2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之復(fù)數(shù)

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之復(fù)數(shù)

選擇題（共8小題）

1.已知復(fù)數(shù)2=告-產(chǎn)。24（j為虛數(shù)單位），貝眩的虛部為（）

1111

A.一5B.—C.—iD.-i

2222

2.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，Zl,Z2是方程z3+z2+z+l=0的兩個不同的復(fù)數(shù)根，則|Z1-Z2|的值為（)

A.1B.V2C.2D.&或2

a+3i

3.若復(fù)數(shù)--是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。=（）

2+1

3322

A.15B.一C.13D.-

2233

4.復(fù)數(shù):一）的共朝復(fù)數(shù)為（）

3—51

414141.41

A.-17-17lB.-17+1710，17-171D.—+—i

1717

5.已知z滿足|z-l|=|z-4，且z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（x,y）,則()

A.x+y=0B.x-y=0C.x-y+l=0D.x+y+l=0

6.已知復(fù)數(shù)z滿足（1+z）z=i（，為虛數(shù)單位），則團(tuán)=（）

V5V2廣

A.—B.—C.V2D.V5

52

7.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,-2）,則z?2=（)

A.-3B.3C.4D.5

z2

8.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,-1）,則不==（)

1-21

42244224

A.~—iB.———iC.一+一￡D.-+-i

55555555

二.填空題（共5小題）

4+3i

9.i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)一7=

2-1

10.若復(fù)數(shù)Zl,Z2是方程％2-2x+10=0的兩根，貝+Z1Z2+2Z2三

11.已知復(fù)數(shù)z=葉土則Z9Z=_______.

12.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z1和Z2對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,貝Ijzrz2=

三.解答題(共7小題)

14.高中教材必修第二冊選學(xué)內(nèi)容中指出：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+6i對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z,設(shè)NXOZ=。，|O0=r,

則任何一個復(fù)數(shù)2=°+瓦都可以表示成：z=r(cosO+isin。)的形式，這種形式叫做復(fù)數(shù)三角形式，其中

廠是復(fù)數(shù)z的模，。稱為復(fù)數(shù)z的輻角，若0We<2m則。稱為復(fù)數(shù)z的輻角主值，記為argz.復(fù)數(shù)有

以下三角形式的運(yùn)算法則：若zi=ri(cos,+isinei),z=l,2,?-?n,則：zi,z2.z”=rir2…叫cos(。1+。2+…

+0n)+zsin(0i+02+--+0n)],特別地，如果zi=z2=3zn=r(cos0+zsin0),那么[r(cosO+isinB)]n—r"

(cosn0+zsinn0),這個結(jié)論叫做棣莫弗定理.請運(yùn)用上述知識和結(jié)論解答下面的問題：

(1)求復(fù)數(shù)z=l+cose+isin8,0G(TT,2TT)的模|z|和輻角主值argz(用9表示)；

(2)設(shè)“W2024,nGN,若存在OeR滿足(sinB+icos。)"=sin〃8+，cos”6,那么這樣的”有多少個？

(3)求和：5=cos200+2cos40°+3cos60°+-+2034cos2034X20°.

15.在復(fù)數(shù)集中有這樣一類復(fù)數(shù)：z=a+4?與2=”-歷(a,6eR),我們把它們互稱為共軌復(fù)數(shù)，b=0時它

們在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，這是共輾復(fù)數(shù)的特點(diǎn).它們還有如下性質(zhì)：

(1)z+z=2a￡R

(2)z-2=2而(當(dāng)6W0時，為純虛數(shù))

(3)z=2=zCR

(4)(^)=z

(5)z*z=a2+b2=\z\2=\z\2.

(6)兩個復(fù)數(shù)和、差、積、商(分母非零)的共輾復(fù)數(shù)，分別等于兩個復(fù)數(shù)的共輾復(fù)數(shù)的和、差、積、

商.

