湖北省武漢市東西湖區(qū)2025屆新高三8月適應(yīng)性考試 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

湖北省武漢市東西湖區(qū)2025屆新高三8月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，.若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．3．若是夾角為的兩個(gè)單位向量，與垂直，則（

）A． B． C． D．4．已知，，，則（

）A． B． C． D．5．已知圓錐的高為6，體積為高的倍，用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的圓臺(tái)高是3，則該圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C．7 D．96．已知函數(shù)fx=log2x,0<x≤22x-3,x>2，若A． B． C． D．7．已知函數(shù)，其圖象與直線y=3相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，若f(x)>1對(duì)任意恒成立，則φ的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知定義在R上的函數(shù)滿足，，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應(yīng)用與推廣，創(chuàng)建了超級(jí)雜交稻技術(shù)體系，為我國糧食安全、農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給作出了杰出貢獻(xiàn).某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高（單位：）近似服從正態(tài)分布.已知時(shí)，有，，.下列說法正確的是（

）A．該地水稻的平均株高約為 B．該地水稻株高的方差約為100C．該地株高超過的水稻約占68.27％ D．該地株高低于的水稻約占99.87％10．對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減B．若方程有個(gè)不等的實(shí)根，則C．當(dāng)時(shí)，D．設(shè)，若對(duì)，，使得成立，則11．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為，則（

）

A．曲線有兩條對(duì)稱軸B．曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為C．曲線第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形面積最大值為D．四葉草面積小于三、填空題（本大題共3小題）12．已知過原點(diǎn)的直線與雙曲線交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M在第一象限且與點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱，，直線NE與雙曲線的右支交于點(diǎn)P，若，則雙曲線的離心率為．13．已知直線是曲線和的公切線，則實(shí)數(shù)a=．14．著名數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》中曾談到：任何一個(gè)大于1的整數(shù)要么是質(zhì)數(shù)，要么可以寫成一系列質(zhì)數(shù)的積，例如.已知，且均為質(zhì)數(shù)，若從中任選2個(gè)構(gòu)成兩位數(shù)，且，則的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字不相等的概率為.四、解答題（本大題共5小題）15．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，的面積為，已知，．(1)求角；(2)若，求的值．16．已知橢圓，過左焦點(diǎn)且斜率大于0的直線交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為的垂直平分線交x軸于點(diǎn).（1）若點(diǎn)縱坐標(biāo)為，求直線的方程；（2）若，求的面積.17．如圖，在直三棱柱中，是上的點(diǎn)，且平面．(1)求證：平面；(2)若是棱上且靠近的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離．18．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證:；(3)若在定義域上單調(diào)遞增，求的最小值.19．有窮數(shù)列中，令，(1)已知數(shù)列，寫出所有的有序數(shù)對(duì)，且，使得；(2)已知整數(shù)列為偶數(shù)，若，滿足：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.求的最小值；(3)已知數(shù)列滿足，定義集合.若且為非空集合，求證：.

參考答案1．【答案】C【解析】根據(jù)集合元素所表示的意義，以及集合關(guān)系，即可求解.【詳解】因?yàn)椋灾本€與直線平行，所以.故選C.2．【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)的除法法則求解．【詳解】由，得.故選C.3．【答案】B【詳解】由題意有，又因?yàn)榕c垂直，所以，整理得，解得.故選B.4．【答案】A【分析】利用兩角差的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到方程組，即可求出、，再求出即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，解得，所以，又，所以，所?故選A.5．【答案】C【分析】根據(jù)題意利用等量關(guān)系可求得圓錐底面圓半徑為，代入計(jì)算可得圓臺(tái)體積.【詳解】如下圖所示：

易知圓錐的高，圓臺(tái)的高，設(shè)圓錐的底面圓半徑為，則；所以，解得；可得圓臺(tái)下底面圓面積為，上底面圓面積為，所以該圓臺(tái)的體積為.故選C.6．【答案】D【分析】先求解函數(shù)的單調(diào)性，接著根據(jù)已知條件結(jié)合函數(shù)定義域和單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)楫?dāng)x∈0,2時(shí)，fx=當(dāng)x∈2,+∞時(shí)，fx

