蘇科版八年級數(shù)學上冊專題6.4對頂角、平行和垂直【八大題型】同步練習(學生版+解析)

專題6.4對頂角、平行和垂直【八大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1對頂角、鄰補角的識別】 1【題型2由對頂角、鄰補角的性質求角的度數(shù)】 2【題型3平面內兩直線的位置關系】 3【題型4過直線外一點有且只有一條直線平行于已知直線】 4【題型5作垂線、由垂線求角度】 5【題型6過一點有且只有一條直線垂直于已知直線】 6【題型7點到直線的距離】 7【題型8垂線段最短】 8【知識點1對頂角、鄰補角的概念】一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角.有公共頂點和一條公共邊，另一邊互為反向延長線，并且互補的兩個角稱為鄰補角.【題型1對頂角、鄰補角的識別】【例1】（2023下·遼寧盤錦·七年級?？计谀┰谙聢D中，∠1和∠2是對頂角的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式1-1】（2023下·湖北荊門·七年級統(tǒng)考期末）圖中∠1與∠2互為鄰補角的是（）A． B．C． D．【變式1-2】（2023下·上?！て吣昙壣虾Ｊ形膩碇袑W?？计谥校?條不重合的直線相交于一點，構成的對頂角共有對．【變式1-3】（2023下·安徽淮北·七年級校聯(lián)考期末）觀察下列各圖，尋找對頂角（不含平角）、鄰補角．(1)如圖1，共有___________對對頂角，____________對鄰補角；(2)如圖2，共有___________對對頂角，____________對鄰補角；(3)如圖3，共有___________對對頂角，____________對鄰補角；(4)根據(jù)（1）-（3）中直線的條數(shù)與對頂角、鄰補角的對數(shù)之間的關系，探究：若有n條直線相交于一點，則可形成多少對對頂角？多少對鄰補角？【知識點2對頂角、鄰補角的性質】對頂角相等.鄰補角互補.【題型2由對頂角、鄰補角的性質求角的度數(shù)】【例2】（2023下·廣西河池·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，射線OE把∠AOC分成兩部分．

(1)圖中∠AOC=∠______，∠AOE+∠______=180°；(2)若∠AOC=80°，∠AOE=3∠COE，求∠DOE的度數(shù)．【變式2-1】（2023下·湖南長沙·七年級?？计谀┮阎?與∠2是對頂角，∠1與∠3是鄰補角，則∠2+∠3的度數(shù)為（）A．90° B．180° C．270° D．360°【變式2-2】（2023下·內蒙古呼倫貝爾·七年級統(tǒng)考期末）已知直線AB與CD相交于點O．

(1)如圖1，若∠AOM=90°，OC平分∠AOM，則∠AOD=_________．(2)如圖2，若∠AOM=90°，∠BOC=4∠BON，OM平分∠CON，求∠MON的大小【變式2-3】（2023下·云南曲靖·七年級統(tǒng)考期末）直線AB,CD相交于點O，OF⊥CD于點O，作射線OE，且OC在∠AOE的內部．(1)①當OE、OF在如圖1所示位置時，若∠BOD=20°,∠BOE=130°，求∠EOF的度數(shù)；②當OE、OF在如圖2所示位置時，若OF平分∠BOE，證明：OC平分∠AOE；(2)若∠AOF=2∠COE，請直接寫出∠BOE與∠AOC之間的數(shù)量關系．【題型3平面內兩直線的位置關系】【例3】（2023下·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）l1、l2、l3為同一平面內的三條直線，若l1與l2不平行，lA．l1與l3一定不平行 B．l1C．l1與l3一定互相垂直 D．l1【變式3-1】（2023上·黑龍江佳木斯·七年級校考開學考試）在同一平面內，兩條直線的位置關系可能是（）A．相交或垂直 B．垂直或平行C．平行或相交 D．相交或垂直或平行【變式3-2】（2023上·七年級單元測試）在下列4個判斷中：①在同一平面內，不相交也不重合的兩條線段一定平行；②在同一平面內，不相交也不重合的兩條直線一定平行；③在同一平面內，不平行也不重合的兩條線段一定相交；④在同一平面內，不平行也不重合的兩條直線一定相交．正確判斷的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式3-3】（2023下·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在同一平面內，經過直線m外一點O的四條直線中，與直線m相交的直線最少有（

）

A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【知識點3平行公理】經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.【題型4過直線外一點有且只有一條直線平行于已知直線】【例4】（2023下·七年級單元測試）如圖所示，已知P是直線l外一點，兩條直線l1，l2相交于P，且l1∥l，那么l【變式4-1】（2023上·七年級課時練習）在同一平面內，與已知直線a平行的直線有條；而經過直線外一點P，與已知直線a平行的直線有且只有條．【變式4-2】（2023下·湖北·七年級統(tǒng)考期末）小明與小剛在討論數(shù)學問題時，有如下對話：小明：在同一平面內，過一點A有且只有一條直線與已知直線m平行．小剛：在同一平面內，過一點A有且只有一條直線與已知直線m垂直．對于兩個人的說法，正確的是（

