滬教版七年級數(shù)學上學期考試滿分全攻略第7講十字相乘和分組分解法因式分解(3大考點)(原卷版+解析)

第7講十字相乘和分組分解法因式分解（3大考點）考點考向考點考向一、十字相乘十字相乘法：如果二次三項式中的常數(shù)項能分解成兩個因式、的積，而且一次項系數(shù)又恰好是，那么就可以進行如下的分解因式，即：要將二次三項式分解因式，就需要找到兩個數(shù)、，使它們的積等于常數(shù)項，和等于一次項系數(shù),滿足這兩個條件便可以進行如下分解因式，即：．由于把中的分解成兩個因數(shù)有多種情況，怎樣才能找到兩個合適的數(shù)，通常要經(jīng)過多次的嘗試才能確定采用哪種情況來進行分解因式．二、分組分解如何將多項式因式分解？分析：很顯然，多項式中既沒有公因式，也不好用公式法．怎么辦呢？由于,而：．這樣就有：將一個多項式分成二或三組，各組分別分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，這就是分組分解法．說明：如果把一個多項式的項分組并提出公因式后，它們的另一個因式正好相同，那么這個多項式就可以用分組分解法來分解因式．考點精講考點精講一．因式分解-十字相乘法等（共5小題）1．（2022春?寶山區(qū)校級月考）若x2+px+q＝（x﹣3）（x﹣5），則p+q的值為（）A．15 B．7 C．﹣7 D．﹣82．（2021秋?普陀區(qū)期末）已知關于x的多項式x2+kx﹣3能分解成兩個一次多項式的積，那么整數(shù)k的值為．3．（2021秋?寶山區(qū)期末）分解因式：x2+4x﹣21＝．4．（2021秋?普陀區(qū)期末）因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20．5．（2021秋?浦東新區(qū)期末）分解因式：x2﹣4x﹣12＝．二．因式分解-分組分解法（共8小題）6．（2022春?長寧區(qū)校級期中）分解因式：x2﹣y2+4y﹣4＝．7．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）分解因式：2x﹣ay+ax﹣2y＝．8．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）分解因式：am+an﹣bm﹣bn＝．9．（2022春?普陀區(qū)校級期中）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣1＝．10．（2021秋?寶山區(qū)期末）分解因式：x3+2x2y﹣9x﹣18y．11．（2021秋?普陀區(qū)期末）因式分解：ax﹣by+ay﹣bx＝．12．（2021秋?普陀區(qū)期末）因式分解：1﹣a2﹣4b2+4ab．13．（2021秋?浦東新區(qū)期末）分解因式：xy2﹣x﹣y2+1．三．因式分解的應用（共2小題）14．（2022春?金山區(qū)月考）如果x、y滿足，那么代數(shù)式x2﹣4y2的值為．15．（2021秋?寶山區(qū)期末）如果△ABC的三邊長a，b，c滿足等式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0，試判斷此△ABC的形狀并寫出你的判斷依據(jù)．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2022·上?！て吣昙壠谀┮阎住⒁?、丙均為x的一次多項式，且其一次項的系數(shù)皆為正整數(shù)．若甲與乙相乘，積為，乙與丙相乘，積為，則甲與丙相加的結果是（

）A． B． C． D．2．（2022·上海·七年級期末）已知可以被10至20之間的兩個整數(shù)整除，這兩個整數(shù)是（

）A．15,17 B．16,17 C．15,16 D．13,143．（2022·上?！て吣昙夐_學考試）如果多項式mx2﹣nx﹣2能因式分解為（3x+2）（x+p），那么下列結論正確的是（）A．m=6 B．n=1 C．p=﹣2 D．mnp=34．（2022·上海·七年級期末）如果一個三角形的三邊、、，滿足，那么這個三角形一定是（

）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．不等邊三角形 D．直角三角形二、填空題5．（2022·上海浦東新·七年級期末）因式分解：_______．6．（2022·上?！て吣昙壠谀┓纸庖蚴剑篲____．7．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）當時，代數(shù)式__________8．（2022·上?！ば轮谐跫壷袑W七年級期末）因式分解：m2-n2-2m+1=___．9．（2022·上海普陀·七年級期末）因式分解：ax﹣by+ay﹣bx＝_____．10．（2022·上海·七年級期末）計算：（1）__________．