請根據(jù)所學(xué)復(fù)數(shù)知識，結(jié)合以上性質(zhì)，完成下面問題：

(1)設(shè)|z|=l.求證：一J是實(shí)數(shù)；

1+z2

(2)已知|zi|=3,憶2|=5,|ZI-Z2|=7,求久的值；

Z2

（3）設(shè)2=田7工其中％,y是實(shí)數(shù)，當(dāng)|z|=l時，求B-z+l|的最大值和最小值.

16.我們把〃0+〃1%+〃2/+…+〃/=0（其中〃〃#0,〃EN*）稱為一元〃次多項(xiàng)式方程.

代數(shù)基本定理：任何復(fù)系數(shù)一元〃（吒N*）次多項(xiàng)式方程（即〃o,m,。2,…，即為實(shí)數(shù)）在復(fù)數(shù)集內(nèi)

至少有一個復(fù)數(shù)根；由此推得，任何復(fù)系數(shù)一元〃（尤N*）次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有〃個復(fù)數(shù)

根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）.

那么我們由代數(shù)基本定理可知：任何復(fù)系數(shù)一元〃（吒N*）次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集內(nèi)一定可以分解因式，轉(zhuǎn)

化為〃個一元一次多項(xiàng)式的積.

2nfc7n

即劭+a1x+a2x+—Fanx=an（x—仇力附。—的）七…（％—crm）,其中k,mGN*,ki+k2+…+km

=n,ai,a2,?,,,為方程〃0+〃11+〃42+???+〃甫=0的根.

進(jìn)一步可以推出：在實(shí)系數(shù)范圍內(nèi)（即40,al,〃2,…，即為實(shí)數(shù)），方程〃0+〃1%+〃2/+…+〃請=0的

有實(shí)數(shù)根，則多項(xiàng)式。0+。1%+〃2，+…+〃/必可分解因式.例如：觀察可知，％=1是方程/-1=0的一

個根，則（x-1）一定是多項(xiàng)式9-1的一個因式，即/一1=（x-1）（af+bx+c）,由待定系數(shù)法可

矢口，a=b=c=l.

（1）解方程：?-2x+l=0；

（2）設(shè)/（%）其中“0,4],ai,4Z3GR+,且〃0+〃1+。2+。3=1.

⑴分解因式：X-（〃0+〃1%+。2/+。3%3）；

（萬）記點(diǎn)尸（xo,yo）是y=/（x）的圖象與直線y=x在第一象限內(nèi)離原點(diǎn)最近的交點(diǎn).求證：當(dāng)m+2〃2+3〃3

W1時，xo=1.

17.設(shè)復(fù)數(shù)zi=l-i,Z2=cos0+zsin0,其中6W[0,n].

（1）若復(fù)數(shù)z=五^2為實(shí)數(shù)，求8的值；

（2）求|3ZI+Z2|的取值范圍.

18.如圖所示，在△A3C中，ZABC=90°,A8=4,BC=3,點(diǎn)0在線段AC上，NBDC=45°.

（I）求3。的長；

(1)若復(fù)數(shù)Z是純虛數(shù)，求機(jī)的值；

(2)求|z-1|的取值范圍.

20.設(shè)z+1為關(guān)于x的方程/+7"+〃=0,%,"6R的虛根，，為虛數(shù)單位.

(1)當(dāng)z=-l+i時，求小〃的值；

(2)若w=l,在復(fù)平面上，設(shè)復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)為P,復(fù)數(shù)2+4i所對應(yīng)的點(diǎn)為Q,試求尸。|的取值范

圍.

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之復(fù)數(shù)

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

1.已知復(fù)數(shù)2=者一產(chǎn)024（，為虛數(shù)單位），貝吃的虛部為（）

11

A.B.-C.—3iD.-i

22

【考點(diǎn)】共輾復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】整體思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】先利用i的性質(zhì)化簡產(chǎn)24,再利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算與共軌復(fù)數(shù)的定義，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念即可得

解.

