人教A版2019必修第一冊專題1.1集合的概念【九大題型】(原卷版+解析)

專題1.1集合的概念【九大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1集合概念的理解】 1【題型2判斷是否為同一集合】 2【題型3集合中元素特性的求參問題】 3【題型4判斷元素與集合的關(guān)系】 3【題型5根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)】 4【題型6確定集合中的元素】 4【題型7用列舉法表示集合】 5【題型8用描述法表示集合】 6【題型9集合中的新定義問題】 7【知識點1集合的概念】1．元素與集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合是相等的．2．元素的特性(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．簡記為“確定性”．(2)互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡記為“互異性”．(3)無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡記為“無序性”．【題型1集合概念的理解】【例1】（2022·高一課時練習(xí)）以下元素的全體能構(gòu)成集合的是（

）A．中國古代四大發(fā)明 B．接近于1的所有正整數(shù)C．未來世界的高科技產(chǎn)品 D．地球上的小河流【變式1-1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）①聯(lián)合國安全理事會常任理事國；②充分接近2的所有實數(shù)；③方程x2+2x+2=0的實數(shù)解；④中國著名的高等院校.以上對象能構(gòu)成集合的是（A．①② B．①③ C．②③ D．①②③④【變式1-2】（2023·高一課時練習(xí)）下列各組對象的全體能構(gòu)成集合的有（

）（1）正方形的全體；（2）高一數(shù)學(xué)書中所有的難題；（3）平方后等于負(fù)數(shù)的數(shù)；（4）某校高一年級學(xué)生身高在1.7米的學(xué)生；（5）平面內(nèi)到線段AB兩端點距離相等的點的全體.A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式1-3】（2022秋·廣東汕頭·高一?？计谥校┫铝姓f法中，正確的個數(shù)是（

）①2的近似值的全體構(gòu)成一個集合②自然數(shù)集N中最小的元素是0③在整數(shù)集Z中，若a∈Z，則?a∈Z④一個集合中不可以有兩個相同的元素A．1 B．2 C．3 D．4【題型2判斷是否為同一集合】【例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列集合中表示同一集合的是（

）A．M={(3,2)}，N={(2,3)}B．M={2,3}，N={3,2}C．M={(x,y)∣x+y=1}，N={y∣x+y=1}D．M={2,3}，N={(2,3)}【變式2-1】（2023·高三課時練習(xí)）設(shè)Q是有理數(shù)，集合X={x|x=a+b2（1）{y|y=2x,x∈X}；（2）{y|y=x2,x∈X}；（3）{y|y=1x,x∈X}；（4）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式2-2】（2022秋·湖南郴州·高一校考階段練習(xí)）下列四組集合中表示同一集合的為（

）A．M=?1,3，B．M=?1,3，C．M=x,yy=D．M=?，【變式2-3】（2022秋·高一課時練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．由1，2，3組成的集合可表示為1,2,3或3,2,1B．?與0是同一個集合C．集合xy=x2D．集合xx2+5x+6=0【題型3集合中元素特性的求參問題】【例3】（2023·高一課時練習(xí)）由a2，2?a，3組成的一個集合A，若A中元素個數(shù)不是2，則實數(shù)a的取值可以是（