（2）__________．（3）__________．11．（2022·上海普陀·七年級期末）已知關于x的多項式x2+kx﹣3能分解成兩個一次多項式的積，那么整數(shù)k的值為_____．12．（2022·上海·七年級專題練習）矩形的周長是，兩邊x，y使，則矩形面積為_________13．（2022·上海·七年級專題練習）因式分解：______________；________；__________；________14．（2022·上海寶山·七年級期末）分解因式：________．15．（2022·上?！て吣昙壠谀┮阎?，則_______________16．（2022·上?！て吣昙壠谀┮阎瑒t_____________17．（2022·上?！て吣昙壠谀┤绻鹸﹣2y+3＝0，那么代數(shù)式x2﹣（4y+1）x+4y2+2y的值為_____．18．（2022·上?！て吣昙壠谀┱龜?shù)滿足，那么______．19．（2022·上?！て吣昙壠谀┤鬭,b,c滿足，則________三、解答題20．（2022·上?！て吣昙夐_學考試）分解因式：．21．（2022·上海·七年級期末）因式分解：22．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）因式分解：23．（2022·上海寶山·七年級期末）分解因式：24．（2022·上?！て吣昙壠谀┓纸庖蚴剑海?5．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）已知有因式，求a的值，并將其因式分解．26．（2022·上?！て吣昙壠谀╅喿x理解：已知x3－8有一個因式x－2，我們可以用如下方法對x3－8進行因式分解．解：設x3－8＝（x－2）（x2＋ax＋b）因為（x－2）（x2＋ax＋b）＝x3＋（a－2）x2＋（b－2a）x－2b所以a－2＝0，且b－2a＝0，且－2b＝－8所以a＝2，且b＝4所以x3－8＝（x－2）（x2＋2x＋4）這種分解因式的方法叫做待定系數(shù)法．(1)已知x3＋27有一個因式x＋3，用待定系數(shù)法分解：x3＋27．(2)觀察上述因式分解，直接寫出答案：因式分解：a3＋b3＝；a3－b3＝．27．（2022·上?！て吣昙壠谀?shù)學業(yè)余小組在活動中發(fā)現(xiàn)：……（1）請你在答題卡中寫出（補上）上述公式中積為的一行；（2）請仔細領悟上述公式，并將分解因式：（3）請將分解因式．28．（2022·上?！て吣昙壠谀╅喿x下列材料：讓我們來規(guī)定一種運算：，例如：，再如：，按照這種運算的規(guī)定：請解答下列各個問題：(1)＝；（只填最后結果）(2)當x＝時，；（只填最后結果）(3)將下面式子進行因式分解：．（寫出解題過程）29．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）解方程(1)解關于x、y的方程：．(2)求方程的整數(shù)解．30．（2022·上?！て吣昙壠谀╅喿x以下材料，根據(jù)閱讀材料提供的方法解決問題【閱讀材料】對于多項式，我們把代入多項式，發(fā)現(xiàn)能使多項式的值為0，由此可以斷定多項式中有因式，（注：把代入多項式，能使多項式值為0，則多項式一定含有因式），于是我們可以把多項式寫成：，分別求出后代入，就可以把多項式因式分解．【解決問題】(1)求式子中的值；(2)以上這種因式分解的方法叫“試根法”，用“試根法”分解多項式．31．（2022·上海寶山·七年級期末）如果的三邊長滿足等式，試判斷此的形狀并寫出你的判斷依據(jù)．第7講十字相乘和分組分解法因式分解（3大考點）考點考向考點考向一、十字相乘十字相乘法：如果二次三項式中的常數(shù)項能分解成兩個因式、的積，而且一次項系數(shù)又恰好是，那么就可以進行如下的分解因式，即：要將二次三項式分解因式，就需要找到兩個數(shù)、，使它們的積等于常數(shù)項，和等于一次項系數(shù),滿足這兩個條件便可以進行如下分解因式，即：．由于把中的分解成兩個因數(shù)有多種情況，怎樣才能找到兩個合適的數(shù)，通常要經(jīng)過多次的嘗試才能確定采用哪種情況來進行分解因式．二、分組分解如何將多項式因式分解？分析：很顯然，多項式中既沒有公因式，也不好用公式法．怎么辦呢？由于,而：．這樣就有：將一個多項式分成二或三組，各組分別分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，這就是分組分解法．