第03講集合的基本運(yùn)算（思維導(dǎo)圖5知識點(diǎn)8考點(diǎn)過關(guān)檢測）

第03講集合的基本運(yùn)算模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．理解全集、補(bǔ)集的含義，能求出集合的補(bǔ)集；2．初步理解兩個集合的并集與交集的含義，能夠求出兩個集合的并集和交集；3．通過解決涉及集合的交集、并集、補(bǔ)集的相關(guān)問題，掌握集合的三種語言（自然語言、符號語言和圖形語言），并能夠運(yùn)用這些語言解決集合運(yùn)算的基本問題.知識點(diǎn)1并集1、并集的概念自然語言一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為A與B的并集，記作A∪B，讀作“A并B”符號語言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}圖形語言2、并集的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)定義滿足交換律任何集合與其本身的并集等于這個集合本身任何集合與空集的并集等于這個集合本身多個集合的并集滿足結(jié)合律,任何集合都是該集合與另一個集合并集的子集任何集合與它子集的并集都是它本身，反之亦然知識點(diǎn)2交集1、交集的概念自然語言由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作A∩B，讀作“A交B”符號語言A∩B＝{x|x∈A且x∈B}圖形語言2、交集的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)定義滿足交換律空集與任何集合的交集都是空集集合與集合本身的交集仍為集合本身多個集合的交集滿足結(jié)合律多個集合的綜合運(yùn)算滿足分配律若，則交集關(guān)系與子集關(guān)系的轉(zhuǎn)化兩個集合的交集是其中任一集合的子集知識點(diǎn)3全集與補(bǔ)集1、全集的概念自然語言一般地，如果一個集合包含所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記為U.符號語言若，則為全集.圖形語言2、補(bǔ)集的概念自然語言若集合A是全集U的一個子集，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集，記作.符號語言圖形語言3、補(bǔ)集的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)定義任何集合與其補(bǔ)集的并集為全集任何集合與其補(bǔ)集的交集為空集任何集合補(bǔ)集的補(bǔ)集為集合本身全集的補(bǔ)集為空集，空集的補(bǔ)集為全集知識點(diǎn)4德摩根律與容斥原理1、德摩根定律：設(shè)集合U為全集，A、B為U的子集，則有（1）（2）2、容斥原理：在部分有限集中，我們經(jīng)常遇到有關(guān)集合中元素的個數(shù)問題，常用Venn圖表示兩集合的交、并、補(bǔ)。如果用card表示有限集合元素的個數(shù)，即card（A）表示有限集A的元素個數(shù)，則有如下結(jié)論：（1）（2）知識點(diǎn)5區(qū)間及相關(guān)概念1、一般區(qū)間的表示：設(shè)a，b是兩個實(shí)數(shù)，而且a<b，我們規(guī)定：這里的實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).在用區(qū)間表示連續(xù)的數(shù)集時，包含端點(diǎn)的那一端用中括號表示，不包含端點(diǎn)的那一端用小括號表示.

定義名稱符號數(shù)軸表示閉區(qū)間開區(qū)間半開半閉區(qū)間半開半閉區(qū)間2、實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(－∞，＋∞)，“∞”讀作“無窮大”，“－∞”讀作“負(fù)無窮大”，“＋∞”讀作“正無窮大”．3、特殊區(qū)間的表示定義符號數(shù)軸表示≥≤考點(diǎn)一：并集的概念與運(yùn)算例1．已知集合，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，故選：A【變式11】設(shè)集合，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，.故選：D.【變式12】設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以故選：C.【變式13】設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榧?，所?故選：A.考點(diǎn)二：交集的概念與運(yùn)算例2.若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，，則.故選：D.【變式21】設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，，則.故選：A【變式22】已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)集合交集的定義立得.故選：A.【變式23】已知集合或，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榛?，所?故選：A考點(diǎn)三：補(bǔ)集的概念與運(yùn)算例3.設(shè)全集，集合，則=（

