2.3二次函數(shù)與一元二次方程不等式（導(dǎo)學(xué)案）

2.3《二次函數(shù)與一元二次方程、不等式》導(dǎo)學(xué)案（解析版）（日期：2024年9月課時：2課時第4周）一.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解一元二次不等式的概念（數(shù)學(xué)抽象）；2.認(rèn)識與理解一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)之間的關(guān)系（數(shù)學(xué)抽象）；3.深刻掌握一元二次不等式的圖像解法（數(shù)學(xué)運算、直觀想象）.二.學(xué)習(xí)過程（導(dǎo)學(xué)、自學(xué)）（一）復(fù)習(xí)舊知——一元二次方程與二次函數(shù)1.請各位同學(xué)分別用公式法或十字相乘法求解下列一元二次方程：十字相乘法①豎分兩項交叉乘;十字相乘法①豎分兩項交叉乘;解法一（十字相乘法）：x十字相乘法②橫寫式子不能亂.十字相乘法②橫寫式子不能亂.∴原方程可化為（∴滿足x-2=0∴x用公式法求解一元二次方程用公式法求解一元二次方程a①判別式?=②求根公式x=A.當(dāng)?>0時，原一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；B.當(dāng)?=0時，原一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根（或只有一個實數(shù)根）；C.解法二（公式法）：∵已知x∴又∵?∴原一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，分別為∴x（2）9解法一（公式法）：∵已知9∴a又∵?∴原一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，分別為∴x解法二（完全平方公式法）∵已知9∴3∴∴3x∴即原一元二次方程的實數(shù)根為x（3）-解（公式法）：∵已知-即x∴a又∵?∴原一元二次方程沒有實數(shù)根2.問題：請各位同學(xué)將二次函數(shù)y二次函數(shù)y=a二次函數(shù)y=①化二次項系數(shù)為1：用含未知數(shù)的項除以二次項系數(shù)即可得到括號里面的項，常數(shù)項照搬∵已知y∴②配方：利用對消思想，括號內(nèi)同時加上和減去②配方：利用對消思想，括號內(nèi)同時加上和減去一次項系數(shù)絕對值一半的平方，從而構(gòu)造出完全平方公式a③整理：去括號，合并同類項，將二次函數(shù)解析式化為頂點式③整理：去括號，合并同類項，將二次函數(shù)解析式化為頂點式y(tǒng)=a(∴a=-2<0,∴拋物線y且頂點坐標(biāo)為解(2)一般式轉(zhuǎn)化為交點式：∵已知y令y=0∴利用整體思想則有-2-2x-3驗證：10∴滿足（?2x?3）(x?5)=0解得x∴拋物線y=-2x2+7x+15與于是可得這個二次函數(shù)的交點式為其圖像如圖所示：3.小結(jié)：二次函數(shù)y=ax2令令y=0(2)從代數(shù)的角度：(2)從代數(shù)的角度：對于一元二次方程ax2+bx+c=0(1)從幾何的角度：對于拋物線y=ax2+bx+c（（二）探究新知1——一元二次不等式的概念1.情景為喜迎2022年10月16日22日，即將在北京召開的黨的二十大，營造喜慶、隆重、熱烈的氛圍，某市園林規(guī)劃局計劃在市中心公園一塊長為8米,寬為6米的長方形地面上進(jìn)行“喜迎二十大、花開向未來”主題綠化設(shè)計活動.計劃四周種草坪,草坪帶的寬度相同,中間種植花卉.為了凸顯喜慶隆重的氛圍,要求花卉的種植面積要超過總面積的一半,此時草坪帶寬度的取值范圍是多少?2.問題1各位同學(xué)，綠化設(shè)計簡要圖紙如下所示，你們能根據(jù)設(shè)計要求列出不等式，并求出草坪帶寬度的取值范圍是多少嗎?解:由題意設(shè)草坪帶寬度為x米(0<x<6)(8-2化簡得3.問題2（1）不等式x2（2）你們知道這個不等式如何求解嗎？相信各位同學(xué)通過今天的學(xué)習(xí)，將能解決這些問題.4.元二次不等式的概念像x2-7x+6>其一般式為其一般式為ax2+注：上面一般式中的“>”也可以換成“<”，“≥”或“≤”.（三）探究新知2——一元二次不等式的解法（互學(xué)）一化1.典例講解：解不等式一化解:原一元二次不等式等價于x∵?=二解解一元二次方程x2二解x又∵二次項系數(shù)a二次函數(shù)y=三作圖三作圖四答由上圖可知不等式x四答{x即原不等式的解集為{x2.一元二次不等式的求解方法小結(jié)(1)一化：將原不等式化成一般式，即ax2+bx+c(2)二解：判斷?=b2-4(3)三作圖:根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>(4)四答:通常要將不等式的解集用數(shù)集或區(qū)間來表示.3.實例運用例1看圖口答.①不等式x2-2x②不等式x2-2③不等式x2-2三.小組合作、討論交流(互學(xué))各位同學(xué)，請大家每4個人組成一組，分別交流討論后，解決下列問題：例1.求解下列一元二次不等式的解集：（1）x解：∵已知∴又∵?∴解一元二次方程xx又∵二次項系數(shù)∴可得二次函數(shù)y=x^2?5x+6的圖像如圖所示由圖可知原一元二次不等式的解集為{例1（2）9x解：∵已知9∴又∵?=∴解一元二次方程9x又∵二次項系數(shù)a∴可得二次函數(shù)y=9如圖所示由圖可知原一元二次不等式的解集為{例1（3）-x解：原不等式-x∴又∵?∴一元二次方程x又∵二次項系數(shù)∴可得二次函數(shù)y由圖可知一元二次不等式x2故原一元二次不等式-x2例2.各位同學(xué)，通過今天這節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家能求解情景問題中列出的一元二次不等式了嗎？解:由題意設(shè)草坪帶寬度為x米(0<x<6)(8-2x化簡得∵a∴?∴解一元二次方程x又∵二次項系數(shù)∴可得二次函數(shù)y=如圖所示由圖可知原一元二次不等式的解集為{又∵0<∴要使花卉的種植面積超過總面積的一半,此時草坪帶寬度x例3.一家車輛制造廠引進(jìn)了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量x(單位:輛)與創(chuàng)造的價值y（單位:若這家工廠希望在一個星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收60000元以上，則在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)多少輛摩托車?解：設(shè)這家工廠在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該利用這條流水線生產(chǎn)x輛摩托車，且由題意可得-原不等式可化為x2∴∵?∴解一元二次方程x2又∵二次項系數(shù)∴可得二次函數(shù)y=由圖可知一元二次不等式x2{故原一元二次不等式-20{又∵摩托車輛數(shù)x∴當(dāng)這條流水線在一周內(nèi)生產(chǎn)的摩托車數(shù)量在51~59輛時，這家工廠能夠獲得60000元以上的收益.例4某種汽車在水泥路面上的剎車距離s(單位:m)和汽車剎車前的車速v(單位:s在一次交通事故中，測得這種車的剎車距離大于39.5m,那么這輛汽車剎車前的車速至少為多少(精確到1解：由題意可得即原不等式可化為∴∵?∴解一元二次方程v又∵二次項系數(shù)∴可得二次函數(shù)y=由圖可知一元二次不等式v2{故原一元二次不等式1{又∵車速v>0∴v而79.9<∴這輛汽車剎車前的車速至少為80km四.達(dá)標(biāo)檢測（遷移變通、檢測實踐）1.若關(guān)于x的不等式x2-a+1x+A.{a|3<a<4}

