湖南省岳陽市岳陽縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)考試 數(shù)學(xué)試題

2024年高二秋季數(shù)學(xué)入學(xué)試題試題一．選擇題（共8小題，每題5分，共40分）1．直線y＝﹣x+3的傾斜角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°2．若復(fù)數(shù)z滿足：（1﹣i）z﹣3+i＝0，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．設(shè)點A（3，﹣3），B（﹣2，﹣2），直線l過點P（1，1）且與線段AB相交，則l的斜率k的取值范圍是（）A．k≥1或k≤﹣4 B．k≥1或k≤﹣2 C．﹣4≤k≤1 D．﹣2≤k≤14．在三棱錐P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝2，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A． B．12π C．48π D．5．過點A（1，4）的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）A．x﹣y+3＝0 B．x+y﹣5＝0 C．4x﹣y＝0或x+y﹣5＝0 D．4x﹣y＝0或x﹣y+3＝06．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若bsinB﹣asinA＝5csinC，，則＝（）A．6 B．5 C．4 D．37．如圖是某零件結(jié)構(gòu)模型，中間大球為正四面體的內(nèi)切球，小球與大球和正四面體三個面均相切，若AB＝12，則該模型中一個小球的體積為（）A．3π B． C． D．8．已知平面α與β所成銳二面角的平面角為70°，P為空間內(nèi)一定點，過點P作與平面α，β所成的角都是35°的直線l，則這樣的直線l有且僅有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條二．多選題（共4小題，每題5分，共20分）9．已知a，b是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若a∥b，b∥α，則a∥α B．若a⊥α，α∥β，則a⊥β C．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β D．若α⊥β，β∥γ，則α⊥γ10．已知a＞0，b＞0，且2a+b＝ab，則（）A．a(chǎn)b≥8 B． C．b＞2 D．a(chǎn)＞111．若Ox，Oy是平面內(nèi)兩條相交成60°角的數(shù)軸，和是x軸、y軸正方向上的單位向量，若向量，則規(guī)定有序數(shù)對（x，y）為向量在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)，記作，設(shè)，，則（）A． B． C． D．12．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨特的幾何體，“勒洛四面體”就是其中之一．勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分，且其體積小于正四面體外接球體積．如圖，在勒洛四面體中，正四面體ABCD的棱長為4，則下列結(jié)論正確的是（）A．勒洛四面體最大的截面是正三角形 B．若P、Q是勒洛四面體ABCD表面上的任意兩點，則PQ的最大值可能大于4 C．勒洛四面體ABCD的體積是 D．勒洛四面體ABCD內(nèi)切球的半徑是三．填空題（共4小題，每題5分，共20分）13．sin160°cos40°﹣sin250°cos50°＝．14．直線mx+（m+2）y﹣1＝0與直線（m﹣1）x+my＝0互相垂直，則m＝．15．正四棱錐P﹣ABCD中，PA＝AB＝4，E，F(xiàn)為棱PB，PD的中點，則異面直線AE，BF所成角的余弦值為．16．命題p：“?x∈[2，8]，mlog2x+1≥0”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍為．四．解答題（共6小題，70分）17．已知△ABC的三個頂點是A（1，2），B（﹣2，﹣1），C（3，﹣2）．求：（10分）（1）邊AC上的中線BD所在直線方程；（2）邊AC上的高BE所在直線方程．18．如圖，在△ABC中，，D為BC的中點，AD與EF交于G點．設(shè)，．（12分）（1）試用表示；（2）求．19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形．（12分）（1）若點E是PD的中點，證明：PB∥平面ACE；（2）若PA＝PD＝AD，∠BAD＝120°，且平面PAD⊥平面ABCD，求二面角P﹣AC﹣D的正弦值．20．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，，E為AD的中點，點F在棱PB上．（12分）（1）若，求三棱錐P﹣FAC的體積；（2）在線段PB上是否存在點F，使得EF∥平面PCD？