）A．小明對 B．小剛對 C．兩人均對 D．兩人均不對【變式4-3】（2023上·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，MC∥AB,NC∥AB,則點M，C，N在同一條直線上，理由是.【知識點4垂線】①兩條直線相交所成的四個角內有一個角是90°稱這兩條直線互相垂直.②垂直是相交的一種特殊情形，兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線.③它們的交點叫做垂足.④垂線的性質：性質1：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.性質2：直線外一點與直線上各點的連線中，垂線段最短.⑤點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.【題型5作垂線、由垂線求角度】【例5】（2023下·河南許昌·七年級?？计谥校┤鐖D，網(wǎng)格線的交點叫格點，格點P是∠AOB的邊OB上的一點（請利用三角板和直尺借助網(wǎng)格的格點畫圖）．

(1)過點P畫OB的垂線，交OA于點E；過點P畫OA的垂線，垂足為F；(2)線段PF的長度是點P到______的距離，線段______的長度是點E到直線OB的距離，所以線段PE、PF、OE這三條線段大小關系是______（用“＜”號連接），理由是______．【變式5-1】（2023下·湖北武漢·七年級?？茧A段練習）已知∠AOB和∠COD的兩邊分別互相垂直，且∠COD比∠AOB的2倍少30°，求∠COD的度數(shù)．【變式5-2】（2023上·湖北黃岡·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖，直線AB與直線CD相交于點O，OE平分∠BOC，若OF⊥OB，且∠EOF=110°，則∠DOF=．

【變式5-3】（2023上·江蘇南京·七年級南京市第二十九中學?？计谀┤鐖D，已知∠AOB畫射線OC⊥OA，射線OD⊥OB，試寫出∠AOB和∠COD的數(shù)量關系，并說明理由.【題型6過一點有且只有一條直線垂直于已知直線】【例6】（2023下·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在同一平面內，OA⊥l，OB⊥l，垂足為O，則OA與OB重合的理由是（

）

A．兩點確定一條直線B．垂線段最短C．同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直D．垂直于同一直線的兩條直線平行【變式6-1】（2023上·江蘇揚州·七年級統(tǒng)考期末）對于下列說法，正確的是（）A．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；B．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；C．測量孫浩的跳遠成績，正確做法的依據(jù)是“兩點之間，線段最短”；D．不相交的兩條直線叫做平行線．【變式6-2】（2023下·河南鄭州·七年級鄭州市第七十三中學?？茧A段練習）如圖所示，王師傅為了檢驗門框AB是否垂直于地面，在門框AB的上端A處用細線懸掛一鉛錘，看門框AB是否與鉛錘線重合．若門框AB垂直于地面，則AB會重合于AE，否則AB與AE不重合．下面哪個數(shù)學知識可以說明這個道理？（

）

A．經過兩點有且只有一條直線B．直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短C．過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行D．平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直【變式6-3】（2023下·上海黃浦·六年級統(tǒng)考期末）下列方法中，不能用來檢驗平面與平面垂直的方法是（

）．A．鉛垂線 B．兩把三角尺 C．合頁型折紙 D．長方形紙片【題型7點到直線的距離】【例7】（2023下·陜西西安·七年級西安益新中學校考階段練習）如圖，P是∠AOB的邊OB上一點．(1)過P畫OA的垂線，垂足為點H；(2)過點P畫OB的垂線，交OA于點C，點O到直線PC的距離是線段______的長度．【變式7-1】（2023上·浙江·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖，A、B、C是等邊三角形的三個頂點，作直線l，使點A、B、C到直線l的距離之比為2:1:1，則滿足條件的直線l共有（

）A．4條 B．3條C．2條 D．1條【變式7-2】（2023下·河南新鄉(xiāng)·七年級校考期中）如圖所示，∠BAC=90°,AD⊥BC于D，則下列結論中，正確的個數(shù)為（）①AB⊥AC；②AD與AC互相垂直；③點C到AB的垂線段是線段AB；④點A到BC的距離是線段AD的長度；⑤線段AC的長度是點C到AB的距離；⑥線段CD的長度是點D到AC的距離．A．3個 B．4個 C．7個 D．0個【變式7-3】（2023上·江蘇南京·七年級校聯(lián)考期末）在如圖所示的方格紙中，每個小正方形的頂點都叫做格點.已知點A、B、C均在格點上．(1)借助方格紙過點B畫線段AC的平行線BD；(2)借助方格紙過點B畫線段AC的垂線BE，垂足為E；(3)觀察所畫圖形，點A到直線BE的距離是線段的長度；(4)BD與BE的位置關系是；(5)比較大?。壕€段AB線段BE（填“＞”、“＜”或“＝”），理由是．【題型8垂線段最短】【例8】（2023下·安徽池州·七年級統(tǒng)考期末）在同一個平面內，P是直線l外一點，A,B,C分別是l上三點，已知PA=1,PB=2，PC=3，若點P到l的距離是?，則（