【解答】解:因?yàn)榱?1,所以泮24=（力506=1,

由Z—J__產(chǎn)024_8T）____

出z-1+i1-Q+i）（iT）1-2,一2十

1/1

z=-'2-2,其虛部為一力

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的基本概念的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，Zl,Z2是方程z3+z2+z+l=0的兩個不同的復(fù)數(shù)根，則IZ1-Z2I的值為（）

A.1B.V2C.2D.夜或2

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

【解答】解：由z3+z2+z+l=0,

得z2（z+1）+z+l—（z2+l）（z+1）=0,

因?yàn)橄?-1,所以z=±i或-1,

所以0-Z2|的值為a或2.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

。+3i

3.若復(fù)數(shù)二一是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。=（）

2+1

32

A.-B.-C.—D.

23

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；純虛數(shù).

【專題】對應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由實(shí)部為0且虛部不為。列式求解.

(i+3i(a+3i)(2—i)2a+3+(6—2a+36—CL

【解答】解：:+《一i是純虛數(shù),

2+i(2+i)(2—i)4-i25

.(2a+3=0

.(6—aW0'解得a=-5.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

4.復(fù)數(shù)的共軌復(fù)數(shù)為（）

31—511：”

41414141

TTYiii

A.-T1p7y--17B.—1717C.17—17D.17+17

【考點(diǎn)】共初復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】整體思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算進(jìn)行化簡，然后結(jié)合共軌復(fù)數(shù)的概念即可求解.

【解答】解：復(fù)數(shù)乎答i—1(i—l)(3+5i)—8-2i41

———i

3—513-5i―(3+5i)(3-5f)-341717

則共軌復(fù)數(shù)為-1+與i.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及共軌復(fù)數(shù)的概念的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知z滿足|z-l|=|z-且z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（x,y）,則（）

A.x+y=0B.x-y=0C.x-y+l=0D.x+y+l=0

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn).

【專題】對應(yīng)思想；分析法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模化簡可解.

【解答】解:由題意z=x+y工由|z-l|=|z-力，

即（X-1）2+y2=W+（y_1）2,

化簡得尤-y=0.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

6.已知復(fù)數(shù)z滿足（1+0z=i（i為虛數(shù)單位），貝帆尸（）

V5V2「『

A.—B.—C.V2D.v5

52

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的運(yùn)算；共輾復(fù)數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

【解答】解：（1+力z=i,

則z=仔’

故區(qū)l=|z|=|旨|=看%=專=乎.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,-2）,則z?2=（）

A.-3B.3C.4D.5

【考點(diǎn)】共軌復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】先求出z,再結(jié)合共輾復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解.

【解答】解：復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,-2）,

則z=l-2i,

故z?2=（1-2i）（1+20=5.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查共輾復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

一Z2

8.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,-1）,則--;=（）

1-21

42244224

A.——iB.———iC.—+-iD.—+一i

55555555

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

【解答】解：復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-1),

則z=1-i,

z22i2i(l+2i)42.

ph*LJ--------——--------——-----------------------————j

1-2i1—2i(1-2i)(l+2i)55

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

二.填空題(共5小題)

4+3i

9.z?是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)一=l+2i

2—1

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，求解即可.

4+3i(4+3i)(2+i)5+10i…

【解答】解：復(fù)數(shù)=--------------------=-----------=1+2/

2—1(2—0(2+05

故答案為：l+2i.

【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題.

10.若復(fù)數(shù)zi,Z2是方程/-2x+10=0的兩根，貝1Jz#+z/+2z?=4.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】4.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求解.

【解答】解:復(fù)數(shù)zi,Z2是方程f-2x+10=0的兩根，

則Zl+Z2=2,Z1Z2—10,

)

故z/+z1Z2+2Z2=-10+2ZI+ZIZ2+2Z2=-10+2(zi+z2+ziz2=-10+4+10=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.已知復(fù)數(shù)2=早，則z?2=2.

