專題2.11 有理數(shù)的運算（全章知識梳理與考點分類講解）（人教版）（解析版）

專題2.11有理數(shù)的運算（全章知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點一】有理數(shù)的加法1、加法法則：(1)同號相加，取相同的符號，并把絕對值相加；(2)異號兩數(shù)相加，絕對值相等時何為0，絕對值不等時，取絕對值大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；(3)一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。2、運算律：交換律：a+b=b+a結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）【知識點二】有理數(shù)的減法減法法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。特別注意：將減法轉(zhuǎn)化成加法時，注意兩變：一是減號變加號，二是減數(shù)變?yōu)槠湎喾磾?shù)。【知識點三】有理數(shù)的乘法1、有理數(shù)乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，絕對值相乘。②任何數(shù)與0相乘，積仍為0。特別注意：（1）如果兩個數(shù)互為倒數(shù)，則它們的乘積為1；（2）※乘法的交換律、結(jié)合律、分配律在有理數(shù)運算中同樣適用。2、有理數(shù)乘法運算步驟：①先確定積的符號；②求出各因數(shù)的絕對值的積；乘積為1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)。特別注意：①零沒有倒數(shù)；②求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是把分?jǐn)?shù)的分子分母顛倒位置。帶分?jǐn)?shù)要先化成假分?jǐn)?shù)；③正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)?！局R點四】有理數(shù)的除法有理數(shù)除法法則：①兩個有理數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。②0除以任何非0的數(shù)都得0。0不可作為除數(shù)，否則無意義。指數(shù)底數(shù)指數(shù)底數(shù)冪特別注意：①一個數(shù)可以看作是本身的一次方，如5=；②當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時，要先用括號將底數(shù)括上，再在右上角寫指數(shù)。乘方的運算性質(zhì)：①正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；②負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；③任何數(shù)的偶數(shù)次冪都是非負(fù)數(shù)；④1的任何次冪都得1，0的任何次冪都得0；⑤-1的偶次冪得1；-1的奇次冪得-1；⑥在運算過程中，首先要確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值?！局R點六】有理數(shù)混合運算法則：法則：①先算乘方,再算乘除,最后算加減。②如果有括號,先算括號里面的。第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】有理數(shù)的加減運算【例1】（23-24七年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）計算：(1)(2)【答案】(1)2(2)【分析】本題主要考查了有理數(shù)加減運算、有理數(shù)加減運算中的簡便運算、化簡絕對值等知識，熟練掌握相關(guān)運算法則和運算律是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)加減運算法則求解即可；（2）根據(jù)加法運算律將原式整理為，然后求解即可．（1）解：原式；（2）解：原式．【變式1】（23-24七年級上·河南鄭州·期末）已知有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖，請化簡，下列結(jié)果正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的運算，數(shù)軸與絕對值，先根據(jù)數(shù)軸判斷出、、、的符號，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉絕對值符號后進(jìn)行計算即可求解，由是解題的關(guān)鍵．解：由數(shù)軸可得，，，∴，，，∴原式，，故選：．【變式2】（23-24七年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）計算：．【答案】【分析】此題考查了有理數(shù)的加減混合運算，絕對值的化簡等知識，原式利用絕對值的意義進(jìn)行化簡化簡，再進(jìn)行加減計算即可得到結(jié)果．解：．故答案為：【題型2】有理數(shù)的乘除運算【例2】（23-24七年級上·湖南株洲·階段練習(xí)）計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用有理數(shù)的乘法分配律和乘法法則計算，再利用有理數(shù)的加減法法則計算即可；（2）利用有理數(shù)的乘除混合運算順序和運算法則計算即可．（1）解：原式；（2）解：原式．【點撥】本題考查有理數(shù)的乘除混合運算，熟練掌握有理數(shù)的乘法運算律和運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式1】計算：（

）A．1 B．36 C． D．6【答案】B【分析】先把除法運算轉(zhuǎn)化成乘法運算，再根據(jù)有理數(shù)的乘法法則運算求解即可．解：．故選：B．【點撥】本題主要考查了有理數(shù)的乘除混合運算，熟悉掌握有理數(shù)的乘除運算法則運算是解題的關(guān)鍵．注意符號的處理．【變式2】（23-24七年級上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知a是有理數(shù)，表示不超過a的最大整數(shù)，如等，那么．【答案】【分析】根據(jù)的意義得出，，，然后代入計算即可．解：由題意得：，，，∴，故答案為：．【點撥】本題考查了新定義，有理數(shù)的乘除運算，正確理解的意義是解題的關(guān)鍵．【題型3】有理數(shù)的加減乘除混合運算【例3】（24-25七年級上·全國·單元測試）用簡便方法計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了有理數(shù)四則混合運算，熟練掌握乘法運算律，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)乘法運算律進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)乘法運算律進(jìn)行計算即可．（1）解：；（2）解：．【變式1】（23-24七年級上·貴州貴陽·期中）下列四個選項中，計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的加減乘除運算，根據(jù)運算法則計算判斷即可．解：A.，錯誤，不符合題意；B.，錯誤，不符合題意；C.，正確，符合題意；