）A．0<?≤1 B．?=1 C．?=2 D．?=3【變式8-1】（2023下·河北滄州·七年級?？茧A段練習）如圖是一條河C是河邊AB外一點，M是河邊AB上一碼頭．

(1)若要從C走到碼頭M，請在圖1中作出最短路線示意圖．(2)現(xiàn)欲用水管從河邊AB將水引到C處，請在圖2上作出所需水管最短的鋪設方案．【變式8-2】（2023上·河南南陽·七年級?？计谀┤鐖D所示的正方形網(wǎng)格，點A、B、C都在格點上，(1)利用網(wǎng)格作圖：①過點C畫直線AB的平行線CD，并標出平行線所經過的格點D；②過點C畫直線AB的垂線CE，并標出垂線所經過的格點E，垂足為點F；(2)線段______的長度是點C到直線AB的距離；(3)比較大小：CF______CB（填>、<或=）【變式8-3】（2023下·山東濟寧·七年級統(tǒng)考期中）如圖所示，在△ABC中，AC=5,?BC=6,?BC邊上高AD=4，若點P在邊AC

專題6.4對頂角、平行和垂直【八大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1對頂角、鄰補角的識別】 1【題型2由對頂角、鄰補角的性質求角的度數(shù)】 4【題型3平面內兩直線的位置關系】 8【題型4過直線外一點有且只有一條直線平行于已知直線】 10【題型5作垂線、由垂線求角度】 12【題型6過一點有且只有一條直線垂直于已知直線】 16【題型7點到直線的距離】 18【題型8垂線段最短】 22【知識點1對頂角、鄰補角的概念】一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角.有公共頂點和一條公共邊，另一邊互為反向延長線，并且互補的兩個角稱為鄰補角.【題型1對頂角、鄰補角的識別】【例1】（2023下·遼寧盤錦·七年級校考期末）在下圖中，∠1和∠2是對頂角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)對頂角的定義進行判斷：兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點且兩個角的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做對頂角，依次判定即可得出答案．【詳解】解：A、∠1與∠2沒有公共頂點，不是對頂角，故A選項不合題意；B、∠1與∠2的兩邊互為反向延長線，是對頂角，故B選項符合題意；C、∠1與∠2沒有公共頂點，不是對頂角，故C選項不合題意；D、∠1與∠2兩條邊不是互為反向延長線，不是對頂角，故D選項不合題意．B．【點睛】本題主要考查了對頂角的定義，對頂角是相對于兩個角而言，是指的兩個角的一種位置關系．它是在兩直線相交的前提下形成的．【變式1-1】（2023下·湖北荊門·七年級統(tǒng)考期末）圖中∠1與∠2互為鄰補角的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用鄰補角定義進行解答即可．【詳解】解：A、∠1與∠2對頂角，故此選項不合題意；B、∠1與∠2是鄰補角，故此選項符合題意；C、∠1與∠2不是鄰補角，故此選項不合題意；D、∠1與∠2是內錯角，故此選項不合題意；B．【點睛】此題主要考查了鄰補角，關鍵是掌握只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角．【變式1-2】（2023下·上?！て吣昙壣虾Ｊ形膩碇袑W校考期中）9條不重合的直線相交于一點，構成的對頂角共有對．【答案】72【分析】本題考查對頂角的定義，兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點且兩個角的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做對頂角．【詳解】解：①兩條直線相交共2對對頂角；②三條直線相交，在2對的基礎上再加4對，共6對；③四條直線相交，在6對的基礎上再加6對，共12對；④五條直線相交，在12對的基礎上再加8對，共20對；即對頂角的對數(shù)為，2，6，12，20……，以此類推，當n條直線相交時，對頂角的總對數(shù)為：n2根據(jù)n條直線相交于一點，構成n2當n=9時，n2?n=（9故答案為：72．【點睛】本題考查了對頂角的定義及n條直線相交于一點，構成對頂角的規(guī)律，注意對頂角是兩條直線相交而成的四個角中，沒有公共邊的兩個角．【變式1-3】（2023下·安徽淮北·七年級校聯(lián)考期末）觀察下列各圖，尋找對頂角（不含平角）、鄰補角．(1)如圖1，共有___________對對頂角，____________對鄰補角；(2)如圖2，共有___________對對頂角，____________對鄰補角；(3)如圖3，共有___________對對頂角，____________對鄰補角；(4)根據(jù)（1）-（3）中直線的條數(shù)與對頂角、鄰補角的對數(shù)之間的關系，探究：若有n條直線相交于一點，則可形成多少對對頂角？多少對鄰補角？【答案】(1)2，4(2)6，12(3)12，24(4)若有n條直線相交于一點，則可形成nn?1對對頂角，2n【分析】（1）根據(jù)對頂角、鄰補角的定義，結合圖形，即可得到答案；（2）根據(jù)對頂角、鄰補角的定義，結合圖形，即可得到答案；（3）根據(jù)對頂角、鄰補角的定義，結合圖形，即可得到答案；（4）由（1）-（3）中直線與對頂角、鄰補角的對數(shù)找到規(guī)律，即可得出結論．【詳解】（1）解：如圖1，2條直線相交于一點，共有2對對頂角，4對鄰補角；故答案為：2，4；（2）解：如圖2，3條直線相交于一點，共有6對對頂角，12對鄰補角；故答案為：6，12；（3）解：如圖3，4條直線相交于一點，共有12對對頂角，24對鄰補角；故答案為：12，24；（4）解：2條直線相交于一點，共有2×1=2對對頂角，2×2×1=4對鄰補角；3條直線相交于一點，共有3×2=6對對頂角，2×3×2=12對鄰補角；4條直線相交于一點，共有4×3=12對對頂角，2×4×3=24對鄰補角；∴若有n條直線相交于一點，則可形成nn?1對對頂角，2n【點睛】本題考查了對頂角、鄰補角的定義，圖形類規(guī)律的探索，熟練掌握知識點，找到規(guī)律是解題的關鍵．【知識點2對頂角、鄰補角的性質】對頂角相等.鄰補角互補.【題型2由對頂角、鄰補角的性質求角的度數(shù)】【例2】（2023下·廣西河池·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，射線OE把∠AOC分成兩部分．