若存在，求PF：PB的值，若不存在，請說明理由．21．甲、乙、丙、丁4名棋手進(jìn)行象棋比賽，賽程如下面的框圖所示，其中編號為i的方框表示第i場比賽，方框中是進(jìn)行該場比賽的兩名棋手，第i場比賽的勝者稱為“勝者i”，負(fù)者稱為“負(fù)者i”，第6場為決賽，獲勝的人是冠軍．已知甲每場比賽獲勝的概率均為，而乙、丙、丁相互之間勝負(fù)的可能性相同．（12分）（1）求乙僅參加兩場比賽且連負(fù)兩場的概率；（2）求甲獲得冠軍的概率；（3）求乙進(jìn)入決賽，且乙與其決賽對手是第二次相遇的概率．22．如圖，在△ABC中，AB＝2AC，∠BAC的角平分線交BC于D，AD＝kAC．（12分）（1）求k的取值范圍；（2）已知△ABC面積為1，當(dāng)線段BC最短時，求實數(shù)k．參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1-5：CABBD6-10:ACC二．多選題（共4小題）9：BD．10：ACD．11：BCD．12：BD．三．填空題（共4小題）13．．14：0或﹣．15：．16：[﹣1，+∞）．四．解答題（共6小題）17．解：（1）由題知AC的中點D（2，0），所以直線BD的斜率，則邊AC上的中線BD所在直線的方程為，化簡得x﹣4y﹣2＝0．（2）由題意得直線AC的斜率，且kBE?kAC＝﹣1，所以．則邊AC上的高BE所在直線的方程為，化簡得x﹣2y＝0．18．解：（1）由題意，，，由于E，G，F(xiàn)三點共線，所以，，所以．（2），，，所以．19解：（1）證明：連接BD交AC于M，連接EM，因為底面ABCD是菱形，所以M為BD的中點，又點E是PD的中點，故ME為△DPB的中位線，故EM∥PB，而ME?平面ACE，PB?平面ACE，故PB∥平面ACE；（2）設(shè)O為AD的中點，連接PO，因為PA＝PD＝AD，故PO⊥AD，因為平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，而AC?平面ABCD，故PO⊥AC，又底面ABCD是菱形，故AC⊥BD，作ON∥BD交AM于N，則ON⊥AC，且N為AM的中點，連接PN，因為PO∩ON＝O，PO，ON?平面PON，故AC⊥平面PON，則∠PNO即為二面角P﹣AC﹣D的平面角，設(shè)PA＝PD＝AD＝2，則，∠BAD＝120°，則∠DAC＝60°，則，由于O為AD的中點，N為AM的中點，故，而PO⊥平面ABCD，ON?平面ABCD，故PO⊥ON，所以，則，即二面角P﹣AC﹣D的正弦值為．20解：（1）因為，S△ABC＝＝＝3，所以，又因為面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，AD⊥CD，AD?面ABCD，所以CD⊥面PAD，即CD⊥PD，由于，故PE＝＝1，PD＝＝，又因為為AD的中點，所以PE⊥AD，PE＝1，又因為平面PAD⊥平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，即故dP﹣ABC＝PE＝1，所以三棱錐P﹣FAC的體積為．（2）存在，PF：PB＝1：2，即F為PB的中點．證明：當(dāng)F為PB的中點時，取BC的中點M，連接FM，EM，因為E為AD的中點，所以EF∥DC，F(xiàn)M∥PC，又因為FM，EM?面PCD，PC，DC?面PCD，故FM∥面PCD，EM∥面PCD，又因為FM∩EM＝E，所以面EFM∥面PCD，故EF∥面PCD，綜上，當(dāng)PF：PB＝1：2時，EF∥平面PCD．21解：（1）甲、乙、丙、丁4名棋手進(jìn)行象棋比賽，賽程如下面的框圖所示，其中編號為i的方框表示第i場比賽，方框中是進(jìn)行該場比賽的兩名棋手，第i場比賽的勝者稱為“勝者i”，負(fù)者稱為“負(fù)者i”，第6場為決賽，獲勝的人是冠軍．已知甲每場比賽獲勝的概率均為，而乙、丙、丁相互之間勝負(fù)的可能性相同．乙獲連負(fù)兩場，所以1、4均負(fù)，所以乙獲連負(fù)兩場的概率為．（2）甲獲得冠軍，則甲參加的比賽結(jié)果有三種情況：1勝3勝6勝；1負(fù)4勝5勝6勝；1勝3負(fù)5勝6勝，所以甲獲得冠軍的概率為：P＝（）3+2×（）3×＝．（3）若乙的決賽對手是甲，則兩人參加的比賽結(jié)果有兩種情況：甲1勝3勝，乙1負(fù)4勝5勝；甲1負(fù)4勝5勝，乙1勝3勝，所以甲與乙在決賽相遇的概率為：，若乙的決賽對手是丙，則兩人只可能在第3場和第6場相遇，兩人參加的比賽的結(jié)果有兩種：乙1勝3勝，丙2勝3負(fù)5勝；乙1勝3負(fù)5勝，丙2勝3勝，若考慮甲在第4場和第5場的結(jié)果，乙與丙在第3場和第6場相遇的概率為：p＝×××（×+×）+×××（×+×）＝，丁與丙相同，所以乙進(jìn)入決賽，且乙與其決賽對手是第二次相遇的概率為：．22．解：（1）設(shè)∠BAD＝∠CAD＝α，AC＝b，則AB＝2b，AD＝kb，由角平分線定理，知，在△ABD中，由余弦定理得，BD2＝AB2+AD2﹣2AB?ADcosα＝4b2+k2b2﹣4kb2cosα，在△ACD中，由余弦定理得，CD2＝AC2+AD2﹣2AC?ADcosα＝b2+k2b2﹣2kb2cosα，所以4b2+