九年級 數(shù)學 第24章 相似形 教案

九年級數(shù)學第24章相似形教案

第24章相似形

單元目標

1、了解比例的基本性質，了解線段的比，成比例線段。

2、了解黃金分割比及黃金數(shù)。

3、了解圖形的相似，掌握相似圖形的性質以及相似多邊形的性質。

4、了解兩個三角形相似的概念，掌握兩個三角形相似的條件。

5、了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小。

6、會利用相似解決生活中的實際問題。

單元導讀

本章重點難點：

重點：相似三角形的性質及判定。

難點：相似三角形的性質及應用。

24.1比例線段

學習目標要求

1、了解相似圖形、相似多邊形、相似比及比例線段等概念。

2、了解比例線段的性質。

3、了解黃金分割比及黃金數(shù)。

教材內容點撥

知識點1

相似多邊形：

從幾何直觀上來說，兩個圖形如果形狀一致，而大小不同，則稱這兩個圖形

相似，具體到多邊形，稱之為相似多邊形。從嚴謹定義上來說，如果兩個多邊形

各邊成比例，各角相等，則稱這兩個多邊形為相似多邊形。

知識點2

比例線段：

1、線段的比：如果用同一長度單位量得兩條線段a、b的長度分別為m,n,

則m：n就是線段a,b的比，記作a：b=m：n或，其中a叫做比例前項，b叫做

比例后項。

2、比例線段：四條線段，如果其中兩條線段的比與另外兩條線段的比相同，

則稱這四條線段成比例線段，簡稱比例線段。例如線段a、b、c、d,如果，則

稱線段a、b、c、d成比例線段，這里要注意，a、b、c、d必須按順序寫出，不能

寫成或。

3、比例外項、比例內項、第四比例項、比例中項：

若，則稱a、d為比例外項，b、c、為比例內項，d為第四比例項，如果b=c,

則稱b為a、c的比例中項。

知識點3

比例性質：

1、基本性質：如果，則根據等式的基本性質，兩邊同時乘以bd得。

2、合比性質：如果，則根據等式的基本性質，兩邊同時加上1或一1得。

3、等比性質：如果()，則，運用這個性質時，一定要注意的條件。

知識點4

黃金分割：

把線段AB分成兩條線段AP、PB(AP>PB),如果AP是線段PB和AB的比例

中項，則線段AP把線段AB黃金分割，點P叫做線段AB的黃金分割點。

典型例題點撥

例1、已知，且是、的比例中項，則，若是、的比例中項，則。

點撥：解此題要注意兩點，1、比例條件的常規(guī)使用方法。2、比例中項的意

義。

解答：：，可令，貝IJ,又：是、的比例中項，二，二，二；若是、

的比例中項，則，即

，??O

例2、已知，求：的值。

點撥：注意到分子分母中的各項系數(shù)是一致的，可聯(lián)想到比例的等比性質。

解答：???，??.，由等比性質可得。

例3、已知，求。

點撥：本題考查比例的基本性質，易錯點是由化成比例式時錯成，解題關

鍵是運用比例的基本性質，本題還可以運用合比性質求解。

解答：由比例的基本性質得。

例4、如圖，4ABC中，CD平分NACB交AB于D,DE/7BC交AC于E點，若AD

：DB=2：3,AC=15,求DE的長。

點撥：題中條件“CD平分/ACB交AB于D”是至關重要的，聯(lián)想到“平行線、

角平分線、等腰三角形”這三個關鍵詞之間的關系，可得出ADEC是一個等腰三

角形，將所求DE長轉換為求EC長。

解答：：CD平分/ACB交AB于D,DE〃BC交AC于E點，.,.DE=EC,又：AD

:DB=2：3,；.AE：EC=2：3,令AE=2x,則EC=3x,由AC=15可得，解得，

：.DE=EC=o

例4、在比例尺為1：8000的安慶市城區(qū)地圖上，集賢南路的長度約為25cm,

它的實際長度約為（）。

A.320cmB.320mC.2000cmD.2000m

點撥：注意領會比例尺的含義，此處的尺不是尺子的意思，而是尺度的含義。

解答：...比例尺為1：8000,長度約為25cm,即圖中1cm表示實際中的

8000cm,...實際長度應為

cm,即2000m,答案選D。

考點考題點撥

1、中考導航

（1）線段的比；

（2）比例線段及比例性質；

（3）黃金分割。

2、經典考題追蹤

例1、（06遂寧）如果線段上一點P把線段分割為兩條線段PA、PB當PA2=PB

?AB,即PA40.618AB時,則稱點P是線段AB的黃金分割點，現(xiàn)已知線段AB=10,點P

是線段AB的黃金分割點，如圖所示，那么線段PB的長約為（）。

A、6.18B、0.382C、0.618D、3.82

點撥：根據黃金分割比約為0.618可知AP約為0.618X10=6.18,從而可知

PB約為10-6.18=3.12?

