人教版初中數(shù)學(xué)同步講義練習(xí)-9下第02講 相似三角形及其性質(zhì)（解析版）

第02講相似三角形的性質(zhì)及其判定課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①相似三角形的定義②相似三角形的性質(zhì)③相似三角形的判定掌握相似三角形的定義及其表示方法。掌握相似三角形的性質(zhì)并能夠熟練應(yīng)用。掌握相似三角形的判定并能夠熟練的判定相似三角形。知識(shí)點(diǎn)01相似三角形的定義與性質(zhì)相似三角形的定義：如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。用符號(hào)“∽”來(lái)表示。若△ABC相似于△DEF，A對(duì)應(yīng)D，B對(duì)應(yīng)E，C對(duì)應(yīng)F。則表示為△ABC∽△EDF。對(duì)應(yīng)邊的比叫做這兩個(gè)三角形的相似比。相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等。②相似三角形（多邊形）的周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比。③相似三角形的面積的比等于相似比的平方。題型考點(diǎn)：①求相似三角形的相似比。②利用相似三角形的性質(zhì)求值?！炯磳W(xué)即練1】1．已知△ABC∽△DEF，若∠A＝30°，∠B＝80°，則∠F的度數(shù)為（）A．30° B．80° C．70° D．60°【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴∠A＝∠D＝30°，∠B＝∠E＝80°，∠C＝∠F，∵∠D+∠E+∠F＝180°，∴∠F＝70°．故選：C．【即學(xué)即練2】2．如圖，△ADE∽△ABC，若AD＝1，BD＝2，則△ADE與△ABC的相似比是（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：2【解答】解：∵AD＝1，BD＝2，∴AB＝AD+BD＝3．∵△ADE∽△ABC，∴AD：AB＝1：3．∴△ADE與△ABC的相似比是1：3．故選：B．【即學(xué)即練3】3．若兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)之比是1：2，則它們的面積之比是（）A．1：2 B．1： C．2：1 D．1：4【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)之比是1：2，∴兩個(gè)相似三角形的相似比是1：2，∴它們的面積之比是：1：4，故選：D．【即學(xué)即練4】4．如圖，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四邊形BDEC＝1：2其中CB＝，DE的長(zhǎng)為（）A．6 B． C． D．5【解答】解：∵△ABC∽△ADE，S△ABC：S四邊形BDEC＝1：2，∴S△ABC：S△ADE＝1：3，∴，∵CB＝，∴DE＝，故選：B．【即學(xué)即練5】5．若△ABC∽△DEF，△ABC的面積為81cm2，△DEF的面積為36cm2，且AB＝12cm，則DE＝8cm．【解答】解：△ABC的面積為81cm2，△DEF的面積為36cm2，因而兩個(gè)三角形面積的比是81：36，相似三角形面積的比等于相似比的平方，則相似比是9：6，則有12：DE＝9：6解得：DE＝8cm．故答案為：8．【即學(xué)即練6】6．如圖，△ABC，AB＝12，AC＝15，D為AB上一點(diǎn)，且AD＝AB，在AC上取一點(diǎn)E，使以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，則AE等于（）A． B．10 C．或10 D．以上答案都不對(duì)【解答】解：如圖（1）當(dāng)∠AED＝∠C時(shí)，即DE∥BC則AE＝AC＝10（2）當(dāng)∠AED＝∠B時(shí)，△AED∽△ABC∴，即AE＝綜合（1），（2），故選C．知識(shí)點(diǎn)02相似三角形判定的預(yù)備定理判定預(yù)備定理內(nèi)容：平行于三角形其中一邊的直線與另兩邊或兩邊的延長(zhǎng)線相交，所得到的三角形與原三角形相似。圖1圖2如圖1：△AOE∽△ABC；如圖2，△AOB∽△COD題型考點(diǎn)：①利用預(yù)備定理進(jìn)行相似三角形的判定?！炯磳W(xué)即練1】7．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，AD：BD＝1：2，DE∥BC交AC于E，下列結(jié)論中不正確的是（）A．BC＝3DE B．△ADE∽△ABC C． D．【解答】解：∵AD：BD＝1：2，∴AB＝3AD，∵DE∥BC，∴＝＝，∴BC＝3DE，A結(jié)論正確；∵DE∥BC，∴＝，C結(jié)論正確；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，B結(jié)論正確；∵DE∥BC，AB＝3AD，∴S△ADE＝S△ABC，D結(jié)論錯(cuò)誤，故選：D．