）A．{4,5,6} B．{3,4,5} C．{1,2,3,4,5,6} D．【答案】A【解析】，，.故選：A.【變式31】設(shè)全集，集合滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，，，所以，所以A選項(xiàng)正確，BCD選項(xiàng)錯誤.故選：A【變式32】已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，又因?yàn)?，所以，故選：C.【變式33】已知全集，集合，則（

）A． B．C．或 D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，所?故選：D.考點(diǎn)四：由交、并、補(bǔ)運(yùn)算求參數(shù)例4.已知集合，，若，則（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，?故選：A【變式41】設(shè)集合，．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，且，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D【變式42】已知集合，，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由，得，解得且且，故A錯；又，若2，則，，滿足題意.故B對；若3，則，，不滿足題意；故C錯若4，則，，不滿足題意；故D錯；故選：B【變式43】已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，且，故.故選：D.【變式44】設(shè)全集，且，若，則m的值等于（

）A．4 B．6 C．4或6 D．不存在【答案】A【解析】由全集，，得，即1，4是方程的兩個根，于是，解得，所以m的值等于4.故選：A考點(diǎn)五：交、并、補(bǔ)混合運(yùn)算例5.已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由集合，可得，所以.故選：B.【變式51】已知全集，則=（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，故，所?故選：D.【變式52】設(shè)全集，集合，，則=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知集合，，故，故=，故選：A【變式53】設(shè)全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，.故選：B.考點(diǎn)六：根據(jù)集合的混合運(yùn)算求參數(shù)例6.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，因?yàn)?，所以，所以，故選：A.【變式61】已知集合，，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由集合，，可得或，因?yàn)椋瑒t滿足.故選：A.【變式62】已知集合.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．【答案】A【解析】由，得到分兩種情況考慮：①當(dāng)，即時，，符合題意；②當(dāng)，即時，需，解得：，綜上得：，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A【變式63】已知，集合，，，則實(shí)數(shù)（

）A．或 B．或0 C．或0 D．或或0【答案】D【解析】由題可知，，則或，因?yàn)?，所以?dāng)時，，則，符合題意；當(dāng)時，，由知，或，即或，綜上所述，實(shí)數(shù)為0或1或，故選：D．考點(diǎn)七：Venn圖在集合運(yùn)算的運(yùn)用例7.設(shè)全集，集合，那么圖中的白色部分所表示的集合是（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，那么圖中的白色部分所表示的集合是.故選：C.【變式71】設(shè)集合，，則圖中的陰影部分表示的集合為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖可知，圖中的陰影部分表示的集合為.故選：C【變式72】如圖，是全集，是的兩個子集，則圖中的陰影部分可以表示為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】觀察圖形知，陰影部分在集合中，且不在集合，在中，ABC不可選，也不在中，所以陰影部分可表示為.故選：D【變式73】（多選）圖中矩形表示集合U，兩個橢圓分別表示集合M，N，則圖中的陰影部分可以表示為（

）

A． B．C． D．【答案】AD【解析】選項(xiàng)A，，則，故A正確；選項(xiàng)B，，則，故B錯誤；選項(xiàng)C，，，則，故C錯誤；選項(xiàng)D，，，則，故D正確.故選：AD考點(diǎn)八：集合運(yùn)算在實(shí)際中的應(yīng)用例8.高一班共有28名同學(xué)非常喜歡數(shù)學(xué)，有15人學(xué)習(xí)必修一，有8人學(xué)習(xí)必修二，有14人學(xué)習(xí)選修一，同時學(xué)習(xí)必修一和必修二的有3人，同時學(xué)習(xí)必修一和選修一的有3人，沒有人同時學(xué)習(xí)三本書.同時學(xué)習(xí)必修二和選修一的有（

）人，只學(xué)習(xí)必修一的有（

）人.A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9【答案】D【解析】設(shè)同時學(xué)習(xí)必修二和選修一的有x人，則，解得，即同時學(xué)習(xí)必修二和選修一的有3人，則只學(xué)習(xí)必修一的有（人），故選：D.【變式81】為豐富學(xué)生的課外活動，學(xué)校開展了“數(shù)學(xué)建模選修課”和“語文素養(yǎng)選修課”，兩項(xiàng)選修課都參與的有30人，兩項(xiàng)選修課都沒有參與的有20人，全校共有317人.問只參與一項(xiàng)活動的同學(xué)有多少人？（