解答：D

例2、（06河南）要拼出和圖1中的菱形相似的較長對角線為88cm的大菱形

（如圖2）需要圖1中的菱形的個數(shù)為。

點撥：由圖1知一個小菱形的一條對角線的長度為8cm,所以小菱形和大菱形

的相似比為1：11,所以共需小菱形11X11=121個。

解答:121個。

易錯點點撥

易錯點1、概念理解不清：

易錯點導析：相似多邊形必須各邊對應成比例，且各角相等，而不是只要各

角相等或各邊對應成比例即可。

例：下列說法正確的是（）

A兩個矩形相似B兩個梯形相似

C兩個正方形相似D兩個平行四邊形相似

錯解：A

錯解點撥：相似多邊形必須各邊對應成比例，且各角相等。

正解：C

易錯點2、考慮問題不全面：

易錯點導析：有很多開放題結果不唯一，可以有很多種種不同的結果，考慮

問題應該全面，而不能只考慮其中一種情況。

例：已知線段3,4,6與是成比例線段，則。

錯解：

錯解點撥：本題是一道開放題，結果不唯一，可以有、、，所以x應有3

種不同的結果，而不僅僅只有一種。

正解：、或。

拓展與創(chuàng)新

1、已知，貝I。

點撥：仿照等比性質的證明方法，令，則可得關于a,b,c的一個以k為字

母系數(shù)的三元一次方程組，解這個方程組即可得a,b,c（用字母系數(shù)k表示），

進而可得。

解答：設，則，解得，

?.10：3：7?

2、若，則為（）。

A.B.C.D.

點撥：由利用比例基本性質可得關于x,y的一個關系式，從而可得的值。

解答：，解得，選A。

3、已知：，貝I,?

點撥：本題主要考查比例的等比性質，利用等比性質可直接求解。

解答：,??，二，且，二。

4、雨后初晴，一學生在運動場上玩耍，從他前面2m遠一塊小積水處，他看

到旗桿頂端的倒影，如果旗桿底端到積水處的距離為40m,該生的眼部高度是

1.5m,那么旗桿的高度是m。

點撥：如圖所示，由關線的直線傳播性，可得/AEB=/DEC,從而有，即，

解之即可得旗桿高度。

解答：30m。

學習方法點撥

1、對于相似圖形及相似多邊形的理解，可在生活中尋找實例，加強幾何直

觀上的理解，也可利用多媒體信息技術，在電腦上做出相應的圖形，幫助形成相

似的概念。

2、對于比例性質的學習，應加強利用比例性質解決問題的訓練，以形成應用

比例性質的能力。

3、在生活中深入理解黃金分割點和黃金分割比的意義，領會黃金分割的美感。

隨堂演練

1、下列說法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等邊三角形都相似；③

所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似。其中正確的是（把你

認為正確的說法的序號都填上）。

2、量得兩條線段，的長度分別為8cm,32cm,則：=。

3、如圖，點C是AB的中點，點D在BC上，AB=24,BD=5,

（1）AC：CB=；AC:AB=；

（2）；；o

4、若x是8和4的比例中項，則x的值為（）

A.B.C.D.以上答案均不對

5、已知，則，，。

6、若，貝I］；若，則：=。

7、已知，則k等于（）

A.1B.C.D.

8、已知A、B兩地的實際距離AB=5千米，畫在地圖上的距離=2cm,則這

張地圖的比例尺是（）。

A、2：5B、1：25000C、25000：1D、1：250000

9、已知點C是線段AB的黃金分割點，且AC>CB,則下列等式中成立的是（）

A.AB2=AC?CBB.CB2=AC?ABC.AC2=CB?ABD.AC2=2BC*AB

10、把長為7cm的線段進行黃金分割，則分成的較短的線段長為（）

A.B.C.D.