說明：如果把一個多項式的項分組并提出公因式后，它們的另一個因式正好相同，那么這個多項式就可以用分組分解法來分解因式．考點精講考點精講一．因式分解-十字相乘法等（共5小題）1．（2022春?寶山區(qū)校級月考）若x2+px+q＝（x﹣3）（x﹣5），則p+q的值為（）A．15 B．7 C．﹣7 D．﹣8【分析】直接利用多項式乘多項式運算法則得出p，q的值，進而得出答案．【解答】解：∵x2+px+q＝（x﹣3）（x﹣5），∴x2+px+q＝x2﹣8x+15，故p＝﹣8，q＝15，則p+q＝﹣8+15＝7．故選：B．【點評】此題主要考查了十字相乘法分解因式，正確運用多項式乘多項式運算法則是解題關鍵．2．（2021秋?普陀區(qū)期末）已知關于x的多項式x2+kx﹣3能分解成兩個一次多項式的積，那么整數(shù)k的值為±2．【分析】把常數(shù)項分解成兩個整數(shù)的乘積，k就等于那兩個整數(shù)之和．【解答】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3，∴k＝﹣3+1＝﹣2或k＝﹣1+3＝2，∴整數(shù)k的值為：±2，故答案為：±2．【點評】本題考查了因式分解﹣十字相乘法，熟練掌握因式分解﹣十字相乘法是解題的關鍵．3．（2021秋?寶山區(qū)期末）分解因式：x2+4x﹣21＝（x+7）（x﹣3）．【分析】根據(jù)因式分解﹣十字相乘法進行分解即可．【解答】解：x2+4x﹣21＝（x+7）（x﹣3），故答案為：（x+7）（x﹣3）．【點評】本題考查了因式分解﹣十字相乘法，熟練掌握因式分解﹣十字相乘法是解題的關鍵．4．（2021秋?普陀區(qū)期末）因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20．【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出即可．【解答】解：原式＝（x2+4x﹣5）（x2+4x+4）＝（x+5）（x﹣1）（x+2）2．【點評】本題考查十字相乘法分解因式，運用十字相乘法分解因式時，要注意觀察，嘗試，并體會它實質(zhì)是二項式乘法的逆過程．5．（2021秋?浦東新區(qū)期末）分解因式：x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．【分析】因為﹣6×2＝﹣12，﹣6+2＝﹣4，所以利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．故答案為：（x﹣6）（x+2）．【點評】本題考查十字相乘法分解因式，運用十字相乘法分解因式時，要注意觀察，嘗試，并體會它實質(zhì)是二項式乘法的逆過程．二．因式分解-分組分解法（共8小題）6．（2022春?長寧區(qū)校級期中）分解因式：x2﹣y2+4y﹣4＝（x+y﹣2）（x﹣y+2）．【分析】直接將后三項分組，結合完全平方公式以及平方差公式分解因式，進而得出答案．【解答】解：原式＝x2﹣（y2﹣4y+4）＝x2﹣（y﹣2）2＝（x+y﹣2）（x﹣y+2）．故答案為：（x+y﹣2）（x﹣y+2）．【點評】此題主要考查了分組分解法分解因式，正確運用乘法公式分解因式是解題關鍵．7．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）分解因式：2x﹣ay+ax﹣2y＝（x﹣y）（2+a）．【分析】將“2x﹣ay+ax﹣2y”分成兩組，然后利用提取公因式法進行因式分解．【解答】解：2x﹣ay+ax﹣2y＝（2x﹣2y）+（ax﹣ay）＝2（x﹣y）+a（x﹣y）＝（x﹣y）（2+a）．故答案是：（x﹣y）（2+a）．【點評】本題考查用分組分解法進行因式分解．難點是采用兩兩分組還是三一分組．8．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）分解因式：am+an﹣bm﹣bn＝（m+n）（a﹣b）．【分析】把前兩項分為一組，后兩項分為一組，然后再進行分解即可解答．【解答】解：am+an﹣bm﹣bn＝（am+an）﹣（bm+bn）＝a（m+n）﹣b（m+n）＝（m+n）（a﹣b），故答案為：（m+n）（a﹣b）．【點評】本題考查了因式分解﹣分組分解法，熟練掌握因式分解﹣分組分解法是解題的關鍵．9．（2022春?普陀區(qū)校級期中）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．【分析】當被分解的式子是四項時，應考慮運用分組分解法進行分解，前三項a2﹣2ab+b2可組成完全平方公式，可把前三項分為一組．