A．?1 B．1 C．3 D．2【變式3-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）數(shù)集1，2，x2A．2，5 B．?2，?5 【變式3-2】（2022·全國·高一專題練習(xí)）在集合A=1,a2?a?1,aA．0 B．1 C．2 D．1或2【變式3-3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合A=4,x,2y，B=?2,x2,1?y，若A=BA．{?1,0,2} B．{?2,2} C．?1,0,2 D．{?2,1,2}【知識點2元素與集合的關(guān)系】1．元素與集合的關(guān)系(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A．(2)不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A．【注】符號“∈”和“?”只能用于元素與集合之間，并且這兩個符號的左邊是元素，右邊是集合，具有方向性，左右兩邊不能互換.2．常用的數(shù)集及其記法【題型4判斷元素與集合的關(guān)系】【例4】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）下列關(guān)系中，正確的有（）①12∈R；②5?QA．1個 B．2個C．3個 D．4個【變式4-1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知集合M=x|xx?1=0A．0∈M B．1?M C．?1∈M D．0?M【變式4-2】（2023春·福建龍巖·高一校考開學(xué)考試）給出下列6個關(guān)系：①22∈R，②3∈Z，③0?N?，④4A．4 B．2 C．3 D．5【變式4-3】（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┮阎蟂=y|y=x2A．?2∈S B．2,?2?T C．?1?S D．【題型5根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)】【例5】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知集合A=12,a2+4a,a?2，A．?1 B．?3或1 C．3 D．?3【變式5-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若a∈{1,3,a2}，則aA．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3【變式5-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合A=x∈Rx2+a>0，且2?A，則實數(shù)A．a(chǎn)a≤4 B．a(chǎn)a≥4 C．a(chǎn)a≤?4【變式5-3】（2022秋·高一單元測試）已知集合A=2,0,1,9，B=k|k∈R,k2A．0 B．2 C．?1 D．?2【題型6確定集合中的元素】【例6】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合A={?,?}，下列選項中均為A的元素的是（（1）?（2）?（3）?（4）?A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）【變式6-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合A={0,1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x?y∈A}，則集合B中所含元素個數(shù)為（

）A．20 B．21 C．22 D．23【變式6-2】（2023·高一課時練習(xí)）已知關(guān)于x的方程x2?mx+m2?3=0A．2 B．?2 C．±2 D．不存在【變式6-3】（2023春·江蘇泰州·高二校考階段練習(xí)）已知集合A=?1,0,1，B=m|m2?1∈A,m?1?AA．0 B．1 C．－1 D．2【知識點3集合的表示法】1．列舉法把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．注意：(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．(2)集合中的元素必須是明確的．(3)集合中的元素不能重復(fù)．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定義：一般地，設(shè)A表示一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．有時也用冒號或分號代替豎線．(2)具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．【題型7用列舉法表示集合】【例7】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）用列舉法表示下列給定的集合：（1）大于1且小于6的整數(shù)組成的集合A.（2）方程x2－9＝0的實數(shù)根組成的集合B.（3）一次函數(shù)y＝x＋3與y＝－2x＋6的圖象的交點組成的集合D.【變式7-1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知集合A={a|關(guān)于x的方程x+ax2?2=1有唯一實數(shù)解【變式7-2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）用列舉法表示下列集合.（1）不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；（2）方程x3＝x的所有實數(shù)解組成的集合；（3）直線y＝2x＋1與y軸的交點所組成的集合.【變式7-3】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）若集合A={x∣kx2?8x+16=0}中只有一個元素，試求實數(shù)k【題型8用描述法表示集合】【例8】（2022·高一課時練習(xí)）用描述法表示下列集合：(1)奇數(shù)組成的集合；(2)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第一象限的點組成的集合．【變式8-1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）用描述法表示下列集合：（1）被3除余1的正整數(shù)的集合．（2）坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)的點的集合．（3）大于4的所有偶數(shù)．【變式8-2】（2022秋·陜西安康·高一校考階段練習(xí)）表示下列集合：(1)請用列舉法表示方程2x?1+(2)請用描述法表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第一、三象限內(nèi)的點組成的集合；(3)請用描述法表示被5除余3的正整數(shù)組成的集合；(4)請用描述法表示二次函數(shù)y=x【變式8-3】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）用描述法表示下列集合：（1）函數(shù)y＝－2x2＋x圖象上的所有點組成的集合；（2）不等式2x－3<5的解組成的集合；（3）如圖中陰影部分的點(含邊界)的集合；（4）3和4的所有正的公倍數(shù)構(gòu)成的集合．【題型9集合中的新定義問題】【例9】（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）定義集合運算：A+B=zz=x+y,x∈A,y∈B，設(shè)A=1,2，B=1,2,3，則集合A．14 B．15 C．16 D．18【變式9-1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）對于任意兩個正整數(shù)m，n，定義某種運算“※”如下：當(dāng)m，n都為正偶數(shù)或都為正奇數(shù)時，m※n=m+n；當(dāng)m，n中一個為正偶數(shù)，另一個為正奇數(shù)時，m※n=mn，則在此定義下，集合M=(a,b)a※b=8中的元素個數(shù)是（A．10 B．9 C．8 D．7【變式9-2】（2023秋·四川成都·高一?？计谀┒xA?B=x|x=mn,m∈A,n∈B,若A=A．1 B．2 C．4 D．5【變式9-3】（2022·上海·高一專題練習(xí)）已知集合A=0,0,0,1,1,0,0,?1,?1,0A．77 B．49 C．45 D．30

