中考數(shù)學二輪復習幾何模型歸納講練專題19 相似三角形重要模型之（雙）A字型與（雙）8字型（原卷版）

專題19相似三角形重要模型之（雙）A字型與（雙）8字型相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點結合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。本專題重點講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）8（X）字模型．A字型和8(X)字型的應用難點在于過分割點(將線段分割的點)作平行線構造模型，有的是直接作平行線，有的是間接作平行線(倍長中線就可以理解為一種間接作平行線)，這一點在?？贾袩o論小題還是大題都是屢見不鮮的。模型1.“A”字模型【模型解讀與圖示】“A”字模型圖形（通常只有一個公共頂點）的兩個三角形有一個“公共角”（是對應角），再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應成比例，就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖31）“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).2）反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).3）同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?SKIPIF1<0例1．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形SKIPIF1<0中，點E，F(xiàn)，G，H分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0，若菱形的面積等于24，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．

例2．（2023·安徽·九年級期末）如圖，在三角形SKIPIF1<0中，點D、E分別在邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0的平分線交SKIPIF1<0于點F，交SKIPIF1<0于點G，求SKIPIF1<0．

例3．（2022·山東東營·中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，點F、G在SKIPIF1<0上，點E、H分別在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，四邊形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的高．SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的長為____________．例4．（2022·浙江寧波·中考真題）(1)如圖1，在SKIPIF1<0中，D，E，F(xiàn)分別為SKIPIF1<0上的點，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點G，求證：SKIPIF1<0．(2)如圖2，在（1）的條件下，連接SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．(3)如圖3，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點O，E為SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點G，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點F．若SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．例5.（2023?安慶一模）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在邊BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若點D是邊BC的中點，且BE＝CF，求證：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求證：四邊形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值．模型2.“X”字模型（“8”模型）【模型解讀與圖示】“8”字模型圖形的兩個三角形有“對頂角”，再有一個角相等或夾對頂角的兩邊對應成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).2）反“8”字模型條件：如圖2，∠A＝∠D；結論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).3）平行雙“8”字模型條件：如圖3，AB∥CD；結論：SKIPIF1<04）斜雙“8”字模型條件：如圖4，∠1＝∠2；結論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC?∠3＝∠4.例1．（2022·遼寧·中考真題）如圖，在正方形SKIPIF1<0中，E為SKIPIF1<0的中點，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點F．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為___________．例2．（2023·黑龍江·哈爾濱九年級階段練習）如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0于點G，H，則下列結論中錯誤的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例3．（2021·上海·中考真題）如圖，在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是對角線SKIPIF1<0的中點，聯(lián)結SKIPIF1<0并延長交邊SKIPIF1<0或邊SKIPIF1<0于E．（1）當點E在邊SKIPIF1<0上時，①求證：SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．例4．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，對角線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點O，記SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．（1）問題解決：如圖①，若AB//CD，求證：SKIPIF1<0（2）探索推廣：如圖②，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不平行，（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展應用：如圖③，在SKIPIF1<0上取一點E，使SKIPIF1<0，過點E作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點F，點H為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點G，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0值．模型3.“AX”字模型（“A8”模型）【模型解讀與圖示】圖1圖2圖31）一“A”一“8”模型條件：如圖1，DE∥BC；結論：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF?SKIPIF1<02）兩“A”一“8”模型條件：如圖2，DE∥AF∥BC；結論：SKIPIF1<0.3）四“A”一“8”模型條件：如圖3，DE∥AF∥BC,SKIPIF1<0；結論：AF=AG例1．（2022·山東東營·中考真題）如圖，點D為SKIPIF1<0邊SKIPIF1<0上任一點，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點E，連接SKIPIF1<0相交于點F，則下列等式中不成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例2．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點O，SKIPIF1<0，E為SKIPIF1<0延長線上一點，過點E作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延長線于點F．（1）求證SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．例3.（2022·重慶九年級期中）如圖，AD與BC相交于點E，點F在BD上，且AB∥EF∥CD，求證：eq\f(1,AB)＋eq\f(1,CD)＝eq\f(1,EF).例4．（2022?安慶模擬）在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．（1）如圖①，若四邊形ABCD為矩形，過點O作OE⊥BC，求證：OE＝CD．（2）如圖②，若AB∥CD，過點O作EF∥AB分別交BC、AD于點E、F．求證：＝2．（3）如圖③，若OC平分∠AOB，D、E分別為OA、OB上的點，DE交OC于點M，作MN∥OB交OA于一點N，若OD＝8，OE＝6，直接寫出線段MN長度．課后專項訓練1.（2021·山東淄博·中考真題）如圖，SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在同一條直線上．已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0之間滿足的數(shù)量關系式是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023秋·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，對角線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點E，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則對角線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的長分別是（