【考點(diǎn)】共軌復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】整體思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由已知結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算進(jìn)行化簡可求Z,結(jié)合共軌復(fù)數(shù)的概念即可求解.

【解答】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)2=畢=駕0=1-。

1I

則z?2=(1+0(1-z)=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

12.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z1和Z2對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,則Z1?Z2=-l-3i.

A

X

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】對應(yīng)思想；數(shù)形結(jié)合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】-1-3z.

【分析】根據(jù)題意寫出復(fù)數(shù)Zl,Z2,再計(jì)算ZJZ2.

【解答】解：由題意知，Z1=-2-i,Z2=l+i,

所以zi?z2=(-2-z)?(l+z)=-2-2z-z-?=-1-3z.

故答案為：-1-3z.

【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的定義與運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題.

13.已知復(fù)數(shù)z=2cos；受s皿。(°eR)的實(shí)部為0,則tan26=g

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

4

【答案】--

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z,根據(jù)z的實(shí)部為0即可得出tan0的值,然后即可得解.

r向正分】而刀_(2cos0+isin0)(l—i)_IcosO+sinO+^sinO-lcosO)i

L解口】解：z=q+i)(i)=2'

2cos9+sin0=O,tan0=-2,

.,2tan0-44

??tctn2e-—n~~~一~7-5.

l-tan201-43

4

故答案為：

【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算，二倍角的正切公式，是基礎(chǔ)題.

三.解答題(共7小題)

14.高中教材必修第二冊選學(xué)內(nèi)容中指出：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+6i對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z,設(shè)NXOZ=。，|OZ|=r,

則任何一個復(fù)數(shù)2=〃+瓦都可以表示成：z=r(cosO+isin。)的形式，這種形式叫做復(fù)數(shù)三角形式，其中

r是復(fù)數(shù)z的模，9稱為復(fù)數(shù)z的輻角，若0We<2m則。稱為復(fù)數(shù)z的輻角主值，記為argz.復(fù)數(shù)有

以下三角形式的運(yùn)算法則：若zi=r“cos&+isin&),z=l,2,—n,則：zi?z2.zn=rir2"T?[cos(0i+02+--

+0n)+zsin(0i+02+",+0n)],特別地,如果zi=z2=(cos0+zsin0),那么[r(cosO+lsinO)]n=rn

(cosH0+zsinn0),這個結(jié)論叫做棣莫弗定理.請運(yùn)用上述知識和結(jié)論解答下面的問題：

(1)求復(fù)數(shù)z=l+cose+isin8,0G(TT,2TT)的模|z|和輻角主值argz(用9表示)；

(2)設(shè)〃它2024,“6N,若存在OCR滿足(sinO+zcos0)"=sinw0+icos〃0,那么這樣的〃有多少個?

(3)求和：S=cos20°+2cos40°+3cos60°+-+2034cos2034X20°.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的相等.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

ea

【答案】(1)|z|=-2cos-；argz=?r+2.

(2)506.

(3)1017.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)模及輻角主值的定義，結(jié)合三角變換求解即得.

(2)利用給定定理，結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算，再借助正余弦函數(shù)的周期性求解即可.

(3)令7=$皿20°+2sin40°+3sin60°+?+2034sin(2034X20°)，利用等比數(shù)列及錯位相減法求出S+iT,

再利用復(fù)數(shù)相等即可得解.

071

【解答】解：(1)由復(fù)數(shù)z=l+cose+isin8,0E(m2n),一￡(―,n),

22

得|z|=^/(l+cos0)2+sin23=V2+2cos0=J4cos2?=_2cos'

..3TTsin。2sin^cosi0

Vl+cos0>O,sin。VO,<argz<2TI,tan(argz)==l+iosS=tan9

071Q3710

—En),7T+77G(一，2TT),.??argz=TT+不

22222

,nnminn

(2)由(sinB+icosS)"=[cos(——0)+zsin(——0)]"=cos(——nd)+zsin(——n0),

22

nnnn

cos(——n0)+zsin(——nd)=sinn0+zcosH0,

22

cos(等—nd)=sinn0

sin(等—nB)=cosnO

：.-—n。,fcez,解得〃=4k+1,

2

??X2024,nGN,???0W4好1W2024,.*.0^^505,k《Z,

???符合條件的攵有506個，

???這樣的〃有506個.