11、已知。

12、將數(shù)48分成三部分，且三數(shù)之比為2：4：6,則最小數(shù)是（）

A.8B.16C.24D.4

13、兩個相似三角形的相似比系數(shù)為，如果它們的周長之差4cm,那么這兩

個相似三角形的周長分別是。

14、三線段、、中，的一半的長等于的四分之一長，也等于的六分之

一長，那么這三條線段的和與的比等于（）

ABCD

15、若，則

16、如果,那么

17、已知三個數(shù)1,2,3,請你再添上一個（只填一個）數(shù)，使它們能構成

一個比例式，則這個數(shù)是o

18、已知：如圖，在中，，，，且

（1）求的長；（2）求證：。

隨堂演練答案

1、②、③

2、1：4

3、（1）1：1,1：2；（2）12：5,7：24,19：7

4、Co

5、，，

6、,

7、C

8、D

9、C

10、B

11、0

12、A

13、8cm和4cm

14、C

15、2或一3

16、

17、、或

18、(1)設，則由得，，，即(2)證明：,：.,即。

24.2相似三角形的判定

學習目標要求

1、掌握相似三角形的概念。

2、掌握兩個三角形相似的條件。

3、能用兩個三角形相似的條件解決問題。

教材內容點撥

知識點1

相似三角形：

1、兩個三角形，如果各邊對應成比例，各角對應相等，則這兩個三角形相似。

2、各邊對應成比例，各角對應相等是指三組對應角分別相等，三組對應邊分

別成比例。

3、ZXABC與AA'BzC相似記作''△ABCS/SA，B'C，”，書寫時同三角

形全等一樣，要注意對應字母放在對應位置，例如，AABC與ADEF中，A點與E

點對應，B點與D點對應，C點與F點對應，則應記作△ABCS/\EDF。

4、相似三角形的定義揭示了相似三角形的本質特性，即如果兩個三角形相似,

則各邊對應成比例，各角對應相等，，相似三角形的定義即是性質，又是判定。

5、全等三角形是相似比為1的相似三角形。

知識點2

相似三角形判定方法：

相似三角形的判定方法按照全等三角形的判定方法可記為“AA”、“SAS”、

“SSS”和“HL”，只是這里對邊要求是對應成比例，對角的要求是對應角相等。

1、“AA”：如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應相等;

那么這兩個三角形相似?？珊唵蔚恼f成：兩角對應相等的兩個三角形相似。

2、"SAS"：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例，

并且夾角相等，那么這兩個三角形相似，可簡單的說成：兩邊對應成比例且夾角

相等的兩個三角形相似。

3、“SSS”：如果一個三角形的三條邊為另一個三角形的三條邊對應成比例,

那么這兩個三角形相似，可以簡單的說成：三邊對應成比例的兩個三角形相似。

4、“HL”：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的

斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三外形相似。

典型例題點撥

例1、已知：如圖，AABC中，AD=DB,Z1=Z2,求證：AABCsAEAD。

點撥：題中提供了兩個條件，一個是關于邊的，一個是關于角的，而關于邊

的條件可轉換為角之間的關系，從而可得兩個角之間的關系，聯(lián)系到要求證的結

論，可聯(lián)想到用“AA”來證。

解答：：AD=DB,；./3=/B,又=Z4=ZB+Z2,ZBAC=

Z3+Z1,.\Z4=ZBAC,在AABC和AEAD中，

Z3=ZB

Z4=ZBAC

AABC^AEADo

例2、已知：如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP=3PC,Q是CD

的中點，AADQ與AQCP是否相似？為什么？

點撥：根據條件"BP=3PC,Q是CD的中點”可知，結合/C=ND=90°,

可用“SAS”求證。

解答：：BP=3PC,Q是CD的中點，二，又：四邊形ABCD是正方形，：.ZC

=/D=90。，在AADQ與AQCP中，

ZC=ZD

AADQ^AQCPo

例3、如圖，點C、D在線段AB上，4PCD是等邊三角形。

(1)當AC、CD、DB滿足怎樣的關系時，Z\ACPs/\PDB?

(2)當△ACPs/SPDB時，求NAPB的度數(shù)。

解答：(1),.,ZACP=ZPDB=120°，當=，即=,也就是CD2=AC?DB

時，△ACPsaPDB。

(2)VAACP^APDEo?.ZA=ZDPB,

二ZAPB=ZAPC+ZCPD+ZDPB

=ZAPC+ZA+ZCPD

=ZPCD+ZCPD

=120°o

例4、(2006年福建省南平市)如圖，正方形ABCD的邊長為1,點E是AD邊

上的動點，從點A沿AD向D運動，以BE為邊，在BE的上方作正方形BEFG,連接

CGo請?zhí)骄浚?/p>

（1）線段AE與CG是否相等？請說明理由：

（2）若設，，當取何值時，最大？

（3）連接BH,當點E運動到AD的何位置時，△BEHS/\BAE?

點撥：本題主要考察對全等三角形和相似三角形的理解與應用，根據條件注

意到

AABE-ADEH,并由此得到，從而得到關于x、y的一個條件式，進而得到y(tǒng)

與x的一個函數(shù)，這是解決第（2）小題的關鍵；在第（3）小題中，則要從果溯源，

要使△BEHs^BAE,則必須，由此得到關于x的一個方程，解這個方程即可。

解答：（1）AE=CG,:四邊形ABCD、EBGF都是正方形，.，.Z1=Z2,且AB

=AC、BE=BG,.,.△ABE^ACBG,/.AE=CG（全等三角形的對應邊相等）。

（2）在AABE和中，ND=/A=90°,Zl=Z3=90°-ZAEB,；.△

ABE^ADEH,,即，得，.?.當時，。

（3）若△BEHS/SBAE,則，即,解得，.?.當E點運動到中點時，ABEHs

△BAE?