(1)圖中∠AOC=∠______，∠AOE+∠______=180°；(2)若∠AOC=80°，∠AOE=3∠COE，求∠DOE的度數(shù)．【答案】(1)∠DOB，∠BOE(2)160°【分析】（1）觀察圖象，根據(jù)對頂角和補角的定義找角；（2）設∠COE=x°，則∠AOE=3x°，可得x+3x=80，求得∠COE=20°，再結合∠DOE=180°?∠COE即可求解．【詳解】（1）解：∵直線AB，CD相交于點O，∴∠AOC和∠BOD是對頂角．∴∠AOC=∠BOD，∵∠AOE的補角是∠BOE．∴∠AOE+∠BOE=180°，故答案為：∠DOB，∠BOE．（2）∵∠AOE=3∠COE，∴設∠COE=x°，則∠AOE=3x°，∵∠AOC=80°，∴x+3x=80，∴x=20，即∠COE=20°，∴∠DOE=180°?∠COE=180°?20°=160°．【點睛】本題主要考查角的相關定義以及角度的和差倍分，要結合圖象找隱藏的角度關系．【變式2-1】（2023下·湖南長沙·七年級校考期末）已知∠1與∠2是對頂角，∠1與∠3是鄰補角，則∠2+∠3的度數(shù)為（）A．90° B．180° C．270° D．360°【答案】B【分析】根據(jù)對頂角的性質：對頂角相等，鄰補角的性質：鄰補角互補，進行求解即可.【詳解】解：∵∠1與∠2是對頂角，∴∠1＝∠2，∵∠1與∠3是鄰補角，∴∠1+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝180°．故選B．【點睛】本題主要考查了對頂角與鄰補角的性質，解題的關鍵在于能夠熟練掌握對頂角與鄰補角的性質.【變式2-2】（2023下·內蒙古呼倫貝爾·七年級統(tǒng)考期末）已知直線AB與CD相交于點O．