(3)令3=COS200+zsin20°,而2034X20°=113X360°,Mu)2034=l,

☆T=sin200+2sin40°+3sin60°+?+2034sin(2034X20°),

則s+iT=O)+2O)12+3O)3+?+2O34a)2035,

兩邊同乘3,得：

3(S+zT)=a)2+2a)3+3a)4+*+a)2034-2034a)2035

=3(1；320341—2034O)2034?3=_2034(A),

1—0)

?2034a

??3+11-3,

1—3

3cos200+isin200(cos20°+isin20°)(l-cos200+ism200)

1-3l-cos200-isin200(l-cos200)2+sin220°

_—l+cos200+is譏20°_1sin20°.

=2-2cos20°=~2+2-2cos20ot,

1<?7722O0

，S+iT=-2034(-4+>工n。i),

22-2cos20

；.S=1017.

【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)模、輻角主值的定義、三角變換、誘導(dǎo)公式、正余弦函數(shù)的周期性、等比數(shù)列、

錯位相減法、復(fù)數(shù)相等等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是難題.

15.在復(fù)數(shù)集中有這樣一類復(fù)數(shù)：z=a+應(yīng)與-歷(mb€R),我們把它們互稱為共輾復(fù)數(shù)，bWO時它

們在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，這是共朝復(fù)數(shù)的特點(diǎn).它們還有如下性質(zhì)：

(1)z+z—2aER

(2)z—2=2〃(當(dāng)bWO時，為純虛數(shù))

(3)z=2ozCR

(4)厲=z

(5)z*z=a2+b2=\z\2=|z|2.

(6)兩個復(fù)數(shù)和、差、積、商(分母非零)的共物復(fù)數(shù)，分別等于兩個復(fù)數(shù)的共物復(fù)數(shù)的和、差、積、

商.

請根據(jù)所學(xué)復(fù)數(shù)知識，結(jié)合以上性質(zhì)，完成下面問題：

(1)設(shè)zWK|z|=l.求證：z彳是實(shí)數(shù);

1+z2

(2)已知|zi|=3,|Z2|=5,|ZI-Z2|=7,求久的值；

Z2

(3)設(shè)z=x+yi,其中x,y是實(shí)數(shù)，當(dāng)|z|=l時，求B-z+l|的最大值和最小值.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；共輾復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的模.

【專題】整體思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)證明見解答；

Zi33V5

(2)—=±—/；

z21010

(3)廿-z+l|max~3y廿-0.

【分析】(1)設(shè)z=〃+加(a,Z?ER),利用z吃=1,z+z=2?GR,可證得---7是實(shí)數(shù)；

1+Z2

(2)設(shè)叁=°+〃(p,q€R),結(jié)合題意，可得關(guān)于p,q的方程組，解之即可；

Z2

(3)設(shè)z=cos8+isin。，0GR,依題意，可得|z?-z+l|=|2cosB-1|,從而可求得廿-z+l|的最大值和最小

值.