考點考題點撥

1、中考導航

中考中對相似三角形的考察往往結合其他內容例如平行線、平行四邊形來進

行，要熟練掌握相似三角形的四種判定方法，特別是“AA”。

2、經典考題追蹤

例1、（06天門）點E是ABCD的邊BC延長線上的一點，AE與CD相交于

G,則圖中相似三角形共有（）。

A、2對B、3對C、4對D、5對

點撥：將△BCG、AADG,△ABC、Z\ACD分別標為I、II、III、IV,則有I和

iki和iii、?和w、n和iii、ii和w五對相似三角形。

解答：選D。

例2、（06蘇州）如圖，梯形ABCD中，AB/7CD,且AB=2CD,E、F分別是AB、

BC的中點，EF與BD相交于點M。

（1）求證：△EDMS/\FBM；

⑵若DB=9,求BM。

點撥：由條件“AB=2CD,E是AB的中點”可得BE=CD,從而可知四邊形

DEBC是平行四邊形，由此可證（1）,在（1）中結論成立的前提下，利用

相似三角形“對應邊成比例”的性質，可求BM。

解答：（1）VAB=2CD,且E是AB的中點，.\BE=CD,又：BE〃CD,

二四邊形DEBC是平行四邊形，；.DE〃BC,.\Z1=Z2,Z3=Z4,.二△EDM

s/SFBM；

（2）VAEDM^AEBM,二（相似三角形的對應邊對應成比例），是CD

的中點，二,：.,令BM=x,則DM=2x,；.BD=3x=9,/.x=3,；.BM=3。

例3、（06年錦州）點D是AABC中AB邊上的一點，過點D作直線（不與直線

AB重合）截△ABC,使截得的三角形與AABC相似，滿足這樣條件的直線最多有

____條。

點撥：要使所截得的三角形與AABC相似，則所截三角形的三個內角與4ABC

的三個角對應相等，如果所截三角形與aABC以NA為公共角，則以有一個角已經

相等，只要另一個角對應相等即可，由此有/1=/B、/2=/C或/3=/B、Z

ADF=/C兩種情況；如果所截三角形與AABC以/B為公共角，則同理也有兩種情

況，所以經過D點共有4種不同直線可截三角形與4ABC相似。

解答：4。

易錯點點撥

易錯點1、相似三角形識別不準確。

易錯點導析：兩個相似三角形中對應角相等，對應邊對應成比例，然而不對

應的角和不對應的邊之間并沒有特別的關系，在應用相似三角形的性質時要特別

注意邊、角的對應，不能隨便得出角相等，邊成比例。

例1、如圖，△ABC是等邊三角形，AB=3cm,分別延長BC、CB至E、D,使得

CE=2cm,ZEAC=ZD,求BD的長。

錯解：BD=2cm。

錯解點撥：由題中條件可知△ABDs/\ECA,其中A點與E點對應，D點與A點

對應，B點與C點對應，；.，而不是。

解答：:△ABC是等邊三角形，ZABC=ZACB,；./ABD=NACE,又

EAC=ZD,AABD^AECA,/.,即,解得BD=4.5cm。

例2、如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,D是BC中點，AE_LAD交CB延長線于

點E,則4BAE相似于o

錯解：△DAC。

錯解點撥：由題中條件可知/EAB=NDAC,容易使人設想4AEB與4ACD相似,

但是NE與/C不一定相等，.二△AEB與4ACD不一定相似，實際上，由于/￡是4

AEB與ACEA的公共角，,應該有△AEBszXCEA。

正解：ACEA.

易錯點2、考慮問題不全面，思維不謹慎。

例：如圖，RtZ\ABC中，AD是斜邊BC上的高，則與AABD相似的三角形有幾

個？分別是哪幾個?

錯解：△ADC。

錯解點撥：通過圖形觀察，容易得到△ABDs/XCAD,但是還有△ABDs/XCBA

應引起我們的注意。

正解：與4ABD相似的三角形有2個，分別是ACAD和aCBA。

易錯點3、考慮問題時思維無序，方法混亂。

例：如圖，平行四邊形ABCD中，C是BC延長線上一點，AG與BD交于點E,

與DC交于點F,則圖中相似三角形（不包括全等）共有（）。

A.3對B.4對C.5對D.6對

錯解：B

錯解點撥：在做這類題時，如果不按照一定的方法，思維很容易混亂，造成

少解或重復計數(shù)，可以先去掉BD,考慮較簡單的情況（如圖所示），此時有4CFG

s/\DFA、ACFG^ABAG,△BAGs^DFA三對，添加了BD后，又增加了ZiADEs4

GBE和△ABEs/\FDE兩對，所以共有5對。

正解:5o

拓展與創(chuàng)新

1、將兩塊完全相同的等腰直角三角板擺放成如圖所示的樣子，假設圖中的所

有點、線都在同一平面內，回答下列問題：

（1）圖中共有個三角形。

（2）圖中有相似（不包括全等）三角形嗎？如果有，就把它們一一寫出來。

點撥：（1）中三角形的個數(shù)可以按照單個三角形和復合三角形兩類來分開數(shù)；

（2）中注意到NDAE=45°,.?.有△ADES/^BAE、△ADES/\DAC兩對。

解答：（1）圖中有AABD、AADE,AAEC,AABE,△ADC、△ABC、AJIFG共7

個三角形。

(2)圖中共有兩對相似三角形，分別是△ADEs/iBAE、AADE^ADACO

2、如圖，在直角坐標系中有兩點A(4,0)、B(0,2),如果點C在x軸上(C

與A不重合)，當點C的坐標為或時，使得由點B、0、C組成的三角形與AA0B

相似(至少寫出兩個滿足條件的點的坐標)。

點撥：要使△BOCs/UOB,因為/0是公共角，根據“SAS”，只要即可，

由此可得，解得0C=l,；.C點的橫坐標可為土1。

解答：(1,0)、(-1,0)