B.{a|-2<【答案】D

【解析】【分析】本題考查一元二次不等式的解法，屬于中檔題．

根據(jù)一元二次不等式的解法，分類討論進(jìn)行求解．【解答】

解：由x2-a+1x+a<0可得(x-1)(x-a)<0，且(x-1)(x-a)<0的解集中恰有兩個整數(shù)．

①當(dāng)a<1時，不等式(x-1)(x-a)<0的解集為{x|a<x<1}，則-1>2.設(shè)a∈R，若關(guān)于x的不等式x2-ax+1≥0A.a≤2 B.a≥2 C.a【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查了含參一元二次不等式中參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．

根據(jù)題意得不等式對應(yīng)的二次函數(shù)fx=x2-【解答】

解：由二次函數(shù)fx=x2-ax+1的圖象開口向上，

當(dāng)Δ=0?a=±2，滿足題意，

當(dāng)Δ>0f(1)≥0或?f(2)≥03.已知不等式ax2+bx+cA.不等式ax2-bx+c>0的解集是x-4<x<-3

B.不等式cx【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查了一元二次不等式的解法，屬于中檔題．

因為已知不等式ax2+bx+c>0的解集是x3<x<4，故方程ax2+bx+c=0【解答】

解：因為不等式ax2+bx+c>0的解集是x3<x<4，

故方程ax2+bx+c=0兩根分別是3和4，

則-ba=7,ca=12，且a<0，設(shè)a=-1，則b=7，c=-12，分別代入ABCD四個選項；

A選項：把a(bǔ)=-1，b=7，c=-12代入不等式ax2-bx+c>0的解集是x|-4<x4.在①一次函數(shù)y=ax+b的圖象過A(0,3)，B(2,7)兩點，②關(guān)于x的不等式1<ax+b≤3的解集為{x|3<x≤4}【答案】解：選①：

由題得：b=32a+b=7，解得：a=2，b=3，

將a=2代入不等式整理得：(x-2)(2x+1)>0，解得：x>2或x<-12，

故原不等式的解集為x|x<-12或x>2．

選②：

∵不等式1<ax+b≤3的解集為{x|3<x≤4}，∴3a+b=14a+b=3，解得：a=2，b=-5，

將a【解析】先由所選條件求得a的值，再求解不等式的解集即可．

本題主要考查集合之間的關(guān)系及不等式的解法，屬于中檔題．5.解下列關(guān)于x的不等式：(1)(2)(3-x)(2x+1)<1+2【答案】解：(1)不等式|3x-4|>1+2x可化為：

3x-4>1+2x或3x-4<-1-2x，

即x>5或x<35，

∴不等式的解集為{x|x>5或x<35}；

(2)不等式(3-x)(2x+1)<1+2x可化為：

(2x+1)-(3-x)(2x+1)>0，

即(2x+1)(x-2)>0，

解得x>2【解析】本題考查含有