專題2.9 有理數(shù)的混合運(yùn)算（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）（蘇科版）（原卷版）

專題2.9有理數(shù)的混合運(yùn)算（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】有理數(shù)的混合運(yùn)算一、理解運(yùn)算順序有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：①從高級(jí)到低級(jí)：先算乘方，再算乘除，最后算加減；②從內(nèi)向外：如果有括號(hào)，就先算小括號(hào)里的，再算中括號(hào)里的，最后算大括號(hào)里的.③從左向右：同級(jí)運(yùn)算，按照從左至右的順序進(jìn)行（或應(yīng)用分配律、結(jié)合律）；二、應(yīng)用四個(gè)原則：1、整體性原則：乘除混合運(yùn)算統(tǒng)一化乘，統(tǒng)一進(jìn)行約分；加減混合運(yùn)算按正負(fù)數(shù)分類，分別統(tǒng)一計(jì)算，或把帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)、分?jǐn)?shù)部分拆開，分別統(tǒng)一計(jì)算。2、簡明性原則：計(jì)算時(shí)盡量使步驟簡明，能夠一步計(jì)算出來的就同時(shí)算出來；運(yùn)算中盡量運(yùn)用簡便方法，如五個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用。3、口算原則：在每一步的計(jì)算中，都盡量運(yùn)用口算，口算是提高運(yùn)算率的重要方法之一，習(xí)慣于口算，有助于培養(yǎng)反應(yīng)能力和自信心。分段同時(shí)性原則：對(duì)一個(gè)算式，一般可以將它分成若干小段，同時(shí)分別進(jìn)行運(yùn)算。如何分段呢？主要有：(1)運(yùn)算符號(hào)分段法。有理數(shù)的基本運(yùn)算有五種：加、減、乘、除和乘方，其中加減為第一級(jí)運(yùn)算，乘除為第二級(jí)運(yùn)算，乘方為第三級(jí)運(yùn)算。在運(yùn)算中，低級(jí)運(yùn)算把高級(jí)運(yùn)算分成若干段。一般以加號(hào)、減號(hào)把整個(gè)算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的結(jié)果先計(jì)算出來，最后再算出這幾個(gè)加數(shù)的和．(2)括號(hào)分段法，有括號(hào)的應(yīng)先算括號(hào)里面的。在實(shí)施時(shí)可同時(shí)分別對(duì)括號(hào)內(nèi)外的算式進(jìn)行運(yùn)算。(3)絕對(duì)值符號(hào)分段法。絕對(duì)值符號(hào)除了本身的作用外，還具有括號(hào)的作用，從運(yùn)算順序的角度來說，先計(jì)算絕對(duì)值符號(hào)里面的，因此絕對(duì)值符號(hào)也可以把算式分成幾段，同時(shí)進(jìn)行計(jì)算．(4)分?jǐn)?shù)線分段法，分?jǐn)?shù)線可以把算式分成分子和分母兩部分并同時(shí)分別運(yùn)算。說明：本題以加號(hào)、減號(hào)為界把整個(gè)算式分成三段，這三段分別計(jì)算出來的結(jié)果再相加。三、掌握運(yùn)算技巧（1）歸類組合：將不同類數(shù)(如分母相同或易于通分的數(shù))分別組合；將同類數(shù)(如正數(shù)或負(fù)數(shù))歸類計(jì)算。（2）湊整：將相加可得整數(shù)的數(shù)湊整，將相加得零的數(shù)（如互為相反數(shù)）相消。（3）分解：將一個(gè)數(shù)分解成幾個(gè)數(shù)和的形式,或分解為它的因數(shù)相乘的形式。（4）約簡：將互為倒數(shù)的數(shù)或有倍數(shù)關(guān)系的數(shù)約簡。（5）倒序相加：利用運(yùn)算律，改變運(yùn)算順序,簡化計(jì)算。（6）正逆用運(yùn)算律：正難則反,逆用運(yùn)算定律以簡化計(jì)算。（7）絕對(duì)值和偶次冪的非負(fù)性。四、理解轉(zhuǎn)化的思想方法有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是確定符號(hào)和絕對(duì)值的問題。因此在運(yùn)算時(shí)應(yīng)把握“遇減化加．遇除變乘，乘方化乘”，這樣可避免因記憶量太大帶來的一些混亂，同時(shí)也有助于學(xué)生抓住數(shù)學(xué)內(nèi)在的本質(zhì)問題。把所學(xué)的有理數(shù)運(yùn)算概括起來?？蓺w納為三個(gè)轉(zhuǎn)化：一是通過絕對(duì)值將加法、乘法在先確定符號(hào)的前提下，轉(zhuǎn)化為小學(xué)里學(xué)的算術(shù)數(shù)的加法、乘法；二是通過相反數(shù)和倒數(shù)分別將減法、除法轉(zhuǎn)化為加法、乘法；三是將乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為積的形式．若掌握了有理數(shù)的符號(hào)法則和轉(zhuǎn)化手段，有理數(shù)的運(yùn)算就能準(zhǔn)確、快速地解決了．五、會(huì)用三個(gè)概念的性質(zhì)如果a．b互為相反數(shù)，那么a+b=O，a=-b；如果c，d互為倒數(shù)，那么cd=l，c=1/d；如果|x|=a(a＞0)，那么x=a或-a.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】有理數(shù)的四則混合運(yùn)算【例1】（24-25七年級(jí)上·全國·假期作業(yè)）計(jì)算下列各題：(1)(2)(3)(4)【變式1】（23-24七年級(jí)上·山東聊城·階段練習(xí)）下列各式計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24九年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）定義一種新運(yùn)算，規(guī)定，則．【題型2】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【例2】（23-24六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）計(jì)算題：(1)；(2)．【變式1】（23-24七年級(jí)下·湖南永州·期末）計(jì)算：（