3、如圖，在正方形ABCD中，M為AB上一點，BP_LCM于P,N在BC上且BN=

BM,連結PD。

求證：DP±NP=

點撥：要證DPJ_NP,只要能證明/BPN=NCPD即可，可考慮證明△BPNs4

CPD,利用RtABPM-RtACPB,得比例式，等量代換后得，再完成NPCD=N

PBN的證明，即可得證。

證明：：BP_LCM于P,.,.ZBPM=ZCPB=90°,XVZCBM=90°,：.ZPBM

=ZBCP=90°—ZCBP,.,.RtABPM'^RtACPB,；.,VBC=CD,：.,VZPCD=

ZPBN=90°—ZBCP,.,.△BPN^ACPD,ZDPC=ZNBP,二/DPN=/CPB=

90°,.,.DPINPo

學習方法點撥

注意相似三角形的對應頂點及對應邊，即兩個相似三角形是通過什么樣的變

換對應在一起的，在學習的初始階段，可以制作一些模型，幫助形成相應的幾何

直觀。

隨堂演練

1、如圖，D是的邊AB上一點，若，則s,若，則s。

第（1）題第（2）題第（3）題第（4）題

2、如圖，cm,則cm。

3、如圖，在中，AC是BC、DC的比例中項，則s。

4、如圖，在四邊形ABCD中，cm,cm,cm,cm,則CD的長為

_________cm0

5、如圖，在正方形網格上有6個三角形：①，②

，③，④，⑤，⑥，其中②-⑥

中與①相似的是。

第（5）題

6、在AABC中，AB=8,AC=6,點D在AC上，且AD=2,若要在AB上找一點

E,使4ADE與原三角形相似，那么AE=。

7、如圖，BD、CE是的高，圖中相似三角形有對。

8、如圖，AB〃CD〃EF,則圖中相似三角形的對數(shù)為（）

A、1對B、2對C、3對D、4對

9、如圖，D、E分別是AB、AC上兩點，CD與BE相交于點0,下列條件中不能

使AABE和AACD相似的是（）

A.ZB=ZCB.ZADC=ZAEBC.BE=CD,AB=ACD.AD：AC=AE：

AB

第（7）題第（8）題第（9）題

10、如圖，D是△ABC的邊AB上一點，在條件（1）ZACD=ZB,（2）AC2=

AD*AB,（3）AB邊上與點C距離相等的點D有兩個，（4）/B=/ACB中，一定

使△ABCs/\ACD的個數(shù)是（)