D.，錯誤，不符合題意；故選C．【變式2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）點，，在數(shù)軸上的位置如圖，點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是3，點是的中點，則點表示的數(shù)是．【答案】【分析】本題考查了數(shù)軸上點的坐標(biāo)特征．由已知條件，根據(jù)中點坐標(biāo)公式計算得到中點表示的數(shù)為：．解：點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是3，線段的中點表示的數(shù)為：，故答案為：．【題型4】有理數(shù)的乘方及應(yīng)用【例4】（22-23七年級上·寧夏吳忠·期中）如圖是某種細(xì)胞分裂示意圖，這種細(xì)胞每過30分鐘便由1個分裂成2個．根據(jù)此規(guī)律可得：

(1)這樣的一個細(xì)胞經(jīng)過2小時后可分裂成_______個細(xì)胞；(2)這樣的一個細(xì)胞經(jīng)過n（n為正整數(shù)）小時后可分裂成_______個細(xì)胞．【答案】(1)16(2)【分析】（1）根據(jù)題意，2小時是4個30分鐘，從而得到答案；（2）經(jīng)過n小時即個30分鐘，根據(jù)題意，得到規(guī)律，即可得到答案．解：（1）經(jīng)過2小時，即第4個30分鐘后，可分裂成個細(xì)胞，∴經(jīng)過2小時后，可分裂成16個細(xì)胞；故答案為：16；（2）解：根據(jù)題意，一個細(xì)胞第1個30分鐘分裂成2個，即個細(xì)胞；第2個30分鐘分裂成4個，即個；…依此類推，第n個30分鐘分裂為個細(xì)胞；經(jīng)過n小時即個30分鐘分裂為個細(xì)胞；故答案為：．【點撥】本題考查冪的應(yīng)用，熟記冪的相關(guān)定義及計算是解決問題的關(guān)鍵．【變式1】（23-24七年級上·福建漳州·期中）觀察下列算式：，，，，，，，，…，根據(jù)上述算式中的規(guī)律，你認(rèn)為的末位數(shù)字是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，先根據(jù)已知條件，發(fā)現(xiàn)的末位數(shù)字按照，，，循環(huán)，用即可得出答案，根據(jù)題意找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．解：∵，，，，，，，，…，∴，∴的末位數(shù)字是，故選：．【變式2】（24-25七年級上·全國·單元測試）如果，那么．【答案】4【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方的定義及法則．熟練掌握有理數(shù)的乘方的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)乘方的定義，已知等式中的相當(dāng)于的5次方，由此可以求出x的值為．已知等式中的8相當(dāng)于2的3次方，由此可以求出y的值為2．進(jìn)而可求出的值．解：∵，∴，∴．∵，∴，因此．故答案為：4．【題型5】含乘方的加減乘除混合運算【例5】（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）計算：(1)；(2)；【答案】(1)(2)【分析】本題考查有理數(shù)混合運算，熟練掌握有理數(shù)混合運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）本題考查有理數(shù)混合運算，先運用乘法分配律簡便計算，同時運算除法，然后進(jìn)行加減即可解題．（2）熟練掌握有理數(shù)混合運算順序“先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計算；如果有括號，要先算括號內(nèi)的運算”是解題的關(guān)鍵．（1）解：；（2）解：．【變式1】（23-24七年級上·浙江溫州·期中）如圖，某公園有一長方形廣場，長為米，寬為米，在其兩角修建半徑均為米的扇形花壇，在廣場中心修建一個直徑為米的圓形噴泉水池，則該廣場的空地面積為（取3）（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)混合運算的應(yīng)用，列出算式并準(zhǔn)確解答是解題的關(guān)鍵，求出長方形的面積，扇形花壇的面積，圓形噴泉水池的面積，即可求出廣場空地的面積．解：該廣場的空地面積為：，故選：B．【變式2】（23-24七年級上·河南周口·階段練習(xí)）計算：．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，按照先乘方，再乘除，最后算加減的順序計算即可．解：故答案為：．【題型6】用簡便方法進(jìn)行有理數(shù)運算【例6】（2023七年級上·全國·專題練習(xí)）用簡便方法計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）把改寫成，把改寫成，然后把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再按乘法分配律計算即可；（2）先算乘方，然后把一、四項結(jié)合，二、三項結(jié)合，逆用乘法分配律計算．（1）解：原式．（2）解：原式．【點撥】本題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握乘法的分配律是解答本題的關(guān)鍵．【變式1】（23-24七年級上·廣東深圳·期中）再加上（