【即學(xué)即練2】8．如圖，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，求證：△ADE∽△DBF．【解答】證明：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DF∥AC，∴△DBF∽△ABC，∴△ADE∽△DBF．知識(shí)點(diǎn)03相似三角形的判定定理1—三邊成比例的兩個(gè)三角形相似三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似：若兩個(gè)三角形三邊的比相等，則這兩個(gè)三角形相似。題型考點(diǎn)：①利用判定定理1判定三角形相似?！炯磳W(xué)即練1】9．一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為12cm，8cm，7cm，另一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為16cm，24cm，14cm，這兩個(gè)三角形相似嗎？為什么？【解答】解：∵，∴這兩個(gè)三角形相似．【即學(xué)即練2】10．如圖，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D，E，F(xiàn)分別OA，OB，OC，上的點(diǎn)，DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC．求證：△DEF∽△ABC．【解答】解：∵DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC，∴＝＝＝＝，即＝＝，∴△DEF∽△ABC．知識(shí)點(diǎn)04相似三角形的判定定理2—兩邊及其夾角判定判定定理2的內(nèi)容：兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且這兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角相等的兩個(gè)三角形相似。題型考點(diǎn)：①利用判定定理2判定三角形相似?！炯磳W(xué)即練1】11．如圖，點(diǎn)C在△ADE的邊DE上，∠1＝∠2，，請(qǐng)說(shuō)明△ABC∽△ADE．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE，∵，∴，∴△ABC∽△ADE．【即學(xué)即練2】12．如圖，D是△ABC的邊BC上的一點(diǎn)，AB＝2，BD＝1，DC＝3，求證：△ABD∽△CBA．【解答】證明：∵BD＝1，DC＝3，∴BC＝BD+CD＝1+3＝4，∵＝，∴＝，∵∠B為公共角，∴△ABD∽△CBA．【即學(xué)即練3】13．如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝8，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿BA方向以每秒1個(gè)單位移動(dòng)，點(diǎn)Q從A出發(fā)沿AC方向以每秒2個(gè)單位移動(dòng)，當(dāng)它們到達(dá)A、C后停止運(yùn)動(dòng)．試問(wèn)經(jīng)過(guò)幾秒后，△ABC與△APQ相似？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：經(jīng)過(guò)2秒后△ABC與△APQ相似．設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后△ABC∽△APQ，∵AB＝4，AC＝8，∴AP＝4﹣t，AQ＝2t，∴＝，即＝，解得t＝2．同理，當(dāng)△ABC∽△AQP時(shí)，t＝綜上所述，經(jīng)過(guò)2或秒后，△ABC與△APQ相似．知識(shí)點(diǎn)05相似三角形的判定定理3—兩角判定判定定理3的內(nèi)容：兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形相似。題型考點(diǎn)：①利用判定定理3判定三角形相似?！炯磳W(xué)即練1】14．如圖，已知在△ABC與△DEF中，∠C＝54°，∠A＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°，求證：△ABC∽△DEF．【解答】解：在△ABC中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝79°，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC∽△DEF．【即學(xué)即練2】15．已知：如圖，∠1＝∠2＝∠3，求證：△ABC∽△ADE．