【解答】解：(1)證明：設(shè)z=〃+bi(〃,Z?GR),|z|=l,

.*.z*z=1,z+z=2tz￡R,

；.一7=^=工是實(shí)數(shù)；

l+zzzz+zzz+z

(2)設(shè)二=p+qi(p,q€R),

z2

則zi=(p+qi)Z2,

V|zi|=3,\Z2\=5,|ZI-Z2|=7,

.??3=|ZI|=|(p+qi)||z2|=5jp2+q2

??.p2+q2=W①；

又7=|ZLZ2|=|(p+qi)Z2-Z2\=\z2\\(p-1)+qi\=5j(p-l)2+q2,

(0-1)2+/=美②；

聯(lián)立①②，解得p=-磊，q=±-^-,

.Zi33包

??-=—一±---1；

z21010

（3）*.*\z\=l,設(shè)z=cos8+，sin。，0GR,

則Iz2-z+l|=B-z+z吃|=|z（z+z—1）|=|z||z+z—l|=|2cos0-1|,

?二-iWcosOWl,

-3W2cos。-1W1,

「?Bz+l\max=^f|z2~z+l|mm~0.

【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及其性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及方程思想的綜合運(yùn)用，屬于中檔

題.

16.我們把40+4tx+azdl■…+。/=0（其中即#0,?GN*）稱為一元〃次多項(xiàng)式方程.

代數(shù)基本定理：任何復(fù)系數(shù)一元〃（吒N*）次多項(xiàng)式方程（即。o,m,42,…，即為實(shí)數(shù)）在復(fù)數(shù)集內(nèi)

至少有一個復(fù)數(shù)根；由此推得，任何復(fù)系數(shù)一元〃（械N*）次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有〃個復(fù)數(shù)

根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）.

那么我們由代數(shù)基本定理可知：任何復(fù)系數(shù)一元〃（於N*）次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集內(nèi)一定可以分解因式，轉(zhuǎn)

化為〃個一元一次多項(xiàng)式的積.

即劭+&%+劭/+—Fa九%71=a九（%一仇1）“1（%—劭）取…（％一0加）%1,其中k,mGN*,ki+kz+…+km

=n,ai,a2,…，為方程QO+〃LX+42X2+…+〃甫=o的根.

進(jìn)一步可以推出：在實(shí)系數(shù)范圍內(nèi)（即Q0,ai,42,…，即為實(shí)數(shù)），方程〃0+〃1%+〃2，+…+〃請=0的

有實(shí)數(shù)根，則多項(xiàng)式。0+。1%+〃2/+…+〃/必可分解因式.例如：觀察可知，％=1是方程/-1=0的一

個根，貝！J（X-1）一定是多項(xiàng)式9-1的一個因式，即％3-1=（X-1）（?x2+Z?x+c）,由待定系數(shù)法可

知，a=b=c=l.

（1）解方程：?-2%+1=0；

（2）設(shè)/（%）=〃0+〃11+〃2脛+〃313,其中QO,ai,〃3ER+,且Q0+〃l+〃2+〃3=l.

⑴分解因式：X-（〃0+〃1%+〃2/+〃3%3）；

（方）記點(diǎn)尸（xo,yo）是y=/（x）的圖象與直線y=x在第一象限內(nèi)離原點(diǎn)最近的交點(diǎn).求證：當(dāng)m+2〃2+3〃3

時，xo=l.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式互化.

【答案】⑴％1=1,%2=I'店，%3=匕乏

2

(2)(z)x-(〃0+〃11+〃2/+〃3/)=—(%—l)[a3x+(a2+a3)x—a0]；

(n)證明過程見解析.

【分析】(1)觀察可知％=1是方程/-2%+1=0的一個根，所以設(shè)4-2x+l=(x-1)(af+bx+c),

對照可得〃=1,b=l,c=-1,得到(x-1)(x2+x-1)=0,即可求出方程的根；

2323

(2)(i)x=l是方程％—(a0+arx+a2x+a3x)=0的一個根，所以設(shè)%—(a0+arx+a2x+a3x)=

(%—l)(ax2+b%+c)=ax3+(b—a)x2+(c—b)x—c,對照可得a=-〃3,b=(〃o+〃i)-1,c=ao,

從而可得出答案；

23

(z7)令/(%)-x=0,故xo是方程(劭+arx+a2x+a3x)—x=0的最小正實(shí)根，由(i)知(a。+arx+

2322

a2x+a3%)—%=(%—l)[a3x+(a2+a3)x—a0],設(shè)g(%)=a3x+(a2+a3)x—a0,根據(jù)g(x)

開口方向，結(jié)合g(0)=-Q0〈0,則g(x)一定有一正一負(fù)兩個實(shí)根，設(shè)正實(shí)根為結(jié)合“1+2〃2+3。3

W1時，g(1)W0,故得到xo=l.

