,即為a2=a,b,

則(a—b)±a,

JI

由向量a,b夾角為|b|=2,

由a2=a?b=|a|?|b|?cos-,得|a|=l,

貝!J|a—b|=yja+tf—2a?b=y13,

畫出/0=a,AB=b,建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示:

則2(1,0),8(0,^3),

.*.a=(—1,0),b=(—1,十)；

/.|^b—a|+tb--

當(dāng)肱P,"共線時(shí)，取得最小值2|惻.

即有2|惻=2