A.1B.2C.3D.4

11、如圖，E是平行四邊形ABCD邊BC延長線上的一點，連接AE交CD于點F,

則圖中共有相似三角形（）。

A.1對B.2對C.3對D.4對

第（10）題第（11）題第（13）題

12、有一個銳角相等的兩個直角三角形的關系是（）

A.全等B.相似C.既不全等與也不相似D.無法確定

13、已知：AACB為等腰直角三角形，ZACB=90°延長BA至E,延長AB至F,

ZECF=135°,求證：AEACSACBF。

14、如圖，在中，，，；在中，，，，試判斷這兩個三角形是否相

似。

第（14）題第（15）題第（16）題

15、如圖，在梯形ABCD中，,求AB的長。

16、已知：如圖所示，D在△ABC上，且DE〃BC交AC于E,F在AD上，且,

求證：△AEFS/\ACD。

17、如圖，下列每個圖形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它們用

字母表示出來，并簡要說明識別的根據。

隨堂演練答案

1、ZB,ZACB

2、1.5cm

3、ABAC

4、13.5cm

5、③、④、⑤

6、或

7、6對

8、C?9、C

10、B

11、C

12、B

13、?.,△ABC為等腰直角三角形，.,.ZCAB=ZCBA=45°,.，.ZE+ZACE=

45°,又?；NECF=45°,

ZE+ZF=45°,.\ZACE=ZF,同理/BCF=/E,?.AEAC^ACBFo

14、：NA=/E=47°，且，二，AABC^AEFDo

15、在梯形ABCD中，△0ABs/\0CD,/.,/.,解得AB=4.5。

16、：DE〃BC,/.△AED^AACB,二，又：,：.,：.,,：ZA是公共角，

.,.△AEF^AACDo

17、(1)AADE^AABC,“AA”(2)AAED^AABC,“AA”(3)ACDE^A

CAB,“AA”(4)AABE^ACDE"SAS”(5)不存在相似三角形。

24.3相似三角形的性質

學習目標要求

1、掌握相似三角形的性質。

2、能應用相似三角形的性質解決問題。

教材內容點撥

知識點：相似三角形性質

1、相似三角形對應高的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比。

2、相似三角形周長的比等于相似比。

3、相似三角形面積的比等于相似比的平方。

典型例題點撥

例1、兩個相似三角形對應中線的比是，大三角形的面積是小三角形面積的

________倍。

點撥：根據相似三角形對應中線之比可得相似比，近而得出這兩個三角形的

面積比。

解答：?兩個相似三角形對應中線的比是，，這兩個相似三角形的相似比

為，，大三角形的面積是小三角形面積的倍。

例2、ZXABC中，AB=12cm,BC=18cm,AC=24cm,若AA，B'C^AABC,

且AA'B'C'的周長為81cm,求AA'B'C各邊的長。

點撥：此題根據相似三角形性質2：相似三角形周長的比等于相似比，可知

相似比為，由此根據AABC各邊長可求出AA'B'C’的各邊長。

解答:「△ABC中,AB=12cm,BC=18cm,AC=24cm,.?.△ABC的周長為

54cm,/.△ABC-^△A,B'Cz的相似比為,：.,：.,,。

例3、為了測量校園水平地面上一棵不可攀的樹的高度，學校數(shù)學興趣小組

做了如下的探索：根據《科學》中光的反射定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設計

如下圖所示的測量方案：把一面很小的鏡子放在離樹底（B）8.4米的點E處，然

后沿著直線BE后退到點D,這時恰好在鏡子里看到樹梢頂點A,再用皮尺量得DE

=2.4米，觀察者目高CD=1.6米，則樹（AB）的高度約為米（精確到0.1

米）。

點撥：注意到光線的反射定律：入射角等于反射角，可知△CDES/XABE。

解答：VACDE^AABE,/.,VCD=1.6,DE=2.4,BE=8.4,/.AB=5.6

米。

例4、例、已知：如圖AABC中，ZABC=2ZC,BD平分/ABC,

(1)求證：△ABDs/\ACB；

(2)求4ABD與4ACB的周長的比，Z\ABD與4ACB的面積的比。

點撥：根據題中提供的兩個與角相關的條件，要證明兩個三角形相似，可聯(lián)