【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣1，＝（a﹣b）2﹣1，＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．【點評】本題考查用分組分解法進行因式分解．難點是采用兩兩分組還是三一分組．本題前三項可組成完全平方公式，可把前三項分為一組．10．（2021秋?寶山區(qū)期末）分解因式：x3+2x2y﹣9x﹣18y．【分析】先分組各自提公因式，然后再利用平方差公式繼續(xù)分解即可．【解答】解：x3+2x2y﹣9x﹣18y＝x2（x+2y）﹣9（x+2y）＝（x+2y）（x2﹣9）＝（x+2y）（x+3）（x﹣3）．【點評】本題考查了因式分解﹣分組分解法，一定要注意把每一個多項式分解到不能再分解為止．11．（2021秋?普陀區(qū)期末）因式分解：ax﹣by+ay﹣bx＝（a﹣b）（x+y）．【分析】先分組，再提取公因式，再提取公因式．【解答】解：ax﹣by+ay﹣bx＝（ax﹣bx）+（ay﹣by）＝x（a﹣b）+y（a﹣b）＝（a﹣b）（x+y）．故答案為：（a﹣b）（x+y）．【點評】本題主要考查了因式分解﹣分組分解法，掌握因式分解﹣分組分解法的方法，先分組，再分解因式，提取公因式的熟練應用是解題關鍵．12．（2021秋?普陀區(qū)期末）因式分解：1﹣a2﹣4b2+4ab．【分析】先分組，再逆用完全平方公式、平方差公式進行因式分解．【解答】解：1﹣a2﹣4b2+4ab＝1﹣（a2+4b2﹣4ab）＝1﹣（a﹣2b）2＝（1+a﹣2b）[1﹣（a﹣2b）]＝（1+a﹣2b）（1﹣a+2b）．【點評】本題主要考查因式分解，熟練掌握公式法以及分組分解法是解決本題的關鍵．13．（2021秋?浦東新區(qū)期末）分解因式：xy2﹣x﹣y2+1．【分析】先分組，再提公因式分解．【解答】解：原式＝（xy2﹣x）﹣（y2﹣1）＝x（y2﹣1）﹣（y2﹣1）＝（y2﹣1）（x﹣1）＝（y﹣1）（y+1）（x﹣1）．【點評】本題考查因式分解，根據(jù)多項式特征確定正確的分組方式是求解本題的關鍵．三．因式分解的應用（共2小題）14．（2022春?金山區(qū)月考）如果x、y滿足，那么代數(shù)式x2﹣4y2的值為6．【分析】把代數(shù)式x2﹣4y2分解得到（x+2y）（x﹣2y），然后利用整體代入的方法計算即可．【解答】解：∵x、y滿足，∴x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝3×2＝6．故答案為：6．【點評】本題主要考查了因式分解﹣公式法：如果把乘法公式反過來，就可以把一些多項式分解因式，這種方法叫公式法，熟練運用平方差公式是解決本題的關鍵．15．（2021秋?寶山區(qū)期末）如果△ABC的三邊長a，b，c滿足等式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0，試判斷此△ABC的形狀并寫出你的判斷依據(jù)．【分析】先將等式變形為2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca＝0，結合完全平方公式可得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，得出a，b，c之間的關系，進而得出三角形的形狀．【解答】解：△ABC是等邊三角形．理由如下：由a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0可得，2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca＝0，∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ca+c2）＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等邊三角形．【點評】本題考查了因式分解的運用，等邊三角形的判定及性質(zhì)的運用，非負數(shù)和為0的定理的運用．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2022·上海·七年級期末）已知甲、乙、丙均為x的一次多項式，且其一次項的系數(shù)皆為正整數(shù)．若甲與乙相乘，積為，乙與丙相乘，積為，則甲與丙相加的結果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先將兩個代數(shù)式進行因式分解，從而得出甲、乙、丙三個代數(shù)式，進而得出答案．【詳解】解：∵∴甲為：x+7，乙為：x－7，丙為：x-2，∴甲+丙=（x+7）+（x-2）=2x+5，