）A．237 B．297 C．277 D．267【答案】D【解析】畫出Venn圖.全集表示全校學(xué)生，分別用集合表示參與“數(shù)學(xué)建模選修課”和“語文素養(yǎng)選修課”的學(xué)生，則表示兩項(xiàng)選修課都參與的學(xué)生，表示兩項(xiàng)選修課都沒有參與的學(xué)生則可用表示，即.由題意可知，全集元素的個數(shù)為317，元素的個數(shù)為30，元素的個數(shù)為20，則陰影部分表示只參與一項(xiàng)活動的學(xué)生，設(shè)有人，則，故只參與一項(xiàng)活動的學(xué)生數(shù)為,故選：D.【變式82】學(xué)校先舉辦了一次田徑運(yùn)動會，某班有8名同學(xué)參賽，又舉辦了一次球類運(yùn)動會，這個班有12名同學(xué)參賽，兩次運(yùn)動會都參賽的有3人。兩次運(yùn)動會中，這個班總共參賽的同學(xué)有（

）A．20人 B．17人 C．15人 D．12人【答案】B【解析】設(shè)參加田徑運(yùn)動的同學(xué)構(gòu)成集合，參加球類運(yùn)動會的同學(xué)構(gòu)成集合，則參加田徑運(yùn)動的同學(xué)人數(shù)，參加球類運(yùn)動會的同學(xué)人數(shù)，兩次運(yùn)動會都參賽的同學(xué)人數(shù)，則兩次運(yùn)動會中，這個班總共參賽的同學(xué)人數(shù)為.故選：B.【變式83】建黨百年之際，影片《1921》《長津湖》《革命者》都已陸續(xù)上映，截止2021年10月底，《長津湖》票房收入已超56億元，某市文化調(diào)查機(jī)構(gòu)，在至少觀看了這三部影片中的其中一部影片的市民中隨機(jī)抽取了若干人進(jìn)行調(diào)查，得知其中觀看了《1921》的有51人，觀看了《長津湖》的有60人，觀看了《革命者》的有50人，數(shù)據(jù)如圖，則圖中．【答案】【解析】由韋恩圖可知：．1．（2023·北京·高考真題）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，，，根據(jù)交集的運(yùn)算可知，.故選：A2．（2023·全國乙卷·高考真題）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得，則.故選：A.3．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故選：C．4．已知，且，則的值為（

）A．4 B． C． D．5【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，得到，?dāng)時，由，解得或，所以，故，得到，所以，故選：C.5．某班共有38人，其中21人喜愛跑步運(yùn)動，15人喜愛籃球運(yùn)動，10人對兩項(xiàng)運(yùn)動都不喜愛，則對兩項(xiàng)運(yùn)動都喜愛的人數(shù)為（

）A．5 B．6 C．8 D．9【答案】C【解析】設(shè)對兩項(xiàng)運(yùn)動都喜愛的人數(shù)為根據(jù)已知作出venn圖，根據(jù)venn圖可得，，解得.故選：C.6．已知集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于集合中的元素，當(dāng)，時，；當(dāng)，時，，所以或或，故.故選：B．7．（多選）如圖，全集為U，集合A，B是U的兩個子集，則陰影部分可表示為（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】根據(jù)圖中陰影可知，符合題意，又，∴也符合題意．故選：AC8．（多選）若全集，，，則集合等于（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】對A，，，故，故A錯誤；對B，，故，故B正確；對C，，故，故C正確；對D，，故，故D正確.故選：BCD9．已知集合，若，滿足條件的集合B有個．【答案】4【解析】根據(jù)題意可知：若集合B有一個元素，則，若集合B有兩個元素，則或，若集合B有三個元素，則，綜上滿足條件的B有4個.10．已知集合，，則