(1)如圖1，若∠AOM=90°，OC平分∠AOM，則∠AOD=_________．(2)如圖2，若∠AOM=90°，∠BOC=4∠BON，OM平分∠CON，求∠MON的大小【答案】(1)135°(2)54°【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求出∠AOC=45°，然后根據(jù)鄰補角的定義求解即可；（2）設∠NOB=x°，∠BOC=4x°，根據(jù)角平分線的定義表示出∠COM=∠MON=12∠CON，再根據(jù)∠BOM【詳解】（1）解：∵∠AOM=90°，OC平分∠AOM，∴∠AOC=1∵∠AOC+∠AOD=180°，∴∠AOD=180°?∠AOC=180°?45°=135°，即∠AOD的度數(shù)為135°；（2）解：∵∠BOC=4∠NOB∴設∠NOB=x°，∠BOC=4x°，∴∠CON=∠COB?∠BON=4x°?x°=3x°，∵OM平分∠CON，∴∠COM=∠MON=1∵∠BOM=3∴x=36°，∴∠MON=3即∠MON的度數(shù)為54°．【點睛】本題考查了對頂角、鄰補角，角平分線的定義，此類題目熟記概念并準確識圖是解題的關鍵．【變式2-3】（2023下·云南曲靖·七年級統(tǒng)考期末）直線AB,CD相交于點O，OF⊥CD于點O，作射線OE，且OC在∠AOE的內部．(1)①當OE、OF在如圖1所示位置時，若∠BOD=20°,∠BOE=130°，求∠EOF的度數(shù)；②當OE、OF在如圖2所示位置時，若OF平分∠BOE，證明：OC平分∠AOE；(2)若∠AOF=2∠COE，請直接寫出∠BOE與∠AOC之間的數(shù)量關系．【答案】(1)①∠EOF的度數(shù)為60°；②見解析；(2)3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°．【分析】（1）①利用余角的定義以及角之間的關系可求出∠EOF=60°；②利用OF平分∠BOE，可得：∠EOF=∠FOB=12∠EOB，再利用垂直得到：∠COE+∠EOF=∠AOC+∠BOF=90°，即可證明∠COE=∠AOC（2）需要分類討論，當點E，F(xiàn)在直線AB的同側和點E，F(xiàn)在直線AB的異側兩種情況，再分別表示出∠BOE與∠AOC，再消去α即可．【詳解】（1）解：①∵OF⊥CD于點O，∴∠COF=90°，∵∠BOD=20°,∠BOE=130°，∴∠COE=180°?∠BOE?∠BOD=180°?130°?20°=30°，∴∠EOF=∠COF?∠COE=90°?∠COE=90°?30°=60°；∴∠EOF的度數(shù)為60°；②∵OF平分∠BOE，∴∠EOF=∠FOB=1∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，∴∠COE+∠EOF=∠AOC+∠BOF=90°，∴∠COE=∠AOC，∴OC平分∠AOE．（2）解：設∠COE=α，則∠AOF=2α，當點E，F(xiàn)在直線AB的同側時，如圖：∠EOF=90°?α，∴∠AOC=∠AOF?∠COF=2α?90°，①∠BOE=180°?∠COE?∠AOC=180°?α?90°?α令①×3+②×2可得：3∠AOC+2∠BOE=270°，當點E，F(xiàn)在直線AB的異側時，如圖：∠EOF=90°+α，∴∠AOC=∠AOF?∠COF=2α?90°，①∠BOE=180°?∠AOE?∠BOD=180°?α?∠AOC令①+②×2可得：∠AOC+2∠BOE=270°，綜上所述：3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°．【點睛】本題考查幾何圖形角度的計算，與余角有關的計算，對頂角，角平分線的定義，（2）稍有難度，關鍵是對E點的位置進行討論，考查學生的計算能力．【題型3平面內兩直線的位置關系】【例3】（2023下·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）l1、l2、l3為同一平面內的三條直線，若l1與l2不平行，lA．l1與l3一定不平行 B．l1C．l1與l3一定互相垂直 D．l1【答案】A【分析】根據(jù)關鍵語句“若l1與l2不平行,l2【詳解】根據(jù)題意可得圖形：根據(jù)圖形可知：若l1與l2不平行,l2與l3不平行,則D.【點睛】本題主要考查了直線的位置關系，在同一平面內，兩條直線的位置關系：平行或相交.【變式3-1】（2023上·黑龍江佳木斯·七年級?？奸_學考試）在同一平面內，兩條直線的位置關系可能是（）A．相交或垂直 B．垂直或平行C．平行或相交 D．相交或垂直或平行【答案】B【分析】根據(jù)兩條直線有一個交點的直線是相交線，沒有交點的直線是平行線，可得答案．【詳解】在同一平面內，兩條直線有一個交點，兩條直線相交；在同一平面內，兩條直線沒有交點，兩條直線平行．C【點睛】本題主要考查了同一平面內，兩條直線的位置關系，注意垂直是相交的一種特殊情況，不能單獨作為一類．【變式3-2】（2023上·七年級單元測試）在下列4個判斷中：①在同一平面內，不相交也不重合的兩條線段一定平行；②在同一平面內，不相交也不重合的兩條直線一定平行；③在同一平面內，不平行也不重合的兩條線段一定相交；④在同一平面內，不平行也不重合的兩條直線一定相交．正確判斷的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)平面內兩條直線的三種位置關系：平行或相交或重合進行判斷．【詳解】解：在同一平面內，不相交也不重合的兩條直線一定平行，故①錯誤，②正確；在同一平面內，不平行也不重合的兩條直線一定相交，故③錯誤，④正確．故正確判斷的個數(shù)是2．C．【點睛】本題考查了平面內兩條直線的三種位置關系，平行、相交或重合，熟練掌握這三種位置關系是解題的關鍵．【變式3-3】（2023下·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在同一平面內，經過直線m外一點O的四條直線中，與直線m相交的直線最少有（