故選A．【點睛】本題主要考查的就是因式分解的應用，屬于基礎題型．2．（2022·上?！て吣昙壠谀┮阎梢员?0至20之間的兩個整數(shù)整除，這兩個整數(shù)是（

）A．15,17 B．16,17 C．15,16 D．13,14【答案】A【分析】把因式分解即可看出可以被10至20之間的哪兩個整數(shù)整除.【詳解】=(216+1)(216-1)=(216+1)(28+1)(28-1)=(216+1)(28+1)(24+1)(24-1)=(216+1)(28+1)(24+1)(22+1)(22-1)=(216+1)(28+1)×17×5×3=(216+1)(28+1)×17×15∴可以被10至20之間的17和15兩個整數(shù)整除.故選A.【點睛】本題考查了因式分解的應用，熟練掌握平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）是解答本題的關鍵.3．（2022·上?！て吣昙夐_學考試）如果多項式mx2﹣nx﹣2能因式分解為（3x+2）（x+p），那么下列結論正確的是（）A．m=6 B．n=1 C．p=﹣2 D．mnp=3【答案】B【詳解】解：∵多項式能因式分解為解得：．故選B．4．（2022·上海·七年級期末）如果一個三角形的三邊、、，滿足，那么這個三角形一定是（

）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．不等邊三角形 D．直角三角形【答案】B【分析】由已知推出=0即（a-b）（b-c）=0，即可判定三角形邊的關系.【詳解】解：=0（a-b）（b-c）=0即：a=b或b=c，則三角形一定為等腰三角形；故答案為B.【點睛】本題考查了三角形形狀的判定，其關鍵在于對等式的變形，推導出a、b、c的關系.二、填空題5．（2022·上海浦東新·七年級期末）因式分解：_______．【答案】【分析】利用十字相乘法分解因式即可得．【詳解】解：因為，且是的一次項的系數(shù)，所以，故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握十字相乘法是解題關鍵．6．（2022·上?！て吣昙壠谀┓纸庖蚴剑篲____．【答案】【分析】原式利用十字相乘法分解即可．【詳解】原式=（x-2）（x+5），故答案為：（x-2）（x+5）【點睛】此題考查了因式分解-十字相乘法，熟練掌握十字相乘的方法是解本題的關鍵．7．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）當時，代數(shù)式__________【答案】0【分析】原式先提取x，再分組，利用因式分解，代入數(shù)值即可求解．【詳解】解：∵x=-6，，∴=0．故答案為：0．【點睛】本題考查了因式分解的應用，掌握分組分解法以及提公因式法分解因式是解題的關鍵．8．（2022·上?！ば轮谐跫壷袑W七年級期末）因式分解：m2-n2-2m+1=___．【答案】（m-1+n）（m-1-n）【分析】先分組，得到m2-2m+1-n2，后進行完全平方公式分解與平方差公式分解即可．【詳解】原式=m2-2m+1-n2=（m-1）2-n2=（m-1+n）（m-1-n）．故答案為（m-1+n）（m-1-n）．【點睛】本題考查了分組分解法、完全平方公式、平方差公式，將原式分組得到可以運用公式解決是關鍵．9．（2022·上海普陀·七年級期末）因式分解：ax﹣by+ay﹣bx＝_____．【答案】【分析】先分組，再提取公因式，最后再提取公因式．【詳解】解：ax﹣by+ay﹣bx＝（ax﹣bx）+（ay﹣by）＝x（a﹣b）+y（a﹣b）＝（a﹣b）（x+y）故答案為：（a﹣b）（x+y）【點睛】本題考查了因式分解，掌握分組分解是解題關鍵．10．（2022·上?！て吣昙壠谀┯嬎悖海?）__________．

（2）__________．（3）__________．【答案】

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【詳解】第一個式子，利用平方差公式求得原式=，然后約分即可求得答案；第二個式子，方法同第一個式子，注意約分；由以上規(guī)律可得，即可求得第三個式子答案．解：===；===；==．本題考查因式分解的實際運用，掌握平方差公式是解題的關鍵．11．（2022·上海普陀·七年級期末）已知關于x的多項式x2+kx﹣3能分解成兩個一次多項式的積，那么整數(shù)k的值為_____．【答案】【分析】把常數(shù)項分解成兩個整數(shù)的乘積，k就等于那兩個整數(shù)之和．