所以fx=log所以若fa+1-f2a-1則a+1≥2a-1>0，?1故選D.7．【答案】A【解析】根據(jù)題意可得周期為，根據(jù)周期公式可得.將不等式恒成立化為是sin(3x+φ)>0的解集的子集可求得結(jié)果.【詳解】∵函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0，|φ|<)，其圖象與直線y=3相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，∴，∴ω=3.若f(x)>1對(duì)任意恒成立，則時(shí)，sin(3x+φ)>0恒成立，由sin(3x+φ)>0得，，即，，∴，∴，求得，又，∴.故選A.8．【答案】D【分析】依次求出猜想,再用等比數(shù)列求和.【詳解】,,,,,,,.故選D.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵是通過計(jì)算觀察得到,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和.9．【答案】ABD【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，即可求解.【詳解】由題意可知，，，故A，B正確；由題意得，所以，故C錯(cuò)誤；所以，故D正確.故選ABD.10．【答案】BD【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、圖象及性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)A，B，C；求出函數(shù)在R上的值域，在上的值域，借助值域的包含關(guān)系即可判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在，上都單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，的圖象在x軸上方，且在時(shí)，，在上的圖象在x軸下方，顯然是偶函數(shù)，在方程中，或時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，時(shí)，方程無實(shí)根，時(shí)，方程有個(gè)不等的實(shí)根，B正確；因?yàn)?，則有，即，于是得，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，因?qū)Γ?，使得成立，從而得，即得，D正確.故選BD.【方法總結(jié)】已知函數(shù)，，若，，有，則的值域是值域的子集.11．【答案】BCD【分析】通過方程中的變換得新曲線的對(duì)稱軸判斷A，利用基本不等式及距離公式判斷B，設(shè)出曲線中第一象限的點(diǎn)，利用基本不等式即可求出矩形面積最大值判斷C，由該曲線在以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓內(nèi)，故面積小于圓的面積判斷D.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱；當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱；當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱；當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱；綜上可知：有四條對(duì)稱軸，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，所以，所以，取等?hào)時(shí)，所以最大距離為，B正確；對(duì)于C：設(shè)任意一點(diǎn)，所以圍成的矩形面積為，因?yàn)椋?，所以，取等?hào)時(shí)，所以圍成矩形面積的最大值為，C正確；對(duì)于D：由B可知，所以四葉草包含在圓的內(nèi)部，因?yàn)閳A的面積為：，所以四葉草的面積小于，D正確.故選BCD.12．【答案】【分析】先設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用求得點(diǎn)坐標(biāo)，推理證明（二階結(jié)論），再利用和整體代入即得的齊次式，計(jì)算即得離心率.【詳解】如圖，設(shè)，則，,根據(jù)可得:,故，因點(diǎn)均為雙曲線上的點(diǎn)，則由①因?yàn)?，所以②，又③，將②，③兩式代入①式得：．故雙曲線的離心率．故答案為：.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的方程與幾何性質(zhì)以及關(guān)于雙曲線的二階結(jié)論是否熟悉.關(guān)鍵在于能否建立四條直線的斜率之間的數(shù)量關(guān)系，通過代入消去未知量，得出的齊次式.13．【答案】3【分析】先設(shè)在上的切點(diǎn)，然后求出切點(diǎn)和切線，然后再設(shè)在上的切點(diǎn)，即可求出a的值.【詳解】設(shè)直線l與曲線相切于點(diǎn)，由，得，因?yàn)閘與曲線相切，所以消去，得，解得．設(shè)l與曲線相切于點(diǎn)，由，得，即，因?yàn)槭莑與曲線的公共點(diǎn)，所以消去，得，即，解得．故答案為：3.14．【答案】【分析】求出根據(jù)，且可得，利用古典概型概率公式計(jì)算可得答案.【詳解】，可得，若從中任選2個(gè)構(gòu)成兩位數(shù)，且數(shù)，且，則有共6個(gè)，則十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字不相等的有共5個(gè)，所以的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字不相等的概率為.故答案為：.