【解答】證明：∵∠ADC＝∠2+∠ADE＝∠B+∠1，∠1＝∠2，∴∠ADE＝∠B，∵∠1＝∠3，∴∠BAC＝∠DAE，∴△BAC∽△DAE．【即學(xué)即練3】16．已知：如圖AB為⊙O的直徑，弦AC、BD相交于點(diǎn)P，（1）證明圖中的相似三角形；（2）若AB＝3，CD＝1，AC＝2，求AP的長(zhǎng)．【解答】解：（1）△ABP∽△DCP．理由：∵∠B＝∠C，∠APB＝∠DPC∴△ABP∽△DCP；（2）連接BC．∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴BC2＝AB2﹣AC2＝32﹣22＝5，∵△ABP∽△DCP，∴＝＝，設(shè)PC＝x，PB＝3x，∵PB2＝PC2+BC2，∴9x2＝x2+5，∴x＝，∴PA＝AC＝PC＝2﹣題型01相似三角形的性質(zhì)求線段【典例1】在△ABC中，BC＝15cm，CA＝45cm，AB＝63cm，另一個(gè)和它相似的三角形的最短邊是5cm，則最長(zhǎng)邊是（）A．18cm B．21cm C．24cm D．19.5cm【解答】解：根據(jù)題意，這兩個(gè)相似三角形的相似比是15：5＝3，最長(zhǎng)邊是63÷3＝21（cm）．故選：B．【典例2】如圖，在三角形ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一點(diǎn)AD＝12，在AB上取一點(diǎn)E，使A、D、E三點(diǎn)組成的三角形與ABC相似，則AE＝16或9．【解答】解：①AD與AC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∵AB＝24，AC＝18，AD＝12，∴＝，即＝，解得AE＝16；②AD與AB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∵AB＝24，AC＝18，AD＝12，∴＝，即＝，解得AE＝9，∴AE＝16或9．故答案為：16或9．【典例3】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的長(zhǎng)．【解答】解：∵△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，∴＝，即＝，解得DF＝3，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠D＝90°，由勾股定理得：EF＝＝＝．【典例4】如圖，已知△AOB∽△DOC，OA＝2，AD＝9，OB＝5，DC＝12．求AB，OC的長(zhǎng)．【解答】解：∵OA＝2，AD＝9，∴OD＝9﹣2＝7，∵△AOB∽△DOC，∴＝＝，∵OA＝2，OB＝5，DC＝12，∴＝＝，解得OC＝，AB＝．題型02相似三角形的性質(zhì)求周長(zhǎng)與面積【典例1】若△ABC∽△DEF，且面積比為4：9，其中△ABC的周長(zhǎng)為6cm，則△DEF的周長(zhǎng)是（）A．4cm B．9cm C．13.5cm D．9cm或13.5cm【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且面積比為4：9，∴C△ABC：C△DEF＝2：3，∵△ABC的周長(zhǎng)為6cm，∴△DEF的周長(zhǎng)是9cm，故選：B．【典例2】?jī)蓚€(gè)相似三角形，其周長(zhǎng)之比為3：2，則其面積比為（）A． B．3：2 C．9：4 D．不能確定【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形，其周長(zhǎng)之比為3：2，∴其相似比為3：2，∴其面積比為9：4．故選：C．【典例3】在一張縮印出來(lái)的紙上，一個(gè)三角形的一條邊由原圖中的6cm變成了2cm，則縮印出的三角形的面積是原圖中三角形面積的（）A． B． C． D．【解答】解：∵三角形的一條邊由原圖中的6cm變成了2cm，∴原三角形與縮印出的三角形是相似比為3：1，∴原三角形與縮印出的三角形是面積比為9：1，∴縮印出的三角形的面積是原圖中三角形面積的，故選：C．【典例4】已知△ABC的三邊分別是5，6，7，則與它相似△A′B′C′的最短邊為10，則△A′B′C′的周長(zhǎng)是36．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，△ABC的三邊分別是5，6，7，△A′B′C′的最短邊為10，∴相似比是：＝，∴△A′B′C′的另外兩條邊是6×2＝12，7×2＝14，∴△A′B′C′的周長(zhǎng)是：10+12+14＝36，故答案為：36．題型03相似三角形的判定【典例1】如圖，點(diǎn)C，F(xiàn)在線段BD上，AB∥DE，，求證：△ABC∽△EDF．【解答】證明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠D，∵，∴△ABC∽△EDF．【典例2】如圖，點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，∠DAE＝∠BAC，∠AEC+∠ACB＝180°．