【詳解】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3，∴k＝﹣3+1＝﹣2或k＝﹣1+3＝2，∴整數(shù)k的值為：±2，故答案為：±2．【點睛】本題考查因式分解—十字相乘法，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．12．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）矩形的周長是，兩邊x，y使，則矩形面積為_________【答案】49【分析】先利用矩形的周長公式求出，再由得出，進而得出，解二元一次方程組求出x，y，即可求出矩形的面積．【詳解】解：∵矩形的周長是，兩邊為x，y，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解方程組，得，∴矩形面積．【點睛】本題考查因式分解的應用，矩形的周長、面積公式，以及解二元一次方程組，通過因式分解得出是解題的關鍵．13．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）因式分解：______________；________；__________；________【答案】

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．【分析】利用完全平方公式、十字相乘法、提取公因式法以及分組分解法求解即可．【詳解】解：；；；；故答案為：；；；．【點睛】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．14．（2022·上海寶山·七年級期末）分解因式：________．【答案】##【分析】將原多項式分組變形，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【詳解】解：====，故答案為：．【點睛】本題考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟記公式，靈活運用因式分解的方法是解答的關鍵．15．（2022·上?！て吣昙壠谀┮阎?，則_______________【答案】24【分析】先對已知進行變形，求得a、b、c、d的值，再代入求解．【詳解】∵a+2b+3c+4d=30，∴2a+4b+6c+8d=60①又∵a2+b2+c2+d2=30②②﹣①a2+b2+c2+d2﹣2a﹣4b﹣6c﹣8d=﹣30可變形為(a﹣1)2+(b﹣2)2+(c﹣3)2+(d﹣4)2=0，∴a=1，b=2，c=3，d=4，∴ab+bc+cd+da=b(a+c)+d(a+c)=(a+c)(b+d)=4×6=24．故答案為：24．【點睛】本題考查了完全平方公式以及非負數(shù)的性質(zhì)．當所給的等式比字母少時，又需要知道字母的值，往往需要變成一種特殊形式：幾個非負數(shù)的和為0，則這幾個非負數(shù)同時為0．16．（2022·上?！て吣昙壠谀┮阎?，則_____________【答案】±27【分析】由每個等式的結果等于8，得到與(a+1)，(b+1)，(c+1)有關的值，進而代入所給代數(shù)式求值即可．【詳解】由題意得：ab+a+b=8，∴ab+a+b+1=9，∴(ab+a)+(b+1)=a(b+1)+(b+1)=(a+1)(b+1)=9，即(a+1)(b+1)=9，同理可得：(b+1)(c+1)=9，(a+1)(c+1)=9，∴[(a+1)(b+1)(c+1)]2=9×9×9，∴(a+1)(b+1)(c+1)=±27．故答案為：±27．【點睛】本題考查了代數(shù)式的求值，利用因式分解得到和所給代數(shù)式相關的值是解答本題的關鍵．17．（2022·上海·七年級期末）如果x﹣2y+3＝0，那么代數(shù)式x2﹣（4y+1）x+4y2+2y的值為_____．【答案】12【分析】根據(jù)x﹣2y+3＝0，可得x﹣2y的值，然后將題目中的式子因式分解即可解答本題．【詳解】∵x﹣2y+3＝0，∴x﹣2y＝﹣3，∴x2﹣（4y+1）x+4y2+2y＝（x﹣2y）[x﹣（2y+1）]＝（x﹣2y）（x﹣2y﹣1）＝（﹣3）×（﹣3﹣1）＝（﹣3）×（﹣4）＝12，故答案為：12．【點睛】本題考查因式分解的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用因式分解的方法解答．18．（2022·上海·七年級期末）正數(shù)滿足，那么______．【答案】64【分析】將式子因式分解為(a-c)(b+2)=0，求得a=c,同理可得a=b=c,再=12可化為a2+4a-12=0，求出a的值，再求得值即可．