專題1.1集合的概念【九大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1集合概念的理解】 1【題型2判斷是否為同一集合】 3【題型3集合中元素特性的求參問題】 4【題型4判斷元素與集合的關(guān)系】 6【題型5根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)】 7【題型6確定集合中的元素】 8【題型7用列舉法表示集合】 10【題型8用描述法表示集合】 12【題型9集合中的新定義問題】 13【知識點1集合的概念】1．元素與集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合是相等的．2．元素的特性(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．簡記為“確定性”．(2)互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡記為“互異性”．(3)無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡記為“無序性”．【題型1集合概念的理解】【例1】（2022·高一課時練習(xí)）以下元素的全體能構(gòu)成集合的是（

）A．中國古代四大發(fā)明 B．接近于1的所有正整數(shù)C．未來世界的高科技產(chǎn)品 D．地球上的小河流【解題思路】根據(jù)集合的知識可選出答案.【解答過程】中國古代四大發(fā)明具有確定性，能構(gòu)成集合，故A滿足；接近于1的正整數(shù)不確定，不能構(gòu)成集合，故B不滿足；未來世界的高科技產(chǎn)品不確定，不能構(gòu)成集合，故C不滿足；地球上的小河流不確定，不能構(gòu)成集合，故D不滿足；故選：A.【變式1-1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）①聯(lián)合國安全理事會常任理事國；②充分接近2的所有實數(shù)；③方程x2+2x+2=0的實數(shù)解；④中國著名的高等院校.以上對象能構(gòu)成集合的是（A．①② B．①③ C．②③ D．①②③④【解題思路】根據(jù)集合的概念及性質(zhì)依次判斷即可得到答案.【解答過程】對①，聯(lián)合國安全理事會常任理事國包括中國、法國、美國、俄羅斯、英國，能構(gòu)成集合.對②，充分接近2的所有實數(shù)，不滿足集合的確定性，不能構(gòu)成集合，對③，方程x2+2x+2=0，對④，中國著名的高等院校，不滿足集合的確定性，不能構(gòu)成集合，故選：B.【變式1-2】（2023·高一課時練習(xí)）下列各組對象的全體能構(gòu)成集合的有（

）（1）正方形的全體；（2）高一數(shù)學(xué)書中所有的難題；（3）平方后等于負(fù)數(shù)的數(shù)；（4）某校高一年級學(xué)生身高在1.7米的學(xué)生；（5）平面內(nèi)到線段AB兩端點距離相等的點的全體.A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【解題思路】根據(jù)集合中元素的確定性判斷可得答案.【解答過程】（1）（3）（4）（5）中的對象是確定的，可以組成集合，（2）中的對象是不確定的，不能組成集合.故選：C.【變式1-3】（2022秋·廣東汕頭·高一?？计谥校┫铝姓f法中，正確的個數(shù)是（