）

A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】B【分析】根據(jù)經過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行進行求解即可．【詳解】解：根據(jù)經過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行，得出過點O的4條直線中至多只有一條直線與直線m平行即與直線m相交的直線至少有3條．C．【點睛】本題考查了平行線的性質，熟練掌握經過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行性質是解題的關鍵．【知識點3平行公理】經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.【題型4過直線外一點有且只有一條直線平行于已知直線】【例4】（2023下·七年級單元測試）如圖所示，已知P是直線l外一點，兩條直線l1，l2相交于P，且l1∥l，那么l【答案】相交【分析】根據(jù)平行公理解答即可．【詳解】解：P是直線l外一點，兩條直線l1，l2相交于P，且l1故答案為：相交．【點睛】本題考查了平行公理．解題的關鍵掌握平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．【變式4-1】（2023上·七年級課時練習）在同一平面內，與已知直線a平行的直線有條；而經過直線外一點P，與已知直線a平行的直線有且只有條．【答案】無數(shù)，1【分析】根據(jù)與已知直線平行的直線有無數(shù)條，經過直線外一點，有且只有一條直線和已知直線平行，即可得到結果．【詳解】在同一平面內，與已知直線a平行的直線有無數(shù)條，而經過a外一點，與已知直線a平行的直線有且只有1條．故答案為：無數(shù)，1．【點睛】本題主要考查平行公理思路拓展：解答本題的關鍵是掌握好平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線和已知直線平行，注意要強調“過直線外一點”．【變式4-2】（2023下·湖北·七年級統(tǒng)考期末）小明與小剛在討論數(shù)學問題時，有如下對話：小明：在同一平面內，過一點A有且只有一條直線與已知直線m平行．小剛：在同一平面內，過一點A有且只有一條直線與已知直線m垂直．對于兩個人的說法，正確的是（

）A．小明對 B．小剛對 C．兩人均對 D．兩人均不對【答案】B【分析】根據(jù)平行公理，垂線的基本性質進行判斷即可．【詳解】解：∵在同一平面內，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，∴小明錯，小剛對，B．【點睛】本題考查了平行公理，垂線的基本性質，熟練掌握基礎知識點是解題的關鍵．【變式4-3】（2023上·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，MC∥AB,NC∥AB,則點M，C，N在同一條直線上，理由是.【答案】經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行【詳解】解:如圖，∵MC∥AB，NC∥AB，∴直線MC與NC互相重合（經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行）.故答案為:經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.【知識點4垂線】①兩條直線相交所成的四個角內有一個角是90°稱這兩條直線互相垂直.②垂直是相交的一種特殊情形，兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線.③它們的交點叫做垂足.④垂線的性質：性質1：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.性質2：直線外一點與直線上各點的連線中，垂線段最短.⑤點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.【題型5作垂線、由垂線求角度】【例5】（2023下·河南許昌·七年級?？计谥校┤鐖D，網(wǎng)格線的交點叫格點，格點P是∠AOB的邊OB上的一點（請利用三角板和直尺借助網(wǎng)格的格點畫圖）．

(1)過點P畫OB的垂線，交OA于點E；過點P畫OA的垂線，垂足為F；(2)線段PF的長度是點P到______的距離，線段______的長度是點E到直線OB的距離，所以線段PE、PF、OE這三條線段大小關系是______（用“＜”號連接），理由是______．【答案】(1)圖見解析(2)OA，PE，PF<PE<OE，垂線段最短【分析】（1）如圖，找點C，連接PC，與OA交點即為E，過P點作豎直的線，與OA交點即為F；（2）根據(jù)點到直線的距離的定義、垂線段最短即可求解．【詳解】（1）解：由題意作圖如下，PE是OB的垂線，PF是OA的垂線．

（2）解：線段PF的長度是點P到OA的距離，線段PE的長度是點E到直線OB的距離，由垂線段最短可知，PF<PE<OE，故答案為：OA，PE，PF<PE<OE，垂線段最短．【點睛】本題考查了作垂線，垂線段最短．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．【變式5-1】（2023下·湖北武漢·七年級?？茧A段練習）已知∠AOB和∠COD的兩邊分別互相垂直，且∠COD比∠AOB的2倍少30°，求∠COD的度數(shù)．【答案】110°或30°【分析】有兩種情況：①如圖1，根據(jù)∠COD=90°+90°?∠AOB，列方程可得結論；②如圖2，根據(jù)∠AOB+∠BOD=∠COD+∠AOC，列方程可得結論．【詳解】解：設∠AOB=x°，則∠COD=2x°?30°，分兩種情況：①如圖1，∵∠AOB和∠COD的兩邊分別互相垂直，