【詳解】解：∵，∴ab-bc+2(a-c)=0,即(a-c)(b+2)=0,∵b﹥0,∴b+2≠0,∴a-c=0,∴a=c,同理可得a=b,b=c,∴a=b=c,∴=12可化為a2+4a-12=0∴(a+6)(a-2)=0,∵a為正數(shù)，∴a+6≠0,∴a-2=0,∴a=2,即a=b=c=2,∴(2+2)×(2+2)×(2+2)=64故答案為64．【點睛】本題考查因式分解的應用；能夠?qū)⑺o式子進行正確的因式分解是解題的關鍵．19．（2022·上海·七年級期末）若a,b,c滿足，則________【答案】【分析】關鍵整式的乘法法則運算，并整體代入變形即可.【詳解】因為所以，即因為所以因為所以因為所以即因為即故答案為：【點睛】本題考查的是整式的乘法，熟練掌握乘法法則并會對算式進行變形是關鍵.三、解答題20．（2022·上海·七年級開學考試）分解因式：．【答案】．【分析】設，將原式轉(zhuǎn)化為，y代回利用十字相乘法分解即可求解.【詳解】解：設，原式,,,,．故答案為．【點睛】本題考查因式分解-十字相乘法，解題的關鍵是掌握十字相乘法分解因式以及換元思想的運用.21．（2022·上?！て吣昙壠谀┮蚴椒纸猓骸敬鸢浮俊痉治觥坷梅纸M分解法、完全平方公式和平方差公式進行因式分解．【詳解】===．【點睛】考查了綜合因式分解法，其中分組分解法適用于多項式不能直接使用提取公因式法、公式法與十字相乘法的多項式分解情況，但分組分解法又比較靈活，其分解的關鍵在于分組要適當，因而我們需要牢記它的分組原則：①分組后能直接提取公因式；②分組后能直接運用公式．22．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）因式分解：【答案】【分析】首先提取公因式，然后再用十字相乘法分解因式即可．【詳解】解：．【點睛】此題考查了因式分解，熟練掌握提取公因式和十字相乘法是本題的關鍵．23．（2022·上海寶山·七年級期末）分解因式：【答案】【分析】先提取公因式，再用十字相乘法分解即可．【詳解】解：==．【點睛】本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．因式分解必須分解到每個因式都不能再分解為止．24．（2022·上?！て吣昙壠谀┓纸庖蚴剑海敬鸢浮俊痉治觥肯壤檬窒喑朔ǚ纸?，再利用平方差公式進行分解即可．【詳解】解：原式故答案為：（x-1)(x+1)(x-3)(x+3)【點睛】本題考查了因式分解，掌握十字相乘法和平方差公式是解題關鍵．25．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）已知有因式，求a的值，并將其因式分解．【答案】，原式【分析】首先根據(jù)題意“有因式”，可得出，進而得出當時，，然后把代入，即可算出的值，然后把的值代入，即可得到，然后再用提公因式法和平方差公式分解因式，即可得出結果．【詳解】解：∵有因式，∴，即，∴時，，∴把代入，可得：，解得：，∴把代入，可得：，∴．【點睛】本題考查了提公因式法分解因式、平方差公式，解本題的關鍵在熟練掌握因式分解．26．（2022·上?！て吣昙壠谀╅喿x理解：已知x3－8有一個因式x－2，我們可以用如下方法對x3－8進行因式分解．解：設x3－8＝（x－2）（x2＋ax＋b）因為（x－2）（x2＋ax＋b）＝x3＋（a－2）x2＋（b－2a）x－2b所以a－2＝0，且b－2a＝0，且－2b＝－8所以a＝2，且b＝4所以x3－8＝（x－2）（x2＋2x＋4）這種分解因式的方法叫做待定系數(shù)法．(1)已知x3＋27有一個因式x＋3，用待定系數(shù)法分解：x3＋27．(2)觀察上述因式分解，直接寫出答案：因式分解：a3＋b3＝；a3－b3＝．【答案】(1)(2)；【分析】（1）設，根據(jù)，可得，且，且，即可求解；（2）令x為a，底數(shù)3為b，可得，同理，即可求解．(1)解：設，∵，∴，且，且，∴，；(2)由（1）得：，令x為a，底數(shù)3為b，∴；同理可得：．【點睛】本題主要考查了因式分解，明確題意，理解閱讀材料，利用類比思想解答是解題的關鍵．27．（2022·上?！て吣昙壠谀?shù)學業(yè)余小組在活動中發(fā)現(xiàn)：……（1）請你在答題卡中寫出（補上）上述公式中積為的一行；（2）請仔細領悟上述公式，并將分解因式：（3）請將分解因式．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）將n=5代入公式中即可求出結論；（2）根據(jù)=，然后利用條件中公式因式分解即可；（3）將多項式乘再除以，然后根據(jù)條件中公式將分子變形，再利用平方差公式和條件公式將分子因式分解，最后約分即可．【詳解】解：（1）將n