想到“AA”，證明兩個三角形相似后，條件””的作用在于提供了相似三角形的

相似比，由此可求相似三角形的周長比和面積比。

解答：(1)：BD平分/ABC,.，.ZABD=ZCBD=ZABC,VZABC=2ZC,

ZABD=ZC,「NA是公共角，.'.△ABD^AACBo

(2)VAABD^AACB,且,.;△ABD與4ACB的相似比為，.?.△ABD與AACB

的周長的比為，AABD與AACB的面積的比為。

例5、如圖，AABC的底邊BC=a,高AD=h,矩形EFGH內接于△ABC,其中E,

F分別在邊AC,AB±,G,H都在BC上，且EF=2FG,求矩形EFGH的周長。

點撥：由題目條件中EF=2FG得要想求出矩形的周長，必須求出EF與高AD=h

的關系，由EF〃BC得△AFES^ABC,則EF與高h即可聯(lián)系上。此題還可以進一步

求出矩形的面積，若對題目再加一個條件：ABXAC,那么還可以證出FG2=BG-CH,

通過這些聯(lián)想，就會對題目的內在聯(lián)系有更深的理解，也會提高自己的數(shù)學解題

能力。

解答：設FG=x,

：EF=2FG,；.EF=2x,

VEF//BC,.,.△AFE^AABC,

又AD_LBC,設AD交EF于M,則AM_LEF,

即(AD-DM)/AD=2x/a

(h-x)/h=2x/a

解之，得*=

二矩形EFGH的周長為6x=。

考點考題點撥

1、中考導航

會應用相似三角形性質解決生活中的實際問題，有利用所學內容解決身邊的

問題的意識，例如會利用自己的步長和身高求出一棵大樹或大廈的高度。

2、經典考題追蹤

例1、（06遂寧）已知△ABC的三邊長分別為20cm,50cm,60cm,現(xiàn)要利用長度

分別為30cm和60cm的細木條各一根,做一個三角形木架與aABC相似，要求以其中

一根為一邊，將另一根截成兩段（允許有余料）作為另外兩邊，那么另外兩邊的長度

（單位：cm）分別為（）

A、10,25B、10,36或12,36C、12,36D、10,25或12,36

點撥：本題看起來有很多種情況，比較復雜，但可以用整體觀點來考察，由

于這兩個三角形相似，,它們的周長之比等于相似比，.,.△ABC與所作三角形的

相似比大于1,即所作三角形應該比AABC小，.?.在選擇作邊的木料時，只有選長

為30cm的細木料，而將長為60cm的細木料分成兩段，而且由于^ABC與所作三角

形的相似比大于1,△ABC中只有長為50cm或60cm的邊與30cm長的邊對應，即相

似比分別為或2,解得答案有兩種。

解答：:△ABC的三邊房分別為20cm,50cm,60cm,二ZXABC的周長為130cm,

而兩根細木料的長度分別為30cm和60clli,和最大只有90cm,...所作三角形應比△

ABC小，.?.只能選長為30cm的木料為所作三角形的一邊，且其只能與△ABC中的長

為50cm或60cm的邊相對應，即AABC與所作三角形的相似比應為或2,當相似比

為時，解得所作三角形的兩邊分別為12和36cm,當相似比為2時，解得所作三

角形的兩邊分別為10cm和25cm,這兩種情況下，所作三角形的兩邊長之和都小于

60cm,二答案有兩種情況，分別為10cm,25cm或12cm,36cm,選D。

點撥：光線是沿直線傳播的，之所以看不見水塔，是因為小張的眼睛、教學

樓頂、水塔頂位于一條直線上，，△EFGs^AFBsaDFC,根據相似三角形的性質

可求BG。

解答：由圖可知，△EFGsaAFBsAjJFC,,，即，,：.,,；.BC=

FC-FB=6.25FG=30,解得FG=4.8m,FB=60m,.?.小張要想看到水塔，他與教

學樓之間的距離至少應有60m。

例3、（06海南）如圖7,在同一時刻，小明測得他的影長為1米，距他不遠

處的一棵檳榔樹的影長為5米，已知小明的身高為1.5米，則這棵檳榔樹的高是

米。

點撥：同一時刻，光線是一組平行線，.??△ABCs/XDEF,二，由此可求出

DEo

解答：：同一時刻,光線是一組平行線，.?.△ABCS^DEF,二，

即,解得DE=7.5米。

易錯點點撥

易錯點1、審題不嚴，粗心大意，把握細節(jié)的能力不強。

易錯點導析：在處理問題時，粗心大意，對一些關鍵詞語沒有仔細體會，表

現(xiàn)為細節(jié)上的失誤，而這一旦形成習慣后，將對數(shù)學學習形成巨大的障礙。

例1、若把各邊分別擴大為原來的5倍，得到，下面結論不可能成立的是

()

A.sB.與的相似比為

C.與的各對應角相等D.與的相似比為

錯解：B

錯解點撥：對擴大為和擴大了這兩句話理解不清，擴大為原來的5倍意即擴

大到原來的5倍，而擴大了5倍則意即擴大到原來的6倍。

正解：B

拓展與創(chuàng)新

1、如圖，分別取等邊三角形ABC各邊的中點D、E、F,得△DEF。若AABC的

邊長為a。

（1）ADEF與AABC相似嗎？如果相似，相似比是多少？

（2）分別求出這兩個三角形的面積。

點撥：D、E、F分別為等邊三角形ABC各邊的中點，：.DE、EF、DF都是4ABC

的中位線，：.DE、EF、DF分別平行且等于aABC三邊的一半，根據相似三角形性

質：三邊對應成比例的兩個三角形相似，可知ADEF與AABC相似，且相似比為1

：2,在求出AABC的面積后，根據相似三角形性質：相似三角形的面積比等于相

似比的平方，可求ADEF的面積。

解答：（1）VD,E、F是等邊三角形ABC各邊的中點，；.DE、EF、DF都是△

ABC的中位線，A公DEF與4ABC相似,且相似比為1：2。

（2）;△ABC的邊長為a,.,.△ABC的面積為，^DEF的面積為。

2、如示意圖，小華家（點A處）和公路（）之間豎立著一塊35nl長且平行于

公

路的巨型廣告牌（DE）,廣告牌擋住了小華的視線，請在圖中畫出視點A的盲

區(qū)，

并將盲區(qū)內的那段公路記為BC,一輛以60km/h勻速行駛的汽車經過公路BC

段的

時間是3s,已知廣告牌和公路的距離是40m,求小華家到公路的距離（精確到

1

m）o

點撥：所謂視點A的盲區(qū)，即在視點A處看不到的公路區(qū)域，如圖所示，在視

點

A處看不到公路區(qū)域為BC段，由于光線的直線傳播性，BC和DE與光線組成的

兩

個三角形相似，通過相似三角形性質可求出點A到公路的距離。

解答：由圖可知△ABCS^ADE,,又：一輛以60km/h勻速行駛的汽車經

過公路BC段的

時間是3s,；.BC=50m,DE=35m,GF=40m,二,解得AF=93m,小華家

到公路的距離AG=AF+FG=133m?