）

A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<03．（2023·福建福州·?？级＃┰跀?shù)學綜合實踐課上，某學習小組計劃制作一個款式如圖所示的風箏．在骨架設計中，兩條側翼的長度設計SKIPIF1<0，風箏頂角SKIPIF1<0的度數(shù)為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取D，E兩處，使得SKIPIF1<0，并作一條骨架SKIPIF1<0．在制作風箏面時，需覆蓋整個骨架，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，B，C兩點間的距離大約是（）（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）

A．41SKIPIF1<0 B．57SKIPIF1<0 C．82SKIPIF1<0 D．143SKIPIF1<04．（2022·湖北十堰·中考真題）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）可測量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，則零件的厚度x為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·湖南懷化·中考真題）如圖，△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若S△ADE＝2，則S△ABC＝_____．6．（2023·廣東梅州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，四邊形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的長為．

7.（2023·廣東深圳·?？既＃┤鐖D，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D是SKIPIF1<0上一點，點E在SKIPIF1<0上，連接SKIPIF1<0交于點F，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0＝．8．（2022·四川宜賓·中考真題）如圖，SKIPIF1<0中，點E、F分別在邊AB、AC上，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．9．（2022·遼寧阜新·中考真題）如圖，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上一點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積是______．10．（2022·湖北荊門·中考真題）如圖，點G為△ABC的重心，D，E，F(xiàn)分別為BC，CA，AB的中點，具有性質(zhì)：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面積為3，則△ABC的面積為_____．11．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）閱讀下列材料，回答問題任務：測量一個扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度SKIPIF1<0遠大于南北走向的最大寬度，如圖1．工具：一把皮尺（測量長度略小于SKIPIF1<0）和一臺測角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測量任意可到達的兩點間的距離（這兩點間的距離不大于皮尺的測量長度）；測角儀的功能是測量角的大小，即在任一點SKIPIF1<0處，對其視線可及的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，可測得SKIPIF1<0的大小，如圖3．

小明利用皮尺測量，求出了小水池的最大寬度SKIPIF1<0，其測量及求解過程如下：測量過程：（ⅰ）在小水池外選點SKIPIF1<0，如圖4，測得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（ⅱ）分別在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，上測得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；測得SKIPIF1<0．求解過程：由測量知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵①___________，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0②___________SKIPIF1<0．故小水池的最大寬度為___________SKIPIF1<0．(1)補全小明求解過程中①②所缺的內(nèi)容；(2)小明求得SKIPIF1<0用到的幾何知識是___________；(3)小明僅利用皮尺，通過5次測量，求得SKIPIF1<0．請你同時利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識求小水池的最大寬度SKIPIF1<0，寫出你的測量及求解過程．要求：測量得到的長度用字母SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0表示，角度用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0表示；測量次數(shù)不超過4次（測量的幾何量能求出SKIPIF1<0，且測量的次數(shù)最少，才能得滿分）．12．（2023秋·山西運城·九年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐問題情境：如圖1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一點，將SKIPIF1<0沿直線SKIPIF1<0折疊，點SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上的點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．獨立思考(1)如圖SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；問題拓展如圖SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是圖1中AB上一動點，連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．(2)當點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點時，求證：SKIPIF1<0；(3)當點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點時，請你直接寫出SKIPIF1<0的值．