求證：△DAB∽△EAC．【解答】證明：∵∠AEC+∠ACB＝180°，∠AEC+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠ACB，∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∵∠DAE＝∠BAC，即∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAC，∴∠DAB＝∠EAC，而＝，∴△DAB∽△EAC．【典例3】如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，點(diǎn)P在BC上，且∠APD＝90°．求證：△ABP∽△PCD．【解答】證明：∵∠APD＝90°，∠B＝∠C＝90°，∴∠APB+∠CPD＝90°，∠BAP+∠APB＝90°，∴∠CPD＝∠BAP，又∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCD．【典例4】在△ABC中，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分別是F，E，連接EF．求證：（1）△BAF∽△BCE；（2）△BEF∽△BCA．【解答】證明：（1）∵AF⊥BC，CE⊥AB，∴∠AFB＝∠CEB＝90°．∵∠B＝∠B，∴△BAF∽△BCE．（2）∵△BAF∽△BCE，∴＝，∵∠B＝∠B，∴△BEF∽△BCA．【典例5】如圖所示，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為2cm/s，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問(wèn)題：（1）△BPQ的面積可能是為5cm2嗎？為什么？（2）在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ與△ABC相似？并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）不存在，理由如下：由勾股定理得：BC＝＝10，∴sin∠B＝，∵BP＝8﹣2t，BQ＝2t，sin∠B＝，如圖，在Rt△BPM中，∵sinB＝，∴PM＝PB?sinB，∴S△BPQ＝，即：＝5，整理得：6t2﹣24t+25＝0，Δ＝242﹣4×6×25＝576﹣600＝﹣24＜0，方程無(wú)解，即不存在△BPQ的面積為5cm2．（2）△BPQ與△ABC相似有兩種情況：①當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，即PQ∥AC的相似，∴，∴，解得：t＝，②當(dāng)∠BQP＝90°時(shí)，即PQ與AC不平行時(shí)的相似．∴，∴，解得：t＝．綜上分析：當(dāng)t＝時(shí)△BPQ與△ABC相似．題型04相似三角形的判定與性質(zhì)【典例1】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝8．在BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)B，使CE＝BC，連接AE，AE與CD交于點(diǎn)F．（1）求證：△ADF∽△ECF；（2）求DF的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，即AD∥BE，∴∠DAF＝∠CEF，∠ADF＝∠ECF，∴△ADF∽△ECF；（2）解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD＝BC，AB＝CD＝8，∴，即．∵△ADF∽△ECF，∴，即．∵CD＝DF+CF，∴．【典例2】如圖，平行四邊形ABCD，DE交BC于F，交AB的延長(zhǎng)線于E，且∠EDB＝∠C．（1）求證：△ADE∽△DBE；（2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：平行四邊形ABCD中，∠A＝∠C，∵∠EDB＝∠C，∴∠A＝∠EDB，又∠E＝∠E，∴△ADE∽△DBE；（2）平行四邊形ABCD中，DC＝AB，由（1）得△ADE∽△DBE，∴，∵DC＝7cm，BE＝9cm，∴AB＝7cm，AE＝16cm，∴DE＝12cm．【典例3】如圖，在矩形ABCD中，E是邊BC的中點(diǎn)，DF⊥AE于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）若AB＝4，BC＝6，求AF的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，DF⊥AE，∴∠B＝∠AFD＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝∠EAD+∠ADF＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，∴△ADF∽△EAB，∴＝．（2）解：∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE＝BC＝3，在Rt△ABE中，AE＝＝＝5．