【解答】解：(1)觀察可知：(％-1)是方程/-2x+l=0的一個根；........1分

所以：J?-2x+l=(x-1)(47X2+Z?X+C)=〃/+(b-a)x2+(c-Z?)x-c,

由待定系數(shù)法可知，Q=1,b=l,c=-1；

所以(x-1)(W+x-1)=0,即x=l或/+%-1=0,

則方程的根為Xl=l,%2=1j行'%3=與底,.........4分

(2)(z)由40+〃1+。2+。3=1可知：(X-1)是方程%—(。0+%.%++。3/)=0的一個根，

23232

所以：x—(a0+arx+a2x+a3%)=(x—l)(ax+b%+c)=ax+(b—a)x+(c—b)x—c,

由待定系數(shù)法可知，4=-43,b=~(〃2+〃3)=(〃0+。1)-LC=〃0,

2322

所以x—(a0+arx+a2x+a3x)=(x—1)[—a3x—(a2+a3)x+a0]=—(x—l)[a3x+(a2+

a3)x-a0]；...........8分

23

(方)令于(x)-x=0,即(a。+arx+a2x+a3x)—x=0,

點(diǎn)、PGo,yo)是y=/(x)的圖象與直線y=x在第一象限內(nèi)離原點(diǎn)最近的交點(diǎn)，

23

等價于％o是方程(劭+arx+a2x+a3x)-x=0的最小正實(shí)根；.........10分

由(力知：(x-1)是方程%—(劭+%X+a2/+%/)=0的一個正實(shí)根，

232

且(a。+arx+a2x+a3x)—x=(%—l)[a3%+(a2+a3)x—a0],....12分

設(shè)9(%)=。3%2+(的+。3)%-。0，由〃0，41，42,的^氏十可知8(工)為開口向上的二次函數(shù)，

又因?yàn)間(0)=-6Z0<0,則g(%)一定有一正一負(fù)兩個實(shí)根，設(shè)正實(shí)根為

又〃+0。1+。2+〃3=1,可得。0=1-(〃1+〃2+。3),

所以g(1)=〃3+(。2+〃3)-40=3〃3+2〃2+〃1-1,

當(dāng)ai+2a2+3a3Wl時，g(1)WO,

23

由二次函數(shù)單調(diào)性可知121,即x—1是方程x-(即+<21%+a2x+a3x)=0的最小正實(shí)

根.................17分

【點(diǎn)評】本題考查三次函數(shù)，解題關(guān)鍵是需要求解出三次函數(shù)的零點(diǎn)，可以先求出一個零點(diǎn)后將三次函

數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)再進(jìn)行解題.

17.設(shè)復(fù)數(shù)=Z2=cos0+zsin0,其中。日0,TT].

(1)若復(fù)數(shù)z=Z-2為實(shí)數(shù)，求。的值；

(2)求|3ZI+Z2|的取值范圍.

【考點(diǎn)】共軻復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】⑴0=^.(2)[3V2-1,5].

【分析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合共輾復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的乘除法法則，即可求解.

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換公式，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

【解答】解：(1).??復(fù)數(shù)zi=l-i,

??Z1=1+i，

.\z=(1+i)(cos0+zsin0)=(cos9-sin9)+(sin0+cos9)i,

??,復(fù)數(shù)Z=/-Z2為實(shí)數(shù)，

sin9+cos9=0,即tan9=-1,

V9e[0,n],

,n_3"

??〃一w，

(2)*.*zi=1-z,Z2=cos6+zsin0,

?'?3ZI+Z2=3-3f+cos9+sin0z=(3+cos0)+(sinO-3)i,

|3ZI+Z2|=+cosO)2+{sinO—3)2=J19+6(cos6-sinB)=J19+6y[2cos(fi+/,

VOG[O,ii],

—14cos(8+彳)<-2~f即—6A/246A/2COS(0+4)46,

???|3ZI+Z2|的取值范圍為[3或一1,5].