）①2的近似值的全體構(gòu)成一個集合②自然數(shù)集N中最小的元素是0③在整數(shù)集Z中，若a∈Z，則?a∈Z④一個集合中不可以有兩個相同的元素A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)集合的定義、自然數(shù)集、整數(shù)集的定義判斷.【解答過程】①2的近似值的全體沒有確定性，不能構(gòu)成集合，錯誤；②自然數(shù)集N中最小的元素是0，正確；③在整數(shù)集Z中，若a∈Z，則?a∈Z，整數(shù)的相反數(shù)還是整數(shù)，正確，④一個集合中不可以有兩個相同的元素，根據(jù)集合的定義知正確，故選：C．【題型2判斷是否為同一集合】【例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列集合中表示同一集合的是（

）A．M={(3,2)}，N={(2,3)}B．M={2,3}，N={3,2}C．M={(x,y)∣x+y=1}，N={y∣x+y=1}D．M={2,3}，N={(2,3)}【解題思路】利用集合的定義和元素的三個性質(zhì)，對A、B、C、D四個選項進(jìn)行一一判斷；【解答過程】A.M、N都是點集，3,2與2,3是不同的點，則M、N是不同的集合，故錯誤；B.M=2,3，N=3,2，根據(jù)集合的無序性，集合M，C.M=(x,y)∣x+y=1，M集合的元素表示點的集合，N=y∣x+y=1，N表示直線D.M=2,3集合M的元素是兩個數(shù)字2，3，N=(2,3)，集合N的元素是一個點故選：B.【變式2-1】（2023·高三課時練習(xí)）設(shè)Q是有理數(shù)，集合X={x|x=a+b2（1）{y|y=2x,x∈X}；（2）{y|y=x2,x∈X}；（3）{y|y=1x,x∈X}；（4）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【解題思路】將x=a+b2分別代入（1）、（2）、（3）中，化簡并判斷p,q與a,b【解答過程】對于（1），由2(a+b2)=p+q2，得對于（2），由a+b22=b+a對于（3），由1a+b2=a對于（4），?1?2∈X，但方程?1?2=x故選：B.【變式2-2】（2022秋·湖南郴州·高一?？茧A段練習(xí)）下列四組集合中表示同一集合的為（

）A．M=?1,3，B．M=?1,3，C．M=x,yy=D．M=?，【解題思路】根據(jù)集合元素的性質(zhì)可判斷.【解答過程】對A，兩個集合中元素對應(yīng)的坐標(biāo)不同，則A不正確；對B，集合中的元素具有無序性，兩個集合是同一集合，故B正確；對C，兩個集合研究的對象不同，一個是點集，一個是數(shù)集，則C不正確；對D，M是以?為元素的集合，N是空集，則D不正確．故選：B．【變式2-3】（2022秋·高一課時練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．由1，2，3組成的集合可表示為1,2,3或3,2,1B．?與0是同一個集合C．集合xy=x2D．集合xx2+5x+6=0【解題思路】根據(jù)集合的定義和性質(zhì)逐項判斷可得答案【解答過程】集合中的元素具有無序性，故A正確；?是不含任何元素的集合，0是含有一個元素0的集合，故B錯誤；集合xy=x2集合xx2+5x+6=0=xx+2x+3故選：A.【題型3集合中元素特性的求參問題】【例3】（2023·高一課時練習(xí)）由a2，2?a，3組成的一個集合A，若A中元素個數(shù)不是2，則實數(shù)a的取值可以是（

