專題2.11 有理數(shù)的運算（全章知識梳理與考點分類講解）（人教版）（原卷版）

專題2.11有理數(shù)的運算（全章知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點一】有理數(shù)的加法1、加法法則：(1)同號相加，取相同的符號，并把絕對值相加；(2)異號兩數(shù)相加，絕對值相等時何為0，絕對值不等時，取絕對值大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；(3)一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。2、運算律：交換律：a+b=b+a結合律：（a+b）+c=a+（b+c）【知識點二】有理數(shù)的減法減法法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。特別注意：將減法轉化成加法時，注意兩變：一是減號變加號，二是減數(shù)變?yōu)槠湎喾磾?shù)?！局R點三】有理數(shù)的乘法1、有理數(shù)乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，絕對值相乘。②任何數(shù)與0相乘，積仍為0。特別注意：（1）如果兩個數(shù)互為倒數(shù)，則它們的乘積為1；（2）※乘法的交換律、結合律、分配律在有理數(shù)運算中同樣適用。2、有理數(shù)乘法運算步驟：①先確定積的符號；②求出各因數(shù)的絕對值的積；乘積為1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)。特別注意：①零沒有倒數(shù)；②求分數(shù)的倒數(shù)，就是把分數(shù)的分子分母顛倒位置。帶分數(shù)要先化成假分數(shù)；③正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)?！局R點四】有理數(shù)的除法有理數(shù)除法法則：①兩個有理數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。②0除以任何非0的數(shù)都得0。0不可作為除數(shù)，否則無意義。指數(shù)底數(shù)指數(shù)底數(shù)冪特別注意：①一個數(shù)可以看作是本身的一次方，如5=；②當?shù)讛?shù)是負數(shù)或分數(shù)時，要先用括號將底數(shù)括上，再在右上角寫指數(shù)。乘方的運算性質：①正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；②負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；③任何數(shù)的偶數(shù)次冪都是非負數(shù)；④1的任何次冪都得1，0的任何次冪都得0；⑤-1的偶次冪得1；-1的奇次冪得-1；⑥在運算過程中，首先要確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值。【知識點六】有理數(shù)混合運算法則：法則：①先算乘方,再算乘除,最后算加減。②如果有括號,先算括號里面的。第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】有理數(shù)的加減運算【例1】（23-24七年級上·廣東佛山·階段練習）計算：(1)(2)【變式1】（23-24七年級上·河南鄭州·期末）已知有理數(shù)在數(shù)軸上的對應點如圖，請化簡，下列結果正確的是（）A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級上·江蘇南京·階段練習）計算：．【題型2】有理數(shù)的乘除運算【例2】（23-24七年級上·湖南株洲·階段練習）計算：(1)(2)【變式1】計算：（

）A．1 B．36 C． D．6【變式2】（23-24七年級上·河南鄭州·階段練習）已知a是有理數(shù)，表示不超過a的最大整數(shù)，如等，那么．【題型3】有理數(shù)的加減乘除混合運算【例3】（24-25七年級上·全國·單元測試）用簡便方法計算：(1)(2)【變式1】（23-24七年級上·貴州貴陽·期中）下列四個選項中，計算正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】（2024·陜西西安·模擬預測）點，，在數(shù)軸上的位置如圖，點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是3，點是的中點，則點表示的數(shù)是．【題型4】有理數(shù)的乘方及應用【例4】（22-23七年級上·寧夏吳忠·期中）如圖是某種細胞分裂示意圖，這種細胞每過30分鐘便由1個分裂成2個．根據(jù)此規(guī)律可得：

(1)這樣的一個細胞經過2小時后可分裂成_______個細胞；(2)這樣的一個細胞經過n（n為正整數(shù)）小時后可分裂成_______個細胞．【變式1】（23-24七年級上·福建漳州·期中）觀察下列算式：，，，，，，，，…，根據(jù)上述算式中的規(guī)律，你認為的末位數(shù)字是（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25七年級上·全國·單元測試）如果，那么．【題型5】含乘方的加減乘除混合運算【例5】（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）計算：(1)；(2)；【變式1】（23-24七年級上·浙江溫州·期中）如圖，某公園有一長方形廣場，長為米，寬為米，在其兩角修建半徑均為米的扇形花壇，在廣場中心修建一個直徑為米的圓形噴泉水池，則該廣場的空地面積為（取3）（

）．A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級上·河南周口·階段練習）計算：．【題型6】用簡便方法進行有理數(shù)運算【例6】（2023七年級上·全國·專題練習）用簡便方法計算：(1)；(2)．【變式1】（23-24七年級上·廣東深圳·期中）再加上（

）后，結果就是．A． B． C． D．【變式2】（2022七年級上·上?！ｎ}練習）用簡便方法計算；【題型7】有理數(shù)加減混合運算的應用【例7】（24-25七年級上·全國·隨堂練習）某自行車廠一周計劃生產1400輛自行車，平均每天生產200輛，由于各種原因實際每天生產量與計劃量相比有出入．下表是某周的生產情況（超產為正、減產為負）：星期一二三四五六日增減(1)根據(jù)記錄可知前三天共生產_______輛；(2)產量最多的一天比產量最少的一天多生產______輛；(3)該廠實行每周計件工資制，每生產一輛車可得60元，若超額完成任務，則超過部分每輛另獎15元；少生產一輛扣15元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少？【變式1】如圖，方格中的任一行、任一列以及對角線上的數(shù)字之和相等，那么m的值為（

）A．13 B．10 C．9 D．無法確定【變式2】（23-24七年級上·浙江·期末）某市一天早晨的氣溫是中午比早晨上升了傍晚又比中午下降，則這天傍晚的氣溫是．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川巴中·中考真題）實數(shù)在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【例2】（2024·陜西·中考真題）小華探究“幻方”時，提出了一個問題：如圖，將0，，，1，2這五個數(shù)分別填在五個小正方形內，使橫向三個數(shù)之和與縱向三個數(shù)之和相等，則填入中間位置的小正方形內的數(shù)可以是．（寫出一個符合題意的數(shù)即可）2、拓展延伸【例1】（2024七年級·全國·競賽）某人從地去地，以每分鐘米的速度行進，他先前進米，再后退米，又前進米，再后退米……(1)小時后他離地多遠？(2)若、兩地相距米，他可能到達地嗎？如果能，需要多長時間？如不能，請說明理由．【例2】（23-24七年級上·廣東汕頭·期末）【概念探究】在學習了有理數(shù)的乘方運算后．小芳對類似于這樣幾個相同有理數(shù)（均不等于0）的除法運算產生了興趣，決定探究學習．經過查閱資料，類比有理數(shù)的乘方運算，小芳知道這種除法運算叫做除方，并把記作，讀作“的4次商”．【概念歸納】一般地，我們把個（）相除記作，讀作“的次商”(1)【概念理解】直接寫出結果：_______________．(2)關于除方，下列說法正確的是：________（填序號）①任何