∵＝，∴＝，∴AF＝．【典例4】小軍在學(xué)習(xí)相似三角形時(shí)，遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：（1）如圖1，在△ABC中，P是邊AB上的一點(diǎn)，連接CP，若∠ACP＝∠B，求證：△ACP∽△ABC；（2）如圖2，已知∠A＝81°，AC2＝AB?AD，BC＝BD，求∠ABC的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵∠ACP＝∠B，∠CAP＝∠BAC，∴△ACP∽△ABC；（2）解：∵AC2＝AB?AD，∴AD：AC＝AC：AB，又∵∠CAB＝∠DAC，∴△ACB∽△ADC，∴∠ACB＝∠D，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠D，∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝2∠D，∵∠ACD+∠D+∠A＝180°，∠A＝81°，∴2∠D+∠D+81°＝180°，∴∠D＝33°，∴∠BCD＝∠D＝33°，∴∠ABC＝∠BCD+∠D＝66°．題型04相似三角形的應(yīng)用【典例1】同學(xué)們?cè)谖锢碚n上做“小孔成像”實(shí)驗(yàn)．如圖，蠟燭與帶“小孔”的紙板之間的距離是帶“小孔”的紙板與光屏間距離的一半，當(dāng)蠟燭火焰的高度AB為1.6cm時(shí)，所成的像A′B'的高度為（）A．0.8cm B．2.4cm C．3.2cm D．4.8cm【解答】解：如圖：∵AB∥A′B′，∴△AOB∽△A′OB′，∴AB：A′B′＝OM：OM′，∵OM：OM′＝1：2，∴AB：A′B′＝1：2，∵AB＝1.6cm，∴A′B′＝2×1.6＝3.2cm，故答案選：C．【典例2】如圖，利用標(biāo)桿BE測(cè)量建筑物的高度．如果標(biāo)桿BE高1.2m，測(cè)得AB＝1.6m，BC＝12m，則樓高CD是（）A．9m B．9.6m C．10.2m D．11.2mm【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴，∵BE＝1.2m，AB＝1.6m，BC＝12m，∴AC＝AB+BC＝13.6（m），∴，∴CD＝10.2m．答：樓高CD是10.2m．故選：C．【典例3】如圖，李老師用自制的直角三角形紙板去測(cè)“步云閣”的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，邊DE與點(diǎn)B在同一直線上．已知直角三角紙板中DE＝18cm，EF＝12cm，測(cè)得眼睛D離地面的高度為1.8m，他與“步云閣”的水平距離CD為114m，則“步云閣”的高度AB是（）A．74.2m B．77.8m C．79.6m D．79.8m【解答】解：在△DEF和△DCB中，∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°，∴△DEF∽△DCB，∴＝，即＝，解得：BC＝76（m），∵AC＝1.8m，∴AB＝AC+BC＝1.8+76＝77.8（m），即步云閣77.8m，故選：B．【典例4】四分儀是一種十分古老的測(cè)量?jī)x器．其出現(xiàn)可追溯到數(shù)學(xué)家托勒密的《天文學(xué)大成》．圖1是古代測(cè)量員用四分儀測(cè)量一方井的深度，將四分儀置于方井上的邊沿，通過(guò)窺衡桿測(cè)望井底點(diǎn)F、窺衡桿與四分儀的一邊BC交于點(diǎn)H．圖2中，四分儀為正方形ABCD．方井為矩形BEFG．若測(cè)量員從四分儀中讀得AB為1，BH為0.5，實(shí)地測(cè)得BE為2.5．則井深BG為（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∵BE＝2.5，BH＝0.5，∴HE＝BE﹣BH＝2.5﹣0.5＝2，∵四邊形BEFG是矩形，∴BG＝EF，∠BEF＝90°，∴∠ABH＝∠FEH＝90°，∵∠AHB＝∠EHF，∴△ABH∽△FEH，∴＝，∴＝，∴EF＝4，∴BG＝EF＝4，故選：A．1．兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)之比是，則它們的面積之比為（）A．1：3 B．3：1 C． D．【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)之比為1：，∴兩個(gè)相似三角形的相似比為1：，∵相似三角形面積的比等于相似比的平方，∴它們相應(yīng)的面積之比是1：3．故選：A．2．如圖，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四邊形BDEC＝1：2，其中，DE的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．6【解答】解：∵S△ABC：S四邊形BDEC＝1：2，∴S△ABC：S△ADE＝1：3，∵△ABC∽△ADE，∴＝，∵CB＝，∴DE＝．