【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

18.如圖所示，在△A5C中，ZABC=90°,AB=4,BC=3,點(diǎn)。在線段AC上，/BDC=45°.

(I)求8。的長；

(II)已知復(fù)數(shù)z的模為10,且以/ABD為輻角，求z2.

A.

\\D

B1-------------、C

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的三角表示.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(I)號2

(II)Z2=96+28Z.

【分析】(I)先由題設(shè)求得AC,進(jìn)而求得sin/ACB,再在△BCD中利用正弦定理求得8。的長;

(II)先由(I)求得NA8。的正弦、余弦值，進(jìn)而求得復(fù)數(shù)z,再利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求得z2.

【解答】解：(I):在△ABC中，ZABC=90°,AB=4,8C=3,

.*.AC=V42+32=5,sinNAC8=耳，cosNAC3=耳，

又在△BCD中，NBDC=45°,

???由正弦定理可得：-~BDBC,即B丁D=方3，解得：&)=1入*萬；

sinZ-ACBsm45°-V25

5T

(II)由(I)可得：cosAABD=sinZDBC=sin(45°+ZACB)=:(-+-)=等

I_____________、萬

sinZABD=V1—cos2Z-ABD=而，

又復(fù)數(shù)z的模為10,

7V2V2「「

10(---+—z)=1>J2+y[2i,

1010

:?會=(7V2+V2z)2=2(7+z)2=96+281.

【點(diǎn)評】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用、復(fù)數(shù)的三角形式與代數(shù)形式的互化及復(fù)數(shù)的運(yùn)算,屬于中檔題.

19.已知復(fù)數(shù)2=(2+z)機(jī)+與(其中i是虛數(shù)單位，加6R).

(1)若復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，求相的值;

(2)求|z-1|的取值范圍.

【考點(diǎn)】純虛數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】對應(yīng)思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡Z.

(1)由實(shí)部為0且虛部不為0列式求得m值；

(2)求出|z-l|,利用配方法求范圍.

【解答】解：z=(2+i)=2m+mi+=(2m+1)+(m-l)i.

⑴???復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，即機(jī)=一；

'-m—10L

(2)z-1=2m+Cm-1)i,

\z-1|=Q4m2+(m-1)2=V5m2—2m+1=Js(m—1)2+

...|z-1|的取值范圍是心展，+co).

【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

20.設(shè)z+1為關(guān)于尤的方程x2+mx+〃=0,租，“6R的虛根，，為虛數(shù)單位.

(1)當(dāng)z=-l+i時，求相、w的值；

(2)若w=l,在復(fù)平面上，設(shè)復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)為P,復(fù)數(shù)2+4i所對應(yīng)的點(diǎn)為Q,試求尸。|的取值范

圍.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn).

【專題】方程思想；三角函數(shù)的求值；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)由Z=-l+i,可得Z+I=i,可得方程/+7"1+”=0的兩根分別為i,-i.利用根與系數(shù)的

關(guān)系可得f「2'二一小，解出相，加

(2)設(shè)z=〃+bi(a,/?eR),可得z+l=〃+l-/?i.由題意可得：(z+1)z+1=(q+l)2+廿=1.令q+l

=cos0,b=sinQ,0G[O,2n).\PQ\=^{cosO—1—2)2+(sin9—4)2,化簡即可得出.

【解答】解:(1),?*z=~1+z,Az+1=

則方程x2+mx+n=0的兩根分別為i,~i.

由根與系數(shù)的關(guān)系可得f