13．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知SKIPIF1<0是等邊三角形，點SKIPIF1<0是射線SKIPIF1<0上的一個動點，延長SKIPIF1<0至點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交射線SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．

(1)如圖1，當點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上時，猜測線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關系并說明理由；(2)如圖2，當點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0的延長線上時，①線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關系是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，連接SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求四邊形SKIPIF1<0的面積．14．（2023·浙江·九年級專題練習）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE＝AB，點F在AE的延長線上，CE和DF交于點M，BC和DF交于點N，聯(lián)結BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．15．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）問題背景：如圖1，在四邊形SKIPIF1<0中，點F，E，G分別在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0嘗試應用：如圖2，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中線，點E在SKIPIF1<0上，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點G，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點F，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．遷移拓展：如圖3，在等邊SKIPIF1<0中，點D在SKIPIF1<0上，點E在SKIPIF1<0上，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直接寫出SKIPIF1<0的值．（用含m的式子表示）

16．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）在邊長為SKIPIF1<0的正方形SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上（不與點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合），射線SKIPIF1<0與射線SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．(2)求證：SKIPIF1<0．(3)以點SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0長為半徑畫弧，交線段SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．17．（2022·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點M、N分別在AB、AD上，且MN⊥MC，點E為CD的中點，連接BE交MC于點F．(1)當F為BE的中點時，求證：AM＝CE；(2)若SKIPIF1<0＝2，求SKIPIF1<0的值；(3)若MN∥BE，求SKIPIF1<0的值．18．（2023?重慶中考模擬）問題提出：如圖1，D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，連接DE，已知線段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，則S△ADE，S△ABC和a，b，c，d之間會有怎樣的數(shù)量關系呢？問題解決：探究一：（1）看到這個問題后，我們可以考慮先從特例入手，找出其中的規(guī)律．如圖2，若DE∥BC，則∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式：SKIPIF1<0而根據(jù)相似三角形面積之比等于相似比的平方．可得SKIPIF1<0．根據(jù)上述這兩個式子，可以推出：SKIPIF1<0．（2）如圖3，若∠ADE＝∠C，上述結論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；著不成立，請說明理由．探究二：回到最初的問題，若圖1中沒有相似的條件，是否仍存在結論：SKIPIF1<0？方法回顧：兩個三角形面積之比，不僅可以在相似的條件下求得，當兩個三角形的底成高具有一定的關系時，也可以解決．如圖4，D在△ABC的邊上，做AH⊥BC于H，可得：SKIPIF1<0．借用這個結論，請你解決最初的問題．延伸探究：（1）如圖5，D、E分別在△ABC的邊AB、AC反向延長線上，連接DE，已知線段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，則SKIPIF1<0．（2）如圖6，E在△ABC的邊AC上，D在AB反向延長線上，連接DE，已知線段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，SKIPIF1<0．結論應用：如圖7，在平行四邊形ABCD中，G是BC邊上的中點，延長GA到E，連接DE交BA的延長線于F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2，?ABCD的面積為30，則△AEF的面積是．19．（2023·河南鄭州·校考三模）【問題發(fā)現(xiàn)】小明在一次利用三角板作圖的過程中發(fā)現(xiàn)了一件有趣的事情：如圖SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0分別是斜邊SKIPIF1<0上的動點，并且滿足SKIPIF1<0，分別過點SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0邊的垂線，垂足分別為點SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的值是一個定值．問題：若SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0值為___________；【操作探究】如圖SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0；愛動腦筋的小明立即拿出另一個三角板進行了驗證，發(fā)現(xiàn)果然和之前發(fā)現(xiàn)的結論一樣，于是他猜想，對于任意一個直角三角形，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的值都是固定的，小明的猜想對嗎？如果對，請利用圖SKIPIF1<0進行證明，并用含SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的式子表示SKIP