故選：A．3．如圖，已知∠1＝∠2，那么添加一個(gè)條件后，仍不能判定△ABC與△ADE相似的是（）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝ D．＝【解答】解：∵∠1＝∠2∴∠DAE＝∠BAC∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE選項(xiàng)C中不是夾這兩個(gè)角的邊，所以不相似，故選：C．4．圖1是伸縮折疊不銹鋼晾衣架的實(shí)物圖，圖2是它的側(cè)面示意圖，AD與CB相交于點(diǎn)O，AB∥CD，根據(jù)圖2中的數(shù)據(jù)可得x的值為（）A．0.8 B．0.96 C．1 D．1.08【解答】解：∵AB∥CD，∴△COD∽△BOA，∴，∴，∴x＝0.96，故選：B．5．新定義：由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，已知在5×5的網(wǎng)格圖形中，點(diǎn)A、B、C、D為不同的點(diǎn)且都在格點(diǎn)上，如果∠ADC＝∠ABC，那么圖中所有符合要求的格點(diǎn)D的個(gè)數(shù)是（）A．3 B．5 C．7 D．9【解答】解：如圖，滿足條件的點(diǎn)D有9個(gè)．故選：D．6．如圖，點(diǎn)A，B，C，D為⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，AC平分∠BAD，AC交BD于點(diǎn)E，CE＝2，CD＝3，則AC的長(zhǎng)為（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【解答】解：∵AC平分∠BAD，∴，∴∠BDC＝∠CAD，∵∠ACD＝∠DCE，∴△CDE∽△CAD，∴CD：AC＝CE：CD，∴CD2＝AC?CE，∴32＝2（2+AE），∴AE＝2.5，∴AC＝AE+CE＝4.5，故選：B．7．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝8，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是DC的延長(zhǎng)線的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OE交BC于點(diǎn)F，當(dāng)CE＝1時(shí)，BF的長(zhǎng)是（）A．6 B．6.2 C．6.75 D．7【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB，在△AOG和△COF中，，∴△AOG≌△COF（ASA），∴AG＝CF，∵AD∥BC，∴△CFE∽△DGE，∴，∴，∵AD＝8，∴AG＝×8＝1，∴CF＝AG＝1，∴BF＝7．故選：D．8．如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，連接CE，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥CE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接EF，EF分別交CD、AC于點(diǎn)G、H，M是EF中點(diǎn)，連接DM，則下列結(jié)論：①BE＝DF；③FH?GE＝CE2；③∠CDM＝45°；④若AE＝AH，則，正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∴∠BCE+∠ECD＝90°．∵CF⊥CE，∴∠FCD+∠ECD＝90°，∴∠BCE＝∠DCF．在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（ASA），∴BE＝DF．∴①的結(jié)論正確；∵△BCE≌△DCF，∴CE＝CF，∴△CEF為等腰直角三角形，∴∠CEF＝∠CFE＝45°．∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC＝∠ACD＝45°，∴∠ACD＝∠CFE．∵∠CHG＝∠FHC，∴△CHG∽△FHC，∴∠HGC＝∠HCF．∵∠CEF＝∠CFE＝45°，∴△EGC∽△FCH，∴，∴CE?CF＝GE?FH，∴CE2＝GE?FH，∴②的結(jié)論正確；連接CM，如圖，∵△CEF為等腰直角三角形，M是EF中點(diǎn)，∴CM⊥EF，CM＝EM＝FM，∴∠MCF＝∠MCE＝45°，∴△CME為等腰直角三角形，∴CE＝CM，∵四邊形ABCD為正方形，∴AC＝CD，∴．∵∠ECH+∠MCH＝45°，∠MCD+∠MCH＝45°，∴∠ECH＝∠MCD，∴△ECA∽△MCD，∴∠CAE＝∠CDM＝45°∴③的結(jié)論正確；在BC上取一點(diǎn)N，使BE＝BN，連接EN，∵AE＝AH，∠BAC＝45°，∴∠AEH＝∠AHE＝67.5°，∴∠CHF＝∠AHE＝67.5°，∵∠ACD＝45°，∴∠CGH＝180°﹣∠ACD﹣∠CHF＝67.5°，∵∠CGH＝∠CFE+∠GCF，∴∠GCF＝22.5°，∴∠ECB＝∠GCF＝22.5°．