A．?1 B．1 C．3 D．2【解題思路】由題意判斷集合的元素個數(shù)，根據(jù)集合元素的互異性，可求得a的不可能取值，即得答案.【解答過程】由題意由a2，2?a，3組成的一個集合A，A因為a2=2?a=3無解，故由a2，2?a故a2≠2?a≠3，即a≠?2,a≠1,a≠?1,a≠±3即A，B，C錯誤，D正確，故選：D.【變式3-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）數(shù)集1，2，x2A．2，5 B．?2，?5 【解題思路】利用集合中的元素具有互異性的性質(zhì)列出關(guān)于x的不等式，解之即可得到x不能取的數(shù)值的集合．【解答過程】由x2?3≠1解得x≠±2；由x2∴x不能取的值的集合為±2，故選：C．【變式3-2】（2022·全國·高一專題練習(xí)）在集合A=1,a2?a?1,aA．0 B．1 C．2 D．1或2【解題思路】首先排除a不可以取的值，可得a=?1,1,2,3時不符題意，當(dāng)a=0時滿足題意，即可得解.【解答過程】首先確定a不可以取的值，由a2?a?1=1可得a=?1或由a2?2a+2=1可得當(dāng)a2?a?1=a所以a的值不能取-1，1，2，3，當(dāng)a=0時有A=1,?1,2故選：A.【變式3-3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合A=4,x,2y，B=?2,x2,1?y，若A=BA．{?1,0,2} B．{?2,2} C．?1,0,2 D．{?2,1,2}【解題思路】根據(jù)集合元素的唯一性分類討論即可.【解答過程】因為A=B，所以?2∈A.當(dāng)x=?2時，2y=1?y，得y=1當(dāng)2y=?2時，則x=2.故實數(shù)x的取值集合為?2,2.故選：B.【知識點2元素與集合的關(guān)系】1．元素與集合的關(guān)系(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A．(2)不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A．【注】符號“∈”和“?”只能用于元素與集合之間，并且這兩個符號的左邊是元素，右邊是集合，具有方向性，左右兩邊不能互換.2．常用的數(shù)集及其記法【題型4判斷元素與集合的關(guān)系】【例4】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）下列關(guān)系中，正確的有（）①12∈R；②5?QA．1個 B．2個C．3個 D．4個【解題思路】判斷數(shù)所在數(shù)域，得到正確答案.【解答過程】12為實數(shù)，①正確；5是無理數(shù)，5?3=3是自然數(shù)，③正確；?故選：C.【變式4-1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知集合M=x|xx?1=0A．0∈M B．1?M C．?1∈M D．0?M【解題思路】確定結(jié)合M=x|x【解答過程】由題意知集合M=x|x故0∈M，故A正確，D錯誤，1∈M，故B錯誤，?1?M，故C錯誤，故選：A.【變式4-2】（2023春·福建龍巖·高一?？奸_學(xué)考試）給出下列6個關(guān)系：①22∈R，②3∈Z，③0?N?，④4A．4 B．2 C．3 D．5【解題思路】根據(jù)數(shù)的分類一一判斷即可.【解答過程】22為無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，所以23是無理數(shù)，所以3?0不是正整數(shù)，所以0?N4=2∈π是無理數(shù)，所以π?|?2|=2∈Z故選:A.【變式4-3】（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┮阎蟂=y|y=x2A．?2∈S B．2,?2?T C．?1?S D．【解題思路】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求解.【解答過程】因為S=y|y=所以A、C錯誤，因為2+?2=0，所以又?1+1=0，所以?1,1∈T故選:D．【題型5根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)】【例5】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知集合A=12,a2+4a,a?2，A．?1 B．?3或1 C．3 D．?3【解題思路】由元素與集合關(guān)系分類討論，結(jié)合元素的互異性判斷即可.【解答過程】∵?3∈A，∴?3=a2+4a若?3=a2+4a，解得a=?1當(dāng)a=?1時，a2當(dāng)a=?3時，集合A=12,?3,?5，滿足題意，故a=?3若?3=a?2，解得a=?1，由上述討論可知，不滿足題意，故舍去．綜上所述，a=?3．故選：D．【變式5-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若a∈{1,3,a2}，則aA．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3【解題思路】根據(jù)元素與集合的關(guān)系及集合中元素的性質(zhì)，即可判斷a的可能取值.【解答過程】a=0，則a∈{1,3,0}，符合題設(shè)；a=1時，顯然不滿足集合中元素的互異性，不合題設(shè)；a=3時，則a∈{1,3,9}，符合題設(shè)；∴a=0或a=3均可以.故選：C.【變式5-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合A=x∈Rx2+a>0，且2?A，則實數(shù)A．a(chǎn)a≤4 B．a(chǎn)a≥4 C．a(chǎn)a≤?4【解題思路】結(jié)合元素與集合的關(guān)系得到22【解答過程】由題意可得22+a≤0，解得故選：C.【變式5-3】（2022秋·高一單元測試）已知集合A=2,0,1,9，B=k|k∈R,k2A．0 B．2 C．?1 D．?2【解題思路】根據(jù)集合的定義求出集合B后可得結(jié)論．【解答過程】A=2,0,1,9，B=①當(dāng)k2?2=2時，k=2時，k?2=0∈A，∴k≠2；k=?2時，k?2=?4?A，滿足條件；②當(dāng)k2?2=0時，k=±2③當(dāng)k2?2=1時，k=±3④當(dāng)k2?2=9時，k=±11從而得到B=±所以集合B中所有元素之和為?2．故選：D．【題型6確定集合中的元素】【例6】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合A={?,?}，下列選項中均為A的元素的是（（1）?（2）?（3）?（4）?A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）【解題思路】根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷．【解答過程】集合A有兩個元素：?和?，故選：B.【變式6-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合A={0,1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x?y∈A}，則集合B中所含元素個數(shù)為（