）后，結(jié)果就是．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)簡便算法求出的值，再用1減去該值即得出答案．解：．，故再加上后，結(jié)果就是．故選C．【點撥】本題考查有理數(shù)的混合運算．掌握有理數(shù)的混合運算法則，并利用簡便算法計算是解題關(guān)鍵．【變式2】（2022七年級上·上?！ｎ}練習(xí)）用簡便方法計算；【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)簡便運算湊整優(yōu)先的原則，逐步化簡計算即可．解：原式=【點撥】本題考查了有理數(shù)混合運算中的簡便運算，選擇合適的簡便方法是解題的關(guān)鍵．【題型7】有理數(shù)加減混合運算的應(yīng)用【例7】（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）某自行車廠一周計劃生產(chǎn)1400輛自行車，平均每天生產(chǎn)200輛，由于各種原因?qū)嶋H每天生產(chǎn)量與計劃量相比有出入．下表是某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)為正、減產(chǎn)為負(fù)）：星期一二三四五六日增減(1)根據(jù)記錄可知前三天共生產(chǎn)_______輛；(2)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)______輛；(3)該廠實行每周計件工資制，每生產(chǎn)一輛車可得60元，若超額完成任務(wù)，則超過部分每輛另獎15元；少生產(chǎn)一輛扣15元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少？【答案】(1)599(2)26(3)84675【分析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，有理數(shù)混合運算的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以解答本題；（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知周六生產(chǎn)的最多，周五生產(chǎn)的最少，從而可以解答本題；（3）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)可以解答本題．（1）解：（輛），故答案為：599；（2）（輛），故答案為：26；（3），（元）．答：該廠工人這一周的工資總額是84675元．【變式1】如圖，方格中的任一行、任一列以及對角線上的數(shù)字之和相等，那么m的值為（

）A．13 B．10 C．9 D．無法確定【答案】C【分析】本題考查有理數(shù)的加減法，由第一行可得每一行的和為39，繼而可求出左邊及下面的數(shù)，即能得出的值．求出下面的空格里面的數(shù)是關(guān)鍵．解：由題意，得每一行（列或?qū)蔷€）的和為，∴方格中心位置的空格里面的數(shù)為，下面的空格里面的數(shù)為，∴的值為，故選：C．【變式2】（23-24七年級上·浙江·期末）某市一天早晨的氣溫是中午比早晨上升了傍晚又比中午下降，則這天傍晚的氣溫是．【答案】解：本題主要考查了有理數(shù)的加減混合運算，先根據(jù)題意，列出算式，再把算式寫成省略加號和的形式，進(jìn)行簡便計算即可，解題的關(guān)鍵是理解題意，列出算式．解：：由題意得：，，，，∴這天傍晚的氣溫是，故答案為：．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川巴中·中考真題）實數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查利用數(shù)軸比較大小．實數(shù)，在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置可知，，，由此即可求解．解：由題意得，，，則，∴，，，觀察四個選項，選項D符合題意．故選：D．【例2】（2024·陜西·中考真題）小華探究“幻方”時，提出了一個問題：如圖，將0，，，1，2這五個數(shù)分別填在五個小正方形內(nèi)，使橫向三個數(shù)之和與縱向三個數(shù)之和相等，則填入中間位置的小正方形內(nèi)的數(shù)可以是．（寫出一個符合題意的數(shù)即可）【答案】0【分析】本題考查有理數(shù)的運算，根據(jù)橫向三個數(shù)之和與縱向三個數(shù)之和相等，進(jìn)行填寫即可得出結(jié)果．解：由題意，填寫如下：，滿足題意；故答案為：0．2、拓展延伸【例1】（2024七年級·全國·競賽）某人從地去地，以每分鐘米的速度行進(jìn)，他先前進(jìn)米，再后退米，又前進(jìn)米，再后退米……(1)小時后他離地多遠(yuǎn)？(2)若、兩地相距米，他可能到達(dá)地嗎？如果能，需要多長時間？如不能，請說明理由．【答案】(1)小時后，這個人離地米．(2)能到達(dá)地，需要分鐘．【分析】本題考查了有理數(shù)加法的應(yīng)用，讀懂題意，找出規(guī)律，準(zhǔn)確進(jìn)行計算是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，小時共行（米），，當(dāng)時，，由此得到答案．（2）由，得到他走的總路程是，再由路程、速度、時間的關(guān)系，求出答案．（1）解：根據(jù)題意得：小時共行（米），又，當(dāng)時，，（米），答：小時后，這個人離地米．（2），他走的總路程是：，，，（米）（分鐘），答：能到達(dá)地，需要分鐘．【例2】（23-24七年級上·廣東汕頭·期末）【概念探究】在學(xué)習(xí)了有理數(shù)的乘方運算后．小芳對類似于這樣幾個相同有理數(shù)（均不