∵BE＝BN，∠B＝90°，∴∠BEN＝∠BNE＝45°，∵∠BNE＝∠NEC+∠BCE，∴∠BCE＝∠NEC＝22.5°，∴NE＝CN．設(shè)BE＝BN＝m，∴NE＝BE＝m，∴CN＝NE＝m，∴BC＝BN+NC＝（+1）m，∴．∴④的結(jié)論正確．綜上，正確的結(jié)論有：②②③④．故選：D．9．D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，如果∠A＝45°，AB＝2，AD＝1，AC＝3，那么要使△ABC和△ADE相似，則AE＝或．【解答】解：要使△ABC和△ADE相似，如圖1，∠ADE＝∠B，∴＝，∵AB＝2，AD＝1，AC＝3，∴＝，∴AE＝；如圖2，∠ADE＝∠C，∴＝，∵AB＝2，AD＝1，AC＝3，∴＝，∴AE＝；故答案為：或．10．九年級(jí)（1）班課外活動(dòng)小組利用標(biāo)桿測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，如圖所示，已知標(biāo)桿高度CD＝3m，標(biāo)桿與旗桿的水平距離BD＝15m，人的眼睛與地面的高度EF＝1.6m，人與標(biāo)桿CD的水平距離DF＝2m，則旗桿AB的高度為13.5m．【解答】解：設(shè)CD與EH交于G，∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴CD∥AB，∴△CGE∽△AHE，∴，即：，∴，∴AH＝11.9，∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．故答案為：13.5．11．將一張直角三角形紙片沿一條直線剪開(kāi)，將其分成一張三角形紙片與一張四邊形紙片，如果所得四邊形紙片ABCD如圖所示，其中∠A＝∠C＝90°，AB＝7厘米，BC＝9厘米，CD＝2厘米，那么原來(lái)的直角三角形紙片的面積是54或平方厘米．【解答】解：（1）分別延長(zhǎng)CD，BA交于M，連接BD，設(shè)△MBC的面積是S（cm2），∵∠C＝∠DAB＝90°，∴DC2+BC2＝AB2+AD2＝BD2，∴22+92＝72+AD2，∴AD＝6（cm），∴△ADB的面積＝AD?AB＝×6×7＝21（cm2），△DCB的面積＝DC?BC＝×2×9＝9（cm2），∴四邊形ABCD的面積＝21+9＝30（cm2），∴△DMA的面積＝（S﹣30）（cm2），∵∠M＝∠M，∠MAD＝∠MCB，∴△MDA∽△MBC，∴＝＝＝，∴＝，∴S＝54（cm2）．（2）分別延長(zhǎng)AD，BC交于N，設(shè)△NAB的面積是S′（cm2），由（1）知四邊形ABCD的面積＝30（cm2），∵∠N＝∠N，∠NCD＝∠A＝90°，∴△NCD∽△NAB，∴＝＝＝，∴＝，∴S′＝（cm2），∴原來(lái)的直角三角形紙片的面積是54cm2或cm2．故答案為：54或．12．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)F是邊AB上的一點(diǎn)，連接DF，點(diǎn)E是邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且DF⊥DE，連接AC交EF于點(diǎn)Q，若，AF＝1，則EF的長(zhǎng)為．【解答】解：過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BE于點(diǎn)H，如圖：設(shè)AQ＝5x，CQ＝3x，則AC＝8x，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝DC＝＝4x，∠HCQ＝∠HQC＝45°，∴CH＝CQ＝＝x，∵DF⊥DE，∴∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADF＝∠CDE，∴△ADF≌△CDE（ASA），∴AF＝CE＝1，∴BF＝4x﹣1，HE＝x+1，BE＝4+1，∵AB∥HQ，∴△BFE∽△HQE，∴，∴，解得x＝，∴BF＝4×﹣1＝1，BE＝4×+1＝3，∴EF＝＝＝，故答案為：．13．某數(shù)學(xué)興趣小組要完成一個(gè)項(xiàng)目學(xué)習(xí)，測(cè)量凌霄塔的高度AB．如圖，塔前有一棵高4米的小樹(shù)CD，發(fā)現(xiàn)水平地面上點(diǎn)E、樹(shù)頂C和塔頂A恰好在一條直線上，測(cè)得BD＝57米，D、E之間有一個(gè)花圃距離無(wú)法測(cè)量；然后，在E處放置一平面鏡，沿BE后退，退到G處恰好在平面鏡中看到樹(shù)頂C的像，EG＝2.4米，測(cè)量者眼睛到地面的距離FG為1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，F(xiàn)G⊥BG，點(diǎn)B、D、E、G在同一水平線上．請(qǐng)你求出凌霄塔的高度AB．（平面鏡的大小厚度忽略不計(jì)）【解答】解：∵CD⊥BG，F(xiàn)G⊥BG，∴∠CDE＝∠FGE＝