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理和面積公式得到，結(jié)合得到答案；（2）根據(jù)半角公式得到，得到，由正弦定理得到，利用面積公式和正弦和角公式求出答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，即，于是．又，所以．?），因?yàn)?，所以，故，因?yàn)?，所以．由正弦定理得，解得．所?16．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，求出韋達(dá)定理，又因?yàn)辄c(diǎn)的縱坐標(biāo)為，解得：或，便得出直線的方程；（2）根據(jù)橢圓的弦長公式，分別求出和，由求出的面積.【詳解】設(shè)，由題意，可設(shè)直線，（1）將直線方程代入橢圓方程，得，所以，由，得，解得：或.當(dāng)時(shí)，，直線方程為，當(dāng)時(shí)，，直線方程為，綜上所述，直線方程為或.（2）由，得，，.代入②式得，解得或（舍去），于是，所以.17．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）由平面，可得，再由直棱柱可證得，從而可推得平面，再利用平行關(guān)系，即可證明平面；（2）利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，即，然后通過已知的數(shù)據(jù)，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）平面平面,,在直三棱柱中，底面平面,，又平面，平面，即平面,,平面．（2）由（1）知平面，又在平面內(nèi)，，即，又由直棱柱知平面平面，作于M，于是，與相似，，，即，是棱上且靠近的三等分點(diǎn)，，得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，，得h=22，點(diǎn)到平面的距離為．18．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性求出極值可得答案；（2）（法一）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，要證只要證在上恒正即可，求導(dǎo)可得答案；（法二），可得在有兩個(gè)不等的實(shí)根，即，利用對(duì)數(shù)均值不等式可得答案；（3）（法一）轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)的極大值點(diǎn)為，即，由，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性求即可.（法二）即恒成立，表示以為動(dòng)點(diǎn)的拋物線，兩者有公共點(diǎn)，聯(lián)立方程可得恒成立，即，利用導(dǎo)數(shù)求出可得答案.【詳解】（1）設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，，，當(dāng)時(shí)，，在上、上各有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn).（2）（法一），設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，要證，只要證，只要證，只要證，在上恒正即可，而，在上遞增，成立；（法二），則，由題意可得:在有兩個(gè)不等的實(shí)根，即，，下證：對(duì)均不等式，不妨設(shè)，則，令，證即證，即證在成立，設(shè)，，在上單調(diào)遞減，可得，即，可得，由對(duì)均不等式可得：，，故；（3）（法一）恒成立，恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值（這時(shí)即為極大值），設(shè)的極大值點(diǎn)為，則，，，而，在上單調(diào)減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，這時(shí)；（法二）恒成立，它表示以為動(dòng)點(diǎn)的直線及其上方的點(diǎn)，表示以為動(dòng)點(diǎn)的拋物線，兩者有公共點(diǎn)，，消去得，恒成立，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).【方法總結(jié)】函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，方程的根，均可歸結(jié)為函數(shù)的零點(diǎn)問題．此類問題往往通過函數(shù)的單調(diào)性、極值等，利用零點(diǎn)存在性定理判斷，常見類型及解法如下：(1)證明或討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，一般借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，或?qū)⒑瘮?shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題；(2)已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，一般分離參數(shù)或構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．19．【答案】(1)、、、(2)(3)證明見解析【分析】（1）結(jié)合題意，逐個(gè)計(jì)算即可得；（2）由題意可得，，可得當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合，即可得解；（3）將展開，從而得到證明與之間的項(xiàng)之和，，都為正數(shù)，即可得證.【詳解】（1）為時(shí)，，為時(shí)，，為時(shí)，，為時(shí)，，故，且使得的有序數(shù)對(duì)有、、、.（2）由題意可得，，