）A．1 B．2 C．0 D．【變式2】（23-24七年級(jí)上·河南周口·階段練習(xí)）計(jì)算：．【題型3】用簡便方法進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算【例3】（23-24六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）用簡便方法計(jì)算：(1)(2)【變式1】（22-23七年級(jí)上·江蘇無錫·階段練習(xí)）在簡便運(yùn)算時(shí)，把變形成最合適的形式是（

）A． B．C． D．【變式2】式子“1＋2＋…＋100”表示從1開始的100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，為了簡便將其表示為，這里“∑”是求和符號(hào)，如，通過以上材料，計(jì)算=．【題型4】有理數(shù)混合運(yùn)算與程序流程圖和算24點(diǎn)【例4】（23-24七年級(jí)上·吉林松原·期中）請(qǐng)你參加計(jì)算游戲：（1）“算24點(diǎn)”游戲：有四個(gè)數(shù)，可以按下面方式計(jì)算：，．利用加、減、乘、除、乘方運(yùn)算（可用括號(hào)），每個(gè)數(shù)必須用一次且只能用一次，最終計(jì)算結(jié)果為24．下面有四個(gè)數(shù)：，請(qǐng)列出一個(gè)符合要求的算式，并寫出計(jì)算全過程；（2）請(qǐng)?jiān)趦?nèi)填上中的一個(gè)，使計(jì)算更加簡便，然后計(jì)算．計(jì)算：．【變式1】小新玩“24點(diǎn)”游戲，游戲規(guī)則是對(duì)數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除混合運(yùn)算（每張卡片只能用一次，可以加括號(hào)）使得運(yùn)算結(jié)果是24或－24．小新已經(jīng)抽到前3張卡片上的數(shù)字分別是，若再從下列4張中抽出1張，則其中不能與前3張算出“24點(diǎn)”的是（）A． B． C． D．【變式2】（24-25七年級(jí)上·全國·隨堂練習(xí)）按照以下程序圖輸入的值為，則輸出的值為．【題型5】有理數(shù)混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用【例5】（23-24六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）初夏逢盛會(huì)，冰城萬象新．2024年第三十三屆哈爾濱國際經(jīng)濟(jì)貿(mào)易洽談會(huì)，吸引了眾多采購商和消費(fèi)者的目光，讓海內(nèi)外賓朋收獲頗豐，也給哈爾濱市的旅游行業(yè)帶來了新的生機(jī)，某出租車駕駛員在一條東西向的道路上連續(xù)接送5批客人，行駛路程記錄如下（規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，單位：）．第一批第二批第三批第四批第五批（1）接送完第5批客人后，該駕駛員在公司什么方向，距離公司多少千米？（2）若出租車每千米耗油升，那么在連續(xù)接送5批客人的過程中共耗油多少升？（3）若該出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為：行駛路程不超過收費(fèi)9元，超過的部分每千米加元收費(fèi)，在連續(xù)接送5批客人的過程中，該駕駛員一共收到車費(fèi)多少元？【變式1】（2024·四川達(dá)州·三模）在我國古書《易經(jīng)》中有“上古結(jié)繩而治”的記載，它指“結(jié)繩記事”或“結(jié)繩記數(shù)”．如圖，一遠(yuǎn)古牧人在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿6進(jìn)1，用來記錄他所放牧的羊的只數(shù)，由圖可知，他所放牧的羊的只數(shù)是（

）A．1234 B．310 C．60 D．10【變式2】（23-24六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）在2024年“五·一”黃金周期間，哈市鳳凰山旅游景區(qū)在三天假期中，每天旅游的人數(shù)變化如下表：（正數(shù)表示比前一天多的人數(shù)，負(fù)數(shù)表示比前一天少的人數(shù)）：日期4月29日4月30日5月1日人數(shù)變化單位：萬人－0.1＋0.3－0.2若4月30日的游客人數(shù)為1.5萬人，且每張入山門票為100元，那么三天內(nèi)游客管理中心一共收取門票費(fèi)萬元第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·甘肅·中考真題）定義一種新運(yùn)算*，規(guī)定運(yùn)算法則為：（m，n均為整數(shù)，且）．例：，則．【例2】（2021·山東日照·中考真題）數(shù)學(xué)上有很多著名的猜想，“奇偶?xì)w一猜想”就是其中之一，它至今未被證明，但研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意一個(gè)小于的正整數(shù)，如果是奇數(shù)，則乘3加1；如果是偶數(shù)，則除以2，得到的結(jié)果再按照上述規(guī)則重復(fù)處理，最終總能夠得到1．對(duì)任意正整數(shù)，按照上述規(guī)則，恰好實(shí)施5次運(yùn)算結(jié)果為1的所有可能取值的個(gè)數(shù)為（）A．8 B．6 C．4 D．22、拓展延伸【例1】（24-25七年級(jí)上·全國·假期作業(yè)）閱讀與思考下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)小論文，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的計(jì)算．逆用乘法分配律解題我們知道，乘法分配律是，反過來．這就是說，當(dāng)中有相同的a時(shí)，我們可以逆用乘法分配律得到，進(jìn)而可使運(yùn)算簡便．例如：計(jì)算，若利用先乘后減顯然很繁瑣，注意到兩項(xiàng)都有，因此逆用乘法分配律可得，這樣計(jì)算就簡便得多計(jì)算：(1)；