）A．20 B．21 C．22 D．23【解題思路】根據(jù)x?y的值分類討論，即可求出集合B中所含元素個數(shù)．【解答過程】當(dāng)x?y=0時，有(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)，6個元素；當(dāng)x?y=1時，有(1,0),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4)，5個元素；當(dāng)x?y=2時，有(2,0),(3,1),(4,2),(5,3)，4個元素；當(dāng)x?y=3時，有(3,0),(4,1),(5,2)，3個元素；當(dāng)x?y=4時，有(4,0),(5,1)，2個元素；當(dāng)x?y=5時，有(5,0)，1個元素，綜上，一共有21個元素．故選：B．【變式6-2】（2023·高一課時練習(xí)）已知關(guān)于x的方程x2?mx+m2?3=0A．2 B．?2 C．±2 D．不存在【解題思路】根據(jù)一元二次方程解的個數(shù)與判別式的關(guān)系求解即可.【解答過程】因為關(guān)于x的方程x2所以Δ=m2故選：C.【變式6-3】（2023春·江蘇泰州·高二校考階段練習(xí)）已知集合A=?1,0,1，B=m|m2?1∈A,m?1?AA．0 B．1 C．－1 D．2【解題思路】根據(jù)題意列式求得m的值，即可得出答案.【解答過程】根據(jù)條件分別令m2?1=?1,0,1，解得又m?1?A，所以m=?1,±2，B=所以集合B中所有元素之和是?1，故選：C．【知識點3集合的表示法】1．列舉法把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．注意：(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．(2)集合中的元素必須是明確的．(3)集合中的元素不能重復(fù)．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定義：一般地，設(shè)A表示一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．有時也用冒號或分號代替豎線．(2)具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．【題型7用列舉法表示集合】【例7】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）用列舉法表示下列給定的集合：（1）大于1且小于6的整數(shù)組成的集合A.（2）方程x2－9＝0的實數(shù)根組成的集合B.（3）一次函數(shù)y＝x＋3與y＝－2x＋6的圖象的交點組成的集合D.【解題思路】（1）直接將大于1且小于6的整數(shù)，寫出集合A；（2）求得方程x2－9＝0的實數(shù)根，得到集合B；（3）聯(lián)立y＝x＋3與y＝－2x＋6，求得交點，得到集合D.【解答過程】（1）因為大于1且小于6的整數(shù)包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}.（2）方程x2－9＝0的實數(shù)根為－3，3，所以B＝{－3，3}.（3）由y=x+3y=?2x+6,得所以一次函數(shù)y＝x＋3與y＝－2x＋6的交點為(1，4)，所以D＝{(1，4)}.【變式7-1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知集合A={a|關(guān)于x的方程x+ax2?2=1有唯一實數(shù)解【解題思路】當(dāng)a≠±2時化方程x+ax2?2=1為x2?x?(a+2)=0【解答過程】當(dāng)a≠±2時，化方程x+ax2∵方程有唯一實數(shù)根，∴由判別式為零可得1+4(a+2)=0，得a=?9此時的解為x=1當(dāng)a=2時，x+ax2當(dāng)a=?2時，x+ax2∴A={?94，?2【變式7-2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）用列舉法表示下列集合.