學習方法點撥

通過制作幾何模型，加強對相似三角形性質的理解，特別是相似三角形的第

一個性質的理解。

加強對相似三角形性質的應用訓練，從而加深對相似三角形性質的認識。

要學會在生活中應用相似三角形的性質，提高利用相似三角形性質解決實際

問題的能力。

隨堂演練

1、如果兩個三角形的相似比為1,那么這兩個三角形O

2、如圖，已知△ADESAABC,且NADE=NB,則對應角為，對應邊為

3、若AABC與AA'B'C相似，一組對應邊的長為AB=3cm,A'B'=4cm,

那么B'C與△ABC的相似比是o

4、已知△ABCS/\A，B'C,A和A',B和B'分別是對應點，若AB=5cm,

A'Bz=8cm,AC=4cm,BzC=6cm,則AA，BzC與AABC的相似比為

,A，C，=,BC=o

5、如圖，已知DE〃BC,AADE^AABC,貝I==□

6、若aABC的三條邊長的比為3：5：6,與其相似的另一個AA'B'C的最

小邊長為12cm,那么4A'B'C'的最大邊長是。

7、已知△ABC的三條邊長分別為3cm,4cm,5cm,△ABCsAA'B'C',那么

△A'B'C'的形狀是,又知AA'B'C'的最大邊長為20cm,那么4A'B'

C'的面積為,o

8、如果RSABCSRSA'B'C,ZC=ZCZ=90°,AB=3,BC=2,A'

B'=12,則A'Cz=?

9、下列命題錯誤的是（）

A,兩個全等的三角形一定相似

B.兩個直角三角形一定相似

C,兩個相似三角形的對應角相等，對應邊成比例

D.相似的兩個三角形不一定全等

10、把AABC的各邊分別擴大為原來的3倍，得到AA'B'C,下列結論不

能成立的是（）

A.△ABC^AA,B'CzB.Z\ABC與AA'B'C的各對應角相等

C.△ABC與4A'BzC的相似比為D.AABC與AA'B'C的相似比為

11、若△ABCs/XA，B'C,ZA=55°,ZB=100°,那么/C'的度數(shù)是（）

A.55°B.100°C,25°D.不能確定

12、如果△ABCS/XA，B'C,BC=3,B'C=1.8,則封B'C與4ABC

的相似比為（）

A.5：3B.3：2C.2：3D,3：5

13、若△ABCS/\A，B'C,AB=2,BC=3,A'B'=1,則B'C等于

（）

A.1.5B.3C,2D.1

14、如圖，△ADES/XACB,ZAED=ZB,那么下列比例式成立的是（）

A.B.

C.D.

15、ZSABC的三邊長分別為、、2,AAZC的兩邊長分別為1和,如

果△ABCs/iA'B'Cz,那么AA'B'C的第三邊的長應等于（）

A.B.2C.D.2

16、若△ABCs^DEF,它們的周長分別為6cm和8cm,那么下式中一定成立

的是（）

A.3AB=4DEB.4AC=3DE

C.3ZA=4ZDD.4（AB+BC+AC）=3（DE+EF+DF）

17、已知AABC中，AB=15cm,BC=20cm,AC=30cm,另一個與它相似的

△A'B'C的最長邊為40cm,求AA'B'C的其余兩邊的長。

18、已知：4ABC三邊的比為1：2：3,AAZB'C^AABC,且AA'BzC

的最大邊長為15cm,求AA'B'C的周長。

19、古代一位數(shù)學家想出了一種測量金字塔高度的方法：如圖，為了測量金

字塔的高度0B,先豎一根已知長度的木棒，比較棒子的影長與金字塔的影長AB,

即可近似地算出金字塔的高度OB。如果，，

，你能求出金字塔的高度嗎？

20、如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標作為點A,

再在河的這一邊選點B和C,使，然后再選點E,使，確定BC與AE的交點為D,

測得米，米，米，你能求出兩岸之間AB的大致距離嗎？

21、如圖，已知AB〃CD,AD、BC相交于E,F為EC上一點，且/EAF=/C。求

證：AF2=FE?FBo

22、如圖，為了求出海島上的山峰AB的高度，在D和F處樹立標桿DC和FE,

標桿的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平

面內，從標桿DC退后123步的G處，可看到山峰A和標桿頂端C在一直線上，從

標桿FE退后127步的H處，可看到山峰A和標桿頂端E在一直線上.求山峰的高

度AB及它和標桿CD的水平距離BD各是多少？

隨堂演練答案

1、全等

2、對應角：/ADE與/B、/AED與/C、/A與/A,對應邊：AE與AC、AD

與AB、DE與BCo

3、4：3

4、8：5,6.4,3.75

5、

6、24cm

7、直角三角形，96cm2

8、

9、B

10、c

11、c

12、D

13、A

14、A

15、C

16、D

17、?..△ABC中最長邊為AC=30cm,AA'BzC的最長邊為40cm,.二△A'

B'C與AABC的相似比為4：3,二，即，解得A'B'=20cm,B'C=cm?

18、:△ABC三邊的比為1：2：3,AAZB'C^>AABC,.'△A'B'C,的

三邊之比為1：2：3,又「△A'B'C的最大邊長為15cm,.'△A'B'C的三

邊分別為5cm、10cm,AA'B'C'的周長為30cmo

19、VA0,A'B'S/\OAB,二，即,解得0B=137。

20、VAABD^AECD,,即，解得AB=100米。

21、證明：VAB^CD,NEAF=NC,.，.ZEAF=ZB,/.AE