∴∠COD=90°+90°?∠AOB，即2x°?30°=90°+90°?x°，x°=70°，∴∠COD=2×70°?30°=110°；②如圖2，∵OA⊥OC，OB⊥OD，

∴∠AOB+∠BOD=∠COD+∠AOC，x°+90=2x°?30+90，x°=30°，∴∠COD=2×30°?30°=30°，綜上所述，∠COD的度數(shù)為110°或30°，故答案為：110°或30°．【點睛】此題主要考查了角的計算，以及垂直的定義，關鍵是根據(jù)圖形理清角之間的和差關系．【變式5-2】（2023上·湖北黃岡·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖，直線AB與直線CD相交于點O，OE平分∠BOC，若OF⊥OB，且∠EOF=110°，則∠DOF=．

【答案】50°【分析】根據(jù)垂直定義可得∠BOF=90°，從而可得∠BOE=20°，再根據(jù)角平分線的定義可得∠BOC=2∠BOE=40°，然后利用平角定義進行計算，即可解答．【詳解】解：∵OF⊥OB，∴∠BOF=90°，∴∠BOE=∠EOF?∠BOF=110°?90°=20°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOC=2∠BOE=2×20°=40°，∴∠DOF=180°?∠BOF?∠BOC=180°?90°?40°=50°，故答案為：50°．【點睛】本題考查了垂線，角平分線的定義，角的和差，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形進行分析是解題的關鍵．【變式5-3】（2023上·江蘇南京·七年級南京市第二十九中學?？计谀┤鐖D，已知∠AOB畫射線OC⊥OA，射線OD⊥OB，試寫出∠AOB和∠COD的數(shù)量關系，并說明理由.【答案】∠AOB=∠COD或∠AOB+∠COD=180【分析】分OC、OD在邊OA的同側和異側分別作出圖形，然后分別進行計算即可得解．【詳解】∠AOB=∠COD或∠AOB+∠COD=180°，理由如下：如圖1，∵OC⊥OA，OD⊥OB，∴∠AOB+∠BOC=90°，∠COD+∠BOC=90°，∴∠AOB=∠COD；如圖2，∵OC⊥OA，OD⊥OB，∴∠AOC=∠BOD=90°，∴∠AOB+∠BOC=∠AOB+∠AOD=90°，∴∠AOB+∠BOC+∠AOB+∠AOD=180°，又∵∠BOC+∠AOB+∠AOC=∠COD，∴∠AOB+∠COD=180°；如圖3，∠AOB+∠COD=360°-∠AOC-∠BOD=360°-90°-90°=180°；如圖4，∵OC⊥OA，OD⊥OB，∴∠AOB+∠AOD=90°，∠COD+∠AOD=90°，∴∠AOB=∠COD；綜上所述，∠AOB=∠COD或∠AOB+∠COD=180°.【點睛】本題考查了垂線的定義，角的計算，同角的余角相等的性質，難點在于分情況討論．【題型6過一點有且只有一條直線垂直于已知直線】【例6】（2023下·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在同一平面內，OA⊥l，OB⊥l，垂足為O，則OA與OB重合的理由是（

）

A．兩點確定一條直線B．垂線段最短C．同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直D．垂直于同一直線的兩條直線平行【答案】B【分析】根據(jù)同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直進而得出答案．【詳解】解：∵OA⊥l，OB⊥l，垂足為O，∴OA與OB重合（同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直），D．【點睛】此題主要考查了垂線的性質，正確把握定義是解題關鍵．【變式6-1】（2023上·江蘇揚州·七年級統(tǒng)考期末）對于下列說法，正確的是（）A．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；B．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；C．測量孫浩的跳遠成績，正確做法的依據(jù)是“兩點之間，線段最短”；D．不相交的兩條直線叫做平行線．【答案】A【詳解】試題分析：B選項中，若兩直線異面，則可以有無限條經過已知點的直線與已知直線垂直；C選項中，正確做法應該是孫浩落腳點與起跳線的最短距離，即落腳點與起跳線的垂直距離；D選項中，兩條異面直線，不相交，也可能不平行．考點：空間直線的相交、平行與垂直點評：本題考查的是空間直線的知識，需要注意的是，在空間直線中，不相交的直線不一定平行．【變式6-2】（2023下·河南鄭州·七年級鄭州市第七十三中學校考階段練習）如圖所示，王師傅為了檢驗門框AB是否垂直于地面，在門框AB的上端A處用細線懸掛一鉛錘，看門框AB是否與鉛錘線重合．若門框AB垂直于地面，則AB會重合于AE，否則AB與AE不重合．下面哪個數(shù)學知識可以說明這個道理？（