（1）不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；（2）方程x3＝x的所有實數(shù)解組成的集合；（3）直線y＝2x＋1與y軸的交點所組成的集合.【解題思路】根據(jù)題意求得元素，在用列舉法即可表示（1）（2）（3）.【解答過程】（1）因為不大于10是指小于或等于10，非負(fù)是大于或等于0的意思，所以不大于10的非負(fù)偶數(shù)集是{0，2，4，6，8，10}.（2）方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解組成的集合為{0，1，－1}.（3）將x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交點是(0，1)，故兩直線的交點組成的集合是{(0，1)}.【變式7-3】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）若集合A={x∣kx2?8x+16=0}中只有一個元素，試求實數(shù)k【解題思路】集合A={x∣kx2?8x+16=0}中只有一個元素，即方程kx2?8x+16=0只有一個解，再討論當(dāng)【解答過程】解：由集合A={x∣kx即方程kx①當(dāng)k=0時，方程為?8x+16=0，解得x=2，即A=2②當(dāng)k≠0時，方程kx2?8x+16=0只有一個解，則Δ=即方程為x2?8x+16=0，解得x=4，即綜合①②可得：實數(shù)k的值為0或1，當(dāng)k=0時，A=2；當(dāng)k=1，A=【題型8用描述法表示集合】【例8】（2022·高一課時練習(xí)）用描述法表示下列集合：(1)奇數(shù)組成的集合；(2)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第一象限的點組成的集合．【解題思路】利用集合的描述法即得.【解答過程】（1）奇數(shù)組成的集合為xx=2k?1,k∈（2）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第一象限的點組成的集合為x,yx>0,y>0【變式8-1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）用描述法表示下列集合：（1）被3除余1的正整數(shù)的集合．（2）坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)的點的集合．（3）大于4的所有偶數(shù)．【解題思路】集合用描述法表示，根據(jù)條件寫代表元具有的性質(zhì).【解答過程】（1）因為集合中的元素除以3余數(shù)為1，所以集合表示為：{x|x=3n+1,n∈N}；（2）第一象限內(nèi)的點，其橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均大于0，所以集合表示為：{(x,y)|x>0,y>0}；（3）大于4的所有偶數(shù)都是正整數(shù)，所以集合表示為：{x|x=2n,n≥3,n∈Z}．【變式8-2】（2022秋·陜西安康·高一?？茧A段練習(xí)）表示下列集合：(1)請用列舉法表示方程2x?1+(2)請用描述法表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第一、三象限內(nèi)的點組成的集合；(3)請用描述法表示被5除余3的正整數(shù)組成的集合；(4)請用描述法表示二次函數(shù)y=x【解題思路】根據(jù)題意逐項代入分析即可求解.【解答過程】（1）方程2x?1+|2y+1|=0的解集為{(（2）用描述法表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第一、三象限內(nèi)的點組成的集合為{(x,y)|xy>0}.（3）用描述法表示被5除余3的正整數(shù)組成的集合為{x∈N+|x=5n+3（4）用描述法表示二次函數(shù)y=x2+2x?10【變式8-3】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）用描述法表示下列集合：（1）函數(shù)y＝－2x2＋x圖象上的所有點組成的集合；（2）不等式2x－3<5的解組成的集合；（3）如圖中陰影部分的點(含邊界)的集合；（4）3和4的所有正的公