）

A．經過兩點有且只有一條直線B．直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短C．過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行D．平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】A【分析】根據(jù)垂線的性質解答即可．【詳解】∵在平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．∴若門框AB垂直于地面，則AB會重合于AE，否則AB與AE不重合．D．【點睛】本題考查了垂線的性質，熟練掌握垂線的性質是解答本題的關鍵．經過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．【變式6-3】（2023下·上海黃浦·六年級統(tǒng)考期末）下列方法中，不能用來檢驗平面與平面垂直的方法是（

）．A．鉛垂線 B．兩把三角尺 C．合頁型折紙 D．長方形紙片【答案】A【分析】由題意根據(jù)直線與水平面垂直，必須滿足直線垂直于水平面內兩條相交的直線，由此分析即可作出判斷．【詳解】解：A、根據(jù)重力學原理，鉛垂線垂直于水平面，不符合題意；B、將兩塊三角板的直角邊重合，另外兩條直角邊相交，放在水平面上，可判斷重合的直角邊垂直于水平面，不符合題意；C、合頁型折紙其折痕與紙被折斷的一邊垂直，即折痕與被折斷的兩線段垂直，把折斷的兩邊放到水平面上，可判斷折痕與水平面垂直，不符合題意；D、長方形紙片只能判斷長與寬互相垂直，不能判斷與水平面垂直，符合題意；D．【點睛】本題考查垂線的判定，解答此題的關鍵是明確線面垂直的判定方法．【題型7點到直線的距離】【例7】（2023下·陜西西安·七年級西安益新中學?？茧A段練習）如圖，P是∠AOB的邊OB上一點．(1)過P畫OA的垂線，垂足為點H；(2)過點P畫OB的垂線，交OA于點C，點O到直線PC的距離是線段______的長度．【答案】(1)見解析；(2)見解析；OP【分析】（1）三角尺的直角的一邊與OA重合，另一直角邊經過點P畫出垂線，垂足為點H即可；（2）同（1）的方法即可完成畫圖．【詳解】（1）如圖，PH即為所求；（2）如圖，PC即為所求；所以點O到直線PC的距離是線段OP的長度．故答案為：OP．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖，垂線，點到直線的距離，解決本題的關鍵是掌握基本作圖方法．【變式7-1】（2023上·浙江·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖，A、B、C是等邊三角形的三個頂點，作直線l，使點A、B、C到直線l的距離之比為2:1:1，則滿足條件的直線l共有（

）A．4條 B．3條C．2條 D．1條【答案】A【分析】如解答圖所示，滿足條件的直線有兩種可能：一種是與直線BC平行，符合條件的有兩條，如圖中的直線a、b；還有一種是分別過線段BC的中點和邊AB、AC的三等分點，符合條件的有兩條，如圖中的直線c、d．【詳解】解：如解答圖所示，滿足條件的直線有4條，故選A．【點睛】本題考查了點到直線的距離、平行線的性質等知識點，考查了分類討論的數(shù)學思想．解題時注意全面考慮，避免漏解．【變式7-2】（2023下·河南新鄉(xiāng)·七年級?？计谥校┤鐖D所示，∠BAC=90°,AD⊥BC于D，則下列結論中，正確的個數(shù)為（）①AB⊥AC；②AD與AC互相垂直；③點C到AB的垂線段是線段AB；④點A到BC的距離是線段AD的長度；⑤線段AC的長度是點C到AB的距離；⑥線段CD的長度是點D到AC的距離．A．3個 B．4個 C．7個 D．0個【答案】A【分析】①根據(jù)∠BAC=90°，得到AB⊥AC；②AD與AC不垂直；③點C到AB的垂線段是線段AC；④根據(jù)點到線段的距離是點到線段的垂線段的長度，進行判斷；⑤根據(jù)點到線段的距離是點到線段的垂線段的長度，進行判斷；⑥根據(jù)點到線段的距離是點到線段的垂線段的長度，進行判斷；【詳解】解：①∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC；故①正確；②AD⊥BC，AD與AC不垂直；故②錯誤；③點C到AB的垂線段是線段AC；故③錯誤；④點A到BC的距離是線段AD的長度；故④正確；⑤線段AC的長度是點C到AB的距離；故⑤正確；⑥線段CD的長度是點C到AD的距離；故⑥錯誤；綜上：正確的是：①④⑤，共3個；故選A．【點睛】本題考查垂線段．熟練掌握垂線段的定義，以及垂線段的長度是點到線段的距離，是解題的關鍵．【變式7-3】（2023上·江蘇南京·七年級校聯(lián)考期末）在如圖所示的方格紙中，每個小正方形的頂點都叫做格點.已知點A、B、C均在格點上．(1)借助方格紙過點B畫線段AC的平行線BD